Wykorzystanie metod wielowymiarowej analizy statystycznej w kontekście zasady proporcjonalności projektu Wypłacalność II Wojciech Bijak Tomasz Konieczny
ZASADA PROPORCJONALNOŚCI W KONTEKŚCIE DYREKTYWY Projekt Dyrektywy precyzuje elementy jakie powinna zawierać w sobie prawidłowo sformułowana zasada proporcjonalności, tj.: natura; skala; złożoność. Pytania: W jaki sposów mierzyć w/w wielkości (absolutny, względny)? Czy problem jest wielowymiarowy? Co dokładnie rozumieć pod w/w pojęciami? Możliwe rozwiązania: natura charakter działalności ubezpieczeniowej (działalność reasekuracyjna, captive, specjalizacja w określonych liniach biznesu, itp) charakter ponoszonego ryzyka (ryzyka łatwe do przewidzenia, stabilne ) złożoność rodzaje oferowananych produktów (np. nieskomplikowane polisy na życie i dożycie vs. kontrakty ubezpieczeniowe z opcjami bądź gwarancjami); strategia inwestycyjna (inwestycje obligacje vs. ryzykowne instrumenty finansowe); zasięg działalności; polityka reasekuracyjna; forma prawna (stanowisko AMICE w sprawie TUW) skala wielkość zakładu ubezpieczeniowego; geograficzny zakres działalności; udział w składce przypisanej
ZASTOSOWANIE W TRZECH FILARACH SYSTEMU Filar I Wymogi ilościowe Filar II Nadzór Filar III Dyscyplin a rynku Natura, skala i złożoność powinny być syntetycznym miernikiem eskozycji na ryzyko zakładu ubezpieczeniowego. Dzięki temu można będzie decydować o stosowaniu pewnych rozwiązań w zakresie kalkulacji wymogów ilościowych (MCR, SCR). Kalkulacja SCR, MCR oraz rezerw techniczno-ubezpieczeniowych powinna się odbywać z zastosowaniem odpowiednich narędzie statystycznych i aktuarialnych (por. art. 108-109 Dyrektywy) W ramach filaru II-go reguła proporcjonalności powinna brać pod uwagę strukturę organizacyjną zakładu, kwalifikacje osób pełniących kluczowe funkcje w ZU, sposób zarządzania ryzykiem oraz środkami kapitałowymi, politykę inwestycyjną oraz zarządzanie aktywami i zobowiązaniami, własną zdolność do oceny ryzyka i wypłacalności, sposoby kontroli wewnętrznych i audytu, zakres funkcji aktuarialnej, a także zakres i politykę outsorcingu. (por. art. 41-48 Dyrektywy) W ramach filaru III-go, zasada proporcjonalności powinna wymusić na zakładach prowadzących działalność ryzykowną konieczność publikacji większej ilości informacji. Zakłady o niskiej stosunkowo ekspozycji na ryzyko nie powinny mieć konieczności publikacji takiej samej ilości danych.
ZAGADNIENIA KLASYFIKACYJNE #1 Zasada proporcjonalności powinna dać rozwiązanie w kwestii możliwości stosowania metod uproszczonych, podejścia standardowego, stosowania częściowych modeli wewnętrznych oraz całościowych modeli wewnętrznych. Istnieje również mozliwość wyłączenia z obowiązku kalkulacji wymagań kapitałowych w przypadku zakładów ubezpieczeniowych, dla których struktura ryzyka Takie jest podejście pomijalna narzuca (nieistotna). konieczność przeprowadzenia pewnej klasyfikacji zakładów ubezpieczeniowych. Pytanie: W jaki sposób powinna zostać przeprowadzona klasyfikacja? Klasyfikacja powinna być przeprowadzona na podstawie zmiennych mających istotny wpływ na spełnianie wymogów kapitałowych, czyli na spełanienie wymogów kapitałowych. Można przeprowadzić ją na podstawie wielu kryteriów. Możliwe rozwiązania: badanie na podstawie analizy wskaźnikowej (np. stosunek środków własnych do marginesu wypłacalności) podejście mało elastyczne badanie wielkości prognozowanych środków własnych ( probability forecast ) podejście bardziej elastyczne, na podstawie odpowiedniego modelu
ZAGADNIENIA KLASYFIKACYJNE C.D. PREZENTACJA METOD Dominacje stochastyczne Dominacje stochastyczne mogą znaleźć istotne zastosowanie w przypadku porównywania rozkładów prawdopodobieństwa kilku zmiennych losowych. Dzięki temu można wyznaczyć grupy zakładów (opisanych przez pewną zmienną losową), które dominują pozostałe. Również można wyznaczyć grupy zakładów, które są zdominowane w stochastycznym sensie przez pozostałe. Stochastyczna dominacja rzędu 1 Zmienna losowa A dominuje zmienną losową B w sensie pierwszego stopnia, gdy spełniona jest poniższa nierówność x ( ; ) DFSD = FA ( x) FB ( x) 0 oraz, gdy przynajmniej dla jednego argumentu x powyższa nierówność jest ostra. Gdy znak nierówności jest skierowany w przeciwną stronę, wtedy zmienna losowa B dominuje zmienną losową A. F A (x) oznacza dystrybuantę zmiennej losowej A. Dodatkowo musi być spełnione założenie o rosnącej użyteczności funkcji argumentu x, czyli pierwsza pochodna funkcji użyteczności musi być dodatnia.
DOMINACJE STOCHASTYCZNE C.D. Stochastyczna dominacja rzędu 2 Gdy nie zachodzi dominacja stochastyczna pierwszego rzędu, wtedy można badać dwa rozkłady ze względu na dominację rzędu 2-go. Mówimy, że zmienna losowa A dominuje zmienną losową B w sensie drugiego stopnia, gdy spełniona jest poniższa nierówność x F A ( y) dy FB ( y) oraz przynajmniej dla jednego argumentu powyższa nierówność jest ostra. Przy czym druga pochodna funkcji użyteczności dla argumentu x, powinna być mniejsza od 0 (zał. o malejącej krańcowej użyteczności) Stochastyczna dominacja rzędu 3 Gdy nie zachodzi dominacja stochastyczna drugiego rzędu, wtedy można badać dwa rozkłady ze względu na dominację rzędu 3-go. Mówimy, że zmienna losowa A dominuje zmienną losową B w sensie trzeciego stopnia, gdy spełniona jest poniższa nierówność x x x x F A oraz przynajmniej dla jednego argumentu powyższa nierówność jest ostra. Przy czym trzecia pochodna funkcji użyteczności dla argumentu x, powinna być większa od 0 (zał. o rosnącej absolutnej użyteczności) x dy ( y) dy FB( y) dy
WYKORZYSTANIE DOMINACJI STOCHASTYCZNYCH W BADANIU SPEŁNIANIA WYMOGÓW WYPŁACALNOŚCI Metoda badania: Badano 21 zakłady ubezpieczeniowe prowadzące działalnośc w dziale II w roku 2004 (pozostałe ubezpieczenia osobowe i majątkowe). Dla tej grupy przeprowadzono prognozę środków własnych na rok 2005 z wykorzystaniem dynamicznej analizy finansowej. Założenia modelu DAF były dopasowane do zakładu, jednak odzwierciedlały one warunki otoczenia gospodarczego. Dla każdego z zakładów przeprowadzono 1000 symulacji. Następnie wartości prognozowanych środków własnych podzielono przez wartości empiryczne (z 2004 roku). Dla każdego z zakładów otrzymano rozkład prawdopodobieństwa współczynnika środków własnych (WŚW). Na potrzeby badania niech WŚW będzie zmienną losową X, której realizacja x należy do zbioru R 1. Wpółczynnik środków własnych jest syntetycznym miernikiem ryzyka zakładu ubezpieczeń, uwględnia on aspekty natury, skali oraz złożoności ryzyka. Rozkłady prawdopodobieństwa WŚW jednak są warunkowe ze względu na postać modelu DFA. Dodatkowo podzielenie wielkości prognozowanych, przez wartości empiryczne z 2004 zapewniło wyłączenie wielkości środków własnych (również wielkości zakładu) jako czynnika decydujacego, zgodnie z zaleceniami projektu Dyrektywy.
WYKORZYSTANIE DOMINACJI STOCHASTYCZNYCH W BADANIU SPEŁNIANIA WYMOGÓW WYPŁACALNOŚCI C.D. Przyjęte kryteria: Na podstawie rozkładów prawdopodobieństwa WŚW przeprowadzono analizę dominacji stochastycznych z zastosowaniem dwóch kryteriów. Przypadek 1 Badanie dominacji stochastycznych rozkładów WŚW dla realizacji z przedziału (- ;0). Spadek WŚW poniżej wartości 0 (ujemny stosunek wartości prognozowanych środków własnych do zaobserwowanych) oznacza zagrożenie niewypłacalnością. Większa wartość dystrybuanty WŚW w punkcie 0 znacza większe prawdopodobieństwo, że dla kolejnego okresu środki własne spadną ponizej 0. Przypadek 2 Badanie dominacji stochastycznych rozkładów WŚW z przedziału (- ;1). Mniejsze wartości dystrybuanty (większa dominacja wśród poszczególnych rozkładów) dla określonych zakładów będą oznaczały większe prawdpopodobieństwo, że WŚW będzie większy niż 1. To znaczy, większe szanse na rozwój zakładu ubezpieczeniowego. Z kolei większe wartości dystrubuanty w punkcie 1, oznaczają większe zdominowanie w populacji badanych zakładów, oraz większe prawdpodobieństwo, że wartość środków własnych spadnie poniżej środków własnych z roku poprzedniego.
PRZYPADEK 1 SPEŁNIANIE WYMOGÓW WYPŁACALNOŚCI A B E G K L N P S A FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD B FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD E FSD BRAK SSD BRAK G FSD FSD FSD FSD FSD FSD K BRAK BRAK BRAK L BRAK BRAK BRAK BRAK N FSD FSD FSD FSD SSD P BRAK BRAK BRAK Dominacje FSD SSD TSD Zdominowany Brak A 7 0 0 1 0 B 8 0 0 0 0 E 1 1 0 4 2 G 6 0 0 2 0 K 0 0 0 5 3 L 0 0 0 4 4 N 4 1 0 3 0 P 0 0 0 5 3 S 0 0 0 4 4 Tabela2: Zestawienie dominacji stochastycznych dla przypadku 1-go S BRAK BRAK BRAK BRAK Tabela1: Dominacje stochastyczne pomiędzy rozkładami prawdopodobieństwa współczynnika środków własnych dla roku 2005 dla przypadku 1-go Źródło: obliczenia własne Dla zakładów o numeracjach: C, D, F, H, I, J, M, O, R,T wartość dystrybuanty w rozpatrywanym przedziale przyjęłą wartość 0. Oznacza to, że prawdopodobieństwo spadku wartości środków własnych poniżej 0 jest zerowe. Jednocześnie rozkłady prawdpodobieństwa WŚW dominują stochastycznie w stopniu 1 rozkłady analizowane w tabeli 1. Dla pozostałych zakładów wyniki analizy dominacji stochastycznych znajdują się tabeli 1. Na jej podstawie można wnioskować iż: rozkład empiryczny WŚW zakładu A dominuje stochastycznie w stopniu 1 wszystkie pozostałe, oprócz zakładu B; zakład B spośród analizowanej grupy dominuje wszystkie pozostałe w stopniu 1 (por. tbl. 2);
PRZYPADEK 2 SZANSE NA ROZWÓJ Tabela3: Dominacje stochastyczne pomiędzy rozkładami prawdopodobieństwa współczynnika środków własnych dla roku 2005 dla przypadku 2-go A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U W A BRAK FSD FSD FSD FSD FSD FSD BRAK SSD B BRAK SSD FSD SSD FSD SSD SSD BRAK BRAK C FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD BRAK FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD D TSD FSD FSD BRAK FSD SSD FSD SSD SSD BRAK BRAK BRAK TSD E BRAK BRAK BRAK BRAK F FSD FSD BRAK FSD FSD BRAK BRAK FSD FSD FSD FSD BRAK FSD G SSD SSD SSD TSD SSD BRAK BRAK H SSD FSD FSD FSD BRAK FSD FSD FSD BRAK FSD FSD BRAK BRAK BRAK SSD BRAK I SSD SSD BRAK SSD SSD TSD SSD SSD TSD SSD SSD BRAK SSD TSD SSD BRAK TSD TSD SSD BRAK J SSD SSD SSD SSD BRAK FSD SSD SSD FSD BRAK SSD BRAK SSD BRAK BRAK BRAK SSD BRAK K BRAK BRAK BRAK BRAK L BRAK BRAK BRAK BRAK M FSD FSD FSD FSD FSD FSD BRAK BRAK BRAK FSD FSD FSD BRAK FSD BRAK TSD FSD FSD N FSD SSD FSD FSD BRAK O FSD FSD FSD FSD TSD FSD FSD BRAK FSD FSD BRAK FSD FSD BRAK BRAK TSD SSD BRAK P BRAK BRAK BRAK BRAK R FSD FSD BRAK FSD FSD FSD BRAK BRAK BRAK FSD FSD BRAK FSD BRAK FSD FSD FSD FSD BRAK S BRAK BRAK BRAK BRAK BRAK BRAK BRAK BRAK BRAK BRAK BRAK BRAK BRAK BRAK BRAK T FSD FSD BRAK FSD TSD FSD BRAK BRAK FSD FSD FSD FSD BRAK FSD U BRAK FSD BRAK FSD FSD FSD FSD BRAK W FSD FSD FSD FSD SSD FSD BRAK BRAK BRAK FSD FSD TSD FSD BRAK FSD BRAK TSD SSD FSD
PRZYPADEK 2 SZANSE NA ROZWÓJ C.D. Na podstawie tabeli 3 cięzko jest wnioskować na temat dominacji stochastycznych, jednak z tabeli 4 można odczytać, iż: zakład C dominował wszystkie pozostałe rozkłady w stopniu 1 (dla tego zakładu wartość prawdpodobieństwa, że środki własne znajdowały się na poziomie takim samym, bądź wyższym w porównaniu z rokiem poprzednim było najwyższe); podobnie silną dominacją stochastyczną (FSD oraz SSD) odznaczały się zakłady I,M,O,W (duże prawdpodobieństwo, że WŚW jest większy od 1); z kolei zakłady o numeracji E,G,K,L,N,P okazały się silnie zdominowane (najwyższe prawdpodobieństwo spośród analizowanych Dominacje FSD SSD TSD Zdominowany Brak A 6 1 0 11 2 B 2 4 0 11 3 C 19 0 0 0 1 D 4 3 2 7 4 E 0 0 0 16 4 F 9 0 0 7 4 G 0 4 1 13 2 H 8 2 0 4 6 I 0 11 5 0 4 J 2 9 0 2 7 K 0 0 0 16 4 L 0 0 0 16 4 M 12 0 1 2 5 N 3 1 0 15 1 O 10 1 2 2 5 P 0 0 0 16 4 R 12 0 0 1 7 S 0 0 0 5 15 T 9 0 1 6 4 U 5 0 0 12 3 W 10 2 2 1 5 zakładów, że wartość środków własnych Tabela4: Zestawienie dominacji stochastycznych dla przypadku 2-go będzie mniejsza od stanu z roku poprzedniego Zarówno wyniki zawarte w tabeli 2 oraz 4 dostarczają informacji na temat możliwości przeprowadzenia klasyfikacji na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa środków własnych.
WYKORZYSTANIE ŁAŃCUCHÓW MARKOWA W BADANIU DYNAMIKI PROCESU SPEŁNIANIA WYMOGÓW KAPITAŁOWYCH Na podstawie przeprowadzonej wcześniej klasyfikacji ze względu na dominacje stochastyczne (por. tbl. 2 oraz 4) można wyznaczyć grupy zakładów ubezpieczeniowych, które: 1) bardzo silnie dominują pozostałe zakłady ubezpieczeniowe (charakteryzują się bardzo małą ekspozycją na ryzyko) w tym przypadku mają relatywnie wysokie prawdopodobieństwo, że wartość środków własnych przekroczy wartość z roku poprzedniego (w analizowanym przypadku za takie uznano te, które dominują stochastycznie ponad 70% rozkładów współczynnika środków własnych); 2) silnie dominują pozostałe zakłady ubezpieczeniowe (charakteryzują się niewielką ekspozycją na ryzyko) te które dominują od 50% do 70%; 3) słabo dominują pozostałe zakłady ubezpieczeniowe (charakteryzują się większą ekspozycją na ryzyko) dominują od 25% do 50%; 4) są zdominowane przez pozostałe zakłady ubezpieczeniowe, w sensie dominacji stochastycznej rozkładu prawdopodobieństwa współczynnika środków własnych (charakteryzują się dużą eksozycją na ryzyko, są zagrożone niewypłacalnością) dominują poniżej 25%. Dzieki prognozie środków własnych dla kilku lat można skonstruować macierz prawdopodobieństw przejść na podstawie mikrodanych. Odpowiedni estymator NW wyprowadzony został w pracy Podgórska M. i in [2002]. Przyjmując założenie o jednorodności łańcucha oraz ergodyczności jego macierzy przejścia można dokonywać dalszych analiz zachowania się procesu Markowa w długim okresie.
WYKORZYSTANIE ŁAŃCUCHÓW MARKOWA W BADANIU DYNAMIKI PROCESU SPEŁNIANIA WYMOGÓW KAPITAŁOWYCH C.D. Na podstawie jednorodnego łańcucha Markowa o ergodycznej macierzy przejść można wnioskować na przykład o: czasu pierwszego przejścia ze stanu i do stanu j, na przykład czasu potrzebnego na nadzór nad danym ubezpieczycielem do czasu przejścia ze stanu zagrożenia niewypłacalnością do stanu wypłacalności: z jj zij dla i j mij = e j 0 dlai = j gdzie elementy z jj oraz z ij to elementy macierzy fundamentalnej łańcucha Markowa. oczekiwanego czasu powrotu do stanu i D [ r ] dla i S = diag i, 1 r i = e i
WYKORZYSTANIE ŁAŃCUCHÓW MARKOWA W BADANIU DYNAMIKI PROCESU SPEŁNIANIA WYMOGÓW KAPITAŁOWYCH C.D. WYNIKI Dla badanej populacji zakładów ubezpieczeniowcych otrzymano następujące wyniki: 1 2 3 4 1 0,33333 0 0,66666 0 2 0,4 0,2 0,2 0,2 3 0 0,14285 0,57142 0,28571 4 0 0 0,2 0,8 Macierz prawdopodobieństw przejść pomiędzy stanami Rozpatrywano dominacje stochastyczne dla realizacji współczynnika środków własnych w zakresie (- ;1> Rozkład ergodyczny 1 2 3 4 0,037037 0,061728 0,345679 0,555556 0,037037 0,061728 0,345679 0,555556 0,037037 0,061728 0,345679 0,555556 0,037037 0,061728 0,345679 0,555556 Oczekiwane czasy powrotu 1 2 3 4 27 16,2 2,892857 1,8 Oczekiwane czasy przejścia 1 2 3 4 1 0 18,5 1,5 5,5 2 22 0 3,25 5 3 39 17 0 4 4 44 22 5 0
PODSUMOWANIE W praktyce podejście zaproponowane może znaleźć zastosowanie w: Filar I wyznaczenie grup ubezpieczycieli za pomocą dominacji stochastycznych o silnej, pośredniej, znikomej ekspozycji na ryzyko może znaleźć zastosowanie w filarze I przy kalkulacji wymogów kapitałowych i możliwości stosowania podejść uproszczonych, standardowych bądź częściowych modeli wewnętrznych lub całościowych modeli wewnętrznych. Filar II Konstrukacja łańcucha Markowa o odpowiednich stanach (zakładów o określonej ekspozycji na ryzyko), może posłużyć przy określeniu okresu wymaganego do monitorowania działalności zakładów narażonych na niewypłacalność (na podstawie oczekiwanych czasów powrotu) lub czasu po jakim wymagana jest kolejna kontrola przez nadzór ubezpieczeniowy (czas oczekiwanego powrotu do określonego stanu).
LITERATURA Zagadnienia dotyczące projektu Wypłacalność II oraz zasady proporcjonalności 1.Komisja Wspólnot Europejskich, Wniosek Dyrektywa Parlamentu Europejskiego i Rady w sprawie podejmowania i prowadzenia działalności ubezpieczeniowej i reasekuracyjnej SOLENCY II, KOM(2007) 361, http://ec.europa.eu/internal_market/insurance/solvency_en.htm 2.CEIOPS-CP-01/08, Draft advice on the principle of proportionality in the Solvency II Framework Directive Proposal, www.ceiops.org 3.CEIOPS-CP-01/08 Annex, Annex to the draft advice on proportionality, http://ceiops.eu 4.materiały konsultacyjne pozostałych stron zainteresowanych kształtem systemu Wypłacalność II: a) http://www.cea.assur.org/ - Comite Europeen des Assurances b) http://www.gcactuaries.org/ - Groupe Consultatif Actuariel Européen Zastosowane metody 1.Podgórska M., P. Śliwka, M. Topolewski, M. Wrzosek, 2002, Łańcuchy Markowa w teorii i w zastosowaniach, Oficyna wydawnicza SGH 2.Jajuga K., Jajuga T., 2006, Inwestycje, PWN