INSTYTUT MATEMATYKI I KRYPTOLOGII WYDZIAŁ CYBERNETYKI WAT ZADANIA KONKURSOWE MATEMATYKA PRZYGOTOWALI

Transkrypt

1 NSTYTUT MATEMATYK KRYPTOLOG WYDZAŁ CYBERNETYK WAT ZADANA KONKURSOWE MATEMATYKA PRZYGOTOWAL JERZY GAWNECK, LUCJAN KOWALSK, WOJCECH MATUSZEWSK WARSZAWA 05

2 Zadanie Przez środek boku trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt ostry α. Wyrazić stosunek pól figur na jakie ta prosta dzieli trójkąt ABC jako funkcję kąta α. Szkic rozwiązania. Oznaczmy: a - długość boku trójkąta ABC, Pole trójkąta ABC: S ABC = a 3 4 Pole trójkąta DBE: a S DBE = DB DE sinα = DE sinα () 4 Z twierdzenia sinusów dla trójkąta DBE: Stąd DE sin 60 = O O O sin(80 DB 60 α) O DB sin 60 a 3 DE = = () O O sin(0 α) 4sin(0 α)

3 Wstawiając () do () otrzymamy Pole czworokąta ADEC: Zatem S S ADEC DBE a 3 S = 4 S DBE S DBE ADEC S a = DBE = S a 3 sinα 6sin(0 α) = O ABC S DBE a 3 = S 4 DBE O O 3 6sin(0 α) 4sin(0 α) = 4 a 3 sinα sinα O S ADEC 4sin(0 α) Odp. Szukany stosunek pól ma wartość =. S sinα DBE Zadanie W okręgu o promieniu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy AB i CD. Wykazać, że AC + BD = 4. Szkic rozwiązania. Niech wtedy ABC = α, BCD = 90 o α Stosujemy twierdzenie sinusów AC = sinα o BD = sin(90 α) = cosα, zatem AC ( sinα ) + ( cosα ) = 4( sin α + cos ) = 4 + BD = α 3

4 Zadanie 3 Cięciwa o długości równej promieniowi koła dzieli to koło na dwie części. Jaki jest stosunek pola większej części figury do mniejszej? Szkic rozwiązania. r promień koła, P 6 4 = π r 3r (pole wycinka minus pole trójkąta równobocznego), P r P = π P πr P πr π k = = = =, P P πr 3r π π Odp. Szukany stosunek pól ma wartość k =. π 3 3 Zadanie 4 Dany jest trójkąt ABC o polu równym. Z wierzchołka B opuszczamy prostopadły odcinek BM na dwusieczną kąta C. Oblicz pole trójkąta AMC. Szkic rozwiązania. 4

5 Przez punkt B prowadzimy równoległą do prostej AC do przecięcia z dwusieczną kąta C, punkt przecięcia oznaczamy przez N. Zatem BNC = ACN = BCN Trójkąt BCN jest równoramienny, stąd MB jest środkową, zatem: PΔAMC = 0,5 PΔANC = 0,5 PΔABC = 0,5. sposób P AMC = AC CM sin C lecz C CM = cos stąd P AMC = C C AC BC sin cos = 4 AC BC sin C = P ABC = Odp. Pole trójkąta AMC jest równe 0,5. Zadanie 5 W trójkącie ABC punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Punkty M i N są odpowiednio środkami boków BC i AC. Wiadomo, że kąt AON jest prosty. Udowodnij, że kąt BOM też jest prosty. Szkic rozwiązania. 5

6 MN AB BAO = OAN BAN + MNA = 80 o o BAN + MNA = 90 Z założenia o BAN + ONA = 90 = AON Stąd MNA = ONA czyli punkt O leży na dwusiecznej kąta MNA, zatem okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do MN. Z drugiej strony ABM + BMN = 80 stąd o ABM + BMN = 90 oraz OBM + BMO = ABM + stąd o BMN 6

7 OBM + BMO = 90 zatem o o BOM = 80 ( OBM + BMO ) = 90 o Zadanie 6 Wyznacz zbiór środków cięciw paraboli y = 3 przechodzących przez punkt P = (0,). Szkic rozwiązania. Każda cięciwa paraboli przechodząca przez punkt P ma równanie y = a + gdzie a R Rozwiązując układ równań y = a + y = 3 otrzymujemy punkty wspólne cięciwy z parabolą: a a + 4 a a a + 4 +, 6 6 Środek cięciwy ma więc współrzędne Ponieważ oraz a a +, 6 6 a + a = + = 6 a więc szukanym zbiorem jest parabola o równaniu y = 6 + a + a + 4 a + a a + 4 +, Zadanie 7 Pierwiastek trójmianu a + a + b pomnożono przez pierwiastek trójmianu i otrzymano. Wyznaczyć te pierwiastki. a + b + b Szkic rozwiązania. Niech y i z = będą tymi pierwiastkami, y y 0 z założenia. Wtedy a b ay + ay + b = 0 i + + b = 0 y y stąd ay + ay + b = 0 i by + by + a = 0 7

8 Dodając te równania stronami otrzymujemy ( a + b) y + ( a + b) y + a + b = 0 ( a + b)( y + y + ) = 0 Ponieważ drugi czynnik jest zawsze dodatni, to a + b = 0 czyli b = a Po podstawieniu do pierwszego równania mamy a ( y + y ) = 0 Stąd ± 5 y =, Odp. Szukane pierwiastki to ± 5 z = = y ± 5 y =, ± 5 z =. Zadanie 8 Rozwiąż równanie = 3. Szkic rozwiązania. Podstawiając 3 y =, otrzymamy równanie y = 3 czyli y y 3 stąd = 3 y y zatem y = 3 3 = 3 co oznacza, że = 3 3 Odp. Szukane rozwiązanie to 3 3 y = 3 3. Zadanie 9 Rozwiąż równanie Szkic rozwiązania ( + ) + ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) = 0 Mnożymy obie strony przez ( + ) ( ) = Wtedy rozpatrywane równanie ma postać ( + ) 64 ( ) 4 = 0. 8

9 Co jest równoważne Zatem jedynym rozwiązaniem jest = 0. Odp. Szukane rozwiązanie to = 0. + = Zadanie 0 Rozwiąż nierówność log log 0,5 4 log0, 5 log + 0, Szkic rozwiązania. Założenia > 0 log 0,5 > 0 log 0,5 Zatem czyli 0,, > 0 0 < < 0,5 Korzystając ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu mamy log i rozpatrywana nierówność ma postać Podstawiając czyli log 0,5 4 = log log log,5 log 0,5 = log log log 0,5 0 log log 0,5 log log 0,5 t otrzymamy ( t )( t + ) stąd t [,0) [, ) t = Rozpatrujemy dwa przypadki lub log log 0,5 < 0 log log 0,5 log t + 0 t 0 0,5 0,

10 czyli równoważnie [ 0,5;0,5) lub ; 4. 4 Uwzględniając założenia mamy ostatecznie [ 0,5;0,5 ) ; 0,5;0,5 ;. 4 Odp. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór [ ) Zadanie Rozwiąż układ równań + y 4 y y = + 7 = 0. Szkic rozwiązania. Uwzględniając drugie równanie mamy y = ( y) = y + y = + y + 4 Zatem pierwsze równanie możemy zapisać jako równanie kwadratowe względem y : stąd y = lub y = 3 Rozpatrując cztery przypadki y 4 y + 3 = 0 () () (3) (4) y = y = y = y = y = 3 y = y = 3 y = 0

11 Otrzymujemy cztery rozwiązania (układy () i () są sprzeczne): (3) = y = (3) = y = (4) = y = (4) = y = Odp. Równanie ma cztery rozwiązania (, -); (, -); (-,); (-,). Zadanie Rozwiąż układ równań y = 5 + y + + y = 4 Szkic rozwiązania. Równanie drugie zapisujemy w postaci + y + ( + y) y = 4 Podstawiamy y = 5 i oznaczmy + y = a. Otrzymamy równanie: które ma dwa pierwiastki: a + a 7 = 0, a =, a 8. 9 = Zatem: y = 5 y = 5 lub + y = 9 + y = 8 Rozwiązując te układy równań otrzymamy cztery rozwiązania zadania: = ( 9 ) /, y = ( 9 + = ( 9 + ) /, y = ( 9 = 3, y = = 5, y = 5 3 ) / ) / Zadanie 3 Podaj wszystkie pary liczb całkowitych (, y) spełniające układ nierówności y 0 y + Szkic rozwiązania. Z pierwszej nierówności

12 zatem Zadania konkursowe - MATEMATYKA Z drugiej nierówności Są więc 3 możliwości: Jeżeli y = 0, to y y 0. y. y = 0 lub y = lub y =. = 0, Równanie jest spełnione przez liczby całkowite: 0 i. Łatwo sprawdzić, że te liczby spełniają też nierówność. Jeżeli y =, to Druga nierówność jest spełniona przez trzy liczby całkowite: 0, i. Łatwo sprawdzić, że te liczby spełniają też pierwszą nierówność. Jeżeli y =, to = 0 Równanie jest spełnione przez liczbę. Łatwo sprawdzić, że ta liczba spełnia też nierówność. Zatem jest 6 par spełniających warunki zadania: (0,0), (0,), (,), (,), (,0) i (,). Zadanie 4 Dana jest funkcja 4 f ( ) = 4 + Niech g() = f(f()). Wykonaj wykres funkcji g(). Jakie rozwiązania ma równanie g() = 0? 0 < 0 Szkic rozwiązania. Zauważmy, że stąd Wykonując kolejno wykresy funkcji f ( ) = 4 g( ) = 4 4

13 a) g ( ) = b) g ( ) = c) g ( ) = 4 3 d) g ( ) = 4 4 e) g ( ) = 4 5 f) g ( ) = g) g ( ) = otrzymamy wykres g() Rozwiązaniem równania g() = 0 są miejsca zerowe tej funkcji, tzn. = ; = 0; = Zadanie 5 Dana jest taka funkcja kwadratowa f ( ) = a + b + c, że równanie f ( ) = nie ma rozwiązań rzeczywistych. Udowodnij, że równanie f ( f ( )) = też nie ma rozwiązań rzeczywistych. Szkic rozwiązania. Jeśli równanie f ( ) = nie ma rozwiązań, to oznacza, że parabola będąca wykresem funkcji y = f() leży powyżej lub poniżej prostej y =. 3

14 Pokażemy, że wtedy również wykres funkcji y = f ( f ( )) leży powyżej lub poniżej prostej y = co oznacza, że równanie Niech dla każdego zachodzi f ( f ( )) = nie ma rozwiązań. f ( ) > (y = f() leży powyżej prostej y = ). Podstawiając do tej nierówności f () zamiast otrzymamy f ( f ( )) > f ( ) > Co z przechodniości relacji nierówności daje f ( f ( )) > i oznacza, że wykres funkcji y = f ( f ( )) leży powyżej prostej y =. Analogicznie można rozpatrzeć drugi przypadek. Zadanie 6 Dana jest funkcja f ( ) =, Dla jakich jest spełniona nierówność f ( f ( )) f ( ) Szkic rozwiązania. f ( f ( )) = =, Trzeba więc rozwiązać nierówność równoważną nierówności 0 ( )( ) Stąd dostaniemy odpowiedź: ; ; Zadanie 7 W ciągu geometrycznym suma wyrazów pierwszego i drugiego wynosi 08 a suma wyrazów drugiego i trzeciego 35. Wyznacz trzy początkowe wyrazy tego ciągu. Szkic rozwiązania. q iloraz a pierwszy wyraz ciągu Musi być spełniony układ równań 4

15 czyli Zadania konkursowe - MATEMATYKA a + aq = 08 aq + aq = 35 ( + q) ( + q) a = 08 aq = 35 stąd q = 5 ; 48 4 a = oraz a = 60; a3 = 75 Odp. Trzy początkowe wyrazy ciągu to: 48, 60, 75. Zadanie 8 Dla jakich m liczby, y, z spełniające układ równań tworzą ciąg geometryczny? + y + z = m + 4 y + z = m y 3z = m Szkic rozwiązania. Obie strony równania pierwszego mnożymy przez i dodajemy otrzymane równanie do równania drugiego. Otrzymujemy: y =. Wstawiając y = do równań pierwszego i trzeciego otrzymamy: m + 3 5m + 9 =, z =. 6 6 Aby liczby, y, z tworzyły ciąg geometryczny musi być czyli z = y 5m + 4m + 7 = 44 Stąd dostajemy odpowiedź: m = 7, 8 lub m = 3. Zadanie 9 Logarytmy dziesiętne trzech liczb tworzą ciąg arytmetyczny rosnący. Suma odwrotności tych liczb jest równa 39, a suma kwadratów ich odwrotności jest równa 89. Co to za liczby? Szkic rozwiązania. Oznaczmy szukane liczby:, y, z. Z warunków zadania wynika układ równań: 5

16 Niech log y = (log + log z) / + + = 39 y z + + = 89 y z a =, b =, c =. Wtedy: y z b = ac a + b + c = 39 a + b + c = 89 Stąd a = 3, b = 9, c = 7 lub a = 7 b = 9, c = 3 a w konsekwencji = / 3, y = / 9, z = / 7 lub = / 7, y = / 9, z = / 3 Ciąg, y, z ma być rosnący, zatem odpowiedź: = / 7, y = / 9, z = / 3 Zadanie 0 Wyznacz wszystkie liczby naturalne n dla których liczba n 3 + jest potęgą liczby 3. Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną. Szkic rozwiązania. Szukamy liczb naturalnych n spełniających równość 3 k n + = 3 dla pewnej liczby naturalnej k. lecz n 3 + = ( n + )( n n + ) zatem r n + = 3 ; n n + = 3 s r, s N. Stąd n nie dzieli się przez 3 (bo daje resztę ). Zauważmy, że 3 r s n = ( n + ) ( n n + ) = 3 3 stąd r 3 s n = 3 co jest możliwe tylko wtedy, gdy s = (bo n nie dzieli się przez 3) zatem n n + = 3 6

17 czyli n n = 0 stąd n = ; n = Drugi pierwiastek odrzucamy, bo nie jest liczbą naturalną. Odp. Tylko liczba spełnia przedstawiony warunek. Zadanie Gdy w pewnej liczbie naturalnej zmieniono kolejność cyfr to otrzymano liczbę trzy razy mniejszą od danej liczby. Udowodnić, że tak otrzymana liczba dzieli się przez 7. Szkic rozwiązania. a dana liczba, a liczba uzyskana po przestawieniu cyfr, Zatem (*) a = 3a czyli a jest podzielna przez 3, stąd suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Ponieważ przestawianie cyfr nie zmienia ich sumy, to liczba a też jest podzielna przez 3, czyli można ją przedstawić w postaci a = 3n gdzie n jest pewną liczbą naturalną i po podstawieniu do (*) otrzymamy a = 3(3n) = 9n co oznacza, że a jest podzielna przez 9. Zatem suma jej cyfr jest podzielna przez 9 i liczba a też jest podzielna przez 9, czyli można ją przedstawić w postaci a = 9m gdzie m jest pewną liczbą naturalną i po podstawieniu do (*) otrzymamy a = 3(9m) = 7m co oznacza, że a jest podzielna przez 7. Co należało wykazać. Zadanie Wyznacz takie liczby naturalne, y, że + + jest potęgą liczby y o wykładniku naturalnym, oraz y + y + jest potęgą liczby o wykładniku naturalnym. Szkic rozwiązania. n ) Jeśli = y to + + = zatem prawa strona dzieli się przez więc i lewa strona powinna dzielić się przez. Jest to możliwe tylko dla =, lecz to prowadzi do sprzeczności 3 =. 7

18 ) Jeśli y to możemy założyć, że y <. Wtedy > y + y +, stąd może być tylko w pierwszej potędze, tzn. y + y + =, wtedy m ( y + y + ) + ( y + y + ) + = y stąd 4 3 y + y + y + 3y + 3 = m y Prawa strona dzieli się przez y więc i lewa strona powinna dzielić się przez y. Zatem y jest dzielnikiem liczby 3, lecz ani y = 3, ani y = nie spełnia tej równości. Odp. Żadna para liczb naturalnych nie spełnia warunków zadania. Zadanie 3 Podaj wszystkie pary liczb całkowitych (, y) spełniające równanie ( + y )( y ) 5 = 0 Szkic rozwiązania. Mamy: ( + y )( y ) = 5 Oba czynniki są liczbami całkowitymi, więc są 4 możliwości: + y = + y = 5 + y = + y = 5 lub lub lub y = 5 y = y = 5 y = Rozwiązując powyższe układy równań otrzymamy odpowiedź. Szukane pary to (,), (, ), (3,0), (3,4). Zadanie 4 loczyn dwóch liczb naturalnych jest równy 700, a ich największy wspólny dzielnik to 6. Co to za liczby? Szkic rozwiązania. Oznaczmy szukane liczby: oraz y. Zapiszmy: = 6 m, y = 6n gdzie m, n N Zatem Stąd 6 m 6n = 700 m n = 75 Jest 6 możliwości: m =, n = 75 lub m = 3, n = 5 lub m = 5, n = 5 lub m = 5, n = 5 lub m = 5, n = 3 lub m = 75, n = 8

19 Liczby m oraz n nie mogą mieć wspólnego dzielnika większego niż, gdyż wtedy liczby oraz y miałyby wspólny dzielnik większy niż 6. Zatem przypadki m = 5, n = 5 oraz m = 5, n = 5 odpadają. Z pozostałych przypadków wynika, że szukane liczby to 6 i 450 lub 8 i 50. Zadanie 5 Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 504, a największy wspólny dzielnik tych liczb to 36. Co to za liczby? Szkic rozwiązania. Oznaczmy szukane liczby: oraz y. Zapiszmy: = 36 m, y = 36n gdzie m, n N Zatem Stąd 36 m + 36n = 504 m + n Liczby m oraz n nie mogą mieć wspólnego dzielnika większego niż, gdyż wtedy liczby oraz y miałyby wspólny dzielnik większy niż 36. Zatem możliwe przypadki to: m =, n = 3 lub m = 3, n = lub m = 5, n = 9 lub = 4 m = 9, n = 5 lub m =, n = 3 lub m = 3, n = Stąd znajdujemy 3 pary liczb spełniających warunki zadania: 36 i 468 lub 08 i 396 lub 80 i 34. Zadanie 6 loczyn trzech liczb pierwszych jest 5 razy większy od sumy tych liczb. Co to za liczby? Szkic rozwiązania. Oznaczmy szukane liczby:, y oraz z. Zatem yz = 5( + y + z) Prawa strona równania jest podzielna przez 5, więc lewa też. Jest ona iloczynem liczb pierwszych, więc jedna z liczb, y, z jest równa 5. Załóżmy, że = 5. Wtedy: 5yz = 5(5 + y + z) Z tego równania wyznaczamy y: 6 z musi być liczbą pierwszą, zatem 6 y = + z z = lub z = 3 lub z = 7 9

20 Jeżeli z =, to y = 7, jeżeli z = 3, to y = 4 - to nie jest liczba pierwsza, a jeżeli z = 7, to y =. Odpowiedź: Te liczby to, 5 i 7. Zadanie 7 Okno ma kształt prostokąta na którego górnej podstawie dobudowano półkole. Obwód okna wynosi 5m. Jaka powinna być szerokość okna, by jego powierzchnia była największa? Szkic rozwiązania. Oznaczmy: - szerokość okna, y - wysokość części prostokątnej. Zatem: + y + π / = 5 () Powierzchnia okna przy czym ( 0; 0 /( + π )). P = y + π / 8 () Wyznaczając z () y i wstawiając do () dostaniemy: π 5 P = + 8 Największa wartość pola P jest przyjmowana dla = 0 /(4 + π ). Zadanie 8 Dysponujemy taką liczbą jednakowych monet, że można nimi wszystkimi wypełnić trójkąt równoboczny lub kwadrat. Liczba monet w boku kwadratu jest o 4 mniejsza niż liczba monet w boku trójkąta. loma monetami dysponujemy? Szkic rozwiązania. W trójkącie: w pierwszym rzędzie jest moneta w drugim rzędzie są monety... w ostatnim k-tym rzędzie jest k monet. Łączna liczba monet: k( k + ) k = Oznaczmy liczbę rzędów w kwadracie literą n. Liczba monet w kwadracie to Z warunków zadania mamy: n. 0

21 Ten układ ma rozwiązania: n = k 4 k( k + ) n = k = 8, n = 6 lub k = 49, n = 35 Liczba monet nie może być ujemna, zatem k = 49, n = 35. Stąd obliczamy, że monet jest 5. Zadanie 9 Przejazd łódką 0 km w dół rzeki i z powrotem trwał 7 godzin. Równocześnie z łódką z tego samego miejsca wypłynęła tratwa, którą spotkano w drodze powrotnej w odległości km od miejsca wyruszenia. Oblicz prędkość wody. Szkic rozwiązania. Oznaczmy: - prędkość wody w km/h, y - prędkość łódki względem płynącej wody. Wówczas: + y - prędkość łódki gdy płynie z prądem, y - prędkość łódki gdy płynie pod prąd. Czas płynięcia łódką w dół rzeki: Czas płynięcia łódką 0 km w górę rzeki: Czas płynięcia łódką 8 km w górę rzeki: 0. + y 0. y 8 y. Czas płynięcia km tratwą: Zatem: y y. 0 y 8 y = 7 = Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy: = 3, y = 7. Prędkość wody wynosi 3 km/h.

22 Zadanie 30 Na drodze 36m przednie koło ciągnika wykonało o 6 obrotów więcej niż tylne. Gdyby obwód każdego koła zwiększyć o m, to na tej samej drodze przednie koło wykonałoby o 3 obroty więcej niż koło tylne. Oblicz obwody kół. Szkic rozwiązania. Oznaczmy: - obwód przedniego koła, y - obwód tylnego koła (y > ). Z warunków zadania mamy: = + 6 y = y + Stąd: y + 6 6y = 0 y + 3 y + = 0 Odejmując od równania pierwszego równanie drugie otrzymamy: y =,4 + 0, Podstawiając wyznaczony y do równania pierwszego (w ostatnim układzie) dostajemy: 7 6 = 0 Jednym z pierwiastków tego równania jest 3/ 7. Ten pierwiastek odrzucamy (obwód koła nie może być liczbą ujemną). Drugim pierwiastkiem jest =. Wtedy y = 3. Są to obwody kół w metrach.

23 ZADANA Z KONKURSU ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. le wynosi odległość początku układu współrzędnych od prostej 3 y = + 5? V 8. Który z poniższych wzorów jest prawdziwy dla dowolnych zdarzeń losowych A i B? P( A B) P( A) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) V P( A B) = P( A) + P( B) P( A) P( B) 3. W ciągu ( ) n a wyraz a n wynosi n + 3n + 4. le wynosi wyraz a n dla n >? n 3n + n 3n + 3 n 3 3n + 4 V n 3n Dane są równania dwóch okręgów + y = 9 ( 3) + ( y 4) = 3 Jakie jest wzajemne położenie tych okręgów? Okręgi są styczne zewnętrznie Okręgi nie mają punktów wspólnych V Okręgi są styczne wewnętrznie Okręgi przecinają się w dwóch punktach 5. Kula o promieniu R ma tę samą objętość, co sześcian o przekątnej 3. le wynosi R? 3 4 3π 3 3 4π 3 3π 4 V 3 4π 3 3

24 n 6. Dany jest ciąg geometryczny a n = 4 3 n = 3,,,... 3 le wynosi suma n początkowych wyrazów tego ciągu? n ( 3 ) n 3 n n V 0 5 3, 7. Który z poniższych rysunków przedstawia zbiór wszystkich rozwiązań równania y + y = 0? V 4

25 8. Cena towaru wynosiła p. Cenę tę podniesiono o 8%, a następnie nową cenę obniżono o 0%. le wynosi cena towaru po tych zmianach? p p 0, 0 0, 98 p V 0, 97 p 9. Jaką wartość ma wyrażenie 4 log 7? V 8 0. Dany jest zbiór Z = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, } le jest 6-elementowych podzbiorów tego zbioru, do których należą dokładnie dwie liczby nieparzyste? V 36. Dla jakich ( 0; π ) jest spełniona nierówność sin >? π ; π 6 π 5π ; 6 6 π ;π 6 V 0; π 6. Wykres funkcji y = jest obrazem wykresu funkcji y = w przesunięciu o wektor w. Jakie współrzędne ma wektor w? 4, 4, 4, V, 4 3. Które z poniższych równań jest równaniem okręgu? + y + 4 = 0 + y y + 3 = 0 + y + 4 6y + 5 = 0 V + y = 0 5

26 4. Pierwiastki równania kwadratowego oznaczamy: i. le wynosi +? + p q = 0, q 0 p q + p + q q p 4q + V pq 5. Zbiór A ma elementów, zbiór B ma 9 elementów, zbiór A B ma 7 elementów. le elementów należy do zbioru A B? V 8 6. Krawędź sześcianu ma długość. Jaką długość ma odcinek łączący wierzchołek sześcianu ze środkiem ściany sześcianu, do której nie należy ten wierzchołek? V 7. W trójkącie prostokątnym na poniższym rysunku mamy dane a = 3, b = 4. le wynosi p, q i h? p =, 8, q = 3,, h =, 4 p =, 8, q = 3,, h =, 8 p =, 6, q = 3, 4, h =, 4 V p =, 6, q = 3, 4, h =, 8 6

27 8. Zbiór A jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności Zbiór B jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ( )( + 3) 0. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? A = B B A jest zbiorem jednoelementowym A B V A B = B jest zbiorem jednoelementowym 9. Które z poniższych równań ma dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste? = = 0 V 4 + = = Która z poniższych figur ma dokładnie dwie osie symetrii? Odcinek Kwadrat Punkt V Dwie proste równoległe 7

28 ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem. Numer pytania Odpowiedź V

29 ETAP - FNAŁ Zadanie. Wyznacz iloraz malejącego ciągu geometrycznego, jeśli suma wyrazów pierwszego, drugiego i trzeciego wynosi -7 (minus siedem), a wyraz piąty jest o 4 mniejszy od wyrazu drugiego. Zadanie. Pole trapezu ABCD o podstawach AD i BC (AD > BC) jest równe 48. Punkt O jest punktem przecięcia przekątnych trapezu. Pole trójkąta AOB jest równe 9. Wyznaczyć stosunek długości AD i BC podstaw trapezu. TEST Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi,, i V. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Zakładamy, że zdarzenia A i B wnioskiem z tego założenia? wykluczają się. Które z poniższych zdań jest P( A B) = P( A) P( B) P( A B) = P( A) P( B) P( A B) = P( A) V P( A) P( B). Które z poniższych równań ma dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste? = = 0 V 4 + = = 0 4 9

30 3. Dana jest funkcja f ( ) = 4 + 3, R Które z poniższych zdań jest prawdziwe? Dla każdego, f ( ) > 0 stnieje taki, że f ( ) = Dla każdego < 0, f ( ) > 0 V Dla każdego > 0, f ( ) > 0 4. Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną? ( 5 3 7) + ( ) 0, V 0 5. Dana jest funkcja f ( ) =. Jakie własności ma ta funkcja? Funkcja jest parzysta Funkcja jest nieparzysta Funkcja jest okresowa V Funkcja jest ograniczona 6. Która z poniższych figur ma dokładnie dwie osie symetrii? Odcinek Kwadrat Dwa różne punkty V Dwie proste równoległe 7. Które z poniższych zdań są prawdziwe? Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Punkt, w którym przecinają się środkowe trójkąta dzieli każdą ze środkowych w stosunku :. W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe. V Kąt wpisany w okrąg ma miarę dwa razy mniejszą, niż kąt środkowy oparty na tym samym łuku. 30

31 8. Dana jest nierówność + 3 < 0. Która z poniższych nierówności jest równoważna danej nierówności? < 0 ( )( + 3) < 0 0 V ( )( + 3) 0 9. Która z poniższych funkcji spełnia warunek f ( + y) f ( ) + f ( y) dla wszystkich, y R? f ( ) = f ( ) = + f ( ) = V f ( ) = 0. Zbiory A i B są dowolnymi podzbiorami niepustego zbioru Ω. Symbol A' oznacza uzupełnienie zbioru A do zbioru Ω, czyli A'= Ω A. Które z poniższych równości są prawdziwe? ( A B)' A' B = ( A B)' = A' B' ( A' B ') ' = A B V A B = A B' 3

32 ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V X X X 3 X X 4 X X X X 5 X X 6 X X 7 X X X 8 X 9 X X 0 X X X 3

33 ZADANA Z KONKURSU 00-0 ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Dana jest funkcja f ( ) =, < ; >. Który z podanych zbiorów jest + zbiorem wartości tej funkcji: < 0,; 0, 5 > < 0,; ) < 0,; > V ( 0; >. le przekątnych ma 0-kąt wypukły? V le podzbiorów ma zbiór { a,{ a},{{ a}} } V 8 4. Która z poniższych liczb jest najmniejsza 0,0 0,03 0,03 0,0 log 98, 0 0, V sin 0, 0 5. Która z poniższych funkcji nie jest funkcją liniową f ( ) = ( ) ( + ) f ( ) = f ( ) = sin + cos V 6. Funkcja ( ) = log ( 3) ( ; ) 3 + f ( ) = + f jest malejąca w przedziale: [ ; ) ( ; ) V ( 3; ) 7. Funkcja f ( ) = : jest parzysta i nie jest nieparzysta jest nieparzysta i nie jest parzysta jest parzysta i nieparzysta nieparzysta V nie jest parzysta i nie jest 33

34 8. Wiadomo, że nierówność k ( k R) ma rozwiązanie. Maksymalna wartość k wynosi: V 6 9. Dane są dwa zbiory A = { a,..., a 6 }, B = { b,...,b 3 }, których elementami są liczby rzeczywiste. Określono odwzorowanie f : A B, takie, że każdy element zbioru B należy do zbioru wartości tego odwzorowania oraz f ( a) f ( a )... f ( a6 ). Liczba takich odwzorowań wynosi: V 3 0. Niech liczby rzeczywiste, y spełniają równość: ( + 5 ) + ( y ) = 4 Wtedy wyrażenie + y ma najmniejszą wartość równą: 3 V. Który z poniższych rysunków przedstawia wykres funkcji f ( ) =. V. le rozwiązań ma równanie V = Nie ma rozwiązań. Ma dokładnie jedno rozwiązanie. Ma nieskończenie wiele rozwiązań. Ma dokładnie dwa rozwiązania. 34

35 3. Wykres funkcji ( ) = przesuwamy o wektor [, 0], po czym otrzymaną f krzywą przekształcamy przez symetrię względem osi O. Jakiej funkcji wykres otrzymamy? g( ) = g ( ) = g ( ) = V g ( ) = + 4. Który z poniższych wielomianów jest dzielnikiem wielomianu 3 W ( ) = P ( ) = ( )( ) P ( ) = ( )( +) P ( ) = ( +)( ) V P ( ) = ( + )( +) 5. Dla jakiej wartości m proste y są równoległe? = + 3 i m 3y + 6 = 0 3 V 3 6. Która z poniższych brył ma największą objętość? Kula o promieniu 3. Walec o promieniu podstawy i wysokości 8. Sześcian o przekątnej 5 3. V Stożek o wysokości i tworzącej Gdzie znajduje się środek okręgu wpisanego w trójkąt? W punkcie, w którym przecinają się środkowe boków tego trójkąta. V trójkąta. W punkcie, w którym przecinają się symetralne boków tego trójkąta. W punkcie, w którym przecinają się wysokości tego trójkąta. W punkcie, w którym przecinają się dwusieczne kątów wewnętrznych tego 8. Jaką wartość ma wyrażenie log V 9 35

36 a wyraz a n wynosi n + n + 3 le wynosi wyraz a n dla n >? 9. W ciągu ( ) n n n + n n + n n + 3 V n n Cena towaru wynosiła p. Cenę tę podniesiono o 0%, a następnie nową cenę obniżono o 6%. le wynosi cena towaru po tych zmianach? p+ 4, 04 p p + 0, 04 V, 034 p 36

37 Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem. Numer pytania Odpowiedź V

38 ETAP - FNAŁ Część Zadania Zadanie. Środkowe trójkąta mają długości 9,, 5. Obliczyć pole tego trójkąta. Zadanie. Niech f ( ) = Rozwiąż równanie f ( f ( f ( f ( f ( )))) ) = 0. Zadanie 3. Niech M i N będą punktami płaszczyzny z układem współrzędnych XOY. Odległością punktów M i N nazwiemy liczbę dist(m, N) określoną następująco: MN gdy punkt O nalezy do prostej MN dist( M, N) = MO + ON gdy punkt O nie nalezy do prostej MN W powyższym określeniu O jest początkiem układu współrzędnych, a symbol MN oznacza długość odcinka MN. Dane są punkty P = ( 3, 0), Q = (0, ) W układzie współrzędnych narysuj zbiory: A = { S : dist( P, S) = 4}, B = { S : dist( P, S) < dist( S, Q)} Wykonaj dwa osobne rysunki. 38

39 Zadanie Szkic rozwiązania. Rozwiązania zadań B C A O C A B C AA = 9 BB = CC = 5 B C AA Rozpatrujemy trójkąt OB C B ' C'' = AO = AA' = 3 3 OB ' = BB' = 4 3 OC '' = OC = CC' = 5 3 Skoro długości boków tego trójkąta maja długości 3, 4, 5, to jest to trójkąt prostokątny. PΔOB C = 6 PΔOB C = PΔOB C PΔOB C = PΔAOB stąd PΔAOC = 4 PΔAOB = PΔAOB = 4 PΔA OC = PΔBOA = 0,5 PΔAOB = Zatem PΔABC = =7 Odp. Pole tego trójkąta wynosi 7. 39

40 Zadanie Szkic rozwiązania. Zauważmy, że f ( ) stąd f ( f ( )) = + 6 f ( f ( f ( ))) itd. f ( 6) 6 = + ( ) 4 6 = ( + 6) 8 6 ( f ( f ( f ( f ( )))) ) = ( + 6) 3 6 Wtedy rozpatrywane równanie ma postać Zatem rozwiązania to: = 6 ± 3 6. Odp. Równanie ma dwa rozwiązania ( + 6) 3 6 = 0 = 6 i 3 6 = Zadanie 3 Odpowiedź: A okrąg o środku (0, 0) i promieniu bez punktu (, 0) z dołączonym punktem (7, 0). B półprosta zawarta w osi OX od punktu (, 0) w prawo, bez punktu (, 0) 40

41 Część PYTANA TESTOWE Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi,, i V. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Które z poniższych przekształceń płaszczyzny ma nieskończenie wiele punktów stałych? Przesunięcie o wektor niezerowy. Rzut prostopadły na prostą. Symetria środkowa. V Obrót o kąt α, 0 < α < π.. Które z poniższych równań jest równaniem okręgu? + y + 4 y 6 = 0 ( ) + y + 4 = 0 + y = 0 V ( + ) + ( y 4) 5= 0 3. Która z poniższych funkcji jest parzysta? ( ) gdy > f = g( ) = log 0 gdy ( ) gdy < 0 h = V k ( ) = log gdy > 0 4. Która z poniższych funkcji ma zbiór wartości równy przedziałowi 0;? f ( ) = 0 gdy 0 gdy > 0 g( ) = + h( ) = V k( ) = + cos 4

42 5. Dany jest ciąg a n = stnieje n takie, że a n =,003 Dla każdego n a n >,00 stnieje n takie, że a n =,00 V stnieje n takie, że a n <,00 n +. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? n 6. Punkt P ' jest obrazem punktu P w symetrii środkowej względem punktu O. Która z poniższych równości jest prawdziwa? OP = OP PP = OP OP = OP V PO = P O 7. Które z poniższych równań ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste? = = = 0 V 4 4 = Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną?, ( 4 )( 4 + 3) V + 9. Która z poniższych figur jest wypukła? V Półpłaszczyzna Okrąg Dwa różne punkty Koło 4

43 0. Które z poniższych równości są prawdziwe dla dowolnych zbiorów A, B, C? ( A B) A = A ( A B) C = A ( B C) ( A B) A = B V A ( B C) = ( A B) ( A C) 43

44 ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania X Odpowiedź V X X X 3 X X 4 X X 5 X X 6 X 7 X 8 X X X 9 X X 0 X X 44

45 ZADANA Z KONKURSU 0-0 ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Funkcja f spełnia dla każdego 0 równość: ( ) f ( ) + f = 7 le wynosi f(3)? 5 3 V 5 4. Dla liczb rzeczywistych, y definiujemy działanie: y = y. le wynosi a ( a a)? 8 a 4 a + 3. Wiadomo, że = 3. le wynosi +? a V a V 9 4. Sześciokąt A powstał przez połączenie odcinkami środków sąsiednich boków sześciokąta foremnego o polu 4. Pole sześciokąta A jest równe 3 V 3 5. Dane są punkty: A = ( 6, 9), B = ( 7, 7 ), C = ( 3,5) mają brzeg trójkąta ABC i okrąg o równaniu + y = 36? 0 V 3. le punktów wspólnych 6. Która z poniższych funkcji jest funkcją liniową? f ( ) = f ( ) = ( ) = f V 3 + f ( ) = + 7. Układ równań 3 3y = 9 6y = p dla każdej wartości p nie ma rozwiązań dla każdej wartości p ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdej wartości p ma nieskończenie wiele rozwiązań dla p = jest układem sprzecznym V 45

46 8. Każda liczba dodatnia podzielna przez 3, może być przedstawiona dla pewnego całkowitego i dodatniego n w postaci 3n 3 3 n + 3 n V n Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział [ ;4) zbiór [ ;) (4; ) przedział [ ;) V przedział ( 4; ) + > 0. W sześcioosobowej grupie dzieci o różnych imionach, są cztery dziewczynki i dwóch chłopców. Dzieci te losowo dzielimy na dwie grupy po trzy osoby. Prawdopodobieństwo, że w każdej trójce jest jeden chłopiec jest równe 3. W wielokącie foremnym W losujemy dwa spośród jego wierzchołków. Prawdopodobieństwo tego, że łączący je odcinek nie jest bokiem wielokąta W wynosi 3. Stąd wynika, że W jest kwadratem W jest sześciokątem W jest siedmiokątem V W jest ośmiokątem. Na płaszczyźnie dany jest szesnastokąt foremny. Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne, których wierzchołki są wybrane spośród wierzchołków tego szesnastokąta. Trójkątów takich jest V 7 3. Zbiór liczb rzeczywistych spełniających nierówność 3 3 jest przedziałem ( ; ] przedziałem [ 3; ) przedziałem [ ; 3] V zbiorem [ ; ] [3; ) 3 ( )( ) ( ) 0 4. Sześcian o przekątnej d ma takie samo pole powierzchni całkowitej, jak kula o promieniu 3. le wynosi d? V π 8 π 4 π V π 46

47 5. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Krawędź podstawy prostopadłościanu ma długość, a krawędź boczna prostopadłościanu ma długość. Jaką długość ma najdłuższy odcinek łączący wierzchołek prostopadłościanu ze środkiem krawędzi podstawy prostopadłościanu? Zbiór A jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 0. + Zbiór B jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ( )( + ) > 0. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? A B jest zbiorem pustym B A jest zbiorem pustym A B = B A B = A V 7. Dane są dwa koła K = {(, y) : + y 9} K = {(, y) :( ) + y 5} Jakie jest wzajemne położenie tych kół? Koła są rozłączne Koło K jest podzbiorem koła K Koło K jest podzbiorem koła K V Koła mają dokładnie jeden punkt wspólny 8. Dla jakich wartości m równanie m + = 0 ma dwa pierwiastki? m ( ; ) ( ; ) m ( ; ) m ( ; ) V m ( ; ) 9. W jakim stosunku zmieszać roztwór cukru o stężeniu % z roztworem cukru o stężeniu 5 %, aby otrzymać roztwór cukru o stężeniu 4 %? 3 : : 3 : V : 0. Dla jakiej wartości z przedziału < 0 ;π > spełniony jest układ warunków π 6 7π 6 sin = cos > 0 4π 3 V V 3 5π 3 47

48 ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V Zaliczono punktów 48

49 ETAP - FNAŁ Część Zadania Zadanie. W trapezie ABCD o podstawach AD i BC punkt O jest punktem przecięcia przekątnych. Dane są pola trójkątów P = PΔAOD i P = PΔBOC. Wyznaczyć pole trapezu. Zadanie. Liczby a, b, c, d są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego rosnącego i są pierwiastkami równania Wyznacz q q = 0. Zadanie 3. Symbol E () oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą liczbie. Narysuj wykresy funkcji: a) f ( ) = E( ) dla < ; > b) g( ) = E( ) dla < ; > 49

50 Zadanie Szkic rozwiązania. Rozwiązania zadań B b C h O h A a D Niech: AD = a, BC = b h wysokość trójkąta BOC opuszczona na BC, h wysokość trójkąta AOD opuszczona na AD, h = h + h wysokość trapezu ABCD Zatem P = PΔAOD = ah ; P = PΔBOC = bh ; Pole trapezu jest równe a + b h + h = ah + ah + bh + bh = P + P + ah + Trójkąt AOD jest podobny do trójkąta BOC, zatem Stąd: P = ( )( ) bh h P h =, P b a = P P h h. Zatem: = a b = P P ( P P ) b P h P P P P = P + P + h + b = P + P + = P + P + P P P P P = + Zadanie Szkic rozwiązania. Oznaczmy: = t. Z warunków zadania wynika, że równanie t 5t + q = 0 ma dwa pierwiastki dodatnie t, t takie, że b = c = t a = d = t przy czym b jest liczbą przeciwną do c, zaś a jest liczbą przeciwną do d. Ponieważ d c = c b i b = c więc d = 3c. Zatem t = 9t. Ze wzorów Viete'a mamy: t t = q t + t = 5 Rozwiązując układ trzech ostatnich równań otrzymamy odpowiedź: q = 9 / 4. 50

51 Zadanie 3 Szkic rozwiązania. a) b)

52 Część PYTANA TESTOWE Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi,, i V. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Przekrój czworościanu foremnego płaszczyzną może być: trójkątem równobocznym trójkątem o każdym boku różnej długości kwadratem pięciokątem V. Niech p będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian p + p jeden pierwiastek rzeczywisty. Pierwiastek ten V jest ujemny jest wymierny jest liczbą całkowitą parzystą może być liczbą pierwszą. ma dokładnie 3. Wielomian + a + b a + b. Warunek ten oznacza, że zbiorem pierwiastków jest zbiór {0} jest spełniony, gdy b = 0 nigdy nie jest spełniony V jest spełniony, gdy a = 0. ma ten sam niepusty zbiór pierwiastków, co wielomian 4. Które z poniższych równań nie ma pierwiastków rzeczywistych? = = = 0 V = 0 5. Dana jest funkcja f ( ) = Które z poniższych zdań jest prawdziwe? Dla każdego < 0, f ( ) > 0 Dla każdego, f ( ) > 0 stnieje < 0 taki, że f ( ) = 0 V stnieje taki, że f ( ) = 0 5

53 6. Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną? ( 3 3 )( ) 0, ( 4 0)(4 + 5) 3 + V Która z poniższych figur ma środek symetrii? V Półprosta Dwa różne punkty Trzy różne punkty niewspółliniowe Dwie proste równoległe 8. Dane są wzory na n-ty wyraz ciągu ( N+ n n ) : n a = log b = log n (n) c n = log V n ( d n = log Który z tych ciągów jest ciągiem geometrycznym? n ) 9. Który z poniższych zbiorów jest jednoelementowy? {a, Ø} {a, a} {{a}} V {Ø} 0. Który z poniższych ułamków ma rozwinięcie dziesiętne skończone? V

54 ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V X X X X X X 3 X 4 X X X 5 X X 6 X X X X 7 X X 8 X X 9 X X X 0 X X 54

55 ZADANA Z KONKURSU 0-03 ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Liczba ( ) + (7 3 7) jest niewymierna całkowita parzysta całkowita nieparzysta V wymierna niecałkowita π. Ciąg ( a n ) w którym a n = cos dla n =,,3,... jest + n rosnący, a wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie rosnący, a wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze niż malejący, a wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie V malejący, a wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze niż 3. Dany jest układ równań y = 4 = y 3 le jest par (, y) spełniających ten układ równań? jedna dwie trzy V cztery 4. Liczba N ma 0 cyfr i są to same siódemki. Zatem liczba N jest podzielna przez 9 V 5. Niech f ( ) = cos, g( ) = dla R. Wówczas: funkcja f ( g( )) jest parzysta funkcja f ( g( )) jest nieparzysta funkcja g ( f ( )) jest parzysta V funkcja g ( f ( )) jest nieparzysta 6. le punktów o obu współrzędnych całkowitych należy do zbioru A = {(, y) : 3 + y 8} V 4 7. Dany jest zbiór A = { a, b,{ a}}. Które z poniższych zdań jest fałszywe? { a} A { a} A Ø A V Ø A 55

56 8. Wielokąt wypukły ma 75 przekątnych. le boków ma ten wielokąt? V Która z poniższych funkcji ma zbiór wartości równy przedziałowi (0;>? + sin f ( ) = f ( ) = f ( ) = V + f ( ) = 0. Rozpatrujemy trójkąty, których wierzchołki są wierzchołkami sześcianu. le jest wśród nich trójkątów równobocznych? 4 8 V 4. Suma pierwiastków równania wynosi = 0 3 V 7. Przekątna rombu ma długość 6. Pole rombu wynosi 4. Jaką długość ma bok rombu? V 3. Miary kątów trójkąta tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Suma miar najmniejszego i największego kąta tego trójkąta wynosi V Na rysunku przedstawione są trzy wektory: a ρ ρ ρ, b, c Który z poniższych związków między tymi wektorami jest prawdziwy? ρ ρ ρ a + b + c = 0 ρ ρ ρ ρ a + c = b ρ ρ ρ ρ ρ ρ a + b = c V b + c = a 5. Pole trójkąta, którego długości przyprostokątnych są pierwiastkami równania = 0 jest równe 3,5 V 56

57 6. Dane są dwa koła K = {(, y): + y 9} K = {(, y): ( ) + y } Jakie jest wzajemne położenie tych kół? Koła są rozłączne Koło K jest podzbiorem koła K Koło K jest podzbiorem koła K V Koła mają dokładnie jeden punkt wspólny 7. W ciągu (a n ) wyraz a n wynosi 4 n + n + le wynosi wyraz a n- dla n >? 4n + n 4n n V 4n + n + 8. Dana jest funkcja f ( ) = 4. Którą z poniższych równości spełnia ta funkcja dla wszystkich, y R? f ( + y) = f ( ) + f ( y) f y = f + f y ( ) ( ) ( ) f ( + y) = f ( ) f ( y) V f ( y ) = f ( ) f ( y ) 9. le wynosi kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego + p p = 0, p 0? 3 p 3 p 5 p V p 3 0. Zbiór A jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności + 0. Zbiór B jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ( )( + ) > 0. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? A B jest zbiorem pustym B A jest zbiorem jednoelementowym A B = B V A B = B 57

58 ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V

59 Zadanie. Dane są funkcje: ETAP - FNAŁ Część Zadania dla < 0 f ( ) = 0 dla = 0 oraz g( ) = dla > 0 Napisz wzory określające funkcje: f ( f ( )), f ( g( )), g( f ( )), g( g( )). Zadanie. W trójkąt ABC o podstawie długości c = AB i kącie ACB o mierze γ wpisano okrąg o środku O. Przez punkt O i wierzchołki A oraz B poprowadzono okrąg o środku S. Wyznaczyć długość promienia tego okręgu. Zadanie 3. Dana jest prosta y = oraz punkt P = (,3). Znajdź zbiór punktów równoodległych od danej prostej i od punktu P. Narysuj ten zbiór. 59

60 Zadanie. Odpowiedź. Rozwiązania zadań dla < 0 dla ( ;0) (; ) f ( f ( )) = 0 dla = 0 f ( g( )) = 0 dla {0,} dla > 0 dla (0, ) dla < 0 g ( f ( )) = 0 dla = g( g( )) = dla > 0 Zadanie. Szkic rozwiązania. Długość promienia rozpatrywanego okręgu to np. długość odcinka OS. Niech kąt CAB ma miarę α a kąt ABC ma miarę β. Ponieważ odcinki OA i OB są zawarte są w dwusiecznych odpowiednich kątów trójkąta ABC to miara kąta COB jest równa π (α + β)/. Lecz α + β = π γ, zatem miara kąta COB jest równa π/ + γ/. Stosując twierdzenie sinusów do trójkąta COB otrzymujemy: c c OS = = sin( π / + γ / ) cos( γ / ) Zadanie 3. Rozwiązanie. Niech punkt (, y) należy do poszukiwanego zbioru. Jego odległość od punktu P jest równa od prostej y = jest równa y. Przyrównujemy te odległości: ( ) + ( y 3) = y Podnosimy obustronnie do kwadratu: ( ) + ( y 3) = ( y ) ( ) + ( y 3), zaś jego odległość Stąd: y = Jest to parabola o wierzchołku (, ) z ramionami skierowanymi do góry. 60

61 Część PYTANA TESTOWE Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi,, i V. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Które z poniższych zdań jest prawdziwe: Ø = {Ø} Ø {Ø} Ø {Ø} V {Ø, Ø} = {Ø}. Dane są funkcje: π π f ( ) = cos, g( ) = sin, h( ) = sin, k( ) = sin( π ). Które z poniższych zdań jest prawdziwe: f ( ) = g( ) ( ) k( ) f = ( ) h( ) f = V g ( ) = k( ) 3. Dana jest funkcja f określona wzorem f ( ) = + 3. Które z poniższych zdań jest prawdziwe: Dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych Zbiór wartości funkcji f jest ograniczony Funkcja f jest malejąca V Dla każdej liczby k należącej do przedziału (0; ) istnieje taka liczba, że f ( ) = k 4. Które z poniższych równań przedstawia prostą na płaszczyźnie: 3 y + = y = 0 y = 0 V + y + y = 0 5. Czworościan może mieć: dokładnie jedną oś symetrii dokładnie trzy osie symetrii pole powierzchni większe niż km i jednocześnie objętość mniejszą niż mm 3 V trzy pary krawędzi wzajemnie prostopadłych 6

62 6. Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną? ( 5 3 7) + ( ) ( 4 )( 4 + 3) + V 0 7. Dana jest funkcja f ( ) = Które z poniższych zdań jest prawdziwe? Dla każdego < 0, f ( ) > 0 Dla każdego, f ( ) > 0 stnieje < 0 taki, że, f ( ) = 0 V Dla każdego > 0, f ( ) > 0 8. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? sin sin Funkcja f ( ) = + jest parzysta Funkcja sin g( ) = sin jest nieparzysta Funkcja sin h ( ) = + nie jest parzysta i nie jest nieparzysta V Funkcja cos k ( ) = + nie jest parzysta i nie jest nieparzysta 9. Pole powierzchni kuli wpisanej w walec V jest mniejsze od powierzchni walca nie przekracza pola powierzchni bocznej walca nie przekracza sumy pól podstaw walca jest większe od sumy pól podstaw walca i mniejsze od jego pola powierzchni bocznej 0. Liczba n + 87 jest podzielna przez liczbę n (n jest liczbą całkowitą dodatnią). Wynika stąd, że n 87 n jest liczbą nieparzystą n jest liczbą pierwszą n jest kwadratem liczby całkowitej V 6

63 ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V X X X X X X 3 X X X X 4 X X 5 X X X 6 X X X 7 X 8 X X X 9 X X 0 X X 63

64 ZADANA Z KONKURSU ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Dwa kolejne wierzchołki kwadratu leżą na okręgu o promieniu, a pozostałe dwa na średnicy tego okręgu. Długość boku tego kwadratu wynosi: 5 5 V 5 5. Okrąg o promieniu 0 i okrąg o promieniu 7 przecinają się w dwóch punktach. Długość wspólnej cięciwy wyznaczonej przez te punkty wynosi 6. Odległość między środkami tych okręgów wynosi: 5 7 V 3 3. Prostokąt ABCD ma bok AB o długości 5 i bok BC o długości 3. Przekątna AC została podzielona punktami E i F na trzy odcinki o równej długości. Pole powierzchni trójkąta EFB wynosi: an + 4. Ciąg (a n ) spełnia dla n =,, zależność a n+ =, oraz a =. le wynosi wyraz a 0? V 5 5. le rozwiązań ma równanie + 3 = +? 30 3 V 5 3 V Nie ma rozwiązań. Ma dokładnie jedno rozwiązanie. Ma nieskończenie wiele rozwiązań. Ma dokładnie dwa rozwiązania. 6. O ile procent należy zwiększyć promień koła, by pole koła powiększyło się czterokrotnie? 00% 00% 60% V 40% 7. Która z poniższych brył ma największą objętość? Czworościan foremny o krawędzi 5. Walec o promieniu podstawy 0,5 i wysokości 5. Kula o promieniu. V Stożek o wysokości 5 i tworzącej 4. 64

65 8. Dany jest ciąg geometryczny a n = n n =,, 3,... le wynosi suma n początkowych wyrazów tego ciągu? n n n 3 ( ) 6 ( ) ( ) V n 9. Pierwiastki równania kwadratowego m + p m = 0, m 0 oznaczamy:,. le wynosi p + m m p + 4m m +? V p + m 0. Dany jest wielomian W + ( ) =, n N. le wynosi reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian +? 0 V 86. Ostatnia cyfra liczby 76 to: 4 6 V 8. Zbiór punktów płaszczyzny Oy spełniających równanie + y = V jest zbiorem czteroelementowym. brzegiem kwadratu. okręgiem. zbiorem nieograniczonym. 3. Dane są funkcje: V Funkcja f ( g( )) jest parzysta i okresowa. parzysta i nieokresowa. nieparzysta i okresowa. nieparzysta i nieokresowa. p m f ( ) =, g( ) = sin 65

66 4. Liczba, której czwarta część powiększona o 5 jest równa trzeciej części tej liczby pomniejszonej o 5 jest większa niż 400. jest nieparzysta. jest mniejsza niż 400. V nie istnieje. 5. Koło ma promień r i obwód a. Która wypowiedź jest prawdziwa? V Jeżeli a jest liczbą niewymierną, to r też jest liczbą niewymierną. Jeżeli a jest liczbą wymierną, to r też jest liczbą wymierną. Jeżeli a jest liczbą naturalną, to r jest liczbą niewymierną. Jeżeli a jest liczbą naturalną, to r jest liczbą wymierną. 6. Która z poniższych funkcji ma wykres symetryczny do wykresu funkcji względem prostej y =? ( ) = log ( ) = + log g 3 g 3 g( ) = 3 log V g( ) = 3 + log 7. le rozwiązań ma równanie: Nie ma żadnego. Dokładnie jedno. Dokładnie trzy. V Dokładnie pięć = 0? f ( ) = 3 8. Funkcja + f ( ) = jest rosnąca. jest malejąca. jest parzysta. V jest nieparzysta. 9. Liczba log jest równa log 00 log 5 (log 00) + V (log 00) Dane są zbiory: A = {Ø} oraz B = {{ Ø}}. Zatem: A = B = Ø A = B Ø A B `V A B 66

67 Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V

68 ETAP - FNAŁ Część Zadania Zadanie. Rozwiąż nierówność: > log 0,8 (3 ) Zadanie. Na czworokącie ABCD opisano okrąg i wpisano okrąg. Różnica długości boków AD i BC jest równa różnicy długości boków AB i CD. Wykazać, że przekątna AC jest średnicą okręgu opisanego na tym czworokącie. Zadanie 3. Punkt skupienia zbioru A na płaszczyźnie jest to taki punkt P tej płaszczyzny, że w dowolnym kole otwartym (tzn. bez okręgu koła) o środku P znajduje się przynajmniej jeden punkt różny od punktu P i należący do zbioru A. Uwaga. Punkt P nie musi (choć może) należeć do zbioru A. Na płaszczyźnie Oy dany jest zbiór A =, y : n =,,3,... ; 0 < y <. n Wyznacz zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A. Wyznaczony zbiór możesz opisać słowami lub symbolami albo narysować. 68

69 Zadanie. Rozwiązanie. Nierówność ma sens, gdy Rozwiązania zadań () i 3 > 0 () Rozwiązanie (): ( ) ( 4) 0, stąd: < 4; ) {} Rozwiązanie (): ( 3 ) > 0, stąd: (0; 3) () i (): =. Podstawiamy = do nierówności: L =, P = log 0, nierówność jest spełniona. Odpowiedź: =. 0 0, 8 < Zadanie. Szkic rozwiązania. D δ γ C A α β B Mamy z założenia AD - BC = AB - CD oraz warunek na możliwość wpisania okręgu AD + BC = AB + CD Dodając równości stronami otrzymamy AD = AB czyli AD = AB. Zatem również BC = CD. Stąd trójkąty ABC i ACD są przystające. Warunek opisania okręgu dla miar odpowiednich kątów α + γ = β + δ = 800. Z przystawania trójkątów ABC i ACD mamy β = δ zatem β = 800 i β = 900. Kąt wpisany jest prosty więc musi być oparty na średnicy. 69

70 Zadanie 3. Rozwiązanie:, y : n =,,3,... ; 0 y { (0, y) : 0 y } n albo opis słowny: Szukany zbiór jest sumą: - zbioru A, () - ciągu,0 n =,,3,... (ciąg na osi O), () n - ciągu, n =,,3,... (ciąg na prostej y = ), (3) n - odcinka o końcach (0,0) i (0,) wraz z końcami (odcinek na osi Oy). (4) 70

71 Część PYTANA TESTOWE Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi,, i V. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Który z poniższych zbiorów jest dwuelementowy: {a, a, a, b, b} {a, {a}} {{a}, {b}} V {{a, b}}. Funkcja f każdej liczbie naturalnej dodatniej n przyporządkowuje liczbę jej dzielników. Które z poniższych zdań jest prawdziwe: f ( n + ) > f ( n) dla każdego n f ( n) > f ( n) dla każdego n f ( n) = + f ( n) dla każdego n V Jeżeli f ( n) = to f ( n + ) > 3. Który z poniższych podzbiorów płaszczyzny Oy jest ograniczony: {(, y) : R y R + y 4} {(, y) : R y R + y 4} {(, y) : R y R + y 4} V {(, y) : R y R + y 4} 4. Które z poniższych równań ma dokładnie dwa rozwiązania: = = = + V = Dla układu równań + y = t R + y = t rozpatrujemy funkcję f (t) o wartościach równych liczbie rozwiązań tego układu. Wtedy Wykres funkcji f ma oś symetrii. Funkcja f jest niemalejąca. Zbiór wartości funkcji f jest dwuelementowy V Funkcja f jest różnowartościowa. 7

72 6. Niech log k = log 7. Wtedy 5 log 4 7 k = k = log 4 7 log 4 5 log 5 4 k = log 5 7 V k = log Na rysunku przedstawione są trzy wektory: a ρ ρ ρ, b, c c b a Który z poniższych związków między tymi wektorami jest prawdziwy? ρ ρ ρ a + b + c = 0 ρ ρ ρ ρ c a = b ρ ρ ρ ρ c + b = a V b a ρ + = c 8. Która z poniższych funkcji ma zbiór wartości równy przedziałowi 0;? f ( ) = cos g( ) = + h( ) = V k( ) = + cos 9. Które z poniższych przekształceń płaszczyzny jest izometrią? Rzut prostopadły na prostą. Symetria środkowa. Jednokładność o skali. V Symetria osiowa. 0. Która z poniższych funkcji jest parzysta? f ( ) = sin sin 3 g( ) = sin 3 cos h( ) = log V k ( ) = log 7

73 ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V X X X X 3 X X 4 X X X 5 X 6 X X 7 X X 8 X X 9 X X X 0 X X 73

74 ZADANA Z KONKURSU ETAP. Pierwiastki równania kwadratowego p + = 0 oznaczamy i. 3 3 Jaka jest wartość wyrażenia +? p 4 8 p p 8 V p + 8. Który z poniższych wzorów określa n-ty wyraz ciągu geometrycznego? a n = sin nπ + cos nπ a n = sin n + cos n V a sin nπ cos nπ n = + a n = (sin n + cos n) 3. le rozwiązań ma równanie = 3 V 4 4. Dana jest funkcja f ( ) =.Którą z poniższych równości spełnia ta funkcja dla wszystkich, y R? f ( + y) = f ( ) f ( y) f ( + y) = f ( ) + f ( y) f ( y) = f ( ) [ f ( y)] + V f ( + y) = f ( ) + [ f ( y)] 5. Który z poniższych przedziałów jest zbiorem wartości funkcji f ( ) =? < ; ) ( 0; ) ( 0; ) V ( 0; 6. le podzbiorów ma zbiór { { {Ø } } }? 4 V 8 7. Równość ( A B) B = A jest prawdziwa: V dla dowolnej pary zbiorów rozłącznych A, B dla dowolnej pary zbiorów A, B tylko wtedy gdy zbiór B jest pusty gdy zbiór B jest podzbiorem zbioru A 74

75 8. Samochód wjechał pod górę ze stałą prędkością 30 km/h po czym zjechał po tej samej trasie ze stałą prędkością 90 km/h. Średnia prędkość samochodu na całej trasie wynosiła: 45 km/h 50 km/h 60 km/h V 75 km/h 9. le dzielników naturalnych ma liczba miliard? V Liczba 0, (po przecinku same czwórki) Jest mniejsza od 9 4. Jest mniejsza od 9 5. Jest niewymierna. V Należy do zbioru rozwiązań nierówności <.. Równość a + b + c = a + b + c, gdzie a, b, c to liczby rzeczywiste, jest prawdziwa: V Jeśli liczby a,b,c są ujemne. Dla dowolnych liczb a,b,c. Wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a,b,c są nieujemne. Jeśli jedna z liczb a,b,c jest równa zero.. Okrąg przecina wszystkie boki czworokąta wycinając z nich równe odcinki. Stąd wynika, że: V Na tym czworokącie można opisać okrąg. W ten czworokąt można wpisać okrąg. Ten czworokąt jest kwadratem. Ten czworokąt jest prostokątem. 3. Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a, b, c; a < b < c. Obracając ten trójkąt wokół boku długości a otrzymujemy bryłę o objętości V a, obracając ten trójkąt wokół boku długości b otrzymujemy bryłę o objętości V b, obracając ten trójkąt wokół boku długości c otrzymujemy bryłę o objętości V c. Wtedy: V a < V b V a < V c V c < V b V V b < V c 4. Jeśli dla dodatnich liczb całkowitych, y, z, które nie mają wspólnego dzielnika większego od spełniona jest równość log y log 00 = z, to + y + z wynosi: V 9 75