CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Sygnały stochastyczne, parametry w dziedzinie wartości dr hab. inż. Robert Hanus Sygnały stochastyczne Podstawowe pojęcia: Sygnały stochastyczne (przypadkowe, losowe) - sygnały, które nie mogą być opisane dokładnymi zależnościami matematycznymi; można dla nich jedynie określić pewne charakterystyki statystyczne. Realizacja (funkcja losowa)- pojedyncza funkcja czasu x(t), charakteryzująca zjawisko losowe. Proces stochastyczny {x(t}} - zbiór wszystkich realizacji danego zjawiska losowego. Stacjonarny proces stochastyczny - proces losowy, dla którego charakterystyki statystyczne (momenty i momenty łączne) nie zmieniają się w funkcji czasu. Ergodyczny proces stochastyczny - stacjonarny proces losowy, dla którego odpowiednie charakterystyki statystyczne nie zależą od numeru realizacji (uśrednianie w zbiorze realizacji można zastąpić uśrednianiem w czasie jednej realizacji procesu). 2 1

Proces stochastyczny Zbiór realizacji procesu stochastycznego 3 Ergodyczny proces stochastyczny Uśrednianie w zbiorze realizacji procesu stochastycznego dla procesów ERGODYCZNYCH Można zastąpić uśrednianiem w czasie jednej realizacji procesu stochastycznego 4 2

Sygnały stochastyczne a pomiary ZAGADNIENIA POMIAROWE Z UDZIAŁEM SYGNAŁÓW SZUMOWYCH Pomiary charakterystyk statystycznych sygnału szumowego Stosowanie testowanego sygnału szumowego o zadanych parametrach statystycznych do wyznaczania właściwości układów fizycznych Dokładny pomiar parametrów sygnałów zakłóconych szumem redukcja zakłóceń Wykorzystanie wzorcowych sygnałów szumowych do kształtowania charakterystyk przetwarzania układów pomiarowych 5 Ogólna klasyfikacja sygnałów losowych SYGNAŁY LOSOWE Sygnały stacjonarne Sygnały niestacjonarne Sygnały ergodyczne Sygnały nieergodyczne Różne odmiany niestacjonarności 6 3

Przykłady stacjonarnych sygnałów losowych Realizacje sygnałów wyjściowych generatora szumu termicznego 7 Klasyfikacja niestacjonarnych sygnałów losowych LOSOWE SYGNAŁY NIESTACJONARNE Sygnały o zmiennej wartości średniej Sygnały o zmiennej wariancji Sygnały o zmiennej wartości średniej i wariancji Inne sygnały niestacjonarne Sygnały o zmiennej strukturze częstotliwościowej 8 4

Przykłady niestacjonarnych sygnałów losowych a) sygnał o zmiennej w czasie wartości średniej b) sygnał o zmiennej w czasie wartości średniej kwadratowej c) sygnał o zmiennej w czasie strukturze częstotliwościowej 9 Główne charakterystyki sygnałów losowych 1. W dziedzinie wartości wartość średnia wartość średniokwadratowa Wariancja gęstość prawdopodobieństwa (jednowymiarowa dla jednego sygnału lub łączna dla dwóch sygnałów) 2. W dziedzinie czasu Funkcja korelacji (autokorelacji dla jednego sygnału lub korelacji wzajemnej) 3. W dziedzinie częstotliwości Gęstość widmowa mocy (dla jednego sygnału i wzajemna gęstość widmowa dla dwóch sygnałów) 10 5

Wartość średnia Ilustracja definicji wartości średniej Estymatory: 11 Wartość średniokwadratowa, wariancja, odchylenie standardowe Wartość średniokwadratowa Estymatory : Ilustracja definicji wartości średniokwadratowej Wariancja Odchylenie standardowe 12 6

Parametry w dziedzinie wartości sygnałów okresowych (1) Wartość średniokwadratowa Wartość skuteczna: 13 Parametry w dziedzinie wartości sygnałów okresowych (2) 14 7

Wybrane parametry opisujące dla typowych sygnałów (1) P[%] prawdopodobieństwo względnego czasu przebywania sygnału ponad zadanym poziomem 15 Wybrane parametry opisujące dla typowych sygnałów (2) 16 8

Przykłady sygnałów losowych o różnych parametrach Examples of two digitized signals with diffrent means and standard deviations 17 Wartość międzyszczytowa a odchylenie standardowe Ratio of he peak-to-peak amplitude to the standard deviation for several common waveforms. For the square wave, this ratio is 2; for the triangle wave it is for the sine wave it is While random noise has no exact peak-to-peak value, it is approximately 6 to 8 times the standard deviation. 18 9

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (1) Określenie funkcji gęstości prawdopodobieństwa T X oznacza sumę przedziałów czasu, w których wartości sygnału znajdują się w przedziale (x, x+ x) w czasie trwania obserwacji T 19 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (2) właściwości: zależności: 20 10

Dystrybuanta właściwości: Przykładowy rozkład dystrybuanty dla zmiennej losowej ciągłej 21 Funkcje gęstości prawdopodobieństwa wybranych sygnałów (1) a) sygnał harmoniczny, b) sygnał harmoniczny z szumem losowym, c) wąskopasmowy szum losowy, d) szerokopasmowy szum losowy 22 11

Funkcje gęstości prawdopodobieństwa wybranych sygnałów (2) 23 Funkcje gęstości prawdopodobieństwa wybranych sygnałów (3),, Funkcja gęstości prawdopodobieństwa sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych X i Y o rozkładach normalnych 24 12

Funkcje gęstości prawdopodobieństwa wybranych sygnałów (4) 25 Kształtowanie rozkładu prawdopodobieństwa sygnału losowego (1) a) b) 26 13

Kształtowanie rozkładu prawdopodobieństwa sygnału losowego (2) c) Converting a uniform distribution to a Gaussian distribution. Figure (a) shows a signal where each sample is generated by a random number generator. As indicated by the pdf, the value of each sample is uniformly distributed between zero and one. Each sample in (b) is formed by adding two values from the random number generator. In (c), each sample is created by adding twelve values from the random number generator. The pdf of (c) is very nearly Gaussian, with a mean of six, and a standard deviation of one. 27 Pomiary charakterystyk statystycznych sygnałów losowych W praktyce ze względu na ograniczone wartości T lub N wyznacza się estymatory parametrów, np. wartości średniej Kryteria jakości estymatorów Estymator powinien być nieobciążony, tzn. wartość oczekiwana estymatora parametru powinna być równa wartości tego parametru Estymator powinien być zgodny, tzn. powinien być zbieżny do wartości rzeczywistej estymowanego parametru z prawdopodobieństwem Pr 1 gdy czas uśredniania T lub liczność próby N - dowolnie mała liczba dodatnia Estymator powinien być najefektywniejszy, tzn. powinien być efektywniejszy niż inne estymatory (powinien być estymatorem nieobciążonym o najmniejszej wariancji) 28 14

ˆ ˆ 2 2 E E ˆ Błędy charakterystyk statystycznych sygnałów losowych (1) Błędy w statystycznej analizie sygnałów Błąd średniokwadratowy Wariancja estymatora (losowa część błędu) Kwadrat błędu obciążenia (systematyczna część błędu) Błąd losowy (standardowy) estymatora Błąd obciążenia estymatora Błąd skuteczny 29 Błędy charakterystyk statystycznych sygnałów losowych (2) dla 0 określa się błędy względne: Względny błąd średniokwadratowy Względny błąd losowy (standardowy) Względny błąd obciążenia Względny błąd skuteczny 30 15

Błędy estymatorów charakterystyk sygnału stochastycznego x(t) w dziedzinie amplitudowej (1) ^ ^ 31 Błędy estymatorów charakterystyk sygnału stochastycznego x(t) w dziedzinie amplitudowej (2) 32 16

Pomiar wartości skutecznej szumu multimetrem Napięcie szumu o normalnej gęstości prawdopodobieństwa p(u) i wartości średniej równej zeru ( ) podano na wejście popularnego multimetru cyfrowego, posiadającego w układzie do pomiaru napięcia zmiennego dwupołówkowy prostownik liniowy. Wskazanie przyrządu wyniosło U w = 1,5 V. Określić wariancję i wartość skuteczną badanego szumu. Rozwiązanie W popularnych multimetrach wyskalowanych w wartościach skutecznych napięcia sinusoidalnego zależność pomiędzy napięciem wskazywanym U w a wartością średnią wynosi: Dla szumu o rozkładzie normalnym słuszna jest zależność: Na podstawie obydwu wyrażeń otrzymujemy: Wartość skuteczna szumu = u 33 Pomiar wartości skutecznej szumu oscyloskopem 1-kanałowym (szum o rozkładzie normalnym) 1 f (x) exp 2 2 x x 2 x 2 x 34 17

Pomiar wartości skutecznej szumu oscyloskopem 2-kanałowym (1) Oscylogramy sygnału szumowego dołączonego do dwóch kanałów oscyloskopu: a) przebiegi w obydwu kanałach są wyraźnie rozróżnialne, b) obydwa przebiegi zlewają się tworząc jeden sygnał 35 Pomiar wartości skutecznej szumu oscyloskopem 2-kanałowym (2) Dodawanie dwóch krzywych Gaussowskich, których wartości średnie różnią się o l (odległych na ekranie oscyloskopu o wartość l ): a) powstanie siodła dla l > 2, b) Krzywa o pojedynczym maksimum dla l = 2 36 18

Łączna gęstość prawdopodobieństwa (1) Ilustracja pomiaru łącznego prawdopodobieństwa 37 Łączna gęstość prawdopodobieństwa (2) Reprezentacja graficzna typowej łącznej gęstości prawdopodobieństwa 38 19

Histogram (rozkład empiryczny) i krzywa skumulowana (dystrybuanta empiryczna) Histogram jest wykresem słupkowym rozkładu empirycznego serii wyników x 1 x N Porządkując wyniki tworzy się szereg rozdzielczy: x 1 < x 2 < x 3 < x N Liczbę klas k wybiera się tak, aby w każdym przedziale x i znajdowało się przeciętnie co najmniej kilka wyników. Szerokości x i klas są jednakowe. Przedział k x obejmuje wszystkie wartości serii wyników i jest równy rozstępowi serii. Wysokość i-tego słupka jest proporcjonalna do liczby m i wyników znajdujących się w danym przedziale x i, lub do częstości wystąpienia W i wyników w tym przedziale. 39 Histogram i krzywa skumulowana (2) 40 20

Zasady doboru liczby klas przy tworzeniu histogramu 1) co dla współczynnika od 1,8 do 6 daje wynik od k = 0,55 N 0,4 do k = 1,25 N 0,4 Dla rozkładu normalnego =3 i k = 0,75N 0,4 2) lub 3) (wzór empiryczny dla dużej liczby wyników) 4) 5) (z pracy: Otnes, Enochson Analiza numeryczna szeregów czasowych ) 41 Najmniejsza liczba klas dla różnych liczności próby 42 21

Moduły do wyznaczania parametrów w dziedzinie wartości sygnałów w DASYLab (1) 43 Moduły do wyznaczania parametrów w dziedzinie wartości sygnałów w DASYLab (2) 44 22

Moduły do wyznaczania parametrów w dziedzinie wartości sygnałów w DASYLab (3)? 45 Moduły do wyznaczania parametrów w dziedzinie wartości sygnałów w DASYLab (4) 46 23

Moduły do wyznaczania parametrów w dziedzinie wartości sygnałów w DASYLab (5) Class histogram Sum Histogram 47 Wyznaczanie parametrów w dziedzinie wartości sygnałów (1) 48 24

Wyznaczanie parametrów w dziedzinie wartości sygnałów (2) 49 Wyznaczanie parametrów w dziedzinie wartości sygnałów (3) 50 25

Wyznaczanie parametrów w dziedzinie wartości sygnałów (4) Sygnał 1: Noise 3V, Offset = 0,5 V. Sygnał 2: Noise 3V 51 Wyznaczanie parametrów w dziedzinie wartości sygnałów (5) 52 26