Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22

Plan prezentacji 1 Ryzyko stopy procentowej 2 3 Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa 4 5 Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 2/22

Solvency II aktywne zarządzanie ryzykiem wymogi kapitałowe modele wewnętrzne badania i zarządzania ryzykiem Ryzyko zakładów ubezpieczeń ryzyko stopy procentowej ryzyko spadku wartości akcji czy obligacji ryzyko wystąpienia szkód, których wielkość odbiega od założeń aktuariusza inne Immunizacja Uodpornienie portfela na zmiany stóp procentowych. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 3/22

Oznaczenia {A 1,..., A n } oraz {L 1,..., L n } oznaczają strumienie płatności odpowiednio z aktywów i zobowiązań, zapadających w chwilach 0 t 1 <... < t n, v j, dla j = 1,..., n, oznacza wartość obecną w chwili t = 0 jednostki pieniężnej płatnej w chwili t j obliczoną przy bazowej strukturze stóp procentowych (TSIR), s j,h, dla j = 1,..., n, oznacza wartość bieżącą nadwyżki S j = A j L j w chwili t = H przy bazowej TSIR, tzn. gdzie a j,h = A j v j v H s j,h = a j,h l j,h, oraz l j,h = L j v j v H, Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 4/22

Oznaczenia V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy TSIR: n V H = s j,h, v j, dla j = 1,..., n, oznacza wartość obecną w chwili t = 0 jednostki pieniężnej płatnej w chwili t j obliczoną przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, v j s j,h = S j v, dla j = 1,..., n, oznacza bieżącą wartość nadwyżki S j H w chwili t = H przy zaburzonej strukturze stóp procentowych, V H oznacza wartość bieżącą portfela w chwili H przy zaburzonych stopach procentowych, tj. V H = n s j,h. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 5/22

Problem Jak zmieni się V H na skutek zmian TSIR? Ryzyko stopy procentowej związane ze zmiennością stóp procentowych związane ze strukturą portfela Metoda minimaksowa Nierówności immunizacyjne podanie dolnego ograniczenia dla V H V H w postaci iloczynu maksymalizacja dolnego ograniczenia względem struktury portfela Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 6/22

Nierówności immunizacyjne Fong & Vasicek (1984) Nawalkha & Chambers (1996) Gajek, Ostaszewski & Zwiesler (2005) Uwaga Zauważmy, że n V H V H V H = s j,h f j,h, gdzie f j,h = v H v j v H v j 1 dla każdego j {1,..., n}. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 7/22

Twierdzenie (L.Gajek, E.K., 2013) Oznaczmy s H = (s 1,H,..., s n,h ) oraz f H = (f 1,H,..., f n,h ). Zachodzi nierówność: E V H 1 n EV H n Ef j,h L 2 (s H ) L 2 (f H ), (1) gdzie L 2 (y) = n E y j 1 n 1 2 2 n Ey j dla y = (y 1,..., y n ). W dalszej części przyjmujemy H = 0. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 8/22

Model Mertona i 0, a, σ > 0, W t - standardowy proces Wienera, bieżąca intensywność oprocentowania i (t), t [0, T ] jest dana wzorem i (t) = i 0 + at + σw t. (2) Jeżeli intensywność oprocentowania po zaburzeniach stóp procentowych jest dana wzorem (2), to L 2 (f) = [ n exp( 2i 0t j at 2 j + 2 3 σ2 t 3 j ) v 2 j 1 n ( n ) ] 1 2 exp( i 0t j 1 2 at2 j + 1 6 σ2 t 3 2 j ) v j. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 9/22

Model Vasicka a, b, σ > 0, W t - standardowy proces Wienera, bieżąca intensywność oprocentowania i (t), t [0, T ] jest silnym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego: di (t) = (a bi (t))dt + σdw t. Jeżeli intensywność oprocentowania po zaburzeniach stóp procentowych spełnia założenia modelu Vasicka, to ( L 2 (f) = 1 n ( n [ n exp 2n(0,t j )(i (0) a b ) 2 a b t j +2σ 2 t j 0 v 2 j exp ( n(0,t j )(i (0) a b ) a b t j + σ2 2 ) n 2 (u,t j )du tj )) 2 n 2 (u,t j )du 0 v j ] 1 2, gdzie n(u, t) := [1 exp ( b(t u))] /b. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 10/22

Model logarytmicznie normalny zaburzone stopy procentowe r 1,..., r n są niezależnymi zmiennymi losowymi, 1 + r k, k = 1,..., n, ma rozkład logarytmicznie normalny z parametrami skali i kształtu odpowiednio µ k i σ k. Jeżeli po zaburzeniach TSIR stopy procentowe spełniają założenia modelu logarytmicznie normalnego, to [ n L 2 (f) = 1 j v 2 k=1 exp ( 2(σk 2 µ k) ) j ( n 1 n 1 j v j k=1 exp ( 1 2 σ2 k µ k) ) ] 2 12. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 11/22

Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Będziemy rozważać ubezpieczenia terminowe. Oznaczenia t j = j 1 dla j {1,..., n + 1}, Π j 0, j = 1,..., n, oznacza składkę wpłacaną w momencie t j, jeżeli ubezpieczony żyje, Π n+1 = 0, B j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony umarł w okresie (t j 1, t j ], B 1 = 0, G j 0, j = 2,..., n + 1, oznacza świadczenie wypłacane w chwili t j, jeżeli ubezpieczony żyje, G 1 = 0. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 12/22

Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Oznaczenia x oznacza wiek osoby ubezpieczanej w chwili zawierania umowy, K oznacza liczbę pełnych lat życia pozostałych ubezpieczonemu, tp x oznacza prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje t lat, tq x oznacza prawdopodobieństowo, że osoba w wieku x umrze w ciągu t lat. Nierówność immunizacyjna Załóżmy, że EV = 0. Wówczas zachodzi nierówność E V L 2 (s) L 2 (f). Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 13/22

Produkty ubezpieczeniowe Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Twierdzenie Dla produktu ze strumieniem składek {Π j } oraz strumieniami świadczeń {B j } oraz {G j } zachodzi wzór L 2 (s) = n+1 ( (Π j G j ) 2 vj 2 j 1 p x + Bj 2v j 2 j 2 p x q x+j 2 ). (3) Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 14/22

Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Twierdzenie L 2 (s) = n+1 ( (Π j G j ) 2 vj 2 j 1 p x + Bj 2v j 2 j 2 p x q x+j 2 ). Dowód. Zauważmy, że dla każdego j = 1,..., n + 1 mamy s j = (Π j v j G j v j ) 1l(j 1 < K + 1) + ( B j v j ) 1l(j 1 = K + 1) Esj 2 = (Π j v j G j v j ) 2 P (j 1 < K + 1) + ( B j v j ) 2 P (j 1 = K + 1) = (Π j v j G j v j ) 2 j 1 p x + ( B j v j ) 2 j 2 p x q x+j 2. Po zastosowaniu powyższych obliczeń do wzoru L 2 (s) = otrzymujemy tezę. n+1 Es2 j Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 15/22

Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Świadczenie jest wypłacane na koniec roku śmierci ubezpieczonego, jeżeli umrze on w okresie objętym umową. Wniosek L 2 n ( ) (s) = j 1p x Π 2 j v j 2 + Bj+1 2 v j+1 2 q x+j 1. Dowód. Należy skorzystać z wzoru ogólnego na L 2 (s) z zerowym strumieniem {G j }. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 16/22

Ubezpieczenie na dożycie Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Świadczenie jest wypłacane na koniec roku n, o ile ubezpieczony przeżył n lat. Wniosek L 2 n (s) = Π 2 j v j 2 j 1 p x + Gn+1 2 v n+1 2 n p x. Dowód. Należy skorzystać z wzoru ogólnego na L 2 (s) z zerowym strumieniem {B j } oraz strumieniem {G j }, w którym G j = 0 dla j < n + 1. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 17/22

Ubezpieczenie na życie i dożycie Terminowe ubezpieczenie na życie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie na dożycie Ubezpieczenie na życie i dożycie Odroczone terminowe ubezpieczenie na życie Renta terminowa płatna z dołu Odroczona renta terminowa Świadczenie jest wypłacane na koniec roku śmierci, jeżeli ubezpieczony umrze w ciągu n lat objętych umową, lub na koniec roku n, jeżeli ubezpieczony przeżyje ten okres. Wniosek L 2 n ( ) (s) = j 1p x Π 2 j v j 2 + Bj+1 2 v j+1 2 q x+j 1 + Gn+1 2 v n+1 2 n p x. Dowód. Należy skorzystać z wzoru na L 2 (s) ze strumieniem {G j }, w którym G j = 0 dla j < n + 1. Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 18/22