MECHANIKA TEORETYCZNA I S T O S OWA NA TOM 2 ZESZYT 1 WARSZAWA 1964

I n P L S K I E T W A R Z Y S T W M E C H A N I K I T E R E T Y C Z N E J I S T S W A N E J MECHANIKA TERETYCZNA I S T S WA NA TM 2 ZESZYT 1 WARSZAWA 1964 P A Ń S T W W E W Y D A W N I C T W N A U K W E

SPIS TREŚCI S. KALISKI, Statecznść ruchu układu scylatrów pruszających się p belce na sprężystym pdłżu 3 yctmhbcth flbhwehhs CHCTeMbi jhjdmtpb #BH>KymHXCH n SajtKe Ha ynpy- TM CHBaHHH Stability f the mtin f a system f scillatrs mving n a beam n elastic fundatin Z. LESIAK, Przegląd plskich prac dtyczących zagadnień z mieszanymi warunkami brzegwymi Vf terii sprężystści 15 63p njibckhx past, KacaimiixcH 3a#aM c nepepbibhbimh KpaeBbiMH ycnbhh- MH B TepHH ynpyrcrii Review f the Plish papers cncerning the prblems with discntinuus bundary cnditins in the thery f elasticity Z. WESŁWSKI, Związki fizyczne dla materiału sprężysteg z więzami gemetryczn- 25 termicznymi <&H3jraecKne ypabhehua fljia ynpyrr Tejia c remeipinieckh-teruibłimh CBH3HMH Cnstitutive equatins fr elastic materials with therm-gemetric cnstraints W. SZCZEPIŃSKI, Wyznaczanie naprężeń na pdstawie pmiarów tylk jednej składwej dkształcenia 39 npe«ejiehhe HanpHweimH Ha chbe 3aiwepa flhft KMnHeiiTbi fle(j>pmnp- BaHHr C0CTHHHH Determining f stresses based n measuring f ne strain cmpnent nly R. S. DBSZKIEWICZ, A. LITEWKA, Draźne badania własnści mechanicznych i elastptycznych materiałów używanych w elastptyce 45 TeKymee ncnbitahne MexaHH^ecKHX a 4 5 Tynpyrnx CBKCTB MaTepnajiB nph- MeHHeMBix B dptynpyrcth Testing f mechanical and phtelastic prperties f the phtelastic materials Biuletyn Infrmacyjny PTMTS 61 WYDAN Z ZASIŁKU PLSKIEJ AKADEMII NAUK

P L S K I E T W A R Z Y S T W M E C H A N I K I T E R E T Y C Z N E J I S T S W A N E J MECHANIKA TERETYCZNA I STSWANA TM 2 ZESZYT 1 WARSZAWA 1964 P A Ń S T W W E W Y D A W N I C T W N A U K W E

MECHANIKA TERETYCZNA I STSWANA pświęcna jest pracm przeglądwym, ryginalnym naukwym pracm teretycznym i dświadczalnym, kmunikatm naukwym i bibligrafii najważniejszych pzycji wydawniczych. Zawiera również sprawzdania z działalnści Twarzystwa, kngresów, knferencji i sympzjów naukwych * THERETICAL AND APPLIED MECHANICS is devted t surveys, riginal theretical and experimental papers, scientific infrmatin and bibligraphy f imprtant current editins. It cntains als reprts n the Plish Sciety fr Theretical and Applied Mechanics activities, n Cngresses, Cnferences and Sympsia * TEPETHÊCKAJI H ITPHKJIAflHAJI MEXAHHKA cflepjkht 63pHbie pa6tbi 3 phrnhajithtie TepeTimecKHe H 3KcnepHMeHTajn>Hbie pa6tfei, KpaTKHe Haymibie csmehun, 6H6jiarpa(pHHecKHe 63pbi HBBIX pa6tj TieTbi fleatentiicth IIjibCKr SmecTBa TepemêcKił H MexairHKH; CBeêHHH Haymibix KHrpeccax H KH(j)epeHmiHX R A D A R E D A K C Y J N A WITLD WIERZBICKI-PRZEWDNICZACY EDMUND KARAŚKIEWICZ (PZNAŃ) JERZY LIT- WINISZYN (KRAKÓW) ADAM MITZEL (WRCŁAW) WITLD NWACK.I (WARSZAWA)-STANISŁAW CHĘDUSZK (GLIWICE) WACŁAW LSZAK WARSZAWA)- MARIAN PIĄTEK (GDAŃSK) JAN SZMELTER (ŁÓDŹ) K M I T E T R E D A K C Y J N Y ARTUR K A C N E R R E D A K T R JÓZEF JANICZEK ZBIGNIEW LESIAK M A R E K S K Ł W S K l REDAKCJA Warszawa, Świętkrzyska 21, tel. 26-12-81, wewn. 213 Nakład 1000(900+100) Arkuszy wydawn. 5,75. Arkuszy drukarskich 4.75. Papier druk. sat. Ill fcl., 80 g. ddan d składania 15.1-64 r., druk ukńczn w sierpniu 1964 r. Cena zł 18. Zatn. 82/64 Z-85 Druk. im. Rewlucji Październikwej

MECHANIKA TERETYCZNA I STSWANA 1, 2 (1964) STATECZNŚĆ RUCHU UKŁADU SCYLATRÓW PRUSZAJĄCYCH SIĘ P BELCE NA SPRĘŻYSTYM PDŁŻU SYLWESTER KALISKI (WARSZAWA) Wstęp W pracy [1] rzważny zstał prblem drgań samwzbudnych układu scylatrów mechanicznych pruszających się p pwierzchni półprzestrzeni sprężystej. Wyznaczn prędkści krytyczne raz bszary niestatecznści, wewnątrz których drgania scylatrów mają charakter narastający. Praca [1] niezależnie d jej bezpśrednieg znaczenia w mechanice stanwiła wstęp d znacznie gólniejszeg zagadnienia z dziedziny magnetsprężystści, dtycząceg samwzbudneg narastania drgań strumienia elektrnów nad dsknałym przewdnikiem sprężystym w pierwtnym plu magnetycznym. Zagadnienie t stanwi temat drębnej publikacji. Jednakże w związku z pracą [1] nasuwa się pdbne zagadnienie, mianwicie zagadnienie statecznści ruchu układu scylatrów pruszających się p belce na pdłżu sprężystym. Rzwiązanie teg zagadnienia stanwi cel niniejszej pracy. Pdbne zagadnienie był rzważane w pracy [2] przy badaniu ruchu masy pruszającej się p belce na pdłżu sprężystym przy działaniu na masę kreswej siły wymuszającej. Rzważn tam również kwestię uresrwania masy jednakże pd kątem drgań wymusznych, nie rzważan natmiast prblemu drgań samwzbudnych. Prblem ruchu masy p belce rzpatrzn w wielu pracach, których nie cytujemy tutaj (pr. np. [3]). Sfrmułwane wyżej zagadnienie psiada liczne bezpśrednie aspekty praktyczne, wspmnimy tutaj chciażby prblem statecznści pjazdów uresrwanych na szynach itp. Prędkści krytyczne ruchu stateczneg są w takich przypadkach dść wyskie, jednakże birąc pd uwagę craz t większe stswane prędkści eksplatacyjne zagadnienie t nabiera craz większej wagi praktycznej. W pracy zastsujemy metdykę rzwiązania pracwaną w [1]. Pza tym graniczymy się gwli przejrzystści wywdów raz trzymania prstych wyników d przypadku najprstszeg, tj. układu liniwych scylatrów bez tłumików, rzłżnych równmiernie raz pruszających się ze stałą prędkścią U. czywiście ugólnienie rezultatów na przypadek scylatrów rzłżnych gęst na dcinku bądź scylatra skupineg, jak również uwzględnienie tłumie-

SYLWESTER KALISKI nia nie przedstawia przy stswanej metdzie rzwiązania żadnych trudnści. Wyniki jakściwe nie ulegają w zasadzie zmianie, pewne sbliwści wprwadza jedynie tłumienie, jeśli siąga pewne wartści krytyczne. Inaczej ma się czywiście sprawa z scylatrami nieliniwymi; tutaj pjawiają się trudnści ddatkwe natury zasadniczej. Niektóre jednak przypadki szczególne zarówn w [1] jak i w rzpatrywanym becnie prblemie mżna rzwiązać; dkładamy je d dalszych prac. W punkcie drugim niniejszej pracy pdajemy równania wyjściwe, w punkcie trzecim knstruujemy rzwiązania trzymanych równań raz dyskutujemy warunki niestatecznści, w punkcie czwartym bliczamy parametry krytyczne i bszary niestatecznści dla różnych przebiegów parametrów wyjściwych zadania, wreszcie w punkcie piątym pdajemy ugólnine sfrmułwanie prblemu na przypadek scylatrów złżnych kilku stpniach swbdy. 2. Równania ruchu Rzważmy belkę na pdłżu sprężystym, p której prusza się gęst równmiernie rzłżny układ scylatrów mechanicznych (rys. 1) masie m raz stałej sprężystej c, dniesinych d jednstki długści belki. Rys. 1 Układ scylatrów prusza się w kierunku x x ze stałą prędkścią U. Rzważymy dwa układy współrzędnych, jeden związany z ruchmym układem scylatrów, drugi z belką (rys. 2). Rys. 2 Niech na belkę działa ruchme kreswe ciśnienie (2.1) p i (x u t)=ptfl»'<*-<»t>,

STATECZNŚĆ RUCHU UKŁADU SCYLATRÓW analgicznie na układ scylatrów (2.2) p % {x, t) = p e^ ta. - v... Ciśnienie działające na układ scylatrów działa na sprężyny w płaszczyźnie kntaktu z belką (rys. 1). Równanie ruchu belki przyjmie w związku z tym pstać scylatrów (2.3) El^'+g^ + by^p^t), gdzie El znacza sztywnść belki, Q masę belki na jednstkę długści, b stalą sprężystą pdłża na jednstkę długści belki. Równania ruchu układu scylatrów mają pstać (2.4) my, + c [y 2 - y iq ) = 0, gdzie y w J est przemieszczeniem punktu styku scylatra z belką. Funkcje y 2 raz 3»2 zależą d x 2 i t. Przy drganiach kreswych y 2 wyrazi się czywiście przez y z0 za pmcą warunku brzegweg (2.5) c(y 2 y w ) = -p 2 (x^, t). Jeżeli ba układy współrzędnych, tj. dla belki i scylatrów są związane ze sbą, wtedy muszą ddatkw zachdzić związki zgdnści przemieszczeń r a z y x i y 20 zgdnści ciśnień p t, p 2 : (2.6) p! =p 2, y 1 = y aa. Warunki (2.6) są już zapisane w jednlitym układzie współrzędnych (związanym z belką). Związki pmiędzy bu układami współrzędnych (rys. 2) są następujące: (2.7) Xl+ x,=ut, y gdzie U jest prędkścią przemieszczania się układu scylatrów p belce. Przytczne wyżej ba układy równań raz związki (2.6) i (2.7) kreślają w pełni nasz prblem. Będziemy pszukiwali takich bszarów zmiany U, przy których rzwiązania zagadnienia w pstaci fal bieżących przestaną być stateczne, tj. przy których amplitudy drgań będą narastać w czasie. Przejdźmy becnie d dyskusji rzwiązań pwyższych równań raz warunku niestatecznści drgań. 3. Rzwiązanie równań i warunki niestatecznści drgań Rzwiązań równań (2.3) i (2.4) pszukiwać będziemy w pstaci: (3.1) y 1 sa^eftft-uit), jy 30 = _B e i*i(*«-»i0 j y t = Ce'*«C*»-»i), Pdstawiając (3.1) d układu równań (2.3) i (2.4) znajdujemy (2.1) i (2.2) raz (2.5) wykrzystując

SYLWESTER KALISKI (3-2) A ~ Ełki - e*f»! + b ~ qią (R - j) gdzie raz - a ZS- L = * a a 2/2 c m gdzie al = Rzwiązania niestateczne, a więc drgania samwzbudne, wystąpią wtedy, gdy (3.5) Im(kiVi) >0. Dla trzymania równania charakterystyczneg, z któreg wyznaczymy parametry krytyczne U, zwiążemy ba układy rzwiązań (3.2), (3.3) i (3.4) z warunkami (2.6) i (2.7). Mianwicie z pierwszeg z warunków (2.6) przy wykrzystaniu również pierwszeg z warunków (2.7) znajdujemy w jednlitym układzie współrzędnych (3.6) *i+*«=0, skąd przyjmiemy (3.7) k 1 =k, & 2 =-& raz (3.8) Vl + v z =U. Następnie na pdstawie drugieg z warunków (2.6) raz (2.7) trzymamy p wykrzystaniu (3.7) raz pierwszeg z warunków (2.6) =J_4z^, 9) 1 (3 1 ' gk*(r-vl) mw a\vl lub (3.10) w! = = j R _ I ^ rj ag - vi gdzie rj =Q\m. Układ równań (3.8) i (3.10) stanwi stateczny układ równań charakterystycznych względem v 1,v i, z któreg bliczyć mżemy U kr raz bszary niestatecznści. Wprwadzając znaczenia ( 3 n ) * V *

STATECZNŚĆ RUCHU UKŁADU SCYLATRÓW mżemy układy (3.8) i (3.10) sprwadzić d pstaci następującej: (3.12) v l + v.-v t ą-1- * """ t 2 Układ (3.12) mżna eliminując np. v x sprwadzić d równania zależneg d parametru U, mianwicie względem (3.13) Ze względu na fakt, że dyskusja równania (3.13) jest bardz uciążliwa, będziemy w dalszym ciągu psługiwali się równaniami (3.12) raz stswali numeryczną metdę rzwiązania. Aby rzstrzygnąć prblem drgań samwzbudnych układu scylatrów, należałby rzwiązać układ równań (3.12) bądź równanie (3.13) i znaleźć takie zakresy zmiany U, przy których trzymalibyśmy dla v X) v z rzwiązania zesplne czyniąc zadść warunkm (3.5). Pnieważ jednakże rzwiązanie równania (3.13) w pstaci jawnej, aczklwiek teretycznie mżliwe, naptyka praktycznie na znaczne trudnści rachunkwe, pstąpimy inaczej. Mianwicie pnieważ wspólny bszar istnienia mżliwych rzeczywistych rzwiązań» x, v % drugieg z równań (3.12) nie jest graniczny, zatem kreśląc w płaszczyźnie v x, v 2 krzywe przedstawiające drugie z równań (3.12), będziemy szukali przecięć tych krzywych z prstą v % = U v x. Rys. 3 Jeżeli przy danym U będą istniały pierwiastki rzeczywiste, t będą ne dpwiadały drganim statecznym. Jeżeli zaś pcząwszy d pewneg U = U kr pierwiastki rzeczywiste w,- przestaną istnieć, wtedy rzpcznie się bszar niestatecznści bszar drgań samwzbudnych układu scylatrów (rys. 3) 1. Fakt ten mżna uzasadnić bezpśredni stsując rachunek zaburzeń. D- 1 bszar niestatecznści dla U nazywać będziemy w dalszym ciągu zredukwanym bszarem niestatecznści, zaś bszar dla sameg U bezpśredni bszarem niestatecznści.

SYLWESTER KALISKI wdu teg nie przytczymy tutaj, gdyż zstał n przedstawiny w pracy [1], spsób zaś pstępwania w naszym przypadku będzie identyczny. Gdy U wzrastając siągnie pnwnie wartści, przy których pjawiają się pierwiastki rzeczywiste, t będzie t górna granica U przedziału (bszaru) niestatecznści drgań. bszar badania rzwiązań we współrzędnych v lf v z mżna graniczyć dla v x d pierwszej ćwiartki płaszczyzny zesplnej, zaś dla v 2 d czwartej. Z pierwszeg z równań (3.12) wynika, że rzwiązania dla Vi muszą mieć pstać (3.14) v x =r 1 +ie, v 2 r 2 ie. Pza tym z drugieg z równań (3.12) wynika, że wielkści (3.15) v x r x 4-t'e, v 2 = r t te jak również (3.16) v x =r x ie, v 2 czynią zadść układwi równań (3.12), przy czym dla (3.15) należy zamiast U przyjmwać U. Stąd więc wynika pprawnść przyjęteg uprszczenia i w dalszym ciągu będziemy badali układ dla pstaci rzwiązań (3.14) przy r x, r 2 >0 raz e > 0, tzn. stsując pisaną wyżej metdę kreślania ^Atr pprzez pszukiwanie krzywej v x =/(») dla rzeczywistych~v y, ~v 2 i punktów przecięcia z prstą v 2 = U v x. graniczymy się d ddatnich x, v 2, tj. d pierwszej ćwiartki w płaszczyźnie zmiennych rzeczywistych v x, v 2. Przejdziemy becnie d kreślenia liczbweg krytycznych prędkści raz bszarów niestatecznści rzwiązań dla różnych zakresów zmiany parametrów naszeg układu, c wyczerpie mżliwe praktyczne warianty rzwiązań prblemu. 4. Parametry krytyczne bszary niestatecznści W celu liczbweg wyznaczenia prędkści krytycznych raz bszarów niestatecznści przy różnych parametrach zadania przeprwadzimy tabelaryzację równania (3.12) (drugieg) dla różnych a 2, k raz r\, c pzwli wyznaczyć numerycznie przebieg krzywych v x =/(w 2 ), gdzie / 2 (w 2 ) jest prawą strną drugieg z równań (3.12). Przy sprządzaniu tabeli stswan dkładnść mżliwą d trzymania na suwaku. Dane pwyższe zestawine zstały w tablicy 1. Zgdnie z dyskusją, przeprwadzną w pprzednim punkcie, drgania układu scylatrów są niestateczne w bszarze, w którym układ równań (3.12) nie psiada rzwiązań rzeczywistych. Granice teg bszaru wyznaczamy badając układjrównań (3.12) dla zmiennych rzeczywistych v lt v 2 i pszukując takich U = U kt, przy których prsta w a = U v l jest styczną d krzywej v x =f(v%). Zauważmy jeszcze, że p wyznaczeniu na pdstawie układu równań (3.12) [/ kr, sam C/ kr bliczamy ze stsunku (3.11), pamiętając że JR zależy również d k,

cś II r-h CS II II H II 1 ta r-h T-. *-* II 5s W II H 1 T-H II "a es T-H c T 1 00 II *-* -H 11 ' II II a; er TH T II R- 0011 > < CN 0,8 N C N N r-t,20 N N c n N 0,9 CS r/1 N vd 0,9 N N c C 00 m 00 in 00 U") g tn 0,9 r 0,9 c C 125 in «* 0,4 + 00 N N 0,9 CS CS c c N c N C N 0,8 N 116 N in CS in CN C m CS HN N 114 ir, c C c N N N N T-H N T-H a 8 es 8 C 8 M 1 *-< CS T-H LT) T-H iri CS N c c T-H 1,0 T-H CS c -* ft rs T-H CS 1,1 CS CS m c m y 8 T-H T-H T-H T-H T-H T-H cs TH CS T-t N ( 1 T-H *-H CS CS m u-. cs I T-l 8 i r- T-H T-H c r-> T-H T-H 1,0 T-H T-H T-H CM T-ł 8

10 SYLWESTER KALISKI tzn. d długści fali. gólna pstać wykresów lewej i prawej strny drugieg z równań (3.12) pdana jest na rys. 4. a 1721 rk b I r V2 Rys. 4 Przebieg krzywych v 1 /j,^) raz wartści t/ kr dla kilku wybranych układów parametrów a 2, k i r\ z tablicy 1 przedstawiny jest na rys. 5. Jeżeli pwtórzyć knstrukcję wyznaczania U kr przedstawiną na rys. 5 dla zagęszcznych wartści parametrów k, przy ustalnym r\ raz danych c, El, b, 3,5 ĄD 1 - tj-10,0; a z =1,0; R"!0 a 2- r/-1ft; a z =1,0; R~10 e 3- i'1,0; k z -t0' 4 ; a 2-0,1; R-10 3 2 ^ ; a 2 =5; R=2-10 s 1,0 2,0 3J3 4,0 5,0 S Rys. 5

STATECZNŚĆ RUCHU UKŁADU SCYLATRÓW 11 wtedy mżna zbudwać wykres zależnści dlnej (f/ kr ) i górnej granicy zredukwaneg bszaru niestatecznści d k. Wykres taki w skali lgarytmicznej przedstawiny zstał na rys. 6, przy czym przyjęt różną skalę pinwą dla dlnej 1,0 Rys. 6 tg * 2 //0~ 7 i górnej granicy zredukwaneg bszaru niestatecznści. Pza tym przyjęt pewne k 2 charakterystyczne, mianwicie k 2 = 10~ 7 jak wielkść dniesienia. Wielkść ta zstała przyjęta dwlnie, tak aby dpwiadała pewnym typwym danym praktycznym. Rys. 7 Wykres na rys. 6 sprządzn dla ustalneg r\, mianwicie r] 0 = 1. Aby mieć pełny braz przebiegu zjawiska na rys. 7, sprządzn wykresy przebiegu bu granic zredukwaneg bszaru niestatecznści w funkcji rj (w skali lgarytmicznej) przy ustalnych c, El, b i k lub inaczej przy ustalnych wartściach a 2 i R. Budując wykresy przy danych parametrach a 2 i R nie trzeba specyfikwać wzajemnych związków pmiędzy c, El, b i k. Jednakże dla wyznaczenia przebiegu U VT jak funkcji k (rys. 6) trzeba był przyjąć ustalne wartści

12 SYLWESTER KALISKI c, El, b. Wykresów ddzielnych dla różnych wzajemnych stsunków c, El, b nie przytaczamy, mieszczą się ne w tablicy 1 przy uzależnianiu v x,v 2 według parametrów a 2 raz R. Z rysunku 7 wynika, że przy rsnącym r\ (przy ustalnych pewnych wartściach pzstałych parametrów) dlna i górna granica zredukwaneg bszaru niestatecznści zbiegają się, tzn. bszar niestatecznści maleje d zera, przy malejącym natmiast r) na dwrót rśnie d nieskńcznści. Nie mawialiśmy rys. 6, gdyż przedstawia n U kc dlne i górne w zależnści d k, nie zaś sam / kr. Krzystając ze związku (3.11) sprządzn na rys. 8 wykres przebiegu U kt dlne i górne jak funkcję k, tj. zmianę, w funkcji k dlnej i górnej granicy bszaru niestatecznści. Wykres sprządzn w parciu wykres i dane z rys. 6. Z rysunku 8 wynika, że przy zmiennych k Rys. 8 lg #vi- 7 i pewnych ustalnych wartściach pzstałych parametrów f7 kr dlne i górne psiadają minima, przy czym ba minima na gół nie pkrywają, się, leżą natmiast blisk siebie. Na pdstawie tablic i wykresów przytcznych w niniejszym punkcie mżna w zasadzie prześledzić przebieg U kr i bszaru niestatecznści w zależnści d zmiany i wzajemneg stsunku wchdzących w rzwiązanie parametrów w zakresach ich praktycznej zmiennści. Z rzwiązań tych wynikają następujące wniski: 1. Przy ustalnych k, El, b, c w zależnści d r\ = m\ą dlna granica bszaru niestatecznści rśnie z r\ d pewnej asymptty, górna zaś rśnie z malejącym r\ pcząwszy d pewnej wartści asympttycznej d nieskńcznści. bszar niedtatecznści maleje przy rsnącym r\ d zera i rśnie przy malejącym d nieskńcznści. 2. Przypadek ruchu sztywnej masy p belce trzymamy przy danych 77, k, El, b, jeżeli przyjąć c ->, tj. a 2 -* 00. Wtedy (4.1)»} 1

STATECZNŚĆ RUCHU UKŁADU SCYLATRÓW 13 i górna granica bszaru niestatecznści dąży d nieskńcznści, dlna zaś zmierza d asymptty zależnej d pzstałych parametrów (pr. tablica 1). Stąd wnisek, że przy przekrczeniu Z7 kr ruch będzie niestateczny dla dlneg U. 3. Przy ustalnych r\, El, b, c górna i dlna granica bszaru niestatecznści psiadają minimum względem k. Minima te są na gół płżne blisk siebie, nie pkrywają się jednak. 5. scylatry kilku stpniach swbdy Na zakńczenie niniejszej pracy rzważmy jeszcze pkrótce przypadek bardziej złżneg układu scylatrów pruszających się p belce, mianwicie układu złżneg z scylatrów kilku stpniach swbdy. Tk gólny rzwiązania pzstaje taki sam jak pprzedni, zmieni się jedynie pstać prawej strny równania (3.9). Na przykład dla scylatra dwóch stpniach swbdy (rys. 9) przyjmie na pstać (c x k 2 v\ mi ) (Cj, + c a &v\m % c?) braz jakściwy rzwiązań zachwuje się w tym przypadku pdbnie jak dla układu scylatrów jednym stpniu" swbdy z tym, że becnie djdą pewne sbliwści związane z ddatkwymi częstściami drgań własnych scylatrów. Pza tym przy specjalnie dbranych związkach pmiędzy parametrami zadania wynika szereg specjalnych związków dtyczących wzajemneg stsunku amplitud mas i belki itp. Zagadnienia teg hie będziemy rzważali ddzielnie, pnieważ w tku rzwiązania nie zachdzą żadne isttne zmiany. Rys. 9 T sam dtyczy kwestii tłumienia (tłumiki scylatrów i tłumienie w belce) raz graniczneg układu scylatrów bądź scylatra pjedynczeg. Przy uwzględnieniu tłumienia metda knstrukcji rzwiązania pzstaje niezmienina, natmiast zmianie ulegają wyniki ilściwe. Jakściwe różnice trzymuje się przy pewnych (stsunkw bardz dużych) krytycznych wartściach tłumienia. Aby nie kmplikwać brazu ddatkwymi parametrami, w pracy rzważaliśmy najprstszy układ. Tk rzwiązania, jak stwierdziliśmy, nie ulega zmianie. Rzwiązanie kmplikuje się w spsób isttny i zmienia się metda pstępwania, gdy mamy d czynienia z scylatrami nieliniwymi.

14 SYLWESTER KALISKI Niektóre jednakże przypadki nieliniwych scylatrów pruszających się p belce dają się stsunkw prst rzwiązać. Zagadnienie t będzie tematem sbneg kmunikatu. Literatura cytwana w tekście [1]. S. KALISKI, Self-excited vibratins f an scillatr system mving n the surface f an elastic half-space, Prc. Vibr. Prbl., w druku. [2]. E. F. FJICKKBj A. II. HJlunBj ycmaueueiuuech KAedmun Sa/iKU na ynpyem chbanuu npu dsuice)iuu 3py3a c ncmnuhii expcmbw, Tp. JlaSp. raflpabji. jviaiilhh, AH yccp, B. 10, 1962. [3]. B. M. MytiHHKBj, HcKmpue Membu pacuema ynpyeux cuctnem na KneBauuH npu ndeuichii Haspy3Ke, H3flaT. JIHT, Grp. Apx., McKBa 1953. P e 3 i m e YCTH^HBCTL HBH5KEHHH CHCTEMBI CUHJIJMTPB n BAJIKE HA ynpyrm CHBAHHH I'accMTpena 3a#aqa flbhwcenhh chcrembi jihheiihbix CUHJIJTHTPB n 6ajiKe Ha ynpyrm cubahhh. ni<a3ah, MT B 3TM cjiy^ae cymectbyit 6jiacTH CKpcTeń HBUJKCHHH CHCTeMŁI CIłHJIJIHTpBj npu KTpblX nhbjihitch KJie6aHHH C CaM0B036y>KfleHHeM, CJieflBa- BHHteHHe HeycrTHB. npeaejienw KPHTH^CCKHC ckpcth fljia HHWHeii H BepxHeft QjiaCTH HeyCTHIHBCTH. JXaWbl AHarpaMMbI 3aBHCHMCTH KpHTH^eCKHX CKpCTeS T pa3hłix nepeiviehhbix napaiwetps CHCTeMbi. 6cyjj<fleH pafl npeflejithbix cnyvasb, Hanp. >KecTK0H, Heynpyr nflbeulehnfi Maccti, BectMa SJIBIIIH niaccw H T. n. Summary STABILITY F THE MTIN F A SYSTEM F SCILLATRS MVING N A BEAM N ELASTIC FUNDATIN In the paper the prblem f the mtin f a system f linear scillatrs mving n a beam n elastic fundatin has been cnsidered. It is shwn that fr such a mtin there exist dmains f velcity f the mtin f a system f scillatrs fr which selfvibratins appear, thus the mtin is unstable. The critical velcities are determined fr the upper and lwer bundaries f the unstable dmain. The diagrams f the critical velcities as the functins f different parameters f the system are pltted and several limit cases as, fr example, a mtin f a rigid mass withut springing r a mtin f a very large mass are discussed. ZAKŁAD BADANIA DRGAŃ INSTYTUTU PDSTAWWYCH PRBLEMÓW TECHNIKI PAN Praca zstała złżna w Redakcji dnia 3 października 1963 r.

MECHANIKA TERETYCZNA I STSWANA 1, 2 (1964) PRZEGLĄD PLSKICH PRAC DTYCZĄCYCH ZAGADNIEŃ Z MIESZANYMI WARUNKAMI BRZEGWYMI W TERII SPRĘŻYSTŚCI ZBIGNIEW LE SIAK (WARSZAWA) W niniejszym przeglądzie mówimy pewną klasę zagadnień z mieszanymi warunkami brzegwymi, nazywaną czasem klasą zagadnień nieciągłych warunkach brzegwych. mawiać będziemy więc takie rdzaje mieszanych, warunków brzegwych, przy których punkty nieregularne brzegu (załmy) nie pkrywają się z punktami rzgraniczającymi różne warunki brzegwe. Jednym z licznych przykładów zagadnień, których w tym przeglądzie nie będziemy rzpatrywać, będą płyty prstkątne różnych warunkach brzegwych na pszczególnych bkach brzegu płyty, ale jednakwe na danym bku prstkąta. Rzpatrywać będziemy zagadnienia z mieszanymi warunkami brzegwymi w mechanice ciała stałeg w pdanym pwyżej sensie, publikwane przez autrów plskich w czaspismach krajwych i zagranicznych. Prace te mżna grupwać przyjmując za punkt wyjścia różne kryteria, a więc na przykład według działów mechaniki stswanej jak teria tarcz, płyt, pwłk, klasyczna teria sprężystści, termsprężystść itp. Mżna je również mawiać w prządku chrnlgicznym ich pwstawania. W naszym przeglądzie dnśne prace będziemy rzpatrywać według zastswanych metd matematycznych. Wymieńmy główne metdy, którymi psługiwali się autrzy prac, a więc: 1) sprwadzenie zagadnienia d równań całkwych pierwszeg rdzaju i następnie przybliżne lub ścisłe (w pewnych prstszych przypadkach) ich rzwiązanie; 2) sprwadzenie zagadnienia d równań całkwych drugieg rdzaju; 3) zastswanie metdy równań całkwych singularnych; 4) zastswanie całek Furiera lub Hankela lub metdy transfrmacji całkwych z następującym rzwiązaniem układu dualnych równań całkwych lub wyznaczeniem współczynników w układzie dualnych szeregów; 5) zastswanie metdy Wienera-Hpfa. Pracą, która w Plsce zapczątkwała badania nad zagadnieniami mieszanych warunkach brzegwych, był artykuł W. NWACKIEG [1]. Zastswana metda sprwadzała zagadnienia płyty z mieszanymi warunkami brzegwymi d równania całkweg pierwszeg rdzaju lub układu równań całkwych pierwszeg rdzaju w zależnści d teg, ile jest dcinków różnych warunkach brzegwych. Autr wymieninej pracy zajmuje się więc, w danym

16 ZBIGNIEW LESIAK knkretnym przypadku, rzwiązaniem równania biharmniczneg z następującymi warunkami brzegwymi: (1.1) dw w = 0, = 0 na części brzegu płyty, w = 0, V 2 w> =0 na pzstałej części brzegu płyty. Pwyższe warunki brzegwe dpwiadają płycie na części brzegu swbdnie pdpartej, a na pzstałej utwierdznej zupełnie. Na wstępie rzważań zstał przyjęty tak zwany «układ pdstawwy», jakim jest płyta na całym bwdzie swbdnie pdparta. Dbór takieg, a nie inneg układu pdstawweg jest uwarunkwany znajmścią prsteg rzwiązania zagadnienia dla płyty swbdnie pdpartej. Krzystając z zasady superpzycji ugięcie płyty mżna przedstawić jak sumę ugięcia d działająceg bciążenia w p dla układu pdstawweg raz ugięcia d mmentów utwierdzenia. znacza t, że wymagana jest znajmść funkcji Greena, w tym przypadku ugięcia płyty spwdwaneg działaniem skupineg mmentu jednstkweg na brzegu płyty układu pdstawweg. trzymujemy następujące wyrażenie na ugięcie płyty: (1.2) w(x,y) =! ; x,y)d, gdzie z x jest funkcją Greena d mmentu jednstkweg, a M(x) mmentem na utwierdznej części brzegu płyty. Nieznany rzkład mmentu utwierdzenia zstanie wyznaczny z warunku, że kąt ugięcia na utwierdznej części brzegu jest równy zeru, czyli z następująceg równania całkweg pierwszeg rdzaju: (1.3) f dn d, dn W innych przypadkach mieszanych warunków brzegwych, w szczególnści dla pdpór liniwych wewnątrz bszaru płyty, równanie psiada tę samą p- Rys. 1 stać. Na gół pwyższe równania całkwe rzwiązuje się w spsób przybliżny sprwadzając je d układu liniwych równań algebraicznych. W pracy [1] przykład i dyskusję rzwiązania pdan dla półpasma płytweg, w którym część krótszeg brzegu jest utwierdzna zupełnie.

MIESZANE WARUNKI BRZEGWE 17 Metdę tę W. NWACKI i inni autrzy rzszerzyli na szereg innych przypadków. Rzszerzenie t pszł w trzech kierunkach: pierwszy dtyczy innych kształtów płyt, drugi uwzględnia drgania i wybczenie, wreszcie trzeci przensi metdę na inne zagadnienia, mianwicie na terię pwłk, tarcz i klasyczne zagadnienia terii sprężystści. Wymienimy prace W.NWACKIEG [2,3] dtyczące płyt prstkątnych i płyt kształtach, które mżna złżyć z prstkątów. Rzpatrzn tu między innymi przypadek płyty na części brzegu swbdnej, a na części swbdnie pdpartej. Prste przykłady mieszanych warunków brzegwych w przypadku działania temperatury rzpatruje Z. THRUN [4], Zagadnienia dynamiczne i utraty statecznści dla płyty prstkątnej zstały rzpatrzne w pracach [5 i 6], a dla płyty kłwej w pracach [7 i 8]. Zagadnieniami drgań i statecznści płyt pdpartych w przęśle i nieciągłych warunkach brzegwych zajmuje się S. KALISKI W pracach [11 i 12]. Z innych prac wymienimy [13 i 14], w których rzpatrzn pdpry liniwe w bszarze płyty kłwej raz pracę [15], w której zagadnienie zstał rzszerzne na przypadek mieszanych warunków brzegwych w pwłce walcwej. Rzszerzenie metdy równań całkwych pierwszeg rdzaju na mieszane zagadnienia brzegwe terii sprężystści ma miejsce w pracach W. NWACKIEG [9 i 10], Przez zastswanie teg sameg tku rzumwania c pprzedni d płyt ze sprężystym utwierdzeniem i pdparciem raz płyt spczywających na sprężystym pdłżu winklerwskim W. NWACKI i S. KALISKI [16 i 17] uzyskali nwe rzszerzenie samej metdy. Tym razem zagadnienie zstał sprwadzne d równania całkweg drugieg rdzaju lub układu tych równań. Referat na ten temat zstał wygłszny na IX Kngresie Mechaniki Stswanej (Bruksela, 1956). Przypuśćmy dla przykładu, że tak jak pprzedni mamy d czynienia z płytą prstkątną, swbdnie pdpartą jak układem pdstawwym. Załóżmy becnie, że na dcinku -c płyta jest sprężyście utwierdzna (lecz sztywnie pdparta); mżemy wtedy przyjąć, że kąt nachylenia stycznej d pwierzchni na zamcwanym dcinku jest prprcjnalny d mmentów utwierdzenia. trzymujemy więc z teg warunku następujące równanie całkwe drugieg rdzaju (1.4) ^ = - skąd zstanie wyznaczny nieznany rzkład mmentów sprężysteg utwierdzenia. A. KACNER, wykrzystując pwyższy spsób sprwadzenia zagadnienia d równań całkwych drugieg rdzaju, uzyskał rzwiązanie zamknięte dla półpasma płytweg w pewnym szczególnym przypadku nieciągłści warunków pdparcia i ustalił sbliwści pszukiwanej funkcji mmentu brzegweg. trzymał n rzwiązanie przechdząc d granicy z wartścią współczynnika pdatliwści [18, 19, 20]. W pracy [21] rzwiązując dpwiednie równanie 2 Mechanika teretyczna

18 ZBIGNIEW LESIAK całkwe A. KACNER pdał spsób eliminwania wpływu sbliwści jądra na dkładnść wyniku. Prace [22, 23 i 24] teg autra parte są na kncepcji dwóch układów pdstawwych, z których uzyskuje się dwie grupy sprzężnych związków zawierających wszystkie nieznane wielkści brzegwe, zarówn statyczne, jak i gemetryczne. Związki te pzwalają na ustalenie charakteru sbliwści funkcji rzwiązujących i na sprwadzenie zagadnienia d równań całkwych drugieg rdzaju. Sfrmułwanie zagadnienia dla mieszanych warunków brzegwych w terii sprężystści w parciu twierdzenie Bettieg z wykrzystaniem funkcji Greena pdał W. NWACKI w pracy [25]. H. ZRSKI [26-29] przedyskutwał charakter sbliwści pwstających przy różnych kmbinacjach warunków brzegwych dla płyt w kształcie półpłaszczyzny, ćwiartki płaszczyzny i półpasma płytweg, uwzględniając również płyty aniztrpwe [28]. Spsób rzwiązania zagadnień jest następujący: autr wprwadza dwa ptencjały biharmniczne, za pmcą których mżna wyrazić ugięcie i kąt nachylenia stycznej d pwierzchni ugięcia płyty: (1.5) gdzie j^w(x,0), f(x) = w(x, 0). W pdbny spsób wprwadzn dwa ptencjały w przypadku, gdy na brzegu znane jest ugięcie i laplasjan ugięcia: (1.6) gdzie H(x) =V 2 T(X, 0). P zbadaniu wartści brzegwych wprwadznych ptencjałów i ich pchdnych znalezine zstały dpwiednie wyrażenia na wielkści statyczne. W parciu trzymane wzry na dcinku, na którym dane jest ugięcie i jeg laplasjan, dbran w ten spsób kąt ugięcia, aby był spełniny warunek na laplasjan ugięcia. W wyniku trzyman równanie całkwe silnie sbliwe pierwszeg rdzaju z jądrem Cauchy'eg: Pnieważ jądr zawiera jedynie część charakterystyczną, równanie rzwiązuje się w pstaci całek kreślnych. W pdbny spsób H. ZRSKI trzymał rz-

MIESZANE WARUNKI BRZEGWE ]9 wiązanie dla brzegu na części utwierdzneg, a na pzstałej części swbdneg. trzymane wyniki pzwliły na wyjaśnienie szeregu kwestii związanych z występującymi sbliwściami. Przytczn szereg zamkniętych wyrażeń na wielkści statyczne i gemetryczne. W przypadku ćwierćplaszczyzny rzpatrzn zagadnienia, gdy jeden brzeg jest swbdnie pdparty, a drugi pdparty w spsób nieciągły. Wyniki pzwalają również na wyjaśnienie sbliwści w rgu płyty. Metdę równań całkwych singularnych wykrzystan jeszcze w pracy W. PIECHCKIEG i H. ZRSKIEG dtyczącej termsprężysteg zagadnienia klina [33]. W. NWACKI [31] wykrzystując własnści całek Hankela i przedstawiając rzkład temperatury w pstaci takiej całki rzwiązał zagadnienie termsprężystści dla półprzestrzeni, w której na płaszczyźnie graniczającej temperatura T = T dla r < a, natmiast jej gradient dt\dz 0 dla r > a. Metda transfrmacji całkwych zstała zastswana w wielu pracach. Sprwadzenie zagadnienie brzegweg d rzwiązywania dualnych równań całkwych zastswan w kilku przypadkach zagadnień z mieszanymi warunkami brzegwymi; i tak zagadnienie termsprężystści dla szczeliny siw-symetrycznej w przestrzeni termsprężystej rzwiązan w pracy [35]. Na pwierzchni szczeliny dana była temperatura alb jej gradient. Układ dualnych równań całkwych trzymujemy w spsób następujący. Przypuśćmy, że rzpatrujemy przypadek półprzestrzeni sprężystej grzanej na pwierzchni graniczającej na kle r < 1 i izlwanej dla r > 1. Rzwiązanie zagadnienia stacjnarneg sprwadza się d rzwiązania równania Laplace'a z warunkami brzegwymi P wyknaniu transfrmacji Hankela zerweg rzędu na równaniu Laplace'a trzymamy równanie różniczkwe zwyczajne któreg rzwiązaniem jest P wstawieniu pwyższeg wyrażenia jak funkcji pdcałkwej d wzru na transfrmację dwrtną i wykrzystaniu warunków brzegwych trzymamy następujące równania, zwane dualnymi równaniami całkwymi, z których wyznacza się nieznaną funkcję (1.8) J SA(S)y {rs)ds = C iy (r) t r<\,

20 ZBIGNIEW LESIAK Pnieważ rzwiązanie teg typu równań jest znane, wystarczy becnie, przynajmniej z punktu "widzenia frmalneg, wstawić bliczne A(C) d wzru na T(, z) i wyknać transfrmację dwrtną trzymując rzkład temperatury. Pdbny tk pstępwania ma miejsce w innych przypadkach. Przykładem wykrzystania tej metdy jest zastswanie jej d zagadnień płytwych [34] raz siw-symetryczneg zagadnienia w terii sprężystści [36]. Prace Z. R- ŁSIA [37 i 38] również traktują zagadnieniu szczeliny i naprężeniach w jej pbliżu. R. SŁECKI [39] trzymał rzwiązanie dla iztrpwych płyt prstkątnych ze szczeliną równległą d jedneg z brzegów płyty. W pracy tej rzpatrzn drgania i zginanie płyty i pdan przykłady raz dpwiednie wykresy. W ciągu statnich trzech lat rzwiązan szereg zagadnień dtyczących nieciągłych warunków brzegwych przez sprwadzenie ich d równania całkweg typu Wienera-Hpfa, które następnie rzwiązuje się w spsób przybliżny. Wyknanie transfrmacji Furiera na równaniu różniczkwym cząstkwym sprwadza je na gół d następująceg prblemu. Należy znaleźć nieznane funkcje &+(a) i l P-() związane równaniem funkcjnalnym (1.9) A (a) cp + (a) + B(a) W_(a) + C(a) =0, które jest spełnine w paśmie T_ < x < r +, c < a < płaszczyzny zesplnej a a-\-ir (parametr transfrmacji). Przy tym <P+( a ) pwinna być regularna w półpłaszczyźnie r >T_,a!F_(a)w półpłaszczyźnie T<T + ; funkcje A{a), B(a) i C(a) są znanymi funkcjami a regularnymi w rzpatrywanym paśmie. Pdstawwe przyjęcie przy rzwiązywaniu pwyższeg równania, będąceg przypadkiem szczególnym zagadnienia Riemanna-Hilberta, plega na tak zwanej faktryzacji, t znaczy znalezieniu funkcji K + (a) regularnej i nie psiadającej punktów zerwych w półpłaszczyźnie x > r_ raz funkcji K_(a) regularnej i nie psiadającej zer w półpłaszczyźnie T< r + i spełniających związek: A(ą)_ K + (a) B(a) K_{a) W prstszych przypadkach funkcje K + (a) i K_(a) udaje się dgadnąć. Istnieją również inne metdy ich wyznaczania. W wielu zagadnieniach mżna psłużyć się spsbem przybliżnym plegającym na zastąpieniu funkcjik + (a) i K_(d) prstszymi spełniającymi następujące wymagania: 1) nwe funkcje K + (a) i K_(a) nie różnią się znacznie d K + (a) i K^(a) wzdłuż linii, względem których dknujemy faktryzacji, 2) zachwują się tak sam dla \a\ -> 0 i \a\ ->, 3) są prstsze, jeżeli chdzi rzkład pierwiastków równania K + (a) = 0, K_(a) =0. Stsując pwyższą metdę M. SKŁWSKI [40] pdał rzwiązanie dla nieskńczneg pasma płytweg swbdnie pdparteg na szerkści 26, a na pzstałej części brzegu zamcwaneg sprężyście. Z innych prac wymienimy pracę

MIESZANE WARUNKI BRZEGWE 21 M. SKŁWSKIEG [41]; rzwiązan w niej zagadnienia przewdnictwa cieplneg dla długiej warstwy, której krawędź dlna utrzymywana jest w stałej temperaturze, krawędź górna jest częściw termicznie izlwana, a na pzstałej części wypływ ciepła jest prprcjnalny d temperatury brzegu warstwy. Praca [42] teg sameg autra dtyczy nieciągłeg zagadnienia brzegweg tarczy kształcie klina na części brzegu pdgrzaneg, a na części izlwaneg (zagadnienie przewdnictwa cieplneg). Naprężenia w sztywnie utwierdznej warstwie sprężystej znalezin w pracy [43]. Nieskńczna warstwa sprężysta jest swbdna na części x < 0 i jest ściskana dsknale sztywnymi blkami 0 krawędziach strych lub zakrzywinych na części x > 0. Pdbne zagadnienie warstwy sprężystej swbdnej dla x < 0 i ściskanej w ten spsób, że przemieszczenia u i v są dpwiedni prprcjnalne d naprężeń stycznych 1 nrmalnych rzwiązał M. MATCZYŃSKI [44]; ten sam autr rzwiązał również zagadnienie klina sprężysteg z danymi przemieszczeniami na części brzegu [45]. M. MATCZYŃSKI i M. SKŁWSKI rzwiązali pnadt zagadnienie pasma płytweg na części brzegu sprężyście utwierdzneg, a na części swbdneg [46],, Literatura cytwana w tekście [I] W. NWACKI, Płyty prstkątne mieszanych warunkach brzegwych, Arch. Mech. Sts., 3, 1951, 419. [2] W. NWACKI, Płyty prstkątne mieszanych warunkach brzegwych (II), Arch. Mech. Sts., 5, 1953, 193. [3]. W NWACKI, The prblem f rectangular plates with mixed bundary cnditins, Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 1, 1953, 10. [4] Z. THRUN, Termiczne stany dkształcenia i naprężenia w cienkich płytach, Arch. Mech. Sts. 6, 1954, 555. [5] W. NWACKI, Zagadnienia dynamiki i statecznści płyty prstkątnej mieszanych warunkach brzegwych, Arch. Mech. Sts., 7, 1955, 226. [6] W. NWACKI, Free vibratins and buckling f a rectangular plate with discntinuus bundary cnditins, Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 3, 1955, 159. [7] W. NWACKI, Z. LESIAK, Płyta kłwana bwdzie częściw utwierdzna zupełnie i częściw swbdnie pdparta, Arch. Mech. Sts., 8, 1956, 233. [8] W. NWACKI, Z. LESIAK, Vibratins buckling and bending f a circular plate clamped alng part f its periphery and simply supprted n the remaining part, Biul. Pl. Akad. Nauk., seria IV, 5, 1956, 247. [9] W. NWACKI, pewnych zagadnieniach brzegwych terii sprężystści, Arch. Mech. Sts. 7, 1955, 483. [10] W. NWACKI, n certain bundary prblems f the thery f elasticity, Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 3, 1955, 175. [II] S. KALISKI, Drgania płyt pdpartych v> przęśle i nieciągłych warunkach brzegwych, Biul. WAT, 28, 1954. [12] S. KALISKI, Statecznść płyt pdpartych w przęśle i nieciągłych warunkach brzegwych, Biul. WAT, 35, 1954. [13] Z, LESIAK, A bent circular plate with linear supprts inside the plate regin, Arch. Mech. Sts., 9, 1957, 227.

22 ZBIGNIEW LESIAK [14] Z. LESIAK, Gebgcne Kreisplatte mit linearen Stiitzen innerhalb der Platte, Biul. Pi. Akad. Nauk, seria IV, 5, 1957, 129. [15] Z. LESIAK, Discntinuus bundary cnditins and linear supprts in statical prblems f cylindrical shells, Arch. Mech. Sts., 9, 1957, 549. [16] W. NWACKI, S. KALISKI, Sme prblems f structural analysis f plates with mixed bundary cnditins, Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 4, 19S6, 235. [17] S. KALISKI, W. NWACKI, Sme prblems f structural analysis f plates with mixed bundary cnditins, Arch. Mech. Sts., 8, 1956, 413. [18] A. KACNER, A clsed slutin in the case f a semi-infinite plate strip with discntinuus bundary cnditins (I), Arch. Mech. Sts., 9, 1957, 371. [19] A. KACNER, A clsed slutin in the case f bending f a semi-infinite plate strip with discntinuus bundary cnditins, Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 6, 1958, 7. [20] A. KACNER, A clsed slutin in the case f a semi-infinite plate with discntinuus bundary cnditins (II), Arch. Mech. Sts., 10, 1958, 57. [21] A. KACNEB, Metda Nystrma-Gatissa w zastswaniu d zagadnienia zginania płyt nieciąglych warunkach brzegwych, Arch. Inżyn. Lądów., 4, 1958, 55. [22] A. KACNER, The methd f successive apprximatins applied t bending f plates with discntinuus bundary cnditins, Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 6, 1958, 251. [23] A. KACNER, Metda klejnych przybliżeń w zastswaniu d zginania płyt nieciąglych warunkach brzegwych, Arch. Inżyn. Lądów. 4, 1958, 397. [24] A. KACNER, Bending f semi infinite plate strips with discntinuus bundary cnditins,.arch. Mech. Sts., 12, 1960, 451. [25] W. NWACKI, Frmulatin f bundary prblem f the thery f elasticity with mixed bundary cnditins, Biul. Pl. Akad. Nauk,, seria IV, 10, 1962, 71. [26] H. ZiiSKi, Plates with discntinuus supprts, Arch. Mech. Sts., 10, 1958, 271. 27] H. ZRSKI, A semi-infinite strip with discntinuus bundary cnditins, Arch. Mech. Sts., 10, 1958, 371. [28] H. ZRSKI, Sme cases f bending f anistrpic plates, Arch. Mech. Sts., 11, 1959, 71. [29] H. ZHSKI, Plates with discntinuus supprts (I), Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 6, 1958, 127. [30] H. ZRSKI, Plates with discntinuus supprts (II), Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 6, 1958, 133. [31] W. NWACKI, A three-dimensinal thermelastic prblem with discntinuus bundary cnditins, Arch. Mech. Sts., 9, 1957, 319. [32] W. NWACKI, A bundary prblem f heat cnductin, Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 5, 1957, 205, [33] W. PIECHCKI, H. ZRSKI, Thermelastic prblem fr a zvedge, Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 7, 1959, 555. [34] Z. LESIAK, Sme cases f infinite istrpicplates with mixed bundary cnditins, Arch. Mech. Sts., 12, 1960, 109. [35] Z. LESIAK, I. N. SNEDDN, The distributin f thermal stress in an infinite elastic slid cntaining a penny-shaped crack, Arch. Rat. Mech. Anal., 4, 1960, 238. [36] G. SZETER, siw-symetryczny prblem terii sprężystści z mieszanymi warunkami brzegwymi, Knferencja Zakładu Mechaniki śrdków Ciągłych w Krynicy w r. 1962, Zeszyty Naukwe Plitechniki Krakwskiej, Nr 2, 1946. [37] Z. RŁŚ, Szczelina przykrawędziwa w półplaszczyźnie sprężystej, Arch. Inżyn. Lądów., 6, 1960, 93. [38] Z. RŁŚ, Arbitrary inclined crack intersecting the edge f an elastic semi-plane, Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 10, 1962, 371. [39] R. SŁECKI, Bending and vibratin f an istrpic rectangular plate with a hinged slt, Acta JPlytechnica Scandinavia, 318/1962.

MIESZANE WARUNKI BKZEGWE 23 [40] M. SKŁWSKI, Sme prblems f a plate strip -with discntinuus bundary cnditins, Arch. Mech. Sts., 13, 1961, 239. [41] M. SKŁWSKI, A thermelastic prblem fr a strip with discntinuus bundary cnditins, Arch. Mech. Sts., 13, 1961, 337. [42] M. SKŁWSKI, Heat flw in a wedge with discntinuus bundary cnditins, Arch. Mech. Sts., 13, 1961, 433. [43] M. SKŁWSKI, Stresses in a rigidly clamped plate strip, Arch. Mech. Sts., 14,1962, 271. [44] M. MATCZYŃSKI, Plane state f stress in a plate strip with discntinuus bundary cnditins, Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 10, 1962, 261. [45] M. MATCZYŃSKI, Klin sprężysty nieciągłych warunkach brzegwych, Arch. Mech. Sts., 15, (1963), 833. [46] M. MATCZYŃSKI, M. SKŁWSKI, n plynmial slutins f a certain discntinuus bundary value prblem, Biul. Pl. Akad. Nauk, seria IV, 12, 1963 P e 3 r M e B 3 P njilckhx PABT KACAKDIUJCCJI 3AflA^ C TIEPEPŁIBHBIMIi KPAEBŁIMH ycjibjlsmjl B TEPHH YIIPyrCTH JIaercH Sap npn6jiii3htejiłh 50-TH pagt IJJIBCKHX BBTPB. PaSTŁi B craachh c MaxeMaTHiiecKHjviH MeTflaMit, npn IIMIHH KTptix pemenbi REVIEW F THE PLISH PAPERS CNCERNING THE PRBLEMS WITH DISCNTINUUS BUNDARY CNDITINS IN THE THERY F ELASTICITY Abut 50 recent papers by Plish authrs n the abve prblem are discussed. Sme mathematical methds f slutins are presented. ZAKŁAD MECHANIKI ŚRDKÓW CIĄGŁYCH INSTYTUTU PDSTAWWYCH PRBLEMÓW TECHNIKI PAN Praca zstała złżna w Redakcji dnia 19 października 1963 r.

MECHANIKA TERETYCZNA I STSWANA 1, 2 (1964) ZWIĄZKI FIZYCZNE DLA MATERIAŁU SPRĘŻYSTEG Z WIĘZAMI GEMETRYCZN-TERMICZNYMI ZBIGNIEW WESŁWSKI (WARSZAWA) Wiele materiałów zachwujących własnści sprężyste również przy dużych dkształceniach wykazuje bardz nieznaczną ściśliwść dpwiadającą współczynnikwi Pissna bliskiemu 0,5. Są t przede wszystkim, tzw. materiały gumpdbne. Przy ich rzpatrywaniu wyprwadza się zwykle załżenie nieściśliwści, c zresztą znacznie upraszcza bliczenia. Większść rzpatrznych dtychczas zagadnień dtyczy przypadku, gdy prces dkształcenia jest iztermiczny. Przejście d innych prcesów nie nastręcza trudnści, jeśli przyjąć, że rzpatrywany nieściśliwy materiał nie wykazuje rzszerzalnści termicznej. Jest t jednak załżenie dść sztuczne. Jeśli natmiast materiał wykazuje rzszerzalnść termiczną, t związki fizyczne przyjmują inną pstać i zachdzą isttne różnice między prcesem iztermicznym, a prcesem nieiztermicznym. W niniejszej pracy wskażemy na te różnice jak również na pewne wynikające z nich knsekwencje. 1. Gemetria dkształcenia i związki fizyczne znaczmy przez P typwy punkt ciała niedkształcneg B. W prcesie dkształcenia ciał B przechdzi w ciał dkształcne B, a typwy punkt P w punkt P. Temperaturę punktu P raz P znaczymy dpwiedni przez T raz T. Wprwadźmy ustalny kartezjański układ współrzędnych raz współrzędne knwekcyjne 6 {. znaczając przez xi raz yi kartezjańskie współrzędne punktu P raz P mamy nn " _^m. ^m. _ fm tym a K ] gij ~ 3d 1 8d J gij ' ~ 3d' 86*' (1-2) «y--2-(ł</-ł</)» gdzie gtj raz gy znaczają tensry metryczne w B raz B, a e^ jest tensrem, dkształcenia. Symetryczny tensr drugieg rzędu sy ma 3 niezmienniki.

26 ZBIGNIEW WESŁWSKI Dla naszych celów najdgdniejsze jest zdefiniwanie tych niezmienników związkami (1.3) h = Z"grs» h - Srsg ts h, h=gl g- Pierwiastek z niezmiennika 7 3 jest stsunkiem gęstści Q ciała B d gęstści Q ciała B. Stan naprężenia ciała B scharakteryzwany jest tensrem naprężenia x v > (dniesinym d jednstki pwierzchni w ciele dkształcnym J5). Współrzędne siły P działającej na jednstkę pwierzchni nrmalnej n wyrażają się przez tensr T' J wzrem (1.4) F ma-flm. Rzpatrujemy ciał sprężyste dwlnej nieliniwej charakterystyce fizycznej. Stan ciała sprężysteg kreśla siedem niezależnych parametrów stanu. Jak pkazan np. w [1], parametry te mgą być wybrane w spsób w zasadzie dwlny spśród 14 wielkści: sześciu współrzędnych tensra dkształcenia By, sześciu współrzędnych tensra naprężenia r ij, temperatury bezwzględnej T raz dniesinej d jednstki masy ciała entrpii S. D celów niniejszej pracy najdgdniejsze jest przyjęcie za niezależne parametry stanu współrzędnych tensra dkształcenia s^ raz temperatury T. Zgdnie z pierwszą i drugą zasadą termdynamiki mamy tżsamść (pr. np. [1]) gdzie funkcja F(etj, T) jest energią swbdną, dniesiną d jednstki masy rzpatrywaneg ciała. Różniczki de^, dt mżna frmalnie traktwać jak wektry siedmiwymiarwej przestrzeni wektrwej F 7. W przypadku gdy różniczki te są wzajemnie niezależne, z (1.5) wynika u SF 8F r Q ÓEij Cl Związki (1.6) bwiązują w przypadku, gdy każda zmiana wielkści gy raz T jest kinematycznie dpuszczalna. Współrzędne tensra naprężenia r ij raz entrpia S są wtedy jednznacznie 1 kreślne przez współrzędne tensra dkształcenia y i temperaturę T. Tak jednak nie jest, jeśli współrzędne te i temperatura nie są niezależne. Załóżmy, że w rzpatrywanym ciele istnieją więzy gemetryczn-termiczne. W szczególnych przypadkach mgą ne wyrażać warunek nieściśliwści, graniczenie dkształcenia przez struny zanurzne w materiale itp. Przyjmiemy, że więzy te wyrażają się związkami n 7, f K (E lj,t,ri J,S)=Q, =0,l,2,...,M, M<7, 1 Pewnemu stanwi dniesienia, np. stanwi B, przypisujemy entrpię >b' = 0. W ten spsób przechdzimy d perwania tylk przyrstami entrpii.

ZWIĄZKI FIZYCZNE 27 Sześć współrzędnych tensra dkształcenia ey raz temperaturę T traktujemy jak zmienne niezależne, a T' J raz S jak ich funkcje. Związki (1.7) stanwią więc pewne więzy narzucne na ey raz T. T usprawiedliwia nazwę wiązy gemetryczn-termiczne. bliczając różniczkę zupełną (1.7) mamy (1.8) (" " + W~Ts~Ł ^~5~F~T idsij + \-K7fr +-s-7t-t7fr +-^--T7?r dt = 0. W tym przypadku różniczek day, dt nie mżna więc traktwać jak wektry niezależne. Rzwiązaniem (1.5) jest teraz 2 M ^ T = 1 BT ZJ PK PK \8T Związki (1.9) pzwalają wyznaczyć współrzędne tensra naprężenia r u raz entrpię S 1 jak funkcje współrzędnych tensra dkształcenia gy raz temperatury T. kreślne są z dkładnścią d M skalarnych, parametrów p K, które mgą być interpretwane jak mnżniki Lagrange'a. Dla M = 0 związki (1.9) przechdzą w związki dla materiału bez więzów (1.6). W następnych rzdziałach zstaną rzpatrzne pewne przypadki szczególne związków (1.7) i wynikających z nich związków fizycznych (1.9). 2. Przypadek szczególny więzów gemetryczn-termicznych Zajmiemy się tutaj pewnym szczególnym przypadkiem więzów gemetryczntermicznych (1.7). Załżymy mianwicie, że temperatura i dkształcenie są związane związkiem jawnym, a nie za pśrednictwem naprężenia i entrpii. 2 Równanie wektrwe ^ = 0, A- 1, 2,..., n, k przy spełninych N < n niezależnych związkach ma rzwiązanie k gdzie p K są wzajemnie niezależnymi skalarnymi mnżnikami.

28 ZBIGNIEW WESŁWSKI Pdczas gdy więzy (1.7) zależały d prawa fizyczneg, więzy rzpatrywane w niniejszym rzdziale d teg prawa nie zależą. Dla uprszczenia rzważań chwilw załżymy, że knwekcyjny układ współrzędnych 0' pkrywa się w B z układem x t. Zgdnie z (1.1) raz (1.2) jest 8xj U "" 2 / e 2 \ 8x t 8xj Pwstaje pytanie, jaką pstać ma najgólniejszy związek pmiędzy temperaturą a dkształceniem. graniczając się d przypadku, gdy temparatura zależy tylk d dkształcenia (a nie d prędkści dkształcenia, przyśpieszenia itd.), taką najgólniejszą pstacią jest (2.3) T=H(d yi ldxj). Zależnść (2.3) jest naturalnym ugólnieniem wprwadzanych częst więzów gemetrycznych, których, najprstszym przykładem jest równanie nieściśliwści. W szczególnym przypadku więzy (2.3) mgą wyrażać rzszerzalnść bjętściwą zależną tylk d temperatury. Funkcja H mże w spsób isttny zależeć d płżenia ciała B względem układu x t. Tak jest np. w przypadku, gdy ciał B wykazuje aniztrpię. Gradienty dkształcenia zgdnie z (2.2) kreślają całkwicie tensr dkształcenia Bij. Tensr dkształcenia s { j nie kreśla jednak jednznacznie gradientów dkształcenia. Zdawać by się więc mgł, że pstulwana zależnść (2.3) jest gólniejsza d zależnści T = T(ey). Niżej wykażemy, że tak nie jest. Załóżmy, że ciał B dznał pewneg sztywneg brtu kreślneg rtgnalną macierzą ay dkła pczątku układu. W ustalnym pprzedni rtgnalnym kartezjańskim układzie współrzędnych punkt P p brcie ciała J3 ma współrzędne, które znaczymy przez ^t. Zachdzą związki (2.4) y t = fiyj, dy t l8x k = a tj 8yj/dx k, (2.5) a ir a ir =b u. Pdczas sztywneg brtu temperatura punktu P nie ulega zmianie. Jest więc (2.6) H(8 yi l8x k ) =H(a tj 8y J ldx k ). Przedstawimy macierz Syt/dxk jak ilczyn macierzy rtgnalnej qij raz macierzy symetrycznej s,j. Takie przedstawienie jest zawsze mżliwe (pr. np. [3, 4]). Jest więc (2.7) 8y t l8x k = q ir s rk, (2.8) 8yildx k =a ip q pr s rk. Zawsze mżna tak wybrać brót ciała B kreślny rtgnalną macierzą a t j, że a ir q rk = ik. W tym przypadku gradienty dkształcenia dyildxk twrzą macierz symetryczną i jest (2.9) Sy i j8x k =s ik.

ZWIĄZKI FIZYCZNE 29 Przyjmując t płżenie ciała B za płżenie wyjściwe zgdnie z (2.3) raz (2.6) mamy (2.10) T=H{s ik )=H( aij s Jk ). Dla dwlneg materiału temperatura nie jest więc funkcją niesymetrycznej macierzy gradientów dkształcenia 8yil8x kt a funkcją symetrycznej macierzy.v ;j -. Chciaż dalsze rzważania mżna prwadzić w parciu macierz s^, wygdniejsze jest inne pdejście. Z (2.7) wynika mianwicie (2.11) s s A =2s u 8 tk. Kwadrat macierzy Sij jest więc kreślny jednznacznie przez macierz tensra dkształcenia 0 -. kreślne są też jednznacznie kwadraty wartści własnych macierzy s (J - (równe wartścim własnym macierzy s y ). Same wartści własne kreślne są jednak tylk z dkładnścią d znaku. Niejednznacznść ta wynika stąd, że rzkład (2.7) nie jest rzkładem jedynym. Mżna jednak tak dbrać brót ciała JS, aby macierz s y była ddatni kreślna. W tym przypadku wszystkie trzy wartści własne macierzy s^ są ddatnie i sama macierz Sy jest kreślna jednznacznie przez macierz tensra dkształcenia ey. W dalszych rzważaniach będziemy zakładali, że zachdzi ten właśnie przypadek. Zgdnie z pwyższymi uwagami nie zawężając gólnści mżna przyjąć (2.12) T = T(e tj ). Więzy gemetryczn-termiczne (2.12) równważne są więzm pstulwanym w (2.3) dla wszystkich materiałów, w tym również sprężystych aniztrpwych. Bliższe kreślenie pstaci (2.12) mżliwe jest dpier p kreśleniu typu aniztrpii. W dalszych wzrach kreślimy (2.12) dla materiału iztrpweg. graniczamy się teraz d rzpatrywania materiału iztrpweg. Dla takieg materiału brót ciała B względem ustalneg układu Xi nie mże spwdwać zmiany pstaci związku (2.12). Niech ciał B dzna brtu sztywneg kreślneg rtgnalną macierzą dy. Nwe współrzędne punktu P i nwe współrzędne tensra ey wyznaczne z (2.2) mają pstać (2.13) Xt-dyXj, (2.14) Jij =a ip a Jq e m. Zgdnie z przeprwadzną wyżej analizą mamy (2.15) T(a ij )=T(e ij ) > (2.16) T{e i] )=T{d lp & ii s Pi ). Funkcja J"(ey) jest więc skalarwą funkcją macierzy «y, niezmienniczą względem przekształcenia rtgnalneg tej macierzy. Stąd wynika, że T mże być funkcją tylk niezmienników macierzy e^. Skrzystamy teraz z niezmienników dkształcenia I lt 7 a, / 3 kreślnych związkami (1.3). Dla ciała iztrpweg jest więc statecznie (2.17) r

30 ZBIGNIEW WESŁWSKI lub p rzwiązaniu względem I 3 (2.18) Związek (2.18) będziemy interpretwali jak ugólnine praw rzszerzalnści termicznej. W gólnym przypadku praw t kreśla bjętść jak funkcję: temperatury i pierwszych dwóch niezmienników stanu dkształcenia. W szczególnym przypadku q>(i u 7 a > T) = <p(t) wzór (2.18) pisuje rzszerzalnść termiczną niezależną d dkształcenia. Dla prcesu iztermiczneg mamy T = T i niezmiennik / 3 kreślny jest przez czyst gemetryczny związek ]// 3 = <p (/ x, J a, T), który w przypadku ą>{i x, I 2, T) s 1 przechdzi w warunek nieściśliwści. Pnieważ przy T = T, I x = / 2 = 3 mamy J 3 = 1 (ciał 5), musi być (2.19) p(3, 3, f 1 ) =1. Ze względu na swój tensrwy charakter związki (2.12) i (2.17) są prawdziwe w każdym układzie współrzędnych. 3. Przypadki szczegółwe 3.1. Ugólnine praw rzszerzalnści termicznej. Przejdziemy becnie d rzpatrzenia związków fizycznych dla ciała iztrpweg w przypadku, gdy bwiązuje ugólnine praw rzszerzalnści termicznej (2.18). Zgdnie z (1.7) mamy (3.1) /=/ 3 -^(7 1 ) / 2 ; T)=0. W gólnym przypadku ciała sprężysteg iztrpweg energia swbdna F jest funkcją trzech niezmienników stanu dkształcenia I 1,I 2,I a raz temperatury T. W przypadku rzpatrywanym tutaj ze względu na istnienie związku (3.1) mżna, nie zwężając gólnści, przyjąć F = F(I 1, 7 2, T). Zgdnie z (1.9) i (3.1) mamy więc (3.2) gdzie p' jest dwlną funkcją skalarną, pdczas gdy funkcje W ±, W z, ^3, raz b ij kreślne są związkami. p.3, y «łr- FiF?)F 8F 8F y -= 2e S' V v '= 2e ' ~(g"t'-i"i")g - w '^w;

ZWIĄZKI FKYCZNE 31 znaczając p = 2qp'cp mamy statecznie (3.5) *-* + & 3.2. Rzszerzalnść bjętściwa niezależna d dkształcenia. Załóżmy becnie że materiał wykazuje termiczną rzszerzalnść bjętściwą niezależną d dkształcenia (3.6) Związek ten przedstawia jedn równanie więzów. Zapisując je w pstaci takiej jak (3.1) mamy (3.7) Związek (3.7) będziemy traktwać jak szczególny przypadek związku (3.1). Zgdnie z (3.2) jest więc (3.8) T" = W&V + W t W + p' ag v, S = W 0 + 2p'cp ŚjL- znaczając p = W 3 p' mamy statecznie (3.9) rv (3-10) s = W j ^ Przy cp(t) s 1 równanie (3.7) przechdzi w warunek nieściśliwści. W tym przypadku dcp\dt = 0 i entrpia S kreślna jest przez (3.10) jednznacznie. Zaskakujący fakt, że przy dcpjdt # 0 entrpia (ściślej przyrst entrpii) kreślna jest z dkładnścią d pewnej funkcji skalarnej, mżna łatw wyjaśnić w przypadku, gdy d rzpatrywaneg ciała jednstkwej masie przyłżne jest tylk stałe ciśnienie hydrstatyczne q = cnst. Przy wzrście temperatury dt ciał wyknuje pracę zależną d ciśnienia q, dprwadzne ciepł musi więc też d teg ciśnienia zależeć. Stąd wynika, że wzrst entrpii spwdwany wzrstem temperatury zależy d ciśnienia q. Z faktem tym wiąże się bezpśredni kwestia jednznacznści energii wewnętrznej U(I X, / a, 7 3) S) raz energii swbdnej F{I X, 1^,1^, T). bie te funkcje są jednznacznie kreślne przez parametry stanu 7^ / a, I 3 raz S lub też I u I %, I s raz T. Jednak wtedy gdy energia swbdna F nie zależy d funkcji p, t energia wewnętrzna zależy d funkcji p za pśrednictwem entrpii S. Sytuacja pdbna d pisanej zachdzi w rzpatrznym wyżej przypadku, gdy bwiązuje ugólnine praw rzszerzalnści termicznej.

32 ZBIGNIEW WESŁWSKI 4. Inflacja i rzciągnięcie rury walcwej 4.1. Załżenia i związki gólne. Przejdziemy becnie d rzwiązania przykładu. Rura walcwa prmieniu wewnętrznym a, zewnętrznym i i długści /, kreślna dalej jak ciał B, wyknana jest z iztrpweg i jednrdneg materiału sprężysteg. materiale tym zakładamy, że jest nieściśliwy i że wykazuje bjętściwą rzszerzalnść termiczną zależną tylk d temperatury. Rzpatrywana rura dznaje skńczneg rzciągnięcia w kierunku swjej si raz inflacji, tj. zwiększenia prmienia wewnętrzneg i zewnętrzneg. Na skutek teg dkształcenia przechdzi na w rurę wymiarach dpwiedni a, b raz I kreślaną dalej jak ciał B. Wprwadźmy parametry A raz JJ, zdefiniwane równściami (4.1) A =///, p = a\d. W przypadku materiału nieściśliweg (rzpatrznym np. w [2]) parametry X raz JX kreślają całkwicie gemetrię dkształcenia niezależnie d charakteru prcesu B -* B i niezależnie d związków fizycznych. W przypadku materiału wykazująceg rzszerzalnść termiczną parametry te nie kreślają jednznacznie gemetrii dkształcenia. Przy rzpatrywaniu takieg materiału knieczna jest znajmść charakteru prcesu B -> B, rzkładu temperatur itp., jak również znajmść związków fizycznych. W dalszym ciągu pracy przy przejściu d efektywneg rzwiązania kreślać będziemy zarówn charakter prcesu jak i związki fizyczne. W ciele B budujemy walcwy układ współrzędnych 1 = (r, &, z). Współrzędne te uważać będziemy za współrzędne knwekcyjne. Tensr metryczny gy w B jest '1 0 0" (4.2) g tj = r*.0 0 1. Zakładamy, że dkształcenie jest siw-symetryczne i a) przemieszczenie prmieniwe typweg punktu P jest tylk funkcją r, b) przemieszczenie siwe punktu P jest tylk funkcją z. Zgdnie z pwyższymi załżeniami mamy (4.3) x 1 =rqcs#, x a =rq sim?, x 3 = zlx, Q =Q(r), przy czym (4.4) Q(a)=llp, gdzie Q(r) jest pewną na razie niekreślną funkcją zmiennej r. Tensr metryczny g tj w ciele B kreślny jest związkiem (1.1). Krzystając z (4.3) mamy \{Q + rqrf 0 0 (4-5) hj - 0 r>0 2 0 0 0 l/a 2.

ZWIĄZKI FIZYCZNE 33 Tensry metryczne g u raz g i} kreślają stan dkształcenia ciała B. Tensr dkształcenia ey i jeg niezmienniki I x, J a, 7 3 mają pstać 1 (4.6) B,j^~(g,j-g 2 v )= h = g"gr. = (Q + r (4.7) / a - g, s g rs h = & (Q 0 )2) C 0 0 * 0 1--l/A 2. Przejdziemy teraz d ułżenia równania różniczkweg, jakie spełnia funkcja Q(r) raz d wyznaczenia stanu naprężenia w rzpatrywanym walcu. Zgdnie z załżeniem, że materiał wykazuje rzszerzalnść bjętściwą zależną tylk d temperatury T, mamy (4.8) Q/Q =?(T). Trzeci niezmiennik stanu dkształcenia I 3 jest kwadratem stsunku gęstści ciała B d gęstści ciała B. Wykrzystując (4.7) raz (4.8) mamy statecznie (4.9) h - <? (T) = 0 czyli Q(Q + rq r ) <p = A. Dla materiału nieściśliweg ę m 1 i równanie (4.9) jest równaniem różniczkwym zwyczajnym, które łącznie z warunkiem brzegwym (4.4) kreśla całkwicie funkcję Q(r). Również w przypadku, gdy dany jest rzkład temperatury jak funkcja r, czyli T = T(r), związek (4.9) łącznie z (4.4) kreśla całkwicie funkcję Q(r). Jak dalej pkażemy, w gólnym przypadku równanie (4.9) jest tylk jednym z układu równań różniczkwych, w których niewiadmymi są Q{r), T(r) raz ewentualnie inne funkcje zmiennej r. Zgdnie z (3.8), (3.9), (4.2) raz (4.5) jest r" = W x (Q + r r )-* + W,(Q + rq r y* (A» + Q~ (4.10) rv> = W 1 Q-* + W 2 Q-* [A 2 + (Q + rq r )~*] +p, Równania równwagi ciała B, mające pstać (4.11) V,T"=0, gdzie V,- znacza różniczkwanie kwariantne względem 0' w B, ze względu na siwą symetrię rzpatrywaneg zagadnienia sprwadzają się d jedneg równania (4.12) Ł r " + 1 ( T " _ r * ^ = 0, 3 Mechanika teretyczna

34 ZBIGNIEW WESŁWSKI Pdstawiając (4.10) d (4.12) mamy (4.13) Jr + 7 [(Q + ^ 2 - Q~"]{ l i\ + A a y,) =. Przyjmiemy, że zewnętrzna pwierzchnia rzpatrywaneg cylindra r = 6 jest wlna d bciążenia, a pwierzchnia wewnętrzna r a jest bciążna bciążeniem ciągłym q (ciśnieniem hydrstatycznym). Warunki brzegwe sprwadzają się d (4.14) r n \ r. =-q, A-s-. Pdane w tym punkcie związki pzwalają wyznaczyć efektywnie stan dkształcenia i naprężenia, jeżeli tylk kreślny jest termiczny charakter prcesu B -> B. W następnych punktach skncentrujemy uwagę na dwu skrajnie różnych przypadkach. W przypadku pierwszym zachdzi ustalny przepływ ciepła spwdwany różnicą temperatur na pwierzchni r a raz pwierzchni r = b. W przypadku drugim prces B -* B jest prcesem adiabatycznym. 4,2. Ustalny przepływ ciepła. Niech na pwierzchniach r = a raz r=b panują stałe temperatury T a raz T b. P dstatecznie długim czasie wewnątrz rzpatrywaneg ciała ustali się rzkład temperatury kreślny równaniem przewdnictwa (4.15) V r # = {), gdzie R l są współrzędnymi wektra strumienia cieplneg dniesineg d jednstki pwierzchni ciała dkształcneg. Wektr ten, jak pkazan np. w [3], dla ciała iztrpweg mżna przedstawić w następującej pstaci: (4.16) R l = (C x dj+ C,sj4-C,«J«j)V'T, gdzie V J znacza różniczkwanie kntrawariantne w B, a C x, C a raz C 3 są funkcjami trzech niezmienników (1-7) raz trzech niezmienników termiczndkształceniwych (4.17) / 4 = V TV f T, J = ejvtjw, J =eje5v(tvr. Pdstawiając (4.16) d (4.15) trzymujemy statecznie (4.18) V ; [(d3j + C 2 ej + C 3 4eJ)V J T] = 0. Równania (4.9), (4.13) raz (4.18) twrzą układ trzech równań różniczkwych z trzema niewiadmymi funkcjami T(r), Q(r) raz p(r). W celu rzwiązania teg układu najwygdniej jest krzystając z (4.9) wyrazić temperaturę T(r) przez funkcję Q(r), T T(Q(r), r) i trzymany wynik pdstawić d (4.18). trzymuje się w ten spsób równanie różniczkwe zwyczajne z jedną tylk niewiadmą Q(r). P wyznaczeniu z teg równania funkcji Q(r) mżna pdstawiając Q(r) d (4.1.3) wyznaczyć funkcję p(r).

ZWIĄZKI FIZYCZNE 35 Równania różniczkwe (4.9), (4.13) raz (4.18) są na gół nieliniwe. Z teg pwdu rzwiązali mżna na gół pszukiwać tylk na drdze numerycznej. Wskażemy tutaj na prsty przykład, który udaje się rzwiązać analitycznie. Przyjmiemy mianwicie (4.19) <p{t) = exp v(t T), (4.20) C x = cnst, C, = C 3 = 0, gdzie v jest pewną stałą. Załżenie (4.20) równważne jest załżeniu, że rzkładem temperatur rządzi klasyczne równanie ustalneg przepływu ciepła V 2 T =0. Równanie (4.18) zawiera teraz jedną tylk niewiadmą T(r). P przyjęciu, że temperatury na pwierzchni r = a raz r = b są dpwiedni równe T a raz T b, mamy (4.21) T=2alnr+0, T (422} 2a ~ Tb. /?-- r^^-^^g. x In a In In a In Pdstawiając (4.19) raz (4.21) d (4.9) trzymujemy równanie różniczkwe, w którym jedyną niewiadmą jest Q(r): (4.23) Q(Q + rq r )r = I exp v(f-f)). Pstać rzwiązania teg równania zależy d wartści współczynnika u charakteryzująceg termiczne bciążenie rzpatrywaneg cylindra. Istnieją mianwicie trzy różne rzwiązania dpwiadające przypadkm va =0, va =1 raz va^0;l. Dla va ^ 0;l mamy (4.24) 2 = Ar- W + Br~ z, gdzie (4.25) A = 1 va Dla va = 1 jest (4.26) 2 = Ar-" 1 In r -f Br" 2, gdzie (4.Z7) A =21 exp v(t p), B 2A exp v{t p). Dla va = 0, v ^ 0 jest (4.28) g 2 =3 + jbr- 2, gdzie (4.29) 1 = A exp,.(. - T.), S = a 2 -^ - Aexpr (T - T a ) L" J. 3»

36 ZBIGNIEW WESŁWSKI statni przypadek dpwiada równmiernemu grzaniu rury T = T a = T b. Przy T a = T, jak również przy v = 0, dpwiada n rzwiązaniu dla ciała nieściśliweg [2]. Dla każdeg z rzpatrznych wyżej przypadków funkcja (r) jest jednznacznie kreślna. Zgdnie z uwagami zawartymi w pierwszej części punktu gemetria dkształcenia jest więc całkwicie kreślna. Pzstaje jeszcze wyznaczyć funkcję p(r) raz ciśnienie q. Występujące w równaniu (4.13) wielkści X F 1 raz W z jak funkcje niezmienników I lt 7 a raz temperatury T są zgdnie z (4.22) i (4.24) [ewentualnie (4.26) lub (4.27)] znanymi funkcjami zmiennej r. Równanie (4.13) zawiera więc tylk jedną niewiadmą p(r). Na pdstawie związków (4.13) i (4.14) mamy więc r (4.30) p(r) = J \&+ -(Q + rq r )-*] i^ + P W % ) dr - - (Q + rq,)-* Wx + (A 2 + - 2 ) y J, (4.31) q=b statnie dwa związki zamykają rzwiązanie rzpatrywaneg tutaj przykładu. Należy pdkreślić, że związek (3.10) nie był wcale wykrzystany. Stanwi n drębne równanie pzwalające przy pmcy związków (4.21), (4.24) lub (4.26) alb (4.28) raz (4.30) wyznaczyć entrpię S. 4.3. dkształcenie adiabatyczne. W granicznym przypadku, gdy wektr przepływu ciepła dąży d zera, prces B -* B dąży d prcesu adiabatyczneg. Takim prcesem dla rury grubściennej zajmwać się będziemy w niniejszym punkcie. Jeśli materiał jest nieściśliwy, t bliczenia dla prcesu adiabatyczneg przebiegają identycznie jak dla prcesu iztermiczneg. Wystarczy mianwicie przeć rzważania nie na energii swbdnej F F(I 1,I 2,T), a na energii wewnętrznej U = U(I 1, / 2, S). Prwadzi t d identycznych w zasadzie statecznych rezultatów z tym, że w kńcwych wzrach dla prcesu adiabatyczneg występuje U, a dla prcesu iztermiczneg funkcja F. Jak wykażemy niżej, w przypadku materiału wykazująceg rzszerzalnść termiczną bliczenia dla prcesu adiabatyczneg są zasadnicz różne d bliczeń dla prcesu iztermiczneg. Na pdstawie (3.10) mamy mianwicie {4.32) s cnst, 8F (4.33) S = - 8T

ZWIĄZKI FIZYCZNE 37 Funkcja p(r) nie mże więc w tym przypadku być wybrana dwlnie. Pdstawiając (4.32) d równania równwagi (4.13) mamy (4-34) ^ { Równanie (4.33) łącznie z równaniem (4.9) stanwi układ dwu równań różniczkwych z niewiadmymi Q{r) raz T(r). Za pmcą tych funkcyj wyrazić mżna w rzpatrywanym przypadku wszystkie pzstałe funkcje, a więc X F X, W %, df/dt raz df/dt. W celu rzwiązania układu równań (4.9) raz (4.32) najdgdniej jest wyznaczyć ze związku (4.9) temperaturę T(r) w zależnści d funkcji Q(r) raz zmiennej r, czyli T T((r),r). Funkcje } F 1, W^, BFjdT raz d<pjdt mżna teraz przedstawić jak funkcje zmiennej r raz funkcji Q(r). P pdstawieniu tych rezultatów d (4.34) równanie t zawiera tylk jedną nieznaną funkcję mianwicie (r). Łącznie z warunkiem brzegwym (4.4) równanie t kreśla całkwicie funkcję Q(j)> a więc gemetrię dkształcenia. Mając funkcję (r) mżna z klei łatw kreślić zgdnie z (4.9) funkcję ą(r), a więc i T(r), a następnie za p ncą (4.10) tensr r ij. Jak się zdaje, dtychczas nie zaprpnwan żadnej pstaci funkcji F(I 1, I 2, T) dla materiałów sprężystych wykazujących rzszerzalnść termiczną. Uniemżliwia t wyknanie knkretnych bliczeń dla takieg materiału. Literatura cytwana w tekście [1]. H. H. rjibflehejlat, HeKmpue enpcu Mexammu de^pmupyembixcped, McKBa 1955. [2] A. E. GREEN, W. ZERNA, Theretical Elasticity, xfrd 1954. [3] A. E. GREEN, J. E. ADKINS, Large Elastic Defrmatins, xfrd 1960. [4] C. TRUESDELL, R. TPIN, The Classical Field Thery, Flugge's Encyclpedia f Physics. Vl. III/l, Berlin 1960. P e 3 K> M e H3HÊCKHE YPABHEHHH &JIX YllPyrr TEJIA C remetphmeckh-teidiblimh CB&3HMH HeKHiwaeivicTH HBJIHCTCH âcthfcim cnyqaem remetpjreeckh-temibmx cbh3eii T*/j S, T) = 0. B pa6te BtiBefleHti (J)H3niecKHe ypabhehhh fljm ynpyrr matexapakteph3yk>merch TaKHMH cbh3amh (B 6meM cnyqae H B cnysae H30TpnHr Ma- Tepnajia), a 3aTeiw pemeha 3aflaâ KHe^Hiw pacthhceinih H HHipjuman TJicrcrreHHii Tpy6bi H3 MaTepaajia nphbjihwmer CBHCTB TeiuiBii paciimphemcth, PemeHHe flah RJIH H33H- TprtHft fle(ppjviainhj npn CTaL(HHapHM nrke

38 ZBIGNIEW WESŁWSKI Summary CNSTITUTIVE EQUATINS FR ELASTIC MATERIALS WITH THERM-GEMETRIC CNSTRAINTS The incmpressibility cnditin cnstitutes a particular case f therm-gemetric cnstraints f the frm /( jj> T ' J > S, T) 0. In the paper the cnstitutive equatins are established which crrespnd t elastic bdies characterized by such cnstraints (fr bth the general case and the case f istrpic bdies); mrever, the slutins are given t the prblem f finite stretching and inflatin f a thick walled cylinder made f thermally expanding materials. The slutins apply t adiabatic defrmatins and t defrmatins with steady radial heat flw. ZAKŁAD MECHANIKI ŚRDKÓW CIĄGŁYCH INSTYTUTU PDSTAWWYCH PRBLEMÓW TECHNIKI PAN Praca zstała złżna w Redakcji dnia 8 listpada 1963 r.

MECHANIKA. TERETYCZNA I STSWANA 1, 2 (1964) WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ NA PDSTAWIE PMIARÓW TYLK JEDNEJ SKŁADWEJ DKSZTAŁCENIA WJCIECH SZCZEPIKJSKI (WARSZAWA) Dla pełneg wyznaczenia na drdze dświadczalnej rzkładu naprężeń w elementach płaskich dknuje się zwykle pmiaru trzech składwych dkształcenia. Najczęściej stswaną metdą jest naklejanie w szeregu punktów badaneg bszaru tzw. rzetek tensmetrów prwych. Każda z rzetek składa się z trzech tensmetrów różnie skierwanych na płaszczyźnie. W przypadkach bardziej złżnych, gdy w badanym bszarze występują twry lub wprwadzane są skupine siły zewnętrzne, zachdzi kniecznść użycia wielkiej liczby tensmetrów, c znacznie pdnsi kszt badania i przedłuża czas pmiarów. W niniejszej pracy zaprpnwan nwą metdę wyznaczania rzkładu naprężeń na pdstawie pmiarów tylk jednej składwej tensra dkształcenia, na przykład e x. W rzpatrywanym bszarze przyjmujemy prstkątny układ współrzędnych kartezjańskich {x, y). Następnie bieramy dpwiedni gęstą prstkątną siatkę linii x = cnst i y = cnst i w jej węzłwych punktach naklejamy tensmetry prwe skierwane równlegle d si x. Zamiast zwykle stswanych trzech tensmetrów w węzłach siatki mamy zatem tylk jeden. Stan naprężenia w każdym punkcie kreślny jest trzema składwymi naprężenia a x, <y y i T, które muszą spełniać warunki równwagi: <» &+$- &+ -<> Znając z pmiarów wielkść składwej dkształcenia s x, która związana jest z naprężeniami a x i a y zależnścią ( 2 ) «* -fi(<y*~v<ry), gdzie E jest mdułem Yunga, a v współczynnikiem Pissna, mżemy niewiadmą a x wyrazić przez e x i a/. (3) a x =Ee x + va y. Pdstawiając wyrażenie (3) d pierwszeg z równań równwagi trzymujemy liniwy układ dwóch równań różniczkwych cząstkwych z dwiema niewiadmymi funkcjami a y i T: V ; 8x ^ 8y 8x- By ^ 8x

40 WJCIECH SZCZEPIŃSKI Układ ten jest zawsze hiperbliczny, a więc ma dwie rdziny charakterystyk rzeczywistych, kreślnych równaniami i (5) \ v Charakterystyki są więc prstliniwe i twrzą sieć złżną z dwóch rdzin równległych prstych. Kąt ich nachylenia względem si x zależy d wartści współczynnika Pissna v. Dla v=l/3 charakterystyki pierwszej rdziny, kreślnej równaniem (5), twrzą z sią x kąt a = 60, a charakterystyki drugiej rdziny kąt p = 180 -a = 120 (rys. 1). Wzdłuż charakterystyk muszą być spełnine zależnści różniczkwe (6) de, vda y -{-\/v dr = E-~dx, y ex Górna zależnść dnsi się d pierwszej rdziny, a dlna d drugiej rdziny charakterystyk. bliczenie rzkładu naprężeń w knkretnych przypadkach plega na rzwiązywaniu zagadnień brzegwych typu Cauchy'eg lub mieszanych dla równań (6). mówimy tu bardziej szczegółw zagadnienie typu Cauchy'eg. Jeżeli rzpatrywany bszar ma swbdną niebciążną krawędź, t najwygdniej jest rzpczynać bliczenia d tej krawędzi. Załóżmy, że na dcinku AB (rys. 2) niebciążnej krawędzi zmierzn naprężenia za pmcą naklejnych wzdłuż niej tensmetrów. Znane są więc na tym dcinku wartści naprężeń d x,cf y i r. Dla kreślenia tych naprężeń w dwlnym punkcie krawędzi wystarczy czywiście tylk jeden tensmetr, gdyż jedn z naprężeń głównych jest z załżenia równe zeru, a kierunek drugieg naprężenia główneg pkrywa się z kierunkiem krawędzi.

WYZNACZANIE NAPMJŻEŃ Z PMIARÓW JEDNEJ SKŁADWEJ DKSZTAŁCENIA 41 Należy jednak pdkreślić, że dcinek AB, d któreg rzpczynamy rzwiązywanie zagadnienia Cauchy'eg, mże leżeć również wewnątrz badaneg bszaru. W takim przypadku należy w pszczególnych punktach teg dcinka Rys. 2 przyklejać rzetki tensmetrw w celu wyznaczenia wszystkich trzech składwych a x, a y i T. Jeżeli wybrany dcinek AB jest sią symetrii, t wystarczy wzdłuż nieg przyklejać p dwa tensmetry w pszczególnych punktach, gdyż kierunki główne są na nim czywiście znane. W przyjętym układzie współrzędnych prstkątnych xiy prwadzimy z punktu A charakterystykę pierwszej rdziny, a z punktu B charakterystykę drugiej rdziny aż d przecięcia się w punkcie C. Kąty nachylenia charakterystyk są kreślne wartścią współczynnika Pissna v. Następnie rysujemy wewnątrz pla ABC siatkę charakterystyk w taki spsób, aby jej punkty węzłwe stanwiące jeden szereg leżały na wspólnej prstej y = cnst. Wzdłuż trzymanych w ten spsób prstych y = cnst naklejamy w dpwiedni dbranych, dległściach tensmetry, a następnie p bciążeniu mierzymy wielkści dkształcenia s x. Wartści pchdnej de x jdx w punktach węzłwych siatki wyznaczamy przez różniczkwanie wykreślne krzywych e x = e x (x). Znajmść tych pchdnych w plu ABC raz wielkści naprężeń u, i T na linii AB wystarczają d wyznaczenia naprężeń w całym trójkącie ABC przez numeryczne całkwanie równań (6). Przypuśćmy, że w dwóch sąsiednich punktach węzłwych 1 i 2 siatki charakterystyk znamy wielkści naprężeń a yx i x x raz d n i T a. Pdamy teraz spsób wyznaczenia wielkści naprężeń a ym i t M w punkcie węzłwym M sąsiadującym z punktami 1 i 2 (rys. 2). Zastępując w równaniach (6) różniczki przez różnice skńczne trzymujemy układ równań z dwiema niewiadmymi a ym i % Przez e' xl i e' xz znaczn wartści, jakie przyjmuje pchdna 8e x jdx dpwiedni w punktach 1 i 2. W celu uzyskania większej dkładnści należy w równaniach

42 WJCIECH SZCZEPIŃSKI {7) pdstawić zamiast e^ i e' x2i średnie wartści pchdnej ds x \dx dpwiedni pmiędzy punktami 1 i M raz 2 i M. Wartści naprężeń w punkcie M bliczamy rzwiązując układ (7) względem a ym i T M- Składwą naprężenia a xm wyznaczamy ze wzru (3). bliczenia rzpczynamy bierając klejn pary punktów 1 i 2 na dcinku AB. Za. pmcą równań (7) trzymujemy wartści naprężeń w węzłach wewnętrznych siatki, sąsiadujących z linią AB. Twrzą ne punkt wyjścia d bliczenia następnych punktów węzłwych również za pmcą równań (7). W ten spsób mżna trzymać rzwiązanie w całym trójkącie ABC. W celu sprawdzenia dkładnści prpnwanej metdy bliczn przykład dla przypadku płaskieg krążka ściskaneg dwiema siłami wzdłuż średnicy (rys. 3). Ze względu na symetrię rzpatrzn tylk ćwiartkę graniczną d- Rys. 3 datnimi płsiami xi y. Jak pdstawę bliczenia przyjęt teretyczne wartści ^wzdłuż liniijy = cnst trzymane dla wartści y\r wzrastających d 0 d 1 c 0,1. Wzdłuż dcinka AB si symetrii krążka przyjęt teretyczny rzkład naprężenia r Naprężenie styczne r jest na dcinku AB równe zeru. Dane

WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ Z PMIARÓW JEDNEJ SKŁADWEJ DKSZTAŁCENIA 43 te wystarczają d bliczenia naprężeń w całym bszarze granicznym charakterystyką drugiej rdziny BC raz siami symetrii AB i AD. Rachunki przeprwadza się w pdany pwyżej spsób za pmcą równań różnicwych (7). Wartści a ym dla punktów płżnych na si symetrii AD znajdujemy bezpśredni z drugieg z równań (7), gdyż dla punktów tych x M = 0. bliczenia wyknan przyjmując gęstść siatki charakterystyk jak na rys. 3. Dla zwiększenia dkładnści bliczan średnie wartści pchdnej 8s x \dx pmiędzy pszczególnymi węzłami siatki. bliczenia dprwadzn d prstej yjr =0,6. Prównanie trzymanych w ten spsób naprężeń z ich wielkściami teretycznymi wykazuje, że prpnwana metda jest bardz dkładna. Różnice nie przekraczają 3%. P e 3 I M e npeflejlehhe HAnPSDKEHHń HA CHBE 3AMEPA flhfi flec&pmhpbahhr CCTflHHfl KMIIHEHTfcl Mexfl npenejiehun nanpujkchhr CCTJIHHH: na ciibe 3a,wepa TJIŁK KMnneHTLi Teii3pa flecjppmamin, Hanp. e x. chbhan cucteiha ypabheiins Bcerfla rhnep6jin- qeckr Tuna H HMeei ^Ba cemeiictba nphmjijihejihbix xapaktepuctiik, niicaiihwx (5) H (6). HanpjDKCHHH npeflejihitch 113 pemeinih ctbetctbyimefi icpaesii 3aaa i ih xapaktcpncthk. flaetca tracjiehhbih npiimepj nflteep>kaaimii xpulyi TMIICTŁ Summary DETERMINING F STRESSES BASED N MEASURING F NE STRAIN CMPNENT NLY The methd f determining the state f stress is presented when measurements f nly ne strain cmpnent, e.g. x are knwn The fundamental system f equatins(4) is always f a hyperblic type and has tw families f rectilinear characteristics determined by Eqs. (5) and (6). The stresses are fund frm the slutin f the crrespnding bundary value prblem fr characteristics. Gd accuracy f the emplyed methd is cnfirmed by a numerical example. ZAKŁAD MECHANIKI ŚRDKÓW CIĄGŁYCH INSTYTUTU PDSTAWWYCH PRBLEMÓW TECHNIKI PAN Praca zstała złżna w Redakcji dnia 17 sierpnia 1963 r.

MECHANIKA TERETYCZNA I STSWANA 1, 2 (1964) DRAŹNE BADANIA WŁASNŚCI MECHANICZNYCH I ELASTPTYCZNYCH MATERIAŁÓW UŻYWANYCH W ELASTPTYCE R. S. DRSZKIEWICZ (WARSZAWA), A. LITEWKA (PZNAŃ) 1. Uwagi wstępne Przebieg pierwszeg krajweg Sympzjum na temat «Elastptyka i jej zastswania», zrganizwaneg w 1962 r. przez ddział Warszawski Plskieg Twarzystwa Mechaniki Teretycznej i Stswanej, uwypuklił dużą przydatnść metd elastptyki d rzwiązywania różnrdnych zadań techniki. Wygłszne referaty, dyskusja i przyjęte wniski wykazały między innymi, że: 1. Istnieją liczne przypadki techniczne, w których metdy analizy dświadczalnej naprężeń, w szczególnści metdy elastptyki, dają mżnść najeknmiczniejszeg kształtwania i szybkieg wyznaczania stanu naprężenia z wystarczającą dla praktyki dkładnścią. Metdy te mgą kazać się niezastąpine przy kształtwaniu części maszyn raz knstrukcji inżynierskich i cienkściennych (z zakresu budwnictwa wdneg [1] i lądweg [2]), rzwiązywaniu zadań dynamicznych i mechaniki górtwru, zagadnień termsprczystści [3], plastycznści i ciał sypkich, rzpatrywaniu zagadnień knstrukcji zbrjnych, metalurgii i wielu innych dziedzin techniki. 2. Szybkść rzwju elastptyki w kraju graniczna jest z pwdu trudnści w zapatrywaniu się w nwczesne materiały elastptyczne. Przy rzwiązywaniu zagadnień praktycznych metdami elastptycznymi istnieje kniecznść psiadania dstatecznie dkładnej wartści elastptycznej stałej materiałwej K materiału użyteg d badań, przy czym wymagana dkładnść jej wartści uzależnina jest d charakteru i przeznaczenia badań. Dla wyznaczenia współczynnika jakści 1 materiału raz w przypadku prwadzenia badań mdeli niejednrdnych ptrzebna jest również wartść współczynnika sprężystści pdłużnej E. W większści przypadków technicznych nie jest wymagana większa dkładnść wyników statecznych niż 5%, mżemy więc zadwlić się dpwiedni niską dkładnścią wartści stałej K i współczynnika E. W praktyce dkładnść rzędu 1-2% jest zupełnie wystarczająca zarówn dla stałej materiałwej jak i dla współczynnika sprężystści E. Literatura z dziedziny elastptyki [4-7] pdaje wiele metd wyznaczania 1 Współczynnikiem jakści materiału elastptyczneg nazywamy stsunek współczynnika E d elastptycznej stałej materiałwej K.

46 RMAN DRSZKIEWICZ, ANDRZEJ LITEWKA stałej materiałwej K. Sprwadzają się ne d wytwrzenia w mdelu nieskmplikwanym kształcie alb jednrdneg stanu naprężenia (ściskanie lub rzciąganie siwe), alb też stanu naprężenia niejednrdneg, ale znaneg z rzwiązań teretycznych (czyste zginanie, tarcza kłwa ściskana wzdłuż średnicy, półpłaszczyzna bciążna siłą skupiną), a następnie d wyliczenia stałej K z zależnści gdzie a r i a 2 znaczają naprężenia główne, g grubść mdelu, n rząd izchrmy dpwiadający danej różnicy naprężeń głównych. Celem badań przeprwadznych w Pracwni Analizy Naprężeń był przyjęcie jednej z tych metd, która umżliwiałaby jednczesne wyznaczanie elastptycznej stałej materiałwej raz współczynnika sprężystści pdłużnej. W związku z tym badania te nie miały charakteru szczegółwej analizy naukwej elastptycznych i mechanicznych własnści materiałów używanych w elastptyce. graniczn się również, na razie, d badań w temperaturze pkjwej. W dalszych etapach będą prwadzne badania mawianych własnści w temperaturze «zamrażania naprężeń* raz badania zjawisk Telgicznych zarówn dla temperatury pkjwej, jak i temperatury «zamrażania naprężeń». W pierwszym etapie przeprwadznych badań zstały wypróbwane dświadczalnie na materiale VP-1527 wszystkie znane z literatury metdy wyznaczania stałej K. Następnie w wyniku analizy uzyskanych rezultatów pmiarów wybran dwie spśród nich, które kazały się najprstsze i najdkładniejsze. Są t metdy psługujące się siwym rzciąganiem raz półpłaszczyzna bciążną siłą skupiną. W dalszym etapie już tylk za pmcą tych dwóch metd wyznaczn własnści pzstałych materiałów elastptycznych, którymi rzprządza Pracwnia, tzn. żywic epksydwych plimeryzwanych w pracwni raz materiałów imprtwanych: BT-61893, CR-3 9 i dekritu. 2. Metda jednczesneg wyznaczania współczynnika sprężystści i elastptycznej stałej materiałwej przez rzciąganie 2.1. Spsób wyknania pmiaru. Stsując tę metdę psługiwan się dwma rdzajami mdeli przedstawinymi na rys. 1, przy czym ze względu na mniejsze wymiary w dalszych badaniach używan tylk mdeli z rys. lb. Mdele wycinan wyłącznie z płyt grubściach fabrycznych zbliżnych d 10 mm. Gtwy mdel bezpśredni p wycięciu mntwany był w układzie bciążjącym plaryskpu w spsób umżliwiający jeg siwe rzciąganie, a następnie d mdelu przymcwywan tensmetry. W przeprwadznych badaniach d pmiaru dkształceń mdelu używan tensmetrów czujnikwych prdukcji WPM-Leipzig najmniejszej działce 0,01 mm. Baza pmiarwa tensmetrów dla mdeli przedstawinych na rys. la i lb wynsiła dpwiedni 8,0 i 4,0 cm.

WŁASNŚCI MATERIAŁÓW UŻYWANYCH W ELASTPTYCE 47 Mdel wraz z tensmetrami zamntwany w uchwytach układu bciążająceg przedstawiny jest na rys. 2. Siłę rzciągającą najlepiej jest zwiększać w spsób ciągły np. śrutem z mżliwścią przerwania jej wzrstu w dwlnym mmencie, c ułatwia liczenie izchrm raz dknywanie dczytów wskazań tensmetrów. Izchrmy najwygdniej jest liczyć d zewnętrzneg narża A (rys. 1) mdelu, ile znajduje \ +T \ Rys. 1 się n w dstatecznie dużej dległści d miejsca zamcwania mdelu. Mżna również dknywać skkweg zwiększania siły rzciągającej, wtedy jednak knieczne jest wyznaczanie ułamkwych rzędów izchrm, gdyż p nałżeniu klejnej partii bciążenia na gół nie trzymamy w części mdelu pddanej jednrdnemu stanwi naprężenia izchrmy rzędu całkwiteg. Mdele bciążane były d wartści naprężenia nie przekraczająceg granicy wytrzymałści materiału. Pmiary wyknywane były w plaryskpie elastptycznym pwierzchniwym źródle światła i średnicy pla widzenia 300 mm. Źródłem żółteg mnchrmatyczneg światła były lampy sdwe mcy 3 X 120 W. Ze względu na prcesy relgiczne, zachdzące w mdelu bciążnym, dczytów wskazań czujników dknywan każdrazw p upływie teg sameg

48 RMAN DRSZKIEWICZ, ANDRZEJ LITEWKA czasu (jednej minuty) d mmentu zwiększenia siły rzciągającej. W ten spsób pszczególne dczyty dknywane były w warunkach zbliżnych. 2.2. Wyniki pmiarów. Jak już wspmnian mdele bciążan d naprężenia nie przekraczająceg wartści dpuszczalnej pdawanej w literaturze, trzymywan więc w wyniku pmiarów wykres bciążenia i dciążenia. prócz wyznaczenia współczynnika sprężystści celem pmiarów był znalezienie przebiegu Rys. 2 wykresów e-cr i kreślenie granicy prprcjnalnści. Niektóre materiały, szczególnie materiały kruche jak CR-39, dekrit, BT-61893, nie mgły być bciążane nawet d dpuszczalnej wartści naprężenia, gdyż częst zupełnie nieczekiwanie pękały przy dść niskiej sile rzciągającej. Pza tym ze względu na brak mżliwści regulacji temperatury pmieszczenia badania nie były wyknywane przy ustalnej temperaturze 20 C. Temperatura więc pmieszczenia wahała się, jednak wahania te zamykały się w granicach d 24,5 d 27,5 C. Na rysunku 3 przedstawin wykresy brazujące zależnść dkształcenia względneg d naprężenia przy bciążeniu i dciążeniu badanych materiałów. Wykresy te mają bardz ciekawy przebieg: tylk pewna część wykresu bciążenia psiada przebieg wyraźnie liniwy, następnie wykres wyraźnie pchyla się, wykres zaś dciążenia jest praktycznie birąc liniwy z tym, że prsta brazująca przebieg dciążenia jest prawie idealnie równległa d prstej brazującej przebieg bciążenia w granicach prprcjnalnści. Na pdstawie tych wykresów wyznaczn wartści współczynników sprężystści raz granicy

Tablica 1 p- L. Material Wartści pdawane w literaturze [4] Wartści uzyskane z własnych badań F "dp ff prp kg/cirr 9 E, \ E ST 1 2 3 4 5 6 7 8 9 VP-1527 BT-61893 Dekrit CR-39 Plexiglas Żywica epksydwa utwardzna na zimn; material krajwy Żywica epksydwa utwardzna na grąc; material krajwy Żywica epksydwa utwardzna na zimn; materiał imprtwany Żywica epksydwa utwardzna na grąc; materiał imprtwany 38000-42000 42000-48000 25000-38000 17000-22000 28000-32000 250 400 400 200 200 125 200 150 100 120 90 150 110 190 38400 49700 30100 23400 26500 16500 38300 22800 32700 233 358 315 175 194 178 260 268 282 32800 39800 20200 18600 21800 12200 31400 17100 30400 36900 47600 28400 22100 25100 14900 36500 20700 32000

52 RMAN DHSZKIEWICZ, ANDRZEJ LITEWKA prprcjnalnści pszczególnych materiałów. Wyniki zstały zestawine w tablicy 1, rys. 4 zaś wyjaśnia pszczególne znaczenia użyte w zestawieniu. Przy sprządzaniu wykresów nie bran pd uwagę zmniejszenia się wymiarów przekrju pprzeczneg. Wydłużenia względne mdeli rzciąganych dla zakresu prprcjnalnści nie przekraczały w żadnym przypadku wartści e = = 0,01, c przy współczynniku Pissna v =0,4 daje zmniejszenie pla przekrju pprzeczneg kł 0,8%. Z analizy rezultatów pmiarów wynika, że dla wszystkich materiałów granica prprcjnalnści jest duż niższa d naprężenia dpuszczalneg. W celu więc trzymania ścisłych wyników pmiarów w badaniach wymagających znajmści współczynnika sprężystści nie mżna bciążać mdelu d naprężenia dpuszczalneg, gdyż rzbieżnści średniej wartści mdułu Yunga, dpwiadającej cięciwie wykresu, d rzeczywistych wartści w pszczególnych punktach wykresów są znaczne. Wartść E dpwiadająca prstliniwej części wykresu jest większa d wartści średniej 4-9%, wartść zaś dpwiadająca maksymalnemu naprężeniu jest mniejsza 12-40%. Dla żywic epksydwych nie umieszczn w tablicy wartści pdawanych w literaturze, gdyż wszystkie te materiały prdukwane były w Pracwni Analizy Naprężeń (na gruncie surwców zarówn krajwych jak i zagranicznych). Wbec różnic w technlgii i składzie chemicznym nie mżna ich własnści prównywać z własnściami żywic prdukwanych fabrycznie zagranicą. Tablica 2 L Material Stalą materiałwa z literatury Granica z pmiarów prprcjnalnsci efektu elastptyczneg "rip n "prp K p K kg/m rząd kg/cm rząd i 2 3 4 5 6 7 8 VP-1527 BT-61893 Dekrit CR-39 Żywica epksydwa utwardzna na zimn; materiał krajwy Żywica epksydwa utwardzna na grąc; material krajwy Żywica epksydwa utwardzna na zimn; material imprtwany Żywica epksydwa utwardzna na grąc; material imprtwany 23,5-25,5 14-15,5 12-14 14-15 _ 24,1 18,6 11,1 17,6 9,8 l 14,0 11,9 11,0 180 200 150 110 90 180 120 160 7-8 11 13 6 9 12 10 14-15 1590 2670 2710 1330 1685 2740 1920 3060 ') Dkładnść.1%

WŁASNŚCI MATERIAŁÓW UŻYWANYCH W ELASTPTYE 53 W czasie badań zauważn zjawisk plegające na zmianie wartści współczynnika sprężystści w wyniku narastania w mdelu tzw. efektu brzegweg czasu. P zbadaniu tych samych mdeli p kilkunastu dniach stwierdzn dść znaczne zwiększenie wartści E, które dla różnych materiałów wahał się d 9-25%, przy czym materiały, w których efekt brzegwy narastał szybciej, wykazywały dpwiedni większą różnicę. Wynika stąd, że strefa bjęta efektem brzegwym jest znacznie «sztywniejsza» d reszty materiału, a mierzna wartść współczynnika sprężystści jest wartścią średnią. Zjawisk t nie ma jednak isttneg znaczenia w praktyce, gdyż mdele elastptyczne badane są bezpśredni p ich wyknaniu. Mim t prwadzne będą dalsze badania w tym kierunku, gdyż zabserwwane zjawisk jest ciekawe z teretyczneg punktu widzenia. Celem tych badań będzie dkładna analiza zmiennści współczynnika sprężystści w czasie i ewentualnie znalezienie funkcji kreślającej tę zmiennść. Wartści pmierznych elastptycznych stałych materiałwych dnszą się d żółteg światła lampy sdwej długści fali świetlnej A 5893 A raz d jednstkwej grubści materiału wynszącej 1 cm. W wyniku pmiarów sprządzn wykresy (rys. 5) zależnści rzędu izchrmy d naprężenia rzciągająceg, jakiemu pddan mdel wymiarach przekrju pprzeczneg 1,0x1,0 cm. Wykresy te mają bardz pdbny przebieg d zwykłych wykresów rzciągania, brazujących zależnść wydłużenia względneg d naprężenia. Część wykresu dpwiadająca bciążeniu ma tylk pczątkw przebieg liniwy, część zaś dpwiadająca dciążeniu przebiega liniw d pczątku d kńca z tym, że bie prste są praktycznie birąc równlegle. D wyznaczenia elastptycznej stałej materiałwej bran pd uwagę tylk część wykresu praktycznie prstliniwą. Wyniki pmiarów zestawine są w tablicy 2. Jak łatw zauważyć, granice prprcjnalnści efektu elastptyczneg d naprężenia niewiele różnią się d granicy prprcjnalnści wykresu rzciągania e-a. Znajmść tej granicy ma duże znaczenia w badaniach elastptycznych, gdyż w przypadku jej przekrczenia pmiędzy izchrmami wyższych rzędów nie będzie tej samej różnicy naprężeń głównych. W takim przypadku w celu wyznaczenia naprężeń na pdstawie brazu izchrm należałby psługiwać się miejscwymi wartściami stałej materiałwej. Wyznaczne dświadczalnie wartści stałych K wykazują dść znaczne dchylenia d pdawanych w literaturze. bniżenie wartści stałej materiałwej dla dekritu mżna wytłumaczyć tym, że temperatura w czasie wyknywania pmiarów była wyższa d nrmalnej kł 7 C. Znaczne pdwyższenie stałej dla BT-61893 i CR-39 mżna wyjaśnić jedynie pewnymi trwałymi zmianami własnści tych materiałów w wyniku długtrwałeg przechwywania. Wartści stałej K mgą się znacznie różnić dla tych samych materiałów przechwywanych w różnych warunkach. Pdbne rzbieżnści dają się zauważyć w wartściach współczynnika sprężystści dla pszczególnych materiałów. ile dla dekritu i VP-1527 wyznaczne dświadczalnie wartści E są bliskie dlnej granicy pdawanej w literaturze, c spwdwane jest niec wyższą

54 RMAN DRSZKIEWICZ, ANDRZEJ LITEWKA temperaturą, t dla BT-61893 i CR-39 bserwujemy znaczny ich wzrst trudny d wytłumaczenia. Wynika stąd, że nie mżna traktwać wyznacznych własnści jak stałych w czasie i dlateg istnieje kniecznść sprawdzania ich c pewien czas, a w przypadku dkładniejszych badań niezbędne jest równległe wyznaczanie stałej materiałwej i współczynnika sprężystści. 3. Pól płaszczyzna bciążna silą skupiną Metda pwyższa jest szczególnie gdna zalecenia, gdyż nie wymaga wyknywania mdeli, c daje znaczne szczędnści na drgich materiałach elastptycznych. Pmiaru dknujemy na całych płytach dpwiedni zamcwanych i bciążnych. W praktyce izchrmy nie są idealnymi kłami (rys. 6), c spwdwane jest niespełnieniem załżeń terii sprężystści, gdyż 1) materiał nie jest idealnie sprężysty i jednrdny, 2) płyty psiadają niec inne grubści w różnych punktach, 3) płyty mają wymiary skńczne. Jednak przy dbrze dpwiednich wymiarów płyt raz bciążenia mżna trzymać wystarczając dkładne wyniki pmiarów. 3.1. Spsób wyknania pmiaru elastptycznej stałej materiałwej. Metdę tę wypróbwan na trzech materiałach, mianwicie na BT-61893, CR-39 i VP-1S27. W cenie przydatnści tej metdy chdził głównie kreślenie, czy metda ta daje dkładne wyniki w przypadku, gdy płyty wykazują efekt brzegwy czasu, raz znalezienie najmniejszych wymiarów płyt, dla których mżna trzymać tą metdą braz izchrm jeszcze nie zniekształcny. Mgłby się wydawać, że wymiary płyty nie mają isttneg znaczenia, gdyż przyłżywszy dpwiedni mniejszą siłę trzymuje się braz izchrm dstatecznie fremny. W rzeczywistści kazuje się, że przy mniejszych wartściach siły niwelujemy wprawdzie wpływ skńcznych wymiarów, izchrmy jednak są zniekształcne z pwdu niejednrdnści materiału przy brzegach płyty i niejednakwej grubści płyty. Należy więc dla daneg wymiaru płyty znaleźć takie ptymalne bciążenie, dla któreg trzymuje się przynajmniej kilka izchrm mżliwie zbliżnych d kształtu kłweg. W praktyce wyglądał t w ten spsób, że stpniw zwiększan bciążenie aż d mmentu ukazania się izchrm zbliżnych d kręgów kół i wtedy wyknywan zdjęcie. Następnie w dalszym ciągu zwiększan bciążenie i ile braz izchrm nie był jeszcze zniekształcny, pnwnie g ftgrafwan. W ten spsób trzyman kilka zdjęć dla różnych wartści siły bciążającej. Z każdeg zdjęcia wybieran najfremniejsze kła izchrm, mierzn ich średnice, kreślan rząd, a następnie bliczan* dla każdej izchrmy ddzielnie stałą K z zależnści K = 2PJ7idn, gdzie P jest siłą bciążającą krawędź półpłaszczyzny, n rzędem izchrmy średnicy d. Z trzymanej w ten spsób serii wyników, w której wartść najmniejsza

WŁASNŚCI MATERIAŁÓW UŻYWANYCH W ELASTFTYCE 55 z reguły nie różniła się d największej więcej niż 3,0%, wyznaczan średnią arytmetyczną. Zupełnie dkładne wyniki mżna trzymać mierząc średnicę izchrm bezpśredni na bciążnym mdelu bez wyknywania zdjęć, dzięki czemu uzyskujemy znaczne szczędnści na czasie. W pisany spsób wyknywan serię pmiarów na płytach z efektem brzegwym czasu, następnie przez bcięcie usuwan strefę bjętą efektem i pnwnie wyznaczan stałą K. 3.2. Wyniki badań stałej materiałwej. W tablicy 3 zestawin wymiary badanych płyt, zakresy bciążenia, w których uzyskiwan fremne brazy izchrm, raz wartści stałych, trzymane dla płyt z efektem brzegwym czasu raz bez efektu. Z prównania tych dwóch wartści stałej K mżna wywniskwać, że błąd, jaki ppełniamy badając płytę z efektem brzegwym, jest bardz mały i waha się w granicach 0-1%. Jak więc widać, dla wyznaczenia stałej K tą metdą nie ma ptrzeby ścinania warstwy bjętej efektami brzegwymi, gdyż trzymywane wyniki są dstatecznie dkładne dla celów praktycznych. Ma t bardz duże znaczenie, pnieważ płyty wskutek długtrwałeg przechwywania prawie z reguły wykazują dść znaczny efekt brzegwy czasu. Rysunek 6 przedstawia braz izchrm w płycie wymiarach 35x30 cm z materiału VP-1527, bjętej efektem brzegwym i bciążnej siłą P = 292 kg. Tablica 3 Material Wymiary płyty Grubść płyty Zakres stswaneg bciążenia Stalą K dla płyty /. efektami bez efektów cm cm kg kg/cm rząd BT-61893 CR-39 VP-1527 30X18 45X30 35X30 0,96 0,98 1,01 175-300 120-240 120-300 18,8 17,3 24,0 19,0 17,5 24,1 Ta metda cechwania materiału daje pważne krzyści, gdyż nie wymaga wycinania mdeli skalujących, stwarzając tym samym mżliwści wyznaczania stałej K dla pszczególnych płyt bez ich naruszania, jest więc metdą nieniszczącą. 3.3. Mżliwści dknywania pmiaru współczynnika sprężystści. Rzważn również mżliwści wyznaczania współczynnika sprężystści E przez pmiar przemieszczeń punktów półpłaszczyzny bciążnej siłą skupiną, leżących na przedłużeniu kierunku działania siły. Jak wiemy [8], różnica przemieszczeń Au dwóch punktów A i B leżących na-przedłużeniu kierunku działania siły, znajdujących się w dległściach dpwiedni a i b d krawędzi półpłaszczyzny wynsi 2P. b ne a

56 RMAN DRSZKIEWICZ, ANDRZEJ LITEWKA skąd 2 P b E m = -. iin TtZlif Widzimy więc, że zależnść, z której mżna by bliczyć współczynnik sprężystści, jest dść prsta. Metda ta nie zstała jeszcze sprawdzna dświadczalnie, lecz istnieje duże prawdpdbieństw, że p dpwiednim jej pracwaniu mże być bardz użyteczna w praktyce (przynajmniej dla wyznaczania E żywic miękkich a Rys. 6 a żywic twardych w temperaturze «zamrażania»). W celu pmierzenia różnicy przemieszczeń należałby dkładnie znaczyć płżenie punktów A i B przez nacięcie lub naklejenie krzyża z bardz cienkich linii. Sameg pmiaru przemieszczeń mżna by dknać za pmcą np. katetmetru dająceg dkładnść pmiaru 0,001 mm. Taka dkładnść pmiaru przemieszczeń jest zupełnie wystarczająca, gdyż wielkść u dla b = 10 cm, a = 1,0 cm, E =35000 kg/cm 2 raz P = 300 kg jest rzędu 0,2 mm. 4. Wniski kńcwe Na pdstawie przeprwadznych pmiarów wartści elastptycznej stałej materiałwej K i współczynnika sprężystści E wyciągnięt wniski, które zstaną tu krótk mówine.