EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ 01 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19 stron (zadania 1 11) Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym 3 Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby punktów 4 Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem 5 Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl 6 Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane 7 Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora 8 Na tej stronie oraz na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkę z kodem 9 Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora Czas pracy: 180 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 MMA-R1_1P-1

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 1 (4 pkt) Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 3 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1 Maks liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt

4 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie (4 pkt) Rozwiąż nierówność 4 x x x Odpowiedź:

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 5 Zadanie 3 (4 pkt) Rozwiąż równanie cos x 3cos x Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 3 Maks liczba pkt 4 4 Uzyskana liczba pkt

6 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 4 (6 pkt) Oblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x m xm4 0 4 4 3 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x 1, x takie, że x1 x 4m 6m 3m 1

8 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 5 (6 pkt) Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny Znajdź te liczby Uwzględnij wszystkie możliwości

10 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 6 (6 pkt) 1 5 W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: P m, m, 55 gdzie m 1, 7 Oblicz najmniejszą i największą wartość PQ, gdzie Q,0

1 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 7 (3 pkt) Udowodnij, że jeżeli ab 0, to prawdziwa jest nierówność 3 3 a b a b ab

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 13 Zadanie 8 (4 pkt) Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 1 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 7 8 Maks liczba pkt 3 4 Uzyskana liczba pkt

14 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 9 (5 pkt) Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB a, BC b i a b Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b

16 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 10 (5 pkt) Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC Krawędź AS jest wysokością ostrosłupa oraz AS 8 10, BS 118, CS 131 Oblicz objętość tego ostrosłupa

18 Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Zadanie 11 (3 pkt) Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz P AB 0,7 (A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B) Wykaż, że PA B 0,3 Wypełnia egzaminator Nr zadania 11 Maks liczba pkt 3 Uzyskana liczba pkt

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony 19 BRUDNOPIS

Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 01

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1 (0 4) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Rozwiązanie zadania, prowadzącego do równania kwadratowego (III3b) Rozwiązanie Niech a oznacza najmniejszą z czterech szukanych liczb całkowitych Wtedy kolejne liczby to: a 1, a, a 3 Zapisujemy zatem równanie kwadratowe a3a a1 a które po przekształceniu przyjmuje postać 3a 5a 0 Równanie to ma dwa rozwiązania: a1 1, a Rozwiązanie 3 sprzeczne z treścią zadania (nie jest to liczba całkowita) Zatem szukane liczby to: 1, 0, 1, odrzucamy jako 3 Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zapisanie, że szukane liczby to: a, a1, a, a 3, gdzie a jest liczbą całkowitą Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą: 3 1 a a a a lub 3a 5a 0 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 3 pkt albo Przekształcenie równania a 3 a a 1 a do postaci równania kwadratowego z błędem rachunkowym (na przykład błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste), poprawne rozwiązanie równania kwadratowego 3a 5a 0, nieodrzucenie rozwiązania i podanie w odpowiedzi dwóch czwórek liczb 3 Rozwiązanie pełne 4 pkt Zapisanie czwórki liczb całkowitych spełniających warunki zadania: 1, 0, 1, Uwagi 1 Jeżeli zdający źle zinterpretuje treść zadania, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeśli zdający bez wykonywania rachunków poda odpowiedź i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje 1 punkt

Egzamin maturalny z matematyki 3 Zadanie (0 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie nierówności wielomianowej (IV3cR) I sposób rozwiązania Rozwiązanie nierówności wielomianowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap to zastosowanie jednej z kilku metod, które pozwalają zapisać wielomian w postaci iloczynowej, drugi etap to rozwiązanie nierówności Pierwszy etap: zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej I wariant (grupowanie wyrazów) 4 Zapisujemy nierówność w postaci x x x 0, a następnie przedstawiamy lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej: 4 3 x x x x x x x x x 1 x1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x II wariant (odgadnięcie pierwiastka i dzielenie metodą pisemną) 4 Zapisujemy nierówność w postaci x x x 0, a następnie przedstawiamy lewą stronę x 4 x x x x 3 x Zauważamy, że x 1 jest nierówności w postaci iloczynowej: 3 3 pierwiastkiem wielomianu x x i dzielimy wielomian x x przez dwumian x 1 sposobem pisemnym lub za pomocą algorytmu Hornera, otrzymując x x Następnie x x1 x x 0 zapisujemy nierówność w postaci iloczynowej Drugi etap: rozwiązanie nierówności Zauważamy, że trójmian x x przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby x x1 x x 0 jest jednocześnie rzeczywistej x, zatem rozwiązanie nierówności rozwiązaniem nierówności kwadratowej x x1 0, czyli sumą przedziałów,0 1, ) Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt 4 Zapisanie wielomianu x x x w postaci iloczynu, w którym jednym z czynników jest x lub x 1 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie nierówności w postaci iloczynu czynników stopnia co najwyżej drugiego, np xx1x x 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt 4 Zauważenie, że rozwiązanie nierówności x x x 0 jest jednocześnie rozwiązaniem nierówności kwadratowej x x1 0 albo narysowanie i uzupełnienie tabeli znaków lub sporządzenie szkicu wykresu wielomianu z uwzględnieniem jego miejsc zerowych Rozwiązanie pełne 4 pkt 4 Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności x x x: x,0 1, )

4 Egzamin maturalny z matematyki Uwaga Jeśli zdający podzieli nierówność przez x lub x 1, bez rozpatrzenia odpowiednich przypadków to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów II sposób rozwiązania Rozwiązujemy nierówność w trzech przedziałach: I,0 x 0,1, III x 1, ) I x,0 x, II 4 Wtedy x 0 i x 0, a x 0 4 Stąd x x x dla każdego x,0 II x 0,1 Wtedy x 4 x i x x 4 Stąd x x x dla każdego x 0,1 Zatem dana nierówność nie ma rozwiązań w tym przedziale III x 1, ) Wtedy x 4 x i x x 4 Stąd x x x dla każdego x 1, ) Odp Rozwiązaniem nierówności 4 x x x jest zbiór x,0 1, ) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje po 1 punkcie za rozwiązanie nierówności w każdym z trzech przedziałów Czwarty punkt zdający otrzymuje za podanie odpowiedzi końcowej Zadanie 3 (0 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IV6eR) Rozwiązanie Wykorzystując wzór na cosinus podwojonego kąta: cos x cos x 1, przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna argumentu x: cos x1 3cosx 0 Porządkujemy i otrzymujemy równanie: cos x 3cos x1 0 Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, np t cos x, gdzie t 1, 1 Otrzymujemy równanie kwadratowe t 3t1 0 1 Rozwiązujemy równanie kwadratowe, otrzymując: t1 1, t 1 Rozwiązujemy równania cos x 1 i cos x

Egzamin maturalny z matematyki 5 Zapisujemy rozwiązania równań: x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą 3 lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą 3 Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej argumentu x, np: cos x1 3cosx 0 lub cos x 3cos x1 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 1 Rozwiązanie równania cos x3cos x1 0 z niewiadomą cos x : cos x 1 lub cos x Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt 1 Rozwiązanie jednego z równań cos x 1 lub cos x Rozwiązanie pełne 4 pkt Rozwiązanie równania: x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, 3 gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą 3 albo xn360, gdzie n jest liczbą całkowitą lub x 60n360, gdzie n jest liczbą całkowitą lub x60n360, gdzie n jest liczbą całkowitą Uwaga Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego i otrzyma dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału 1,1 i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje 3 punkty

6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 4 (0 6) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków (IV3bR) I sposób rozwiązania Obliczamy Wówczas x 1 m 1 i następnie m m 1 x1, x m m 1 m m m 1m 1 m 4m8 m m 1 4 4 m m4 m m 1 i podobnie m m4 m m 1 x Następnie x 4 1 i podobnie m m4 m m4m m 1 m m 1 4 3 m 8m 1m 64m3 m m4 m m 1 4 x 4 Teraz 4 4 4 3 x1 x m 4m 6m 3m 16, czyli mamy równanie 4 3 3 m 4m 6m 3m16 4m 6m 3m 1, czyli m m 6 64, stąd : Zatem m 6 8 lub czyli m lub m 14 Przypadek m jest niemożliwy; zatem Należy na zakończenie zauważyć, że jeśli oba pierwiastki x 1 i x są rzeczywiste 4 3 m 8m 1m 64m3 m m4 m m 1 4 m 6 8, 4 m 14, czyli 14 m 14, to 4 3 4 3 m 4m 4m 16m16 m 4m 8m 48m48 m m4 m m 1 4 4 1m 36 64 m lub m 14 m 1 14 1 0, a więc Uwaga Zdający może rozpocząć od rozważenia nierówności 0, czyli m 1 0 Otrzymuje m 3 lub m 3 Potem może sprawdzać, czy otrzymane rozwiązania są zgodne z tymi nierównościami

Egzamin maturalny z matematyki 7 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m 1 Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 1 0 m, 3 3, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje 1 punkt m, czyli dla Uwaga Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część 4 4 3 b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x1 x 4m 6m 3m 1 do postaci równania ze zmienną m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt Wyznaczenie x 1 i x Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie x 1 i x Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania 3 pkt 4 4 4 4 4 3 Wyznaczenie x 1 i x i zapisanie równości x1 x m 4m 6m 3m 16 Rozwiązanie bezbłędne części b) 4 pkt 4 Rozwiązanie równania m 1m 8 0 : m 14 lub m 14 Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi 1 Przyznajemy 1 punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 4 0 z etapu a) i równania m 1m 36 64 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów II sposób rozwiązania: m m 1 m m 1 Tak jak w sposobie I obliczamy x1, x Następnie przyjmujemy oznaczenie t m 1 Wówczas 4 4 4 4 4 4 mt mt mt mt x1 x 4 4 16 Korzystamy ze wzorów: 4 4 3 3 4 ab a 4a b6a b 4ab b 4 4 3 3 4 a b a 4a b 6a b 4ab b Stąd 4 4 4 4 ab ab a 1a b b

8 Egzamin maturalny z matematyki Zatem 4 4 4 4 4 4 m 1m t t m 6m t t x1 x 16 8 Ponieważ t m 1, więc t m 1 i t 4 m 4 4m 144 Mamy zatem 4 3 4 m 8m 4m 3m16 4 4 6m 4m4m 1 m 4m 144 x1 x 8 4 3 8m 3m 48m 56m18 4 3 m 4m 6m 3m16 8 Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m 1 Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy m 1 0, czyli dla m, 3 3, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje 1 punkt Uwaga Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część 4 4 3 b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x1 x 4m 6m 3m 1 do postaci równania z niewiadomą m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt Wyznaczenie x 1 i x Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt Przyjęcie oznaczenia, np t m 1 Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania 3 pkt Wyznaczenie x oraz x i zapisanie równości 4 1 4 mt mt mt mt 4 4 4 4 4 4 4 3 1 4 4 x x m 4m 16m 3m 16 16 Rozwiązanie bezbłędne części b) 4 pkt 4 Rozwiązanie równania m 1m 8 0 : m 14 lub m 14 Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi 1 Przyznajemy 1 punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 4 0 z etapu a) i równania m 1m 36 64 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów

Egzamin maturalny z matematyki 9 III sposób rozwiązania: Korzystamy ze wzorów Viète a: x1 x m, x1 x m 4 Mamy teraz: 4 4 4 3 m m m m m m m 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x 4 4 4 6 3 16 Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m 1 Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy m 1 0, czyli dla m, 3 3, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje 1 punkt Uwaga Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x 4 4 3 1 x 4m 6m 3m 1 do postaci równania z niewiadomą m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt 4 4 Zapisanie równości: x1 x x1 x x1x Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt x x x x x x x x x x x x 4 4 Zapisanie równości: 1 1 1 1 1 1 Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania 3 pkt 4 4 Zapisanie wyrażenia x x w postaci sumy jednomianów zmiennej m, np 1 4 4 4 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x xx xx m 4m 6m 3m 16 Rozwiązanie bezbłędne części b) 4 pkt 4 Rozwiązanie równania m 1m 8 0 : m 14 lub m 14 Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi 1 Przyznajemy 1 punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 4 0 z etapu a) i równania m 1m 36 64 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów

10 Egzamin maturalny z matematyki IV sposób rozwiązania: Korzystamy ze wzorów Viète a oraz ze wzoru na 4 a b 4 3 3 4 4 4 x1 x x1 4x1x 6x1x 4xx 1 x x1 x 4xx 1 x1 x 6xx 1 4 4 4 1 4 1 1 1 6 1 x x xx x x xx xx czyli 4 6 4 4 4 1 1 1 1 1 1 x x x x xx x x xx xx 4 4 3 m 4 m4 m m4 6 m4 m 4m 6m 3m16 Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m 1 Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 1 0 m, 3 3, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje 1 punkt m, czyli dla Uwaga Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x 4 4 3 1 x 4m 6m 3m 1 np 4 do postaci m 1m 36 64 i rozwiązaniu tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt Skorzystanie z wzoru 4 4 3 3 4 a b a 4a b 6a b 4ab b Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt 4 4 x x x x 4 4x x x x x x 6 x x Zapisanie równości: 1 1 1 1 1 1 Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania 3 pkt 4 4 Zapisanie wyrażenia x x w postaci sumy jednomianów zmiennej m, np 1 4 4 4 4 3 x1 x x1x 4xx 1 x1x xx 1 6 xx 1 m 4m 6m 3m 16 Rozwiązanie pełne części b) 4 pkt 4 Rozwiązanie równania m 1m 8 0 : m 14 lub m 14 Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi 1 Przyznajemy 1 punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 4 0 z etapu a) i równania m 1m 36 64 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów

Egzamin maturalny z matematyki 11 Zadanie 5 (0 6) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie własności ciągu geometrycznego oraz własności ciągu arytmetycznego (IV5c) I sposób rozwiązania Oznaczmy przez a, b, c kolejne liczby tworzące, w podanej kolejności, ciąg geometryczny Przez a oraz q oznaczamy odpowiednio pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu geometrycznego Wówczas b aq oraz c aq Z treści zadania wiemy, że ciąg o wyrazach a, b 8, c jest arytmetyczny, co oznacza, że jest spełniona równość 8 aq 8a aq Ponadto, ciąg o wyrazach a, b 8, c 64 b 8 a c 64 aq 8 a aq 64, a stąd b a c, czyli jest geometryczny, więc Zapisujemy układ równań: aq 8 a aq aq 8 a aq 64 16 Z pierwszego równania wyznaczamy a 1 q q (przy założeniu, że q 1 ) i podstawiamy do drugiego równania Otrzymujemy równanie: 16 16 q 4 40 1qq 1qq Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego: 16q 4 1qq 64 0, 4q 1 q q 16 0, q q15 0 Rozwiązaniami tego równania są liczby: q1 5, q 3 4 0 0 100 Jeżeli q 5, to a, b oraz c 5 9 9 9 9 Jeżeli zaś q 3, to a 4, b 1 oraz c 13 36 Zauważmy na zakończenie, że założenie q 1 nie zmniejsza ogólności rozważań, bo gdyby q 1, to otrzymalibyśmy (początkowy) ciąg geometryczny stały, zaś ciąg a, a 8, a nie byłby arytmetyczny dla żadnej wartości a, wbrew treści zadania Odpowiedź: Istnieją dwa ciągi geometryczne spełniające warunki zadania: 4, 1, 36 oraz 4 0 100,, 9 9 9 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zapisanie, że: liczby a, aq, aq są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz liczby a, aq 8, aq, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby a, aq8, aq 64, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny

1 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego do zapisania układu równań, np aaq aq8 aq 8 a aq 64 Uwaga Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą np: q q15 0 lub 9a 40a 160 Uwaga Jeżeli zdający w trakcie przekształcania układu równań popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty za całe rozwiązanie Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Zdający popełni błędy rachunkowe w rozwiązywaniu równania kwadratowego, np q q15 0 i konsekwentne do tych błędów poda w odpowiedzi dwa ciągi geometryczne lub przekształci układ równań z błędem (np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 6 pkt Zapisanie dwóch trójek liczb, z których każda tworzy ciąg geometryczny opisany w treści 4 0 100 zadania: 4, 1, 36 oraz,, 9 9 9 II sposób rozwiązania Oznaczmy przez a, b, c trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego Wówczas b a c Ponieważ ciąg a, b 8, c jest arytmetyczny, więc b 8 a c Ponadto, ciąg c jest geometryczny, zatem b 8 a c 64 a, b 8, 64 Zapisujemy zatem układ równań: b ac b8ac b8 ac64 a następnie przekształcamy go w sposób równoważny: cba16 b ab16aa b8 ab16aa 64a

Egzamin maturalny z matematyki 13 Odejmujemy stronami drugie i trzecie równanie i otrzymujemy b8 b 64a b 4 b 4 Stąd a Podstawiamy a do drugiego równania i otrzymujemy 4 4 b4 b4 b b16 4 4 Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego 16b 7b 88b 40, czyli 9b 88b40 0 0 Rozwiązaniami tego równania są liczby: b1, b 1 9 0 4 100 Jeżeli b, to a oraz c 9 9 9 Jeżeli zaś b 1, to a 4 oraz c 36 Odpowiedź: Istnieją dwa ciągi geometryczne spełniające warunki zadania: 4, 1, 36 oraz 4 0 100,, 9 9 9 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania zadania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zapisanie, że liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz, że liczby a, b 8, c, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny, zaś liczby a, b8, c 64, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego do zapisania układu równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np b ac b8ac b8 ac64 Uwaga Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np: 9a 40a 160 lub 9b 88b40 0 lub 9c 44c 3600 0 Uwaga Jeżeli w trakcie przekształcania układu równań zdający popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty za całe rozwiązanie Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Zdający popełni błędy rachunkowe w rozwiązywaniu równania kwadratowego, np 9b 88b40 0 i konsekwentne do tych błędów poda w odpowiedzi dwa ciągi geometryczne

14 Egzamin maturalny z matematyki lub przekształci układ równań z błędem (np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 6 pkt Zapisanie dwóch trójek liczb, z których każda tworzy ciąg geometryczny opisany w treści 4 0 100 zadania: 4, 1, 36 oraz,, 9 9 9 Zadanie 6 (0 6) Modelowanie matematyczne Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (III8e; 4k) Rozwiązanie 55 1 5 50 1 Wyznaczamy odległość punktów P i Q: PQ m m m m Wyznaczamy wzór funkcji f opisującej wartość PQ : 50 1 5 f m m m m 0m500 dla m 1, 7 4 Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji f: 5 5 5 mw 0 : 5: 5 10 4 4 5 Ponieważ 10 1,7, więc w tym przedziale funkcja f jest monotoniczna Zatem największa i najmniejsza wartość funkcji f dla m 1, 7 są przyjmowane dla argumentów, będących końcami tego przedziału 5 5 f 1 10 500 651, 5 oraz f 7 49 140 500 511, 5 4 4 Zatem najmniejsza i największa wartość PQ to odpowiednio 511,5 oraz 651,5 Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt 50 1 Wyznaczenie odległości między punktami P i Q: PQ m m lub 50 1 PQ m m

Egzamin maturalny z matematyki 15 Uwaga Jeżeli zdający zapisze, np 0 punktów 50 1 PQ m m, to otrzymuje za całe zadanie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 5 Zapisanie wzoru funkcji f w postaci, np: f m m 5m 65 lub 4 5 f m m 0m 500 4 Uwaga Dalszej ocenie podlega badanie tylko takich funkcji kwadratowych, które przyjmują wartości nieujemne w całym zbiorze liczb rzeczywistych Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt Obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f i stwierdzenie, że współrzędna ta nie należy do przedziału 1, 7 : mw 10 i 10 1,7 i z rozwiązania wynika, że f 10 nie jest żadną z poszukiwanych wartości albo obliczenie f 1 i f 7, zapisanie bez uzasadnienia, że f 1 jest wartością największą, f 7 jest wartością najmniejszą Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Rozwiązanie pełne 6 pkt Podanie najmniejszej i największej wartość PQ odpowiednio 511,5 oraz 651,5 z uzasadnieniem, np powołanie się na monotoniczność lub stwierdzenie, że pierwsza współrzędna wierzchołka nie należy do podanego przedziału Uwaga Jeśli zdający obliczy f 10 500, f 1 651,5 i f 7 511,5 i stąd wywnioskuje, że najmniejszą wartością funkcji f jest 500, a największą 651,5, to za całe rozwiązanie otrzymuje 4 punkty Zadanie 7 (0 3) Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (Vb) Rozwiązanie Przekształcamy nierówność w sposób równoważny 3 3 a b a bab 0, a 3 a b b 3 ab 0, a a b b b a 0,

16 Egzamin maturalny z matematyki a ba b 0, a b a b 0 Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż z założenia a b 0 wszystkich liczb rzeczywistych a i b, co kończy dowód oraz a b 0 dla Schemat oceniania rozwiązania Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a b a b 0 lub Zapisanie nierówności w postaci iloczynowej ab ab 0, lub a ba ba b 0 Rozwiązanie pełne 3 pkt Przeprowadzenie pełnego dowodu Uwaga 1 Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez a b, nie zakładając, że ab 0, to otrzymuje 0 punktów W przypadku gdy zdający podzieli nierówność przez a b 0 i nie rozpatrzy przypadku ab 0, to przyznajemy punkty Zadanie 8 (0 4) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (IV10R) Rozwiązanie Rozkładamy liczbę 1 na czynniki pierwsze 1 3 Mamy więc trzy, parami wykluczające się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy 1: 1 Wśród cyfr tej liczby są 3, 4 i sześć 1 (1 34111111 ) Takich liczb jest: 87 56 wybieramy miejsce dla 3 na 8 sposobów i z pozostałych dla 4 na 7 sposobów Wśród cyfr tej liczby są, 6 i sześć 1 (1 6111111 ) Takich liczb jest: 87 56 wybieramy miejsce dla na 8 sposobów i z pozostałych dla 6 na 7 sposobów 3 Wśród cyfr tej liczby są dwie, jedna 3 i pięć 1 (1 311111 ) Takich 7 liczb jest: 8 168 wybieramy jedno miejsce z ośmiu dla 3 a następnie dwa miejsca z pozostałych siedmiu dla Zatem liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 1 jest 56 56 168 80 Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zapisanie, co najmniej dwóch z trzech parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy 1 (bez obliczania liczby tych możliwości): 134111111 16111111 1311111

Egzamin maturalny z matematyki 17 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie wszystkich trzech, parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy 1 (bez obliczania liczby tych możliwości): 134111111 16111111 1311111 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 1, w co najmniej dwóch z trzech możliwości Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 1: 56 56 168 80 Zadanie 9 (0 5) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem własności figur podobnych (IV7cR) I sposób rozwiązania D C b α h E c A a α B Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt ten jest podobny do trójkąta DEA (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku D), AE BA DE DA h a DE b więc oraz, czyli oraz Stąd AD BD DA DB b a b b a b ab b h oraz DE a b a b 3 1 1 ab b ab Pole trójkąta AED jest równe P ADE h DE a b a b a b II sposób rozwiązania Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt ten jest podobny do trójkąta DEA (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku D), AE BA DE DA h a DE b więc oraz, czyli oraz Stąd AD BD DA DB b a b b a b ab h oraz DE a b b a b

18 Egzamin maturalny z matematyki DE b Wyznaczamy sinus kąta EAD w trójkącie AED: sin EAD = b a b Pole trójkąta AED jest równe: 3 1 1 ab b ab PAED bhsin EAD b a b a b a b Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zauważenie, że trójkąty AED (lub AEB) i BAD są podobne i zapisanie odpowiedniej AE AB DE AD proporcji np: lub AD BD AD BD albo zapisanie pola trójkąta AED: P AE DE AE AD sin EAD lub P Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości odcinka DE: DE b ab lub AE: AE a b a b lub sin EAD b a b Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Obliczenie długości obu odcinków DE: DE b ab i AE: AE a b a b lub obliczenie długości odcinka AE: AE ab b i sin EAD a b a b Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt 3 ab Obliczenie pola trójkąta AED: PAED a b III sposób rozwiązania D C b h E c A a B

Egzamin maturalny z matematyki 19 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt AED jest podobny do trójkąta BAD, a ten jest podobny do trójkąta BEA, więc trójkąt BEA jest podobny do trójkąta AED Skala tego podobieństwa jest równa b a Stosunek pól tych trójkątów jest równy Ponieważ Stąd P PBEA a a Stąd PBEA PAED P b b AED AED P ABD 1 ab P BEA P 1 ab 3 ab a a b 1 b AED 1 a, więc ab P AED PAED b Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zauważenie, że trójkąty AED i BEA są podobne i zapisanie stosunku ich pól w zależności od BEA P a skali ich podobieństwa: PAED b Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Wyznaczenie pola trójkąta ABD i zapisanie go jako sumy pól trójkątów BEA i AED Uwaga Rozwiązanie możemy zakwalifikować do tej kategorii tylko pod warunkiem, że skala podobieństwa trójkątów BEA i AED została zapisana w zależności od a i b Rozwiązanie zadania prawie do końca 4 pkt 1 a Zapisanie równania z niewiadomą P AED : ab P AED PAED b Rozwiązanie pełne 5 pkt 3 ab Obliczenie pola trójkąta AED: PAED a b

0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 10 (0 5) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w ostrosłupie (IV9b) S h A D B Rozwiązanie Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BAS, obliczamy długość boku AB: AB 118 8 10 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CAS, obliczamy długość boku AC: AC 131 8 10 61 Stąd wynika, że BC 61, ponieważ nie istnieje trójkąt o długościach boków,, 61 (nierówność trójkąta) Trójkąt ABC jest równoramienny, wówczas wysokość h opuszczona na bok AB jest równa: h 61 11 60 1 Obliczamy pole P trójkąta ABC: P 60 660 1 1 Obliczamy objętość V ostrosłupa ABCS: V P AS 660 8 10 1760 10 3 3 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt Obliczenie długości boku AB: AB albo obliczenie długości boku AC: AC 61 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 3 pkt Obliczenie długości boku AB: AB i długości boku AC: AC 61 oraz zauważenie, że długość boku BC jest równa 61 Uwaga Jeśli zdający obliczy AB oraz AC i nie zapisze (zauważy), że BC 61, to przyznajemy punkty C

Egzamin maturalny z matematyki 1 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: P 660 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V 1760 10 Uwaga Jeśli zdający nie zauważy, że trójkąt o bokach,, 61 nie istnieje i obliczy dwie możliwe objętości ostrosłupów, to otrzymuje 4 punkty Zadanie 11 (0 3) Rozumowanie i argumentacja Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V10cd) I sposób rozwiązania Zdarzenia A B oraz A B są rozłączne P AB AB wynika, że Stąd i z faktu, że 1 1 P ABAB P AB P A B, czyli P A B 0,3 Uwaga Zdający może rozwiązać zadanie za pomocą diagramu Venna Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt Zdający zauważy, że zdarzenia A B oraz A B są rozłączne Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 1 P AB AB P AB P A B Zdający zapisze, że Rozwiązanie pełne 3 pkt Zdający przeprowadzi pełny dowód Uwaga Jeżeli zdający przeprowadzi pełny dowód, ale nie zapisze, że podane zdarzenia są rozłączne, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania Wiemy, że A B B, stąd P AB PB, czyli P A B 1 PB Zatem PB 0,3 Wiemy, że A B B, stąd mamy P A B PB, czyli P A B 0,3 dowód, co kończy

Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 pkt Zapisanie, że AB B Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z dalszych rozważań Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie, że A B B oraz, że PB 0,3 Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z pozostałych zapisów Rozwiązanie pełne 3 pkt Zapisanie wniosku: PA B 0,3