Spis treści Cyfry różnych narodów i epok 1 Spis treści... 1 Cyfry różnych narodów i epok... Cyfry Majów... Cyfry Azteków... Konkursy... 4 Konkurs zadaniowy... 4 Lamigłówki logiczne... 8 Rozwiązania zadań konkursowych... 9 Zadania miesiąca... 9 Łamigłówki... 11 Cyfry Majów W V-XIII w. Na półwyspie Jukatan Indianie z plemienia Majów stworzyli dwudziestkowy i piątkowy system liczenia. System ten był systemem pozycyjnym, w którym posługiwano się trzema symbolami: kropką-1, poziomą kreską-1, stylizowaną muszlą-0 Cyfry Majów przedstawiają się następująco: Słowniczek dużych problemów... 13 Rywalizacja... 13 Samouczek zadaniowy... 14 Analfabetyzm matematyczny... 15 Fobia matematyczna... 15 Liczbę 0 Majowie zapisywali za pomocą jedności i umieszczonego pod nim zera(0-przypomina przymknięte oko) Cały naród Majów, pomniki piśmiennictwa zostały zniszczone przez odkrywców Ameryki. Wraz z ludem w płomieniach zginęły bezcenne dzieła tej zadziwiającej kultury. Cyfry Azteków W XI-XVI w. Indianie z plemienia Azteków(Meksyk) posługiwali się system liczbowy, w którym liczenie odbywało się grupami po pięć przedmiotów. 1 Stanisław Kowal Przez rozrywkę do wiedzy 1
Jedynkę zapisano za pomocą kropki, dwójkę dwóch kropek, itd., do pięciu. Sześć oznaczono pięcioma kropkami oddzielonymi kreską od szóstej. Kreska nie oznaczała liczby. Konkurs zadaniowy Konkursy ZESTAW IV Klasa I Termin oddania zadań 30 marca 005r. Zadanie 1. Znajdź cztery kolejne liczby nieparzyste, których suma jest równa 40. Zadanie. a) x = 10 b) x 3 Jakie liczby spełniają warunek: Zadanie 3. Jakim ułamkiem jest 0,()? Zadanie 4. Zapytano rybaka, ile waży złowiona przez niego ryba. Rybak odpowiedział: /5 kg i jeszcze razy po /5 swego ciężaru. Ile ważyła ryba? Zadanie 5. 3 3 ax bx bx + ax a + b Zamień sumę na iloczyn 3 4
ZESTAW V Klasa I ZESTAW IV Klasa II Termin oddania zadań 30 kwitnia 005r. Termin oddania zadań 30 marca 005r. Zadanie 1. Marek ma tyle lat, ile Ewa miała 3 lata temu. Za dwa lata będą mieli łącznie 91 lat. Ile lat będzie miała każda z osób za 5 lat? Zadanie. 5 x + 1 x + 3 4x + 5 Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań zaznacz na osi liczbowej. Zadanie 1. ax + 3y = 3 5x y = b Dla jakich wartości a i b układ: a) nie ma rozwiązań? b) ma nieskończenie wiele rozwiązań? Zadanie 3. O ile centymetrów kwadratowych zwiększy się pole trójkąta o podstawie a cm i wysokości o 4cm krótszej od podstawy, jeżeli wysokość zwiększy się o 10cm? Zadanie 4. Ania i Ola mieszkają na dwóch końcach Warszawy. Ania postanowiła pojechać na rowerze do Oli. Po przejechaniu części drogi odcinek, który już pokonała ma się tak do pozostałej części jak :3. Gdyby przejechała jeszcze 9km, to ten stosunek wynosiłby 7:3. Jak daleko mieszkają od siebie dziewczęta? Zadanie. Czy z odcinków o długościach: 1996, 1997 i 1998 cm można zbudować trójkąt? Zadanie 3. 8 a) 3a 3 b) a + a a ( a )(3a + 1) c) 3a + 6a Dla jakiej liczby a nie można odczytać wartości liczbowej wyrażenia? Zadanie 5. Kwadrat podzielono na prostokąty, których stosunek wynosi 1:3. Wyznacz stosunek obwodów tych prostokątów. Zadanie 4. Znajdź wszystkie liczby x i y, które spełniają warunki równania: x -y =5 Zadanie 5. Do 10 litrów roztworu 5-cio procentowego wlano pewną ilość wody. Stężenie roztworu zmalało do 3%. Ile wody wlano do roztworu? 5 6
ZESTAW V Klasa II Termin oddania zadań 30 kwietnia 005r. Zadanie 1. Ile istnieje trójkątów prostokątnych, których długości boków wyraża się liczbami całkowitymi, jeżeli jedna z przyprostokątnych jest równa 15? Zadanie. Rozwiąż układ równań: x + y = 5 xy = Zadanie 3. Dwóch robotników pracujących razem wykonuje pewną pracę w ciągu 1 dni. Jeżeli pierwszy będzie pracował dni, a drugi 3 dni, to wykonają tylko 0% całej pracy. Przez ile dni wykonałby całą pracę każdy z tych robotników pracując samodzielnie? Zadanie 4. Obwód trójkąta równoramiennego jest równy: 0 1 3 3 + 64 3cm 3 4 Łamigłówki logiczne Nakrycia głowy Mam trzech przyjaciół, którzy różnie przykrywają sobie głowy: jeden z nich stale chodzi w kapeluszu, drugi w berecie, trzeci zaś w czapce. Wiem, że Babacki nie nosi beretu. Wiem, że jeśli Babicki nosi czapkę, wówczas Abacki nosi kapelusz. Wiem, że Cabacki nie nosi czapki. Wiem, że jeśli Abacki nosi beret, wówczas Babacki nosi kapelusz. Wiem, że Abacki nie nosi kapelusza. Wiem, że jeśli Cabacki nosi czapkę, wówczas Abacki nosi beret. Wiem także, że jedno z powyższych, konkretnych stwierdzeń jest kłamstwem. Mimo to mogę ustalić, co noszą na głowie moi przyjaciele, Abacki, Babacki i Cabacki. Szyba W autobusie, którym jechało siedmiu pasażerów, wyleciała szyba, wybita przez jednego z nich. Oto, co o tym incydwncie mówią pasażerowie: Abacki: - Wyraźnie widziałem, że to Fabacki wybił szybę. Babacki:- Ależ skąd, to zrobił Dabacki albo Gabacki. Cabacki:- Przyznaję się- to ja. Dabacki:- To nie ja. Ebacki:- Cabacki kłamie, to ja wybiłem szybę. Fabacki:- Szybę wybił jeden z pasażerów z walizkami, a więc albo Abacki, albo Babacki. Gabacki:- co za ludzie! Tylko dwaj mówią prawdę. To znaczy ja, oczywiście, i jeszcze, tylko jeden z nich. Udało mi się ustalić, że pan Gabacki mówił prawdę. Który z pasażerów wybił szybę w autobusie? Zadanie 5. Mała i duża wskazówka zegara o godzinie trzeciej tworzą kąt prosty. O której godzinie wskazówki utworzą kąt prosty następnym razem? 7 Lokatorzy Każdy z panów mieszka na innym piętrze czteropiętrowego domu. Abacki nie mieszka na czwartym piętrze. Babacki nie mieszka na parterze. Cabacki nie mieszka ani na piętrze, ani na czwartym piętrze. Dabacki mieszka wyżej niż Babacki. Lech Bogusz, Piotr Zarzycki, Jerzy Zieliński Łamigłówki logiczne 8
Ebacki nie sąsiaduje ani przez podłogę, ani przez sufit z Cabackim. Cabacki nie sąsiaduje przez podłogę ani przez sufit z Babackim. Kto gdzie mieszka? Prezenty Pani Dabacka postanowiła kupić trzy zwierzaczki i dać po jednym każdemu z trzech wymienionych panów. Z tym, że: Abacki nie dostanie patataja, chyba że Babacki dostanie gogowca. Abacki nie dostanie septułki, chyba że Cabacki dostanie patataja. Abacki nie dostanie gogowca, chyba że Babacki dostanie septułkę. Cabacki nie dostanie patataja, chyba że Abacki dostanie gogowca. Babacki nie dostanie septułki, chyba że Cabacki dostanie gogowca. Pani Dabacka dotrzymała powyższych warunków i wręczyła każdemu z panów po jednym prezencie. Co dostali poszczególni panowie? Πr = a a Π Π = a Odp.: Stosunek pola koła do pola kwadratu wynosi. Sławomir Jabłoński Rozwiązania zadań konkursowych Zadania miesiąca grudzień Koło i kwadrat mają równe obwody. Oblicz stosunek pola koła do pola kwadratu. Obw = 4a r = Π r = a Π kw Obw ko Πr = 4a Π 9 P = P ko kw Styczeń Rozwiąż równanie: x 3 8x = -16x. x 3 8x +16x =0 x( x 8x +16) =0 wyłączamy x przed nawias x( x 8x +16) =0 korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia x( x 4) =0 x=0 lub x 4 = 0 x=0 lub x = 4 Rozwiązaniem tego równania są liczby 0, 4 Luty Rozwiąż układ równań dowolną metodą 0 1 = 1 y x 10 8 + = 4 y x 10
Wskazówka do rozwiązania zadania, Wprowadzamy pomocnicze zmienne a i b, gdzie gdyż 10 4 * 3* = 1 y x 10 4 + = 4 y x odp. x=4, y=5 Łamigłówki 3 * Flaga olimpijska więc a 3b = 1 a + b = 4 a = 10 y b = y x ** 1--3 Znajdź następującą linijkę zgodnie z ukrytą regułą. 1 111 311 1311 1113111 31131111?????????????? Odp.: Szukana linijka to 1 3 1 1 3 1 3 1 1 Każda linijka jest zakodowanym opisem linijki znajdującej się powyżej np. 11 tz. Jedna jedynka(11), dwie dwójki(), jedna jedynka (11), czyli zakodowany opis to 1111, 31131111 tz. Jedna trójka (13) dwie jedynki(1) jedna trójka (13) dwie jedynki(1) trzy dwójki(3) dwie jedynki(1) jedna dwójka(1), czyli zakodowany opis to 131131311 Na ile sposobów można pokolorować te kółka? Odp.: Kółka te można pokolorować na 10 sposobów, ponieważ 5*4*3**1=10 * Szereg Jaka jest następna liczba tego szeregu? 4, 8, 15, 30, 37, 74,? 81 * +7 * +7 * +7 Odp.: Szukaną liczbą jest 81. Następny wyraz powstaje przez(na przemian) pomnożenie poprzedniego wyrazu przez lub dodanie 7. 4*=8 8+7=15 15*=30 30+7=37 37*=74 74+7=81 3 K Russell, P Carter Łamigłówki liczbowe 11 1
Rywalizacja Słowniczek dużych problemów Rywalizacja w grupie o w miarę wyrównanym poziomie jest często czynnikiem motywującym do efektywnej nauki. Jednak musimy pamiętajmy również o niebezpieczeństwach, które ze sobą niesie. U większości uczniów zapał do rywalizacji powoduje, że interesuje ich tylko ocena lub liczba punktów. Dla poprawienia swojej pozycji posuną się także do oszustwa, nie zrobią niczego, za co nie dostaną stopnia. Dla najlepszych rywalizacja może być demoralizująca, zwłaszcza jeżeli w klasie jedna lub dwie osoby są lepsze od pozostałych. Nie starają się pracować, gdyż i tak należą najlepszych. Dla najsłabszych rywalizacja jest demobilizująca. Słabsi nie mają żadnych szans mi, że będą się starać. Myślę, że o wiele lepszą metodą jest rywalizacja z samym sobą. Polega na porównywaniu np. wyników kolejnych odpowiedzi, sprawdzianów, czasu wykonywania pewnych ćwiczeń, odpowiedzi oraz poziom ich poprawności. Paulina Cajler Samouczek zadaniowy Zadanie Suma czterech kolejnych liczb parzystych jest równa 9. Jakie to liczby? Rozwiązanie Należy pamiętać n tak zapisujemy dowolną liczbę parzystą, gdzie n C (czytamy: n jest dowolną liczbą całkowitą) Cztery kolejne liczby parzyste to: n pierwsza liczba parzysta n + druga liczba parzysta n + 4 trzecia liczba parzysta n + 6 czwarta liczba parzysta Teraz tworzymy ich sumę: n + (n + ) + (n + 4) + (n + 6) = 9 n + n + + n + 4 + n + 6 = 9 dodajemy wyrazy podobne 8n + 1 = 9 liczbę 1 przenosimy na prawą stronę 8n = 9 1 równania ze zmienionym znakiem 8n = 80 /:8 obie strony równania dzielimy przez osiem n = 10 pierwsza liczba parzysta = n = * 10 = 0 za n podstawiam 10 druga liczba parzysta = n + = 0 + = trzecia liczba parzysta = n + 4 = 0 + 4 = 4 czwarta liczba parzysta = n + 6 = 0 + 6 = Sprawdzam, czy suma tych liczb wynosi 9. 0 + + 4 + 6 = 9 TAK Odp.: Te liczby to 0,, 4 i 6. 13 14
Analfabetyzm matematyczny 4 Fobia matematyczna Częstym od złudzeń psychologicznych źródłem analfabetyzmu matematycznego jest zjawisko fobii matematycznej. Osoby, które np.: rozumieją skomplikowane fabuły literackie często nie są wstanie pojąć elementarnych wywodów matematycznych, ponieważ nie posiadają matematycznego punktu odniesienia, żadnej elementarnej wiedzy. Matematyka wzbudza wśród nich ogromny lęk. Powodem tego mogło być zastraszenie przez nadgorliwych nauczycieli lub przez inne osoby cierpiące na fobie matematyczną(rodzice, znajomi). Panikują przed zadaniami z treścią, są przekonani o własnej tępocie i czują, że należą do umysłów niematematycznych. Takie zachowanie powoduje ogromne trudności w nauczaniu matematyki. Jednak zahamowania w kontaktach z matematyką można zmniejszyć, pokonać. Jednym z prostych sposobów jest dokładne wyjaśnienie problemu, zdania matematycznego innej osobie. Czas i sposób relacjonowania tego problemu uświadamia nam o własnej lub wspólnej możliwości rozwiązania tego zagadnienia. Inną techniką jest analizowanie tego samego zadania używając mniejszych liczb, badamy analogiczny ale prostszy, ogólniejszy problem, sporządzamy rysunek, porównujemy zadanie lub część zadania, które potrafimy rozwiązać, Rozwiązujemy dużo zadań, przykładów. Należy odróżniać fobie matematyczną od letargu intelektualnego, pojawiającego się u małej ale rosnącej części osób. Jest znacznie trudniejszy do pokonania, ponieważ osobą takim brakuje dyscypliny umysłowej i motywacji, że nic do nich nie dociera. Ich problem jest znacznie poważniejszy od fobii matematycznej. Jak można pomóc osobie, której w ogóle nie zależy na skoncentrowaniu uwagi na sprawach intelektualnych? Redakcja 4 John Allen Paulos Analfabetyzm matematyczny i jego skutki 15