Minimalizacja funkcji boolowskich

Podobne dokumenty
Minimalizacja funkcji boolowskich

Minimalizacja form boolowskich

Koszt literału (literal cost) jest określony liczbą wystąpień literału w wyrażeniu boolowskim realizowanym przez układ.

Wykład nr 1 Techniki Mikroprocesorowe. dr inż. Artur Cichowski

Minimalizacja formuł Boolowskich

dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów

dr inż. Rafał Klaus Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia i ich zastosowań w przemyśle" POKL

Lekcja na Pracowni Podstaw Techniki Komputerowej z wykorzystaniem komputera

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Metoda Karnaugh. B A BC A

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji.

Podstawy Automatyki. Wykład 12 - synteza i minimalizacja funkcji logicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych (I)

b) bc a Rys. 1. Tablice Karnaugha dla funkcji o: a) n=2, b) n=3 i c) n=4 zmiennych.

Minimalizacja form boolowskich UC1, 2009

Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych

Minimalizacja funkcji boolowskich c.d.

Minimalizacja funkcji boolowskich - wykład 2

Rys. 2. Symbole dodatkowych bramek logicznych i ich tablice stanów.

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Układy kombinacyjne

Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych

Tranzystor JFET i MOSFET zas. działania

Część 2. Funkcje logiczne układy kombinacyjne

Funkcja Boolowska. f:b n B, gdzieb={0,1} jest zbiorem wartości funkcji. Funkcja boolowska jest matematycznym modelem układu kombinacyjnego.

Bramki logiczne Podstawowe składniki wszystkich układów logicznych

W jakim celu to robimy? Tablica Karnaugh. Minimalizacja

Układy asynchroniczne

WOJSKOWA AKADEMIA T E CHNI CZNA im. Jarosława Dą brow ski ego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO

Układy logiczne układy cyfrowe

Architektura komputerów Wykład 2

10. Kolorowanie wierzchołków grafu

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Układy logiczne układy cyfrowe

Automatyka. Treść wykładów: Multiplekser. Układ kombinacyjny. Demultiplekser. Koder

Układy kombinacyjne i sekwencyjne. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa

Układy asynchroniczne

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego

Problem kodowania w automatach

Automatyka Treść wykładów: Literatura. Wstęp. Sygnał analogowy a cyfrowy. Bieżące wiadomości:

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Cyfrowe bramki logiczne 2012

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Zadania do wykładu 1, Zapisz liczby binarne w kodzie dziesiętnym: ( ) 2 =( ) 10, ( ) 2 =( ) 10, (101001, 10110) 2 =( ) 10

Układy Logiczne i Cyfrowe

UKŁADY KOMBINACYJNE (BRAMKI: AND, OR, NAND, NOR, NOT)

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania

Architektura komputerów ćwiczenia Bramki logiczne. Układy kombinacyjne. Kanoniczna postać dysjunkcyjna i koniunkcyjna.

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

II Wojewódzki Konkurs Matematyka z kalkulatorem graficznym. ZSDiOŚ im. Jana Zamoyskiego w Zwierzyńcu. Finał 2017r.

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I

KONKURS MATEMATYCZNY

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Układy logiczne. Wstęp doinformatyki. Funkcje boolowskie (1854) Funkcje boolowskie. Operacje logiczne. Funkcja boolowska (przykład)

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego

UKŁADY KOMBINACYJNE WPROWADZENIE. przerzutniki, bramki ze sprzężeniami zwrotnymi. Układ przełączający Y t. Q t stan wewnętrzny

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe

Automatyzacja i robotyzacja procesów produkcyjnych

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

Krótkie przypomnienie

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

Wielopoziomowa synteza układów logicznych

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Podstawy Informatyki Elementarne podzespoły komputera

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Arytmetyka liczb binarnych

Matematyka z kalkulatorem graficznym

Układy kombinacyjne Y X 4 X 5. Rys. 1 Kombinacyjna funkcja logiczna.

Synteza układów kombinacyjnych

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów

Laboratorium z podstaw automatyki

Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014

Stan wysoki (H) i stan niski (L)

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =

3. SYNTEZA UKŁADÓW KOMBINACYJNYCH

ćwiczenie 202 Temat: Układy kombinacyjne 1. Cel ćwiczenia

Technika Cyfrowa 1 wykład 1: kody. Dr inż. Jacek Mazurkiewicz Katedra Informatyki Technicznej

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

Metody Programowania

Kod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:

1.2 Funktory z otwartym kolektorem (O.C)

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

Podstawy Automatyki. Człowiek- najlepsza inwestycja. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

INSTYTUT CYBERNETYKI TECHNICZNEJ POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ ZAKŁAD SZTUCZNEJ INTELIGENCJI I AUTOMATÓW

Kombinacyjne bloki funkcjonalne

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

WSTĘP. Budowa bramki NAND TTL, ch-ka przełączania, schemat wewnętrzny, działanie 2

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Asynchroniczne statyczne układy sekwencyjne

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Geometria analityczna

Układy cyfrowe. Najczęściej układy cyfrowe służą do przetwarzania sygnałów o dwóch poziomach napięć:

Transkrypt:

Minimalizacja funkcji boolowskich Zagadnienie intensywnych prac badawczych od początku lat pięćdziesiątych 20 wieku. Ogromny wzrost zainteresowania minimalizacją f.b. powstał ponownie w latach 80. rzyczyna: możliwość realizacji układów logicznych w strukturach scalonych o złożoności milionów bramek logicznych. adeusz ASC Z

Minimalizacja funkcji boolowskich ciągu kilkudziesięciu lat powstało wiele metod Graficzne Analityczne Komputerowe Najprostszą metodą minimalizacji jest metoda tablic Karnaugha Mimo swoich niedoskonałości metoda K. jest często wykładaną metodą minimalizacji funkcji boolowskich. aradoksalnie to co jest jej wadą prostota jest jednocześnie jej zaletą, gdyż można szybko ją opanować i stosować w obliczeniach ręcznych adeusz Z Należy jednak pamiętać, że w praktyce projektowania inżynierskiego metoda tablic K. jest absolutnie nieprzydatna. 2

ablice Karnaugha adeusz Z ablica K. jest prostokątem złożonym z 2 n kratek, zktórych każda reprezentuje jeden pełny iloczyn (minterm) zmiennych binarnych. x 3 00 0 0 kratki wpisuje się wartości funkcji. - 0 0 0 0 xxx xxx 2 3 2 3 + 2 tablicy K. różniącym się tylko o negację pełnym iloczynom przyporządkowane są leżące obok siebie pola tablicy (sąsiednie kratki). Ułatwia to skorzystanie z faktu, że dla dowolnego A: A x + Ax = A = xx Dla uzyskania efektu sąsiedztwa współrzędne pól opisuje się kodem Gray a 3

Kod Gray a 00 000 0000 0 0 0 00 0 00 000 00 000 0 00 0 0 000 00 0 00 0 00 00 000 00 0 0 0 00 0 00 adeusz Z Z 4 000

rzykładzik wprowadzający do metody adeusz Z x 3 f 0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 4 0 0 0 5 6 7 ) pisanie funkcji do tablicy 2) Zakreślanie pętelek Z pętelkami kojarzymy iloczyn zmiennych (prostych lub zanegowanych) x 3 00 0 0 f = x + x 3 5

pisywanie funkcji ułatwia opis kratek tablic Karnaugha wg NKB adeusz Z x 3 00 0 2 3 6 7 0 4 5 x 3 x 4 00 3 2 0 4 5 7 6 2 3 5 4 0 8 9 0 x 2 x 3 x 0 3 2 4 5 7 6 x 3 00 0 0 A n ( ) j D = LANKB = aj2 j= 0 x 3 f 0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 4 0 0 0 5 6 7 6

Zakreślanie pętelek i tworzenie iloczynów x 3 x x x 3 2 x 00 0 x 2 0 0 0 0 0 0 0 f = x +xx 2 x +x x 3 2 3 0 0 adeusz Z x x 3 0 3 0 x 3 x x 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x2 x 0 0 0 0 0 0 0 0 x 2 x 0 0 x 2 0 0 x 3 x 3 7

Algorytm minimalizacji adeusz Z ) Zapisujemy funkcję do tablicy K. 2) Zakreślamy pętelki. a) ętelki zakreślamy wokół grup sąsiadujących kratek zawierających -ki albo -ki i (kreski). b) Liczba kratek objętych pętelka musi wynosić:, 2, 4,,2 k. c) Staramy się objąć pętelką jak największą liczbę kratek. 3) ętelki zakreślamy tak długo, aż każda -ka będzie objęta co najmniej jedną pętelką, pamiętając o tym aby pokryć wszystkie -ki możliwie minimalną liczbą pętelek. 4) Z każdą pętelką kojarzymy iloczyn zmiennych prostych lub zanegowanych. Suma tych iloczynów, to minimalne wyrażenie boolowskie danej funkcji. 8

rzykłady prawidłowych pętelek adeusz Z xx x 2 00 0 x 3 x 2 x 3 x 0 x 4 x 5 0 x x 2x 3 000 x x 00 3 4 0 00 0 0 00 0 0 00 9

rzykładzik dla funkcji zupełnej adeusz Z a b c d f 0 000 000 0 2 00 3 00 0 4 000 0 5 00 6 00 0 7 0 0 8 00 9 00 0 0 2 0 3 0 4 5 ab cd 00 3 2 0 4 5 7 6 2 3 5 4 0 8 9 0 f = Σ(0, 2, 5, 8, 9, 0,, 2, 3, 4, 5) cd ab 00 0 0 0 0 0 f = a + bd +bcd 0

rzykład funkcja niezupełna f = Σ[0, 5, 6, 7, 0, (2, 3,, 2)] ] xx 3 x 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 3 x 4 xx x 2 00 3 2 0 4 5 7 6 2 3 5 4 0 8 9 0 Czy to ma znaczenie? adeusz Z f = x + + x 3 x x x + x 2 x 3 x 2 4 x2x4 f = xx x x + xx x x + xx x x + xx x x + xx x x 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4

Różne wyniki f = Σ[0, 2, 3, 4, 5, 7)] c ab 00 0 0 0 c ab 00 0 0 0 adeusz Z = a b + ac + bc = a b + bc + ac 2

mplikant funkcji boolowskiej Celem minimalizacji jest reprezentacja funkcji w postaci sumy iloczynów dlatego taki najkrótszy iloczyn nazywa się implikantem v i v j v k + v p v q v r v s + (v oznacza afirmację albo negację zmiennej x) i j k p q r s z najmniejszą liczbą składników oraz najmniejszą łączną liczbą literałów, co zapewnia realizację z najmniejszą liczbą bramek AND adeusz f czyli najmniejszą liczbą połączeń (ścieżek metalizowanych) Z 3 i najmniejszą liczbą wejść do tych bramek

mplikant funkcji boolowskiej mplikantdanej funkcji f jest to iloczyn literałów (zmiennych prostych i zanegowanych) taki, że odpowiadający mu zbiór wektorów binarnych nie zawiera wektora zerowego funkcji. adeusz rosty implikantjest to implikant, który zmniejszony o dowolny literał przestaje być implikantem. Z 4

f = Σ[0, 5, 6, 7, 0, (2, 3,, 2)] x xx 2 3 rzykład z planszy x 3 x 4 00 3 2 0 4 5 7 6 jest implikantem, 0 2 3 5 4 bo zbiór wektorów: 0 0 8 9 0 adeusz Z x 3x 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f = nie zawiera żadnego wektora (mintermu), dla którego wartość funkcji jest 0 Ale nie jest to implikant prosty,gdyż można usunąć x uzyskując: x 2 x 3 x + x + x x + x 3 2 x 3 x 2 4 xx2x4 5

mplikant funkcji boolowskiej- interpretacja interpretacji tablic Karnaugha implikant odpowiada prawidłowo zakreślonej grupie jedynek (i kresek). Natomiast implikant prosty odpowiada grupie jedynek (i kresek), której nie można powiększyć. adeusz Z x 3 x 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 mplikant xx3x4 rosty implikant o nie jest mplikant! x x 3 6