INSTYTUT MATEMATYKI I KRYPTOLOGII WYDZIAŁ CYBERNETYKI WAT ZADANIA KONKURSOWE MATEMATYKA PRZYGOTOWALI

INSTYTUT MATEMATYKI I KRYPTOLOGII WYDZIAŁ CYBERNETYKI WAT ZADANIA KONKURSOWE MATEMATYKA PRZYGOTOWALI JERZY GAWINECKI, LUCJAN KOWALSKI, WOJCIECH MATUSZEWSKI WARSZAWA 0

Zadanie Przez środek boku trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt ostry α. Wyrazić stosunek pól figur na jakie ta prosta dzieli trójkąt ABC jako funkcję kąta α. Oznaczmy: a - długość boku trójkąta ABC, Pole trójkąta ABC: S ABC = a 4 Pole trójkąta DBE: a S DBE = DB DE sin α = DE sinα () 4 Z twierdzenia sinusów dla trójkąta DBE: DE sin 60 = O O O sin(80 DB 60 α ) Stąd O DB sin 60 a DE = = () O O sin(0 α) 4sin(0 α)

Wstawiając () do () otrzymamy Pole czworokąta ADEC: Zatem S S ADEC DBE a S = 4 S DBE S DBE ADEC S a sin α 6sin(0 α) DBE = O = S ABC S DBE a = S 4 DBE O O a 6sin(0 α) 4sin(0 α ) = = 4 a sin α sin α O S ADEC 4sin(0 α) Odp. Szukany stosunek pól ma wartość =. S sin α DBE Zadanie W okręgu o promieniu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy AB i CD. Wykazać, że AC + BD = 4. Niech wtedy ABC = α, BCD = 90 o α Stosujemy twierdzenie sinusów AC = sinα o BD = sin(90 α) = cosα, zatem ( sin α ) + ( cosα ) = 4( sin α + cos ) = 4 AC + BD = α

Zadanie Cięciwa o długości równej promieniowi koła dzieli to koło na dwie części. Jaki jest stosunek pola większej części figury do mniejszej? r promień koła, P 6 4 = π r r (pole wycinka minus pole trójkąta równobocznego), P r P = π P πr P πr π k = = = =, P P πr r π 6 4 π Odp. Szukany stosunek pól ma wartość k =. π Zadanie 4 Dany jest trójkąt ABC o polu równym. Z wierzchołka B opuszczamy prostopadły odcinek BM na dwusieczną kąta C. Oblicz pole trójkąta AMC. 4

Przez punkt B prowadzimy równoległą do prostej AC do przecięcia z dwusieczną kąta C, punkt przecięcia oznaczamy przez N. Zatem BNC = ACN = BCN Trójkąt BCN jest równoramienny, stąd MB jest środkową, zatem: P AMC = 0,5 P ANC = 0,5 P ABC = 0,5. II sposób P AMC = AC CM sin C lecz CM stąd C = cos P AMC = C C AC BC sin cos = 4 AC BC sin C = P ABC = Odp. Pole trójkąta AMC jest równe 0,5. Zadanie 5 W trójkącie ABC punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Punkty M i N są odpowiednio środkami boków BC i AC. Wiadomo, że kąt AON jest prosty. Udowodnij, że kąt BOM też jest prosty. 5

MN AB BAO = OAN BAN + MNA = 80 o o BAN + MNA = 90 Z założenia o BAN + ONA = 90 = AON Stąd MNA = ONA czyli punkt O leży na dwusiecznej kąta MNA, zatem okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do MN. Z drugiej strony ABM + BMN = 80 stąd o ABM + BMN = 90 oraz OBM + BMO = ABM + stąd o BMN 6

OBM + BMO = 90 zatem o o BOM = 80 ( OBM + BMO ) = 90 o Zadanie 6 Wyznacz zbiór środków cięciw paraboli y = przechodzących przez punkt P = (0, ). Każda cięciwa paraboli przechodząca przez punkt P ma równanie y = a + gdzie a R Rozwiązując układ równań y = a + y = otrzymujemy punkty wspólne cięciwy z parabolą: a a + 4 a a a + 4 +, 6 6 Środek cięciwy ma więc współrzędne Ponieważ oraz a a +, 6 6 a + a = + = 6 a 6 6 6 więc szukanym zbiorem jest parabola o równaniu y = 6 + a + a + 4 a + a a + 4 +, 6 6 + Zadanie 7 Pierwiastek trójmianu a + a + b pomnożono przez pierwiastek trójmianu i otrzymano. Wyznaczyć te pierwiastki. a + b + b Niech y i z = będą tymi pierwiastkami, y y 0 z założenia. Wtedy a b ay + ay + b = 0 i + + b = 0 y y stąd ay + ay + b = 0 i by + by + a = 0 7

Dodając te równania stronami otrzymujemy ( a + b) y + ( a + b) y + a + b = 0 ( a + b)( y + y + ) = 0 Ponieważ drugi czynnik jest zawsze dodatni, to a + b = 0 czyli b = a Po podstawieniu do pierwszego równania mamy a ( y + y ) = 0 Stąd ± 5 y =, Odp. Szukane pierwiastki to ± 5 z = = y ± 5 y =, ± 5 z =. Zadanie 8 Rozwiąż równanie =. Podstawiając y =, otrzymamy równanie = czyli y y stąd = y y zatem y = = co oznacza, że = Odp. Szukane rozwiązanie to y y =. Zadanie 9 Rozwiąż równanie 6 6 6 6 ( + ) + ( + ) ( ) + ( + ) ( ) +... + ( ) = 0. Mnożymy obie strony przez ( + ) ( ) = Wtedy rozpatrywane równanie ma postać ( + ) 64 ( ) 4 = 0 8

Co jest równoważne Zatem jedynym rozwiązaniem jest = 0. Odp. Szukane rozwiązanie to = 0. + = Zadanie 0 Rozwiąż nierówność log log 0,5 4 log0, 5 log + 0,5 + 0. Założenia > 0 log 0,5 > 0 log 0,5 Zatem czyli 0,, > 0 0 < < 0,5 Korzystając ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu mamy log i rozpatrywana nierówność ma postać Podstawiając czyli log 0,5 4 = log log 0,5 log,5 log 0,5 = log log log 0,5 = 0 log log 0,5 log log t otrzymamy ( t )( t + ) stąd t [,0 ) [, ) t Rozpatrujemy dwa przypadki lub log log 0,5 < 0 log log 0,5 log t + 0 t 0 0,5 0,5 + 0 9

czyli równoważnie 0,5;0,5 lub [ ) ; 4 0,5;0,5 ;. 4 Uwzględniając założenia mamy ostatecznie [ ) 4 Odp. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór [ 0,5;0,5 ) ;. Zadanie Rozwiąż układ równań + y 4 y y = + 7 = 0. Uwzględniając drugie równanie mamy y = ( y) = y + y = + y + 4 Zatem pierwsze równanie możemy zapisać jako równanie kwadratowe względem y : stąd y = lub y = Rozpatrując cztery przypadki y 4 y + = 0 () () () (4) y = y = y = y = y = y = y = y = 0

Otrzymujemy cztery rozwiązania (układy () i () są sprzeczne): = = () () y = y = (4) = y = (4) = y = Odp. Równanie ma cztery rozwiązania (, -); (, -); (-,); (-,). Zadanie Rozwiąż układ równań y = 5 + y + + y = 4 Równanie drugie zapisujemy w postaci + y + ( + y) y = 4 Podstawiamy y = 5 i oznaczmy + y = a. Otrzymamy równanie: które ma dwa pierwiastki: a + a 7 = 0, a =, a 8. 9 = Zatem: y = 5 y = 5 lub + y = 9 + y = 8 Rozwiązując te układy równań otrzymamy cztery rozwiązania zadania: = ( 9 ) /, y = ( 9 + = ( 9 + ) /, y = ( 9 =, y = = 5, y = 5 ) / ) / Zadanie Podaj wszystkie pary liczb całkowitych (, y) spełniające układ nierówności y 0 y + Z pierwszej nierówności

zatem Z drugiej nierówności Są więc możliwości: Jeżeli y = 0, to y y 0. y. y = 0 lub y = lub y =. = 0, Równanie jest spełnione przez liczby całkowite: 0 i. Łatwo sprawdzić, że te liczby spełniają też nierówność. Jeżeli y =, to Druga nierówność jest spełniona przez trzy liczby całkowite: 0, i. Łatwo sprawdzić, że te liczby spełniają też pierwszą nierówność. Jeżeli y =, to = 0 Równanie jest spełnione przez liczbę. Łatwo sprawdzić, że ta liczba spełnia też nierówność. Zatem jest 6 par spełniających warunki zadania: (0,0), (0,), (,), (,), (,0) i (,). Zadanie 4 Dana jest funkcja 4 f ( ) = 4 + Niech g() = f(f()). Wykonaj wykres funkcji g(). Jakie rozwiązania ma równanie g() = 0? 0 < 0 Zauważmy, że stąd Wykonując kolejno wykresy funkcji f ( ) = 4 g( ) = 4 4

a) g ( ) = b) g ( ) = c) g ( ) = 4 d) g ( ) = 4 4 e) g ( ) = 4 5 f) g ( ) = 4 4 6 g) g ( ) = 4 4 7 otrzymamy wykres g() 4-8 -4 4 8 Rozwiązaniem równania g() = 0 są miejsca zerowe tej funkcji, tzn. = ; = 0; 8. 8 = Zadanie 5 Dana jest taka funkcja kwadratowa rozwiązań rzeczywistych. Udowodnij, że równanie rzeczywistych. f ( ) = a + b + c, że równanie f ( ) = nie ma f ( f ( )) = też nie ma rozwiązań Jeśli równanie f ( ) = nie ma rozwiązań, to oznacza, że parabola będąca wykresem funkcji y = f() leży powyżej lub poniżej prostej y =.

Pokażemy, że wtedy również wykres funkcji y = f ( f ( )) leży powyżej lub poniżej prostej y = co oznacza, że równanie Niech dla każdego zachodzi f ( f ( )) = nie ma rozwiązań. f ( ) > (y = f() leży powyżej prostej y = ). Podstawiając do tej nierówności f () zamiast otrzymamy f ( f ( )) > f ( ) > Co z przechodniości relacji nierówności daje f ( f ( )) > i oznacza, że wykres funkcji y = f ( f ( )) leży powyżej prostej y =. Analogicznie można rozpatrzeć drugi przypadek. Zadanie 6 Dana jest funkcja f ( ) =, Dla jakich jest spełniona nierówność f ( f ( )) f ( ) f ( f ( )) = =, Trzeba więc rozwiązać nierówność równoważną nierówności 0 ( )( ) Stąd dostaniemy odpowiedź: 5 + 5 ; ; Zadanie 7 W ciągu geometrycznym suma wyrazów pierwszego i drugiego wynosi 08 a suma wyrazów drugiego i trzeciego 5. Wyznacz trzy początkowe wyrazy tego ciągu. q iloraz a pierwszy wyraz ciągu Musi być spełniony układ równań 4

czyli a + aq = 08 aq + aq = 5 ( + q) ( + q) a = 08 aq = 5 stąd q = 5 ; 48 4 a = oraz a = 60; a = 75 Odp. Trzy początkowe wyrazy ciągu to: 48, 60, 75. Zadanie 8 Dla jakich m liczby, y, z spełniające układ równań tworzą ciąg geometryczny? + y + z = m + 4 y + z = m + + y z = m Obie strony równania pierwszego mnożymy przez i dodajemy otrzymane równanie do równania drugiego. Otrzymujemy: y =. Wstawiając y = do równań pierwszego i trzeciego otrzymamy: m + 5m + 9 =, z =. 6 6 Aby liczby, y, z tworzyły ciąg geometryczny musi być czyli z = y 5m + 4m + 7 = 44 Stąd dostajemy odpowiedź: m = 7, 8 lub m =. Zadanie 9 Logarytmy dziesiętne trzech liczb tworzą ciąg arytmetyczny rosnący. Suma odwrotności tych liczb jest równa 9, a suma kwadratów ich odwrotności jest równa 89. Co to za liczby? Oznaczmy szukane liczby:, y, z. Z warunków zadania wynika układ równań: 5

Niech log y = (log + log z) / + + = 9 y z + + = 89 y z a =, b =, c =. Wtedy: y z b = ac a + b + c = 9 a + b + c = 89 Stąd a =, b = 9, c = 7 lub a = 7 b = 9, c = a w konsekwencji = /, y = / 9, z = / 7 lub = / 7, y = / 9, z = / Ciąg, y, z ma być rosnący, zatem odpowiedź: = / 7, y = / 9, z = / Zadanie 0 Wyznacz wszystkie liczby naturalne n dla których liczba n + jest potęgą liczby. Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną. Szukamy liczb naturalnych n spełniających równość k n + = dla pewnej liczby naturalnej k. lecz n + = ( n + )( n n + ) zatem r n + = ; n n + = s r, s N. Stąd n nie dzieli się przez (bo daje resztę ). Zauważmy, że r s n = ( n + ) ( n n + ) = stąd r s n = co jest możliwe tylko wtedy, gdy s = (bo n nie dzieli się przez ) zatem n n + = 6

czyli n n = 0 stąd n = ; n = Drugi pierwiastek odrzucamy, bo nie jest liczbą naturalną. Odp. Tylko liczba spełnia przedstawiony warunek. Zadanie Gdy w pewnej liczbie naturalnej zmieniono kolejność cyfr to otrzymano liczbę trzy razy mniejszą od danej liczby. Udowodnić, że tak otrzymana liczba dzieli się przez 7. a dana liczba, a liczba uzyskana po przestawieniu cyfr, Zatem (*) a = a czyli a jest podzielna przez, stąd suma jej cyfr jest podzielna przez. Ponieważ przestawianie cyfr nie zmienia ich sumy, to liczba a też jest podzielna przez, czyli można ją przedstawić w postaci a = n gdzie n jest pewną liczbą naturalną i po podstawieniu do (*) otrzymamy a = (n) = 9n co oznacza, że a jest podzielna przez 9. Zatem suma jej cyfr jest podzielna przez 9 i liczba a też jest podzielna przez 9, czyli można ją przedstawić w postaci a = 9m gdzie m jest pewną liczbą naturalną i po podstawieniu do (*) otrzymamy a = (9m) = 7m co oznacza, że a jest podzielna przez 7. Co należało wykazać. Zadanie Wyznacz takie liczby naturalne, y, że + + jest potęgą liczby y o wykładniku naturalnym, oraz y + y + jest potęgą liczby o wykładniku naturalnym. n ) Jeśli = y to + + = zatem prawa strona dzieli się przez więc i lewa strona powinna dzielić się przez. Jest to możliwe tylko dla =, lecz to prowadzi do sprzeczności =. 7

) Jeśli y to możemy założyć, że y <. Wtedy > y + y +, stąd może być tylko w pierwszej potędze, tzn. y + y + =, wtedy m ( y + y + ) + ( y + y + ) + = y stąd 4 y + y + y + y + = m y Prawa strona dzieli się przez y więc i lewa strona powinna dzielić się przez y. Zatem y jest dzielnikiem liczby, lecz ani y =, ani y = nie spełnia tej równości. Odp. Żadna para liczb naturalnych nie spełnia warunków zadania. Zadanie Podaj wszystkie pary liczb całkowitych (, y) spełniające równanie ( + y )( y ) 5 = 0 Mamy: ( + y )( y ) = 5 Oba czynniki są liczbami całkowitymi, więc są 4 możliwości: + y = + y = 5 + y = + y = 5 lub lub lub y = 5 y = y = 5 y = Rozwiązując powyższe układy równań otrzymamy odpowiedź. Szukane pary to (, ), (, ), (,0), (, 4). Zadanie 4 Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest równy 700, a ich największy wspólny dzielnik to 6. Co to za liczby? Oznaczmy szukane liczby: oraz y. Zapiszmy: = 6 m, y = 6n gdzie m, n N Zatem Stąd 6 m 6n = 700 m n = 75 Jest 6 możliwości: m =, n = 75 lub m =, n = 5 lub m = 5, n = 5 lub m = 5, n = 5 lub m = 5, n = lub m = 75, n = 8

Liczby m oraz n nie mogą mieć wspólnego dzielnika większego niż, gdyż wtedy liczby oraz y miałyby wspólny dzielnik większy niż 6. Zatem przypadki m = 5, n = 5 oraz m = 5, n = 5 odpadają. Z pozostałych przypadków wynika, że szukane liczby to 6 i 450 lub 8 i 50. Zadanie 5 Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 504, a największy wspólny dzielnik tych liczb to 6. Co to za liczby? Oznaczmy szukane liczby: oraz y. Zapiszmy: = 6 m, y = 6n gdzie m, n N Zatem Stąd 6 m + 6n = 504 m + n Liczby m oraz n nie mogą mieć wspólnego dzielnika większego niż, gdyż wtedy liczby oraz y miałyby wspólny dzielnik większy niż 6. Zatem możliwe przypadki to: m =, n = lub m =, n = lub m = 5, n = 9 lub = 4 m = 9, n = 5 lub m =, n = lub m =, n = Stąd znajdujemy pary liczb spełniających warunki zadania: 6 i 468 lub 08 i 96 lub 80 i 4. Zadanie 6 Iloczyn trzech liczb pierwszych jest 5 razy większy od sumy tych liczb. Co to za liczby? Oznaczmy szukane liczby:, y oraz z. Zatem yz = 5( + y + z) Prawa strona równania jest podzielna przez 5, więc lewa też. Jest ona iloczynem liczb pierwszych, więc jedna z liczb, y, z jest równa 5. Załóżmy, że = 5. Wtedy: 5yz = 5(5 + y + z) Z tego równania wyznaczamy y: 6 z musi być liczbą pierwszą, zatem y = + 6 z z = lub z = lub z = 7 9

Jeżeli z =, to y = 7, jeżeli z =, to y = 4 - to nie jest liczba pierwsza, a jeżeli z = 7, to y =. Odpowiedź: Te liczby to, 5 i 7. Zadanie 7 Okno ma kształt prostokąta na którego górnej podstawie dobudowano półkole. Obwód okna wynosi 5m. Jaka powinna być szerokość okna, by jego powierzchnia była największa? Oznaczmy: - szerokość okna, y - wysokość części prostokątnej. Zatem: + y + π / = 5 () Powierzchnia okna przy czym ( 0; 0 /( + π )). P = y + π /8 () Wyznaczając z () y i wstawiając do () dostaniemy: π 5 P = + 8 Największa wartość pola P jest przyjmowana dla = 0 /(4 + π ). Zadanie 8 Dysponujemy taką liczbą jednakowych monet, że można nimi wszystkimi wypełnić trójkąt równoboczny lub kwadrat. Liczba monet w boku kwadratu jest o 4 mniejsza niż liczba monet w boku trójkąta. Iloma monetami dysponujemy? W trójkącie: w pierwszym rzędzie jest moneta w drugim rzędzie są monety... w ostatnim k-tym rzędzie jest k monet. Łączna liczba monet: k( k + ) + +... + k = Oznaczmy liczbę rzędów w kwadracie literą n. Liczba monet w kwadracie to Z warunków zadania mamy: n. 0

Ten układ ma rozwiązania: n = k 4 k( k + ) n = k = 8, n = 6 lub k = 49, n = 5 Liczba monet nie może być ujemna, zatem k = 49, n = 5. Stąd obliczamy, że monet jest 5. Zadanie 9 Przejazd łódką 0 km w dół rzeki i z powrotem trwał 7 godzin. Równocześnie z łódką z tego samego miejsca wypłynęła tratwa, którą spotkano w drodze powrotnej w odległości km od miejsca wyruszenia. Oblicz prędkość wody. Oznaczmy: - prędkość wody w km/h, y - prędkość łódki względem płynącej wody. Wówczas: + y - prędkość łódki gdy płynie z prądem, y - prędkość łódki gdy płynie pod prąd. Czas płynięcia łódką w dół rzeki: Czas płynięcia łódką 0 km w górę rzeki: Czas płynięcia łódką 8 km w górę rzeki: 0. + y 0. y 8 y. Czas płynięcia km tratwą: Zatem: 0 + + y 0 + + y. 0 = 7 y 8 = y Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy: =, y = 7. Prędkość wody wynosi km/h.

Zadanie 0 Na drodze 6m przednie koło ciągnika wykonało o 6 obrotów więcej niż tylne. Gdyby obwód każdego koła zwiększyć o m, to na tej samej drodze przednie koło wykonałoby o obroty więcej niż koło tylne. Oblicz obwody kół. Oznaczmy: - obwód przedniego koła, y - obwód tylnego koła (y > ). Z warunków zadania mamy: 6 6 = + 6 y 6 6 = + + y + Stąd: y + 6 6y = 0 y + y + = 0 Odejmując od równania pierwszego równanie drugie otrzymamy: y =,4 + 0, Podstawiając wyznaczony y do równania pierwszego (w ostatnim układzie) dostajemy: 7 6 = 0 Jednym z pierwiastków tego równania jest / 7. Ten pierwiastek odrzucamy (obwód koła nie może być liczbą ujemną). Drugim pierwiastkiem jest =. Wtedy y =. Są to obwody kół w metrach.

ZADANIA Z KONKURSU 009-00 ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Ile wynosi odległość początku układu współrzędnych od prostej y = + 5? 4 I II 4 III 5 IV 8. Który z poniższych wzorów jest prawdziwy dla dowolnych zdarzeń losowych A i B? I P( A B) P( A) II P( A B) = P( A) + P( B) III P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) IV P( A B) = P( A) + P( B) P( A) P( B). W ciągu ( ) n a wyraz a n wynosi n +. Ile wynosi wyraz a n dla n >? n + 4 I n n + II n n + III n n + 4 IV n n + 4 4. Dane są równania dwóch okręgów + y = 9 ( ) + ( y 4) = Jakie jest wzajemne położenie tych okręgów? I Okręgi są styczne zewnętrznie II Okręgi przecinają się w dwóch punktach III Okręgi nie mają punktów wspólnych IV Okręgi są styczne wewnętrznie 5. Kula o promieniu R ma tę samą objętość, co sześcian o przekątnej. Ile wynosi R? I 4 π II 4π III π 4 IV 4π

n 6. Dany jest ciąg geometryczny a n = 4 n =,,,... I Ile wynosi suma n początkowych wyrazów tego ciągu? n II ( ) n III n n IV 0 5, 7. Który z poniższych rysunków przedstawia zbiór wszystkich rozwiązań równania y + y = 0? I II III IV 4

8. Cena towaru wynosiła p. Cenę tę podniesiono o 8%, a następnie nową cenę obniżono o 0%. Ile wynosi cena towaru po tych zmianach? I p II p 0, 0 III 0, 98 p IV 0, 97p 9. Jaką wartość ma wyrażenie 4 log 7? I 4 II 49 III 7 IV 8 0. Dany jest zbiór Z = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, } Ile jest 6-elementowych podzbiorów tego zbioru, do których należą dokładnie dwie liczby nieparzyste? I 5 II 75 III 0 IV 6. Dla jakich ( 0; π ) jest spełniona nierówność sin >? I π ; π 6 II π 5π ; 6 6 III π ;π 6 IV 0; π 6. Wykres funkcji y = + 8 + 7 jest obrazem wykresu funkcji y = w przesunięciu o wektor w. Jakie współrzędne ma wektor w? I 4, II 4, III 4, IV 4,. Które z poniższych równań jest równaniem okręgu? I + y + 4 = 0 II + y 6 + 4 y + = 0 III + y + 4 6y + 5 = 0 IV + y = 0 5

4. Pierwiastki równania kwadratowego oznaczamy: i. Ile wynosi +? + p q = 0, q 0 I p q + II p + q q III p 4q + IV pq 5. Zbiór A ma elementów, zbiór B ma 9 elementów, zbiór A B ma 7 elementów. Ile elementów należy do zbioru A B? I II 5 III 4 IV 8 6. Krawędź sześcianu ma długość. Jaką długość ma odcinek łączący wierzchołek sześcianu ze środkiem ściany sześcianu, do której nie należy ten wierzchołek? I II III 6 IV 7. W trójkącie prostokątnym na poniższym rysunku mamy dane a =, b = 4. Ile wynosi p, q i h? I p =, 8, q =,, h =, 4 II p =, 8, q =,, h =, 8 III p =, 6, q =, 4, h =, 4 IV p =, 6, q =, 4, h =, 8 6

8. Zbiór A jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności + 0. Zbiór B jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ( )( + ) 0. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? I A = B II B A jest zbiorem jednoelementowym III A B jest zbiorem jednoelementowym IV A B = B 9. Które z poniższych równań ma dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste? I 4 + 6 + 9 = 0 4 II 4 4 = 0 4 III 4 + = 0 4 IV + 4 = 0 0. Która z poniższych figur ma dokładnie dwie osie symetrii? I Odcinek II Kwadrat III Punkt IV Dwie proste równoległe 7

ODPOWIEDZI Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem. Numer pytania Odpowiedź I II III IV 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 8

ETAP - FINAŁ Zadanie. Wyznacz iloraz malejącego ciągu geometrycznego, jeśli suma wyrazów pierwszego, drugiego i trzeciego wynosi -7 (minus siedem), a wyraz piąty jest o 4 mniejszy od wyrazu drugiego. Zadanie. Pole trapezu ABCD o podstawach AD i BC (AD > BC) jest równe 48. Punkt O jest punktem przecięcia przekątnych trapezu. Pole trójkąta AOB jest równe 9. Wyznaczyć stosunek długości AD i BC podstaw trapezu. TEST Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi I, II, III i IV. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Zakładamy, że zdarzenia A i B wnioskiem z tego założenia? wykluczają się. Które z poniższych zdań jest I P( A B) = P( A) P( B) II P( A B) = P( A) P( B) III P( A B) = P( A) IV P( A) P( B). Które z poniższych równań ma dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste? 4 I 6 + 9 = 0 4 II 4 4 = 0 4 III 4 + = 0 4 IV + 4 = 0 9

. Dana jest funkcja f ( ) = 4 +, R Które z poniższych zdań jest prawdziwe? I Dla każdego, f ( ) > 0 II Istnieje taki, że f ( ) = III Dla każdego < 0, f ( ) > 0 IV Dla każdego > 0, f ( ) > 0 4. Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną? I ( 5 7) + ( 5 + 7) II 0,7555... III IV 0 5. Dana jest funkcja f ( ) =. Jakie własności ma ta funkcja? I Funkcja jest parzysta II Funkcja jest nieparzysta III Funkcja jest okresowa IV Funkcja jest ograniczona 6. Która z poniższych figur ma dokładnie dwie osie symetrii? I Odcinek II Kwadrat III Dwa różne punkty IV Dwie proste równoległe 7. Które z poniższych zdań są prawdziwe? I Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. II Punkt, w którym przecinają się środkowe trójkąta dzieli każdą ze środkowych w stosunku :. III W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe. IV Kąt wpisany w okrąg ma miarę dwa razy mniejszą, niż kąt środkowy oparty na tym samym łuku. 0

8. Dana jest nierówność + < 0. Która z poniższych nierówności jest równoważna danej nierówności? I < 0 II ( )( + ) < 0 III 0 IV ( )( + ) 0 9. Która z poniższych funkcji spełnia warunek f ( + y) f ( ) + f ( y) dla wszystkich, y R? I f ( ) = II f ( ) = + III f ( ) = IV f ( ) = 0. Zbiory A i B są dowolnymi podzbiorami niepustego zbioru Ω. Symbol A' oznacza uzupełnienie zbioru A do zbioru Ω, czyli A'= Ω A. Które z poniższych równości są prawdziwe? I ( A B)' = A' B II ( A B)' = A' B' III ( A' B ') ' = A B IV A B = A B'

ODPOWIEDZI Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź I II III IV X X X X X 4 X X X X 5 X X 6 X X 7 X X X 8 X 9 X X 0 X X X

ZADANIA Z KONKURSU 00-0 ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Dana jest funkcja f ( ) =, + < ; >. Który z podanych zbiorów jest zbiorem wartości tej funkcji: I < 0,; 0, 5 > II < 0,; ) III < 0,; > IV ( 0; >. Ile przekątnych ma 0-kąt wypukły? I 70 II 80 III 40 IV 60. Ile podzbiorów ma zbiór { a,{ a},{{ a}} } I II 4 III 6 IV 8 4. Która z poniższych liczb jest najmniejsza I 0,0 0,0 II 0,0 0,0 III log 0, 98, 0 IV sin 0, 0 5. Która z poniższych funkcji nie jest funkcją liniową I f ( ) = ( ) ( + ) II f ( ) = III f ( ) = sin + cos IV 6. Funkcja ( ) = log ( ) + f ( ) = + f jest malejąca w przedziale: I ( ; ) II [ ; ) III ( ; ) IV ( ; ) 7. Funkcja f ( ) = : I jest parzysta i nie jest nieparzysta II jest nieparzysta i nie jest parzysta III jest parzysta i nieparzysta IV nie jest parzysta i nie jest nieparzysta

8. Wiadomo, że nierówność + 6 k ( k R) ma rozwiązanie. Maksymalna wartość k wynosi: I 6 II III 6 + IV 6 9. Dane są dwa zbiory A = { a,...,a 6 }, B = { b,...,b }, których elementami są liczby rzeczywiste. Określono odwzorowanie f : A B, takie, że każdy element zbioru B należy do zbioru wartości tego odwzorowania oraz f a ) f ( a )... f ( ). ( a6 Liczba takich odwzorowań wynosi: 6 I II 6 6 5 III IV 0. Niech liczby rzeczywiste, y spełniają równość: ( + 5 ) + ( y ) = 4. Wtedy wyrażenie + y ma najmniejszą wartość równą: I II III IV. Który z poniższych rysunków przedstawia wykres funkcji f ( ) = I II III IV. Ile rozwiązań ma równanie = I Nie ma rozwiązań. II Ma dokładnie jedno rozwiązanie. III Ma nieskończenie wiele rozwiązań. IV Ma dokładnie dwa rozwiązania. 4

. Wykres funkcji f ( ) = przesuwamy o wektor [, 0], po czym otrzymaną krzywą przekształcamy przez symetrię względem osi O. Jakiej funkcji wykres otrzymamy? I g( ) = II g( ) = III g( ) = IV g( ) = + 4. Który z poniższych wielomianów jest dzielnikiem wielomianu W ( ) = 5 + 6 I P ( ) = ( )( ) II P ( ) = ( )( +) III P ( ) = ( +)( ) IV P ( ) = ( + )( +) 5. Dla jakiej wartości m proste y = + i m y + 6 = 0 są równoległe? I II III IV 6. Która z poniższych brył ma największą objętość? I Kula o promieniu. II Walec o promieniu podstawy i wysokości 8. III Sześcian o przekątnej 5. IV Stożek o wysokości i tworzącej 0. 7. Gdzie znajduje się środek okręgu wpisanego w trójkąt? I W punkcie, w którym przecinają się środkowe boków tego trójkąta. II W punkcie, w którym przecinają się symetralne boków tego trójkąta. III W punkcie, w którym przecinają się wysokości tego trójkąta. IV W punkcie, w którym przecinają się dwusieczne kątów wewnętrznych tego trójkąta. 8. Jaką wartość ma wyrażenie log 4 8 I II III 4 IV 9 5

a wyraz a n wynosi n + n + Ile wynosi wyraz a n dla n >? 9. W ciągu ( ) n I n n + II n n + III n n + IV n n + 0. Cena towaru wynosiła p. Cenę tę podniesiono o 0%, a następnie nową cenę obniżono o 6%. Ile wynosi cena towaru po tych zmianach? I p + 4 II, 04 p III p+ 0, 04 IV, 04 p 6

Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem. Numer pytania Odpowiedź I II III IV 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 7

ETAP - FINAŁ Część I Zadania Zadanie. Środkowe trójkąta mają długości 9,, 5. Obliczyć pole tego trójkąta. Zadanie. Niech f ( ) = + + 0 Rozwiąż równanie f ( f ( f ( f ( f ( )))) ) = 0. Zadanie. Niech M i N będą punktami płaszczyzny z układem współrzędnych XOY. Odległością punktów M i N nazwiemy liczbę dist(m, N) określoną następująco: MN gdy punkt O nalezy do prostej MN dist( M, N) = MO + ON gdy punkt O nie nalezy do prostej MN W powyższym określeniu O jest początkiem układu współrzędnych, a symbol MN oznacza długość odcinka MN. Dane są punkty P = (, 0), Q = (0, ) W układzie współrzędnych narysuj zbiory: A = { S : dist( P, S) = 4}, B = { S : dist( P, S) < dist( S, Q)} Wykonaj dwa osobne rysunki. 8

Zadanie Rozwiązania zadań B C A O C A B C AA = 9 BB = CC = 5 B C AA Rozpatrujemy trójkąt OB C B ' C'' = AO = AA' = OB ' = BB' = 4 OC '' = OC = CC' = 5 Skoro długości boków tego trójkąta maja długości, 4, 5, to jest to trójkąt prostokątny. P OB C = 6 P OB C = P OB C P OB C = P AOB stąd P AOC = 4 P AOB = P AOB = 4 P A OC = P BOA = 0,5 P AOB = Zatem P ABC = 4 + 4 + + =7 Odp. Pole tego trójkąta wynosi 7. 9

Zadanie Zauważmy, że f ( ) stąd f ( f ( )) = + 6 4 f ( f ( f ( ))) itd. f ( 6) 6 = + ( ) 6 = ( + 6) 8 6 ( f ( f ( f ( f ( )))) ) = ( + 6) 6 Wtedy rozpatrywane równanie ma postać Zatem rozwiązania to: = 6 ± 6. Odp. Równanie ma dwa rozwiązania ( + 6) 6 = 0 i = 6 6. = 6 + 6 Zadanie Odpowiedź: A okrąg o środku (0, 0) i promieniu bez punktu (, 0) z dołączonym punktem (7, 0). B półprosta zawarta w osi OX od punktu (, 0) w prawo, bez punktu (, 0) 40

Część II PYTANIA TESTOWE Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi I, II, III i IV. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Które z poniższych przekształceń płaszczyzny ma nieskończenie wiele punktów stałych? I Przesunięcie o wektor niezerowy. II Rzut prostopadły na prostą. III Symetria środkowa. IV Obrót o kąt α, 0 < α < π.. Które z poniższych równań jest równaniem okręgu? I + y + 4 y 6 = 0 II ( ) + y + 4 = 0 III + y = 0 IV ( + ) + ( y 4) 5= 0. Która z poniższych funkcji jest parzysta? 0 gdy > I f ( ) = II g( ) = log gdy III ( ) gdy < 0 h = IV k ( ) = log gdy > 0 4. Która z poniższych funkcji ma zbiór wartości równy przedziałowi 0;? I f ( ) = 0 gdy 0 gdy > 0 II g( ) = + III h( ) = IV k( ) = + cos 4

n 5. Dany jest ciąg a = + n. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? n I Istnieje n takie, że a n =,00 II Dla każdego n a n >,00 III Istnieje n takie, że a n =,00 IV Istnieje n takie, że a n <,00 6. Punkt P ' jest obrazem punktu P w symetrii środkowej względem punktu O. Która z poniższych równości jest prawdziwa? I OP = OP II PP = OP III OP = OP IV PO = P O 7. Które z poniższych równań ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste? 4 4 I 5 + = 0 II + 5 + = 0 III 4 4 + 4 = 0 IV 4 4 = 0 4 8. Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną? I,5... II + III ( 4 )( 4 + ) IV + 9. Która z poniższych figur jest wypukła? I Półpłaszczyzna II Okrąg III Dwa różne punkty IV Koło 4

0. Które z poniższych równości są prawdziwe dla dowolnych zbiorów A, B, C? I III ( A B) A = A II ( A B) C = A ( B C) ( A B) A = B IV A ( B C) = ( A B) ( A C) 4

ODPOWIEDZI Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania X Odpowiedź I II III IV X X X X X 4 X X 5 X X 6 X 7 X 8 X X X 9 X X 0 X X 44

ZADANIA Z KONKURSU 0-0 ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Funkcja f spełnia dla każdego 0 równość: ( ) f ( ) + f = 7 Ile wynosi f()? I II III IV 5 5 4. Dla liczb rzeczywistych, y definiujemy działanie: y = y. Ile wynosi a ( a a)? I 8 a II 4 a III a IV a +. Wiadomo, że =. Ile wynosi +? I II 6 III 7 IV 9 4. Sześciokąt A powstał przez połączenie odcinkami środków sąsiednich boków sześciokąta foremnego o polu 4. Pole sześciokąta A jest równe I II III IV 5. Dane są punkty: A = ( 6, 9), B = ( 7, 7), C = (,5) mają brzeg trójkąta ABC i okrąg o równaniu + y = 6? I 0 II III IV. Ile punktów wspólnych 6. Która z poniższych funkcji jest funkcją liniową? I f ( ) = II ( ) f = III f ( ) = IV + f ( ) = + 7. Układ równań y = 9 6y = p I dla każdej wartości p nie ma rozwiązań II dla każdej wartości p ma dokładnie jedno rozwiązanie III dla każdej wartości p ma nieskończenie wiele rozwiązań IV dla p = jest układem sprzecznym 45

8. Każda liczba dodatnia podzielna przez, może być przedstawiona dla pewnego całkowitego i dodatniego n w postaci I n II n + III n + IV n 9. Zbiorem rozwiązań nierówności jest I przedział [ ;4 ) II zbiór [ ;) (4; ) III przedział [ ; ) IV przedział ( 4; ) + > 0. W sześcioosobowej grupie dzieci o różnych imionach, są cztery dziewczynki i dwóch chłopców. Dzieci te losowo dzielimy na dwie grupy po trzy osoby. Prawdopodobieństwo, że w każdej trójce jest jeden chłopiec jest równe I II. W wielokącie foremnym W losujemy dwa spośród jego wierzchołków. III Prawdopodobieństwo tego, że łączący je odcinek nie jest bokiem wielokąta W wynosi. Stąd wynika, że I W jest kwadratem II W jest sześciokątem III W jest siedmiokątem IV W jest ośmiokątem. Na płaszczyźnie dany jest szesnastokąt foremny. Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne, których wierzchołki są wybrane spośród wierzchołków tego szesnastokąta. Trójkątów takich jest I 96 II III 44 IV 7. Zbiór liczb rzeczywistych spełniających nierówność jest I przedziałem ( ; ] II przedziałem [ ; ) III przedziałem [ ; ] IV zbiorem [ ; ] [; ) ( )( ) ( ) 0 4. Sześcian o przekątnej d ma takie samo pole powierzchni całkowitej, jak kula o promieniu. Ile wynosi d? IV 5 I 6 π II 8 π III 4 π IV π 46

5. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Krawędź podstawy prostopadłościanu ma długość, a krawędź boczna prostopadłościanu ma długość. Jaką długość ma najdłuższy odcinek łączący wierzchołek prostopadłościanu ze środkiem krawędzi podstawy prostopadłościanu? 6 I II III 6. Zbiór A jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 0. + Zbiór B jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ( )( + ) > 0. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? I A B jest zbiorem pustym II B A jest zbiorem pustym III A B = B IV A B = A 7. Dane są dwa koła K = {(, y) : + y 9} K = {(, y) :( ) + y 5} Jakie jest wzajemne położenie tych kół? I Koła są rozłączne II Koło K jest podzbiorem koła K III Koło K jest podzbiorem koła K IV Koła mają dokładnie jeden punkt wspólny 8. Dla jakich wartości m równanie m + = 0 ma dwa pierwiastki? I m ( ; ) ( ; ) II m ( ; ) III m ( ; ) IV m ( ; ) 9. W jakim stosunku zmieszać roztwór cukru o stężeniu % z roztworem cukru o stężeniu 5 %, aby otrzymać roztwór cukru o stężeniu 4 %? I : II : III : IV : 0. Dla jakiej wartości z przedziału < 0 ;π > spełniony jest układ warunków I π 6 II 7π 6 sin = cos > 0 4π III IV IV 5π 47

ODPOWIEDZI Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź I II III IV 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Zaliczono punktów 48

ETAP - FINAŁ Część I Zadania Zadanie. W trapezie ABCD o podstawach AD i BC punkt O jest punktem przecięcia przekątnych. Dane są pola trójkątów P = P AOD i P = P BOC. Wyznaczyć pole trapezu. Zadanie. Liczby a, b, c, d są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego rosnącego i są pierwiastkami równania Wyznacz q. Zadanie. 4 5 + q = 0. Symbol E () oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą liczbie. Narysuj wykresy funkcji: a) f ( ) = E( ) dla < ; > b) g( ) = E( ) dla < ; > 49

Zadanie Rozwiązania zadań B b C h O h A a D Niech: AD = a, BC = b h wysokość trójkąta BOC opuszczona na BC, h wysokość trójkąta AOD opuszczona na AD, h = h + h wysokość trapezu ABCD Zatem P = P AOD = ah ; P = P BOC = bh ; Pole trapezu jest równe a + b h + h = ah + ah + bh + bh = P + P + ah + Trójkąt AOD jest podobny do trójkąta BOC, zatem Stąd: P = ( )( ) bh h P h =, P b a = P P h h =. Zatem: a b = P P ( P P ) b P h P P P P = P + P + h + b = P + P + = P + P + P P = + P P P Zadanie Oznaczmy: = t. Z warunków zadania wynika, że równanie t 5t + q = 0 ma dwa pierwiastki dodatnie t, t takie, że b = c = t a = d = t przy czym b jest liczbą przeciwną do c, zaś a jest liczbą przeciwną do d. Ponieważ d c = c b i b = c więc d = c. Zatem t = 9t. Ze wzorów Viete'a mamy: t t = q t + t = 5 Rozwiązując układ trzech ostatnich równań otrzymamy odpowiedź: q = 9 / 4. 50

Zadanie a) 4 - - 0 b) 4 - - 0 5

Część II PYTANIA TESTOWE Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi I, II, III i IV. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Przekrój czworościanu foremnego płaszczyzną może być: I trójkątem równobocznym II trójkątem o każdym boku różnej długości III kwadratem IV pięciokątem. Niech p będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian p + p jeden pierwiastek rzeczywisty. Pierwiastek ten I jest ujemny II jest wymierny III jest liczbą całkowitą parzystą IV może być liczbą pierwszą. ma dokładnie. Wielomian + a + b ma ten sam niepusty zbiór pierwiastków, co wielomian a + b. Warunek ten I oznacza, że zbiorem pierwiastków jest zbiór {0} II jest spełniony, gdy b = 0 III nigdy nie jest spełniony IV jest spełniony, gdy a = 0. 4. Które z poniższych równań nie ma pierwiastków rzeczywistych? I 4 + 6 + 9 = 0 II 4 6 + 9 = 0 III 4 + + 5 = 0 IV 4 + + = 0 5. Dana jest funkcja f ( ) = 6 + 9 Które z poniższych zdań jest prawdziwe? I Dla każdego < 0, f ( ) > 0 II Dla każdego, f ( ) > 0 III Istnieje < 0 taki, że f ( ) = 0 IV Istnieje taki, że f ( ) = 0 5

6. Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną? I ( )( + ) II 0,6444... III ( 4 0)(4 + 5) + IV 7. Która z poniższych figur ma środek symetrii? I II III IV Półprosta Dwa różne punkty Trzy różne punkty niewspółliniowe Dwie proste równoległe 8. Dane są wzory na n-ty wyraz ciągu ( n N+ ) : n I a = log II b = log n III n (n) c n = log IV n d n = Który z tych ciągów jest ciągiem geometrycznym? ( log n ) 9. Który z poniższych zbiorów jest jednoelementowy? I {a, Ø} II {a, a} III {{a}} IV {Ø} 0. Który z poniższych ułamków ma rozwinięcie dziesiętne skończone? I III 00 5 00 0 II IV 00 6 00 75 5

ODPOWIEDZI Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź I II III IV X X X X X X X 4 X X X 5 X X 6 X X X X 7 X X 8 X X 9 X X X 0 X X 54