ZADZIWIAJĄCY TRÓJKĄT PASCALA. Jan Wierzbicki

Podobne dokumenty
Wprowadzenie do kombinatoryki

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Liczby geometryczne. Radosław Żak Katolickie Gimnazjum im. Świętej Rodziny z Nazaretu. Kraków Opieka: dr Jacek Dymel

Sierpiński Carpet Project. W ZSTiL Zespół Szkół Technicznych i Licealnych

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

O CIEKAWYCH WŁAŚCIWOŚCIACH LICZB TRÓJKĄTNYCH

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Przykładowe rozwiązania

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Suma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych

Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1

CIĄGI wiadomości podstawowe

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Programowanie - wykład 4

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

Matematyka dyskretna dla informatyków

Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019

Matematyka rozszerzona matura 2017

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Plan wynikowy. Klasa III Technikum ekonomiczne. Kształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. rok szkolny 2016/2017. Etap III etap wojewódzki- klucz odpowiedzi

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ

Etap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

ZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Szkolny Rozwiązania i punktacja

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

1. FUNKCJE DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K ocena dopuszczająca (2) P ocena dostateczna (3) R ocena dobra (4) D ocena bardzo dobra (5) W ocena celująca (6)

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Wymagania dla klasy siódmej. Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY

Indukcja matematyczna

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)

Wymagania na poszczególne oceny w klasie I gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

S n = a 1 1 qn,gdyq 1

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy

NaCoBeZU z matematyki dla klasy 7

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum

Transkrypt:

ZADZIWIAJĄCY TRÓJKĄT PASCALA Autorzy: Jan Dąbrowski Jan Wierzbicki Gimnazjum im. Jana Matejki w Zabierzowie 2016/2017

SPIS TREŚCI 1. Wstęp 3 2. Trójkąt Pascala 4 3. Dwumian Newtona 5 4. Liczby geometryczne 9 5. Trójkąt Sierpińskiego 11 6. Ciąg Fibonacciego 13 7. Trójkąty Jasiowe 17 8. Zakończenie 19 9. Bibliografia 19 2

WSTĘP Z trójkątem Pascala zetknęliśmy się po raz pierwszy czytając projekt kolegów z naszej szkoły. Temat bardzo nas zainteresował i zainspirował do napisania własnej pracy. Naszym celem jest zapoznanie czytelnika nie tylko z definicją i ogólnie znanymi faktami na temat wspomnianego trójkąta. Przedstawimy przede wszystkim związki trójkąta Pascala z innymi zagadnieniami geometrycznymi i algebraicznymi. Niektóre własności odkryliśmy sami i z nich jesteśmy najbardziej dumni. Opisaliśmy je jako spostrzeżenia. Znalezione w różnych źródłach opisaliśmy jako związki. W naszej pracy przytaczamy osiągnięcia wielu znanych i mniej znanych gimnazjalistom naukowców. Zaspokajając naturalną ciekawość podajemy krótkie notki biograficzne, które mogą być inspiracją do kolejnych projektów naszych kolegów i koleżanek. 3

Trójkąt Pascala Blaise Pascal (1623 1662) był francuskim filozofem, matematykiem, pisarzem i fizykiem. Tematem jego badań były m. in. prawdopodobieństwo, próżnia i ciśnienie atmosferyczne. Na jego cześć nazwano jednostkę ciśnienia ( paskal) oraz język programowania ( Pascal). Wymyślił pierwszą ruletkę oraz tzw. Pascalinę, pierwszą maszynę liczącą, która potrafiła dodawać. Odkrył tzw. Prawo Pascala. Wybudował w 1662 roku pierwszą linię komunikacji miejskiej, po której kursował omnibus projektu Blaise Pascala. Do matematyki wprowadził obiekty nazwane potem ślimakiem Pascala i trójkątem Pascala. Definicja Trójkąt Pascala to trójkątna tablica składająca się z liczb ułożonych według następującego schematu: w wierzchołku trójkąta oraz na jego dwóch bokach są jedynki. Reszta liczb powstaje w ten sposób, że liczba będąca w kolejnym rzędzie jest sumą dwóch liczb, które znajdują się bezpośrednio nad nią. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 4

Dwumian Newtona Isaac Newton (1642-1727) był angielskim fizykiem, matematykiem, astronomem, filozofem oraz historykiem i badaczem Biblii. Znany jest przede wszystkim z odkrytych trzech zasad dynamiki, zasady zachowania pędu oraz momentu pędu. Na jego cześć nazwano jednostkę siły ( Niuton). Głosił, że światło ma naturę korpuskularną. Zajmował się też pomiarami prędkości dźwięku. Jako pierwszy matematycznie opisał zjawisko pływów morskich. Do matematyki wprowadził rachunek różniczkowy i całkowy co dało możliwości do tworzenia nowych teorii naukowych w analizie matematycznej. Sformułował twierdzenie o dwumianie. Symbol ( k n ) (czytamy n nad k lub k pod n), nazywany jest współczynnikiem dwumianowym lub dwumianem Newtona, jest to funkcja dwóch argumentów całkowitych nieujemnych takich, że: n n! ( k ) = k!(n k)! Zapis n! (czytamy n silnia) jest równy iloczynowi liczb naturalnych od 1 do n, n!= 1 2... n. Gdy n=0, 0!=1. 5! 2!(5 2)! Przykład: ( 5 2 ) = = 10, Związek 0 z Trójkątem Pascala Zapis ( 5 2 ) oznacza, że druga liczba piątego wiersza, gdzie jedynki na lewym boku są uznawane jako zerowa liczba danego wersu, równa się 10, czyli wartości współczynnika ( 5 n n! 2 ). Ogólnie zachodzi związek ( k ) =, że k-ta k!(n k)! liczba n-tego wiersza, gdzie jedynki na lewym boku są uznawane jako zerowa n! liczba danego wersu, równa się. k!(n k)! 5

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Oprócz rachunku prawdopodobieństwa Dwumian Newtona znajduje ciekawe zastosowanie w algebrze. W szkole poznajemy tzw. wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy dwóch wyrażeń. Jednak co wtedy gdy chcielibyśmy wyprowadzić wzór na (x+y) 7? Wtedy przydają się następujące wzory: (x+y) n = ( o n ) x n + ( n 1 ) x n-1 y + ( n 2 ) x n-2 y 2 + ( n 3 ) x n-3 y 3 + + ) y n (x-y) n = (x+(-y)) n = ( n 0 ) x n + ( n 1 ) x n-1 (-y) + ( n 2 ) x n-2 (-y) 2 + ( n 3 ) x n-3 (-y) 3 + + ) (-y) n Powyższe związki można zapisać za pomocą jednego wzoru: (x + y) n = n n ( )xn k k yk k=o ( n n ( n n Związek 1 z Trójkątem Pascala Wskazana tutaj zależność podobnie jak Związek 0 dotyczy położenia liczb w trójkącie Pascala. Najlepiej jak pokażemy to na przykładzie. Zaznaczyliśmy odpowiednimi kolorami liczby, które występują w wielomianie i w trójkącie Pascala. (x+y) 3 = 1 x 3 + 3 x 2 y+ 3 xy 2 + 1 y 3 6

0. 1 1. 1 1 2. 1 2 1 3. 1 3 3 1 4. 1 4 6 4 1 5. 1 5 10 10 5 1 Dzięki rozpisaniu liczb w trójkącie Pascala możemy szybko i poprawnie podać wielomian odpowiadający wspomnianemu powyżej (x+y) 7. Ciekawostka Symbol Newtona określa ilość kombinacji, czyli ilość podzbiorów k-elementowych stworzonych w n-elementowym zbiorze. Po polsku zapisujemy n n! C =, po angielsku n k C k, po amerykańsku n C k ( n brane pod k). k!(n k)! Przykład: Policzmy ile jest kombinacji 3-elementowych w zbiorze 4-elementowym. C 4 3 = 4! 3!(4 3)! =4 Mając dany zbiór 4-elementowy {a,b,c,d} możemy ułożyć następujące 3-elementowe podzbiory: {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}. Jeżeli kolejność elementów w podzbiorach ma dla nas znaczenie, wtedy taką kombinację k-elementową ze zbioru n-elementowego określa się wariacją bez powtórzeń i oblicza ze wzoru: n n! V k = (n k)! 7

Ilość wariacji jest większa od kombinacji tylokrotnie, ile jest różnych permutacji, czyli kombinacji k-elementowych ze zbioru k-elementowego, określanej wzorem P k = k! Zatem: C n V k = n k n! P k = k!(n k)! Możemy jeszcze obliczyć wariację z powtórzeniami k-elementów ze zbioru n-elementowego ze wzoru V k n = n k 8

Liczby geometryczne Trzy punkty można ułożyć w trójkąt, cztery w kwadrat, pięć w pięciokąt itd. Można więc 3 uważać za liczbę trójkątną, 4 za czworokątną, 5 za pięciokątną itd. Rysunki poniżej pokazują, jak można, rysując kropki, określić inne liczby geometryczne inaczej wielokątne. W podobny sposób można układać z punktów wielościany. Wtedy otrzymalibyśmy liczby wielościenne. 9

Związek 2 z Trójkątem Pascala W Trójkącie Pascala mamy następujące rzędy liczb: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 - boki trójkąta tworzą jedynki, - drugimi rzędami są kolejne liczby naturalne - 1,2,3,4,5,6,... (n) - następny rząd tworzą liczby trójkątne - 1,3,6,10,15 (n?) - kolejny rząd to liczby czworościenne - 1,4,10,20,35 (1?+...+(n-1)?+n?) Spostrzeżenie 1 W trójkącie Pascala nie ma rzędu liczb kwadratowych. Stosując wcześniejsze wzory na Dwumian Newtona można wprowadzić wzór: n 2 = ( n+2 ) ( n ) Dowód: ( n+2 n 1) ( n (n+2)! n 3) = (n 1)! (n+2 n+1)! n! (n 3)! (n n+3)! = n (n+1) (n+2) 3! (n 2) (n 1) n 3! = n 2 n 1 n 3 Spostrzeżenie 1 Obserwując liczby w trójkącie Pascala zauważyliśmy następującą własność ) = (n-1)?, gdzie? oznacza słabnię zdefiniowaną jako n?=1+ 2+ +3+...+n. ( n 2 Co dało nam możliwość odkrycia następującego wzoru: n? = ( n+1 n 1 ) Dowód: ( n+1 ) n (n+1) = 1 + 2 +... + n n 1 = (n+1)! (n 1)! (n+1 n+1)! = n (n+1) 2! = 2 10

Trójkąt Sierpińskiego Wacław Sierpiński (1882-1969) polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej i twórców tzw. Polskiej Szkoły Matematycznej. Pozostawił olbrzymi dorobek naukowy, obejmujący wiele książek, 724 prace i komunikaty, 113 artykułów i 13 skryptów. Prace te dotyczyły teorii liczb, analizy matematycznej, ogólnej i opisowej teorii mnogości, topologii mnogościowej, teorii miary i kategorii oraz teorii funkcji zmiennej rzeczywistej. Definicja Trójkąt Sierpińskiego to taki trójkąt równoboczny poddawany następującym zmianom: łączymy środki boków, dzieląc trójkąt na 4 przystające i podobne do wyjściowego. Środkowy usuwamy i powtarzamy tą czynność na pozostałych. Jak widać nasz trójkąt jest coraz bardziej dziurawy. Jednocześnie każdy element trójkąta jest samopodobny do figury wyjściowej. Taką figurę nazywany fraktalem. 11

Związek 3 z Trójkątem Pascala Jeżeli pomalujemy liczby parzyste na jasno a nieparzyste na ciemno fioletowo w trójkącie Pascala to otrzymamy układ podobny do fraktala trójkąta Sierpińskiego. 12

Ciąg Fibonacciego Leonardo Fibonacci z Pizy (1175 1250) włoski matematyk. Jako syn kupca Bonacciego, dużo podróżował najpierw razem z ojcem, później samodzielnie, odwiedzając i kształcąc się w takich miejscach jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja, Sycylia. Definicja Ciąg liczb naturalnych 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 określony rekurencyjnie w następujący sposób: -pierwszy wyraz jest równy 0, drugi 1, -kolejny to suma 2 poprzednich. Ciekawostka Jeżeli obliczylibyśmy ilorazy dwóch kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego to okazuje się, że im większe weźmiemy wyrazy tego ciągu tym dokładniejsze otrzymamy przybliżenie liczby ϕ ( czytamy phi) zwanej złotą liczbą. F n+1 = ϕ = lim n Fn 1.618033988749894848204586834... Złota liczba związana jest ze złotym podziałem odcinka. Liczby a i b są w złotym stosunku jeśli spełnione jest równanie: a+b a a = b Jeżeli przyjmiemy, że b=1 wtedy dodatnim rozwiązaniem powyższego równania będzie właśnie liczba ϕ = 1+ 5 = 1.618.... 2 A oto złoty prostokąt, na którym zaznaczono kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego. Rysując odpowiednio łuki w prostokącie otrzymamy również złotą spiralę. 13

Czy Donald Trump ma coś wspólnego ze złotym podziałem to się okaże :) Związek 4 z Trójkątem Pascala Jeśli zsumujemy liczby występujące po skosach w trójkącie Pascala to otrzymamy kolejne liczby ciągu Fibonacciego 14

Związek 5 z Trójkątem Pascala W trójkącie Pascala możemy zauważyć również, że sumy liczb w wierszach są kolejnymi potęgami liczby 2. =1= = 2 0 S 0 =2= 2 1 = S 1 =4= 2 2 = S 2 =8= 2 3 = S 3 =16= 2 4 = S 4 =32= 2 5 = S 5 Co oznacza, że każda następna suma będzie dwa razy większa od poprzedniej. S n = ( n 0 ) + (n 1 ) + + ) + a więc ( n n 1 ( n n ) n+1 k=0 n+1 ( k n n ( k k=0 S n+1 = ) = 2 ) = 2S n 15

Spostrzeżenie 2 Gdybyśmy czytali liczby w wierszach trójkąta Pascala jako liczbę w systemie pozycyjnym to następne wierszoliczby są 11 razy większe od poprzedniej wierszoliczby. R 0 = 1 R 1 = 1 11=11 R 2 = 11 11=121 R 3 = 121 11=1331 R 4 =1331 11=14641 R 5 = 14641 11=161051 R n = n n ( k ) 10 k k=0 n ( n n j j=0 10 n = )10 j W tym i kolejnych przypadkach iloczyn będzie liczbą budowaną w sposób pokazany na powyższym rysunku n+1 n+1 R n+1 = 10 ) n+1 = 11 n n 10 ( k ) n =11 R n ( k k=0 10 k k=0 10 k 16

Trójkąty Jasia Utwórzmy nieco zmieniony trójkąt. Wyrazy poniżej również są sumą wyrazów powyżej. Niech czytelnik odgadnie regułę tworzenia kolejnych wierszy. Suma: Liczby utworzone: 1 =1 1 1 1 1 =3 111 1 2 3 2 1 =9 12321 1 3 6 7 6 3 1 =27 1367631 1 4 10 16 19 16 10 4 1 =81 151807041 1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1 =243 Itd. Spostrzeżenie 4 Można zauważyć, że suma liczb w kolejnych wierszach jest potęgą liczby 3. Taki trójkąt nazwaliśmy L=3 a Trójkąt Pascala jest więc trójkątem typu L=2. Podobnie jak w Spostrzeżeniu 2 dla trójkąta L=2, w trójkącie L=3 możemy stwierdzić, że cyfry z każdego kolejnego wiersza układają się w wierszoliczby 111 razy większe od poprzedniej wierszoliczby. 1 111=111 111 111=12321 itd. 17

1 =1 1 1 1 1 =4 1 2 3 4 3 2 1 =16 3 6 10 12 12 10 6 3 1 Kolejnym Trójkątem Jasia trójkąt L=4, w którym sumy liczb w kolejnych wierszach to potęgi 4. Również tutaj poprawny jest wzór: S n = L n, gdzie oznacza sumę liczb w wierszu. W tych trójkątach także występują liczby wielokątne. Natomiast liczby utworzone z cyfr w kolejnych wierszach tworzą liczby 1111 razy większe. Własność ta powtarza się w każdym tak zbudowanym trójkącie o L naturalnym. R L,n+1 = R L,n L 10 t R L,n t=0 - liczba utworzona przez cyfry w n-tym wierszu S n 18

Zakończenie I czas na zakończenie. Cały czas pracujemy nad swoim projektem szukając innych ciekawych własności i związków Trójkąta Pascala z kolejnymi zagadnieniami matematycznymi. Jak do tej pory poszerzyliśmy znacznie swoją wiedzę o tematy wykraczające poza szkolną matematykę (silnie, słabnie, dwumiany Newtona, złota liczba, ciągi i granice, fraktale, liczby wielokątne i wielościenne). Staraliśmy się spisywać własne spostrzeżenia. I to jest najbardziej fascynujące. Dodatkowo nauczyliśmy się zapisywać skomplikowane wzory, które teraz są dla nas czytelne i na swój sposób ładne. Wykonaliśmy stosowne rysunki. I przekopaliśmy niemal cały Internet :) Zatem ciąg dalszy nastąpi. Bibliografia www.wikipedia.pl www.delta.edu.pl Księga liczb, J.H.Conway, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne 1999 Magazyn Miłośników Matematyki 2004, nr 3 19