Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę r. a = 346 = 85 b + r, 0 < r < b. Stąd 36 r b = 8 +, 85 Liczba b musi być liczbą całkowitą dodatnią, zaś reszta r musi być dodatnia mniejsza od 85. Wynika stąd, że 36 r = 0. Otrzymujemy zatem b = 8, r = 36.. Pokazać, że n 5 n, gdzie n jest liczb naturalną, jest podzielne przez 30. n 5 n = (n ) n (n + ) (n + ) = (n ) n (n + ) [(n 4) + 5] = = (n ) (n ) n (n + ) (n + ) + 5 (n ) n (n + ). Każdy ze składników otrzymanej sumy jest podzielny przez 30, gdyż iloczyn k następujących po sobie liczb naturalnych jest podzielny przez k!. Istotnie, n n n n n k + C k n k ( )( )...( ) = = 3... k jest liczbą całkowitą i dlatego rozważana wcześniej suma jest podzielna przez 30, a to oznacza, że 30 dzieli n 5 n. 3. Pokazać, że mn (m 4 n 4 ), gdzie m i n są liczbami naturalnymi, dzieli się przez 30. Zauważmy, że mn (m 4 n 4 ) = n (m 5 - m) m(n 5 n), a jak było pokazane w przykładzie, m 5 m dzieli się przez 30.

4. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nowa liczbę, cztery razy większą od poprzedniej. Znaleźć liczbę a. Niech szukaną liczbą będzie 0 x + 5. Przestawiając cyfrę 5 na miejsce pierwsze, otrzymujemy liczbę 5 0 5 + x. Z warunków zadania wynika, że 5 0 5 + x = 4 (0 x + 5). Stąd x = 80. Zatem szukaną liczbą jest 805. 5. Znaleźć sumę n wyrazów ciągu S n = + + +... +... (S n jest sumą n składników). S n = + + +... +.. = n 0 n+ n+ = 0 0 0 9 0 9 0. 9 n 9 = + + n = + n 8 8 6. Znaleźć wszystkie liczby całkowite x 3 takie, że x 3 dzieli x 3. n 0 0 0 9 + 9 +... + 9 = n ( 0 + 0 +... + 0 n) Połóżmy x 3 = t. Wtedy x = t + 3, x 3 3 = (t +3) 3 3. Jeśli x -3 dzieli x 3-3 wtedy i tylko wtedy gdy t dzieli (t + 3) 3 3. Ale (t + 3) 3 3 = t 3 9 t + 7 t 4. Zatem t dzieli (t + 3) 3 3 wtedy i tylko wtedy gdy t dzieli 4, a więc t jest jedną z liczb ±, ±, ±3, ±4, ±6, ±8, ±, ±4. Stąd dla x = t + 3 otrzymujemy: -, -9, -5, -3, -, 0,,, 4, 5, 6, 7, 9,, 5, 7. 9 ( ) ( ) 7. Pokazać, że dla liczby naturalnej n, liczby n 5 oraz n mają takie same cyfry jedności. W przykładzie zostało pokazane, że liczba n 5 n jest podzielna przez 30. Skoro jest podzielna przez 30, to jest też podzielna przez 0. Zatem liczby n 5 oraz n muszą mieć takie same cyfry jedności.

8. Wykazać, że kwadrat każdej liczby całkowitej nieparzystej jest postaci 8 k +, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Dowolną liczbę całkowitą można zapisać w postaci: 4q + 0, 4q +, 4 q +, 4 q + 3, gdzie q jest liczba całkowitą. Liczby nieparzyste mają postać 4q + lub 4q + 3. Policzmy kwadraty liczb nieparzystych: (4q + ) = 8 (q + q) + = 8 k + (4q + 3) = 8 (q + 3q + ) + = 8 k +, gdzie k = q + q, a k = q + 3q +. 9. Dowieść, że dla naturalnych n, n dzieli (n + ) n. n n n n n n ( + n) = + n + n +... + n Dla n = twierdzenie jest oczywiście prawdziwe. Załóżmy, że n > i policzmy n-tą potęgę liczby n +. Zauważmy, że wszystkie składniki w powyższej sumie, poczynając od trzeciego, zawierają n w potędze większej lub równej, a drugim składnikiem jest n. Zatem jeśli od rozważanej sumy odejmiemy, to różnica będzie podzielna przez n. Algorytm Euklidesa. Równania diofantyczne. Największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Stosując algorytm Euklidesa znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 483 i 6409. Zastosujmy algorytm Euklidesa 483 = 6 6409 + 4369 (483, 6409) = 6409 = 4369 + 040 = (6409, 4369) = 4369 = 040 + 89 = (4369, 040)= 040 = 7 89 + 7 = (040, 89) = 89 = 7 7 = ( 89, 7) = 7.

. Znaleźć parę liczb całkowitych (x o, y o ) spełniających związek 483 x o + 6409 y o = 7. W przykładzie 0, przy pomocy algorytmu Euklidesa został policzony największy wspólny dzielnik liczb 483 oraz 6409. Dzielnik ten jest równy 7 i jest podzielnikiem wyrazu wolnego, który tu jest również równy 7. Zatem poszukiwane liczby x o i y o istnieją. Wykorzystajmy algorytm Euklidesa do znalezienia liczb x o, y o. Liczmy kolejno 7 = 040 7 89 = = 040 7 (4369-040) = = -7 4369 + 5 040 = = -7 4369 + 5 (6409 4369) = = - 4369 + 5 6409 = = - (483 6 6409) + 5 6409 = Zatem x o = -, y o =47. = - 483 + 47 6409. 3. Rozwiązać w liczbach całkowitych następujące równanie (* ) 483 x + 6409 y = 68. Jeśli równanie a x + b y = c, gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi, jest rozwiązalne w liczbach całkowitych, to posiada ono nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli jednym z nich jest para liczb całkowitych (x o, y o ), to wszystkie rozwiązania dane są wzorami x = x o + b t, y = y o - a t, gdzie a = a ( a, b), b = b ( a, b). a t jest dowolną liczbą całkowitą. Rozważane równanie posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych, gdyż największy wspólny dzielnik (483, 6409) jest równy 7, a więc jest podzielnikiem liczby 68. W przykładzie zostało pokazane, że

483 ( -) + 6409 47 = 7. Pomnóżmy obie strony tej równości przez 4. Otrzymujemy wówczas 483 (- 4) + 6409 (47 4) = 68. Stąd x o = -88, y o = 588. Zatem wszystkie rozwiązania równania (*) dane są wzorami gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. x = - 88 + 377 t, y = 588 59 t, Równania nieoznaczone możemy rozwiązywać również innymi metodami. Niekoniecznie musimy się posługiwać przy ich rozwiązywaniu algorytmem Euklidesa. 4. Rozwiązać w liczbach całkowitych następujące równanie nieoznaczone 7 x 8 y = 44. Równanie posiada rozwiązanie, gdyż liczby 7 i 8 są względnie pierwsze. Ich największy wspólny dzielnik jest równy, a więc jest podzielnikiem liczby 44. Wyznaczmy x: x = 44 + 8y 7 Podstawmy za y kolejno y = 0,,,..., 5. Dla y = 5 otrzymujemy x =, a zatem x = + 8 t, y = 5 + 7 t, gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. 5. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie 4 x + 8 y = 39. Równanie nie posiada rozwiązania w liczbach całkowitych, gdyż największy wspólny dzielnik (4, 8) = 4, a liczba 4 nie jest podzielnikiem liczby 39.

6. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie 7 x + 39 y = 83. Liczby 7 oraz 39 są względnie pierwsze, zatem nasze równanie posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych. Wyliczmy x: x = ( 3 ). 83 39y 5 5y 5 y = 4 y + = 4 y + 7 7 7 Liczba x jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy y = 3 7 t, gdzie t jest liczbą całkowitą. Rozwiązania równania mają zatem postać: gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą x = - + 39 t, y = 3 7 t, 7. Rozwiązać w liczbach naturalnych następujące równanie 7 x 3 y = 44. Liczby 7 i 3 są względnie pierwsze, zatem poszukiwanie rozwiązań w liczbach naturalnych ma sens. Wyliczmy x. 44 + 3y y x = = 6 + y + 7 7 Skoro x ma być liczbą naturalną, to y = t, 7 gdzie t jest liczbą całkowitą. Stąd musi być x = 0 3 t, y = 7 t, x > 0 i y > 0. Rozwiązując układ nierówności otrzymujemy rozwiązania: 0 3 t > 0, 7 t > 0, x = 0 3 t, y = 7 t, gdzie t jest liczbą całkowitą niedodatnią. 8. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

x - y = 4. Rozwiązanie Równanie można zapisać w postaci równoważnej (x - y) (x + y) = 4. Iloczyn dwóch liczb całkowitych jest równy 4: gdy obie są równe lub obie są równe - lub jedna z nich jest równa 4, a druga lub jedna jest równa -4, a druga -. Zatem mamy 6 przypadków ) x y = i x + y =, skąd x = 4, zatem x =, a y = 0, ) x y = - i x + y = -, skąd x = -4, zatem x = -, a y = 0, 3) x y = 4 i x + y =, skąd x = 5, zatem x nie jest liczba całkowitą i takie rozwiązanie nas nie interesuje, Pozostałe przypadki również nie dają rozwiązań. W rezultacie rozwiązania wyglądają następująco: x =, y = 0 oraz x = -, y = 0. 9. Korzystając ze wzoru a b [ a, b] = ( a, b). Znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 79 i 37. Zastosujmy algorytm Euklidesa w celu znalezienia największego wspólnego dzielnika liczb 37 i 79. Zatem 37 = 79 + 93 79 = 3 93. 37 79 03788 37 = = = 93 [, 79] ( 37, 79) 6. 0. Największy wspólny dzielnik liczb a i b jest równy 4, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 496. Znaleźć liczby a i b. Istnieją liczby całkowite m i n Takie, że a = 4 m, b = 4 n, (m, n) =. Możemy przyjąć, że m < n. ponieważ 496 jest najmniejszą wspólna wielokrotnością liczb a i b, to 496 = 4m 4n. 4

Stąd m n = 04 = 8 3. Ponieważ (m, n) =, to m n = 04 lub m n = 8 3. a) Jeśli m =, n = 04, to a = 4 = 4, b = 4 04 = 496, b) Jeśli m = 8, n = 3, to a = 4 3 = 9, b = 4 3 = 3.. Pokazać, że (a, b) (a, c) (b, c) [a, b] [a, c] [b, c] = a b c, a, b, c są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wystarczy skorzystać ze wzoru podanego w przykładzie 7 oraz z faktu, że mnożenie liczb całkowitych jest działaniem przemiennym i łącznym.. Znaleźć wszystkie liczby całkowite, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 3, a przy dzieleniu przez 6 dają resztę 5. Jakie reszty dają te liczby przy dzieleniu przez 60. Rozwiązanie Oznaczmy szukane liczby symbolem x. Zgodnie z warunkami zadania x = 5s+3 i x = 6t+5, gdzie s,t są dowolnymi liczbami całkowitymi. Z powyższych zależności wynika, że 5s 6t =. Otrzymaliśmy równanie nieoznaczone, którego rozwiązanie ma postać: s = 4 + 6k, t = 3+6t, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. W takim razie x = 5(4 + 6k) + 3 = 3 + 30k. Jeśli k = u, to x = 3 + 60u. Jeśli k = u +, to x = 3 + 30 + 60u = 53 + 60u, gdzie u jest dowolną liczbą całkowitą. Zatem poszukiwane liczby całkowite przydzieleniu przez 60 dają reszty 3 albo 53. II. Liczby pierwsze, liczby złożone, liczby względnie pierwsze. Pokazać, że liczbę 5050505 nie można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych. Rozwiązanie W przypadku, gdy 5050505 = +5050503, liczba 50505053 jest liczbą podzielną przez 9, a więc nie jest liczbą pierwszą. Wszystkie liczby pierwsze oprócz są liczbami nieparzystymi, a suma liczb nieparzystych jest liczba parzystą. Zatem nie można liczby 5050505 przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.

. Niech c = a + 4b 4, gdzie a,b są liczbami naturalnymi różnymi od. Pokazać, że wtedy c jest liczbą złożoną. Rozwiązanie Zauważmy, że c = a 4 + 4a b + 4b - 4a b = (a + b ) - 4a b = (a + b ab) (a + b + ab). Jeśli a = b =, to c = 5, a więc nie jest liczbą pierwszą 3. Podać przykład takich czterech liczb naturalnych a, b, c, d dla których nie ma żadnej liczby naturalnej n, przy której liczby a + n, b + n, c + n, d + n byłyby parami względnie pierwsze. Takimi liczbami są na przykład a =, b =, c = 3, d = 4, bo jeśli n jest dowolną liczbą całkowitą, to a + n, c + n - dla n nieparzystego są parzyste, a więc nie są względnie pierwsze. b + n, d + n - dla n parzystych są parzyste, a więc nie są względnie pierwsze. 4. Pokazać, że dla liczb naturalnych n, liczba n 33 + 8 jest liczba złożoną. Ponieważ n 33 + 8 = n 3 + 3 = (n + ) (n - n + 4), więc n 33 + 8, jako iloczyn dwóch liczb naturalnych jest liczbą złożoną. 5. Znaleźć liczbę pierwszą p, jeśli wiadomo, że 4p + i 6p + są liczbami pierwszymi. Wszystkie liczby naturalne większe od można przedstawić w postaci 5 n, 5 n ±, 5 n ±, gdzie n jest dowolna liczba naturalną. Liczby postaci 5 n są pierwsze tylko dla n =. Jeśli p = 5, to 4 p + = 0, 6 p + = 5. Jak widać, znaleźliśmy liczbę pierwszą spełniającą warunki zadania. Wykażemy teraz, że nie istnieją inne liczby pierwsze te warunki spełniające. Rzeczywiście, jeśli p = 5 n ±, to 4 p + = 5 (0 n ± 8 n + ), a więc jest liczbą złożoną, jeśli p = 5 n ±, to

6 p + = 5 (30 n ± 4 n +) i też jest liczba złożoną. 6. Niech a i b będą liczbami naturalnymi. Udowodnić, że jeżeli 40 a = 5 b, to a + b jest liczba złożoną. Rozwiązanie Zauważmy, że a + b = 3 (4b 3a). III. Kongruencje. Czy 5 984 983 ( mod 5) Liczba 5 984 nie przystaje do liczby 983 modulo 5, gdyż liczba 5 nie dzieli liczby 983.. Wykazać, że + 4 5n+ 5n+ 6 0 (mod3). Zauważmy, że 5 5n+ ( mod3 ), ( ) mod3, 4 5 5n+ ( mod3 ), 4 4 ( mod3). Zatem + 4 5n+ 5n+ 6 ( mod3). Co jest równoważne temu, że + 4 5n+ 5n+ 6 0 ( mod3). 3. Jaka jest cyfra jedności liczby 000?

Zauważmy, że 5 mod0, Z przechodniości kongruencji dostajemy 0 50 0 ( ) ( mod0), ( mod0). Otrzymaną kongruencję podnieśmy stronami do potęgi 5. Wówczas 50 ( mod0). 50 0 ( mod0). Powtórnie korzystając z przechodniości rozważanej relacji, otrzymujemy 50 ( mod0). Podnosząc powyższą kongruencję stronami do potęgi 4, dostajemy 000 56 ( mod0). Z kolei 56 6 (mod 0). Zatem 000 6 ( mod0). Z otrzymanej równości wynika, że cyfra jedności liczby 000 jest równa 6. 4. Niech p będzie liczbą pierwszą. Liczby a i b niech będą liczbami całkowitymi takimi, że a b (mod p). Wtedy p dzieli a + b lub p dzieli a b. Jeśli a b (mod p), a b (mod p). ze wzorów uproszczonego mnożenia i definicji relacji przystawania modulo p wynika, że liczba pierwsza p dzieli iloczyn (a b) (a + b). Zatem liczba pierwsza p dzieli a b lub a + b. 5. Wykazać, że liczba naturalna A dzieli się przez wtedy i tylko wtedy gdy różnica pomiędzy sumą jej cyfr znajdujących się na miejscach parzystych i suma jej cyfr znajdujących się na miejscach nieparzystych dzieli się przez. Niech kolejnymi cyframi liczby A w układzie dziesiętnym będą a, a,..., a n. Wówczas A = a 0 n + a 0 n +... +a n 0 + a n.

Rozważmy wielomian f(x) = a x n + a x n +... +a n x + a n. Oczywiście, A = f(0). Stąd wobec kongruencji 0 - (mod ), otrzymujemy f(0) - (mod ). Stąd a + a a 3 +... A (mod ). 6. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki kongruencji x 3 x + (mod 5). Nasza kongruencja może mieć co najwyżej 5 pierwiastków. Aby je wszystkie znaleźć wystarczy sprawdzić które spośród liczb zbioru { 0,,, 3, 4 } są pierwiastkami naszej kongruencji. Liczby 0, 3, 4 pierwiastkami naszej kongruencji nie są. Natomiast liczby, spełniają kongruencję. Wszystkie rozwiązania naszej kongruencji w liczbach całkowitych mają postać gdzie t jest dowolna liczbą całkowitą. 7. Rozwiązać kongruencję x = + 5t, x = + 5t, x - x + 0 (mod ). Kongruencja nie jest spełniona, gdyż x (x ) + jest liczba nieparzystą, a więc niepodzielną przez. 8. Rozwiązać kongruencję x (x + ) (x + ) (x + 3) (mod 4). Kongruencja jest tożsamościowa, gdyż x, x +, x +, x + 3 są to kolejne cztery liczby naturalne. 9. Wyznaczyć resztę z dzielenia liczby 994 995 996 + 997 przez 7.

Zauważmy, że 995 = 85 7. Dalej 997 (mod 7), a więc 997 4(mod 7). Z powyższego wynika, że reszta przy dzieleniu naszej liczby przez 7 wynosi 4. 0. Pokazać, że 3 (mod 33). Rozwiązanie 3 = 34, 33 = 340 = 5 68, 5 - (mod ), stąd Z kolei 5 (mod 3). Zatem 3- (mod ) (a). 3- (mod 3) (b). Z równości (a) i (b) oraz z własności kongruencji wynika, że. Policzyć 6 43 (mod 5). 3- (mod 3). Z twierdzenia Eulera wynika, że 6 0 (mod5). Z własności kongruencji mamy 6 40 (mod5). Ponieważ 6 3 (mod5), to 6 43 (mod5).. Czy istnieje liczba całkowita x spełniająca układ równań x 3(mod5), x 6(mod8), x (mod7), x 3(mod)? Liczby 5, 8, 7, są parami względnie pierwsze. Zatem na mocy chińskiego twierdzenia resztach taka liczba x istnieje. o Funkcja Eulera φ(x). Policzyć: φ(55), φ(5), φ(375). Policzmy φ(55). 55 = 5. Ponieważ i 5 i są różnymi liczbami pierwszymi, zatem na mocy własności funkcji Eulera, otrzymujemy φ(55) = 4 0 = 40. Policzmy φ(5). 5 = 5 3. Zatem φ(5) = 5 4 = 00. Policzmy φ(375).

375 = 3 5 3. Zatem φ(375) = 3 5 3 ( - 3 ) ( - 5 ) = 00.. Znaleźć liczbę naturalną a, jeśli φ(a )= 3600 oraz a = 3 α 5 β 7 γ. a = 3 α 5 β 7 γ, zatem φ(a) = 3 α - 5 β - 4 7 γ - 6 = 4 3 α 5 β - 7 γ -. Ale 3600 = 4 3 5 7 0, więc 4 3 α 5 β - 7 γ - = 4 3 5 7 0. Stąd α =, β = 3, γ = i w konsekwencji a = 3 5 3 7 = 7875. 3. Znaleźć liczbę naturalną a jeśli, φ(a) = 40, a = p q, gdzie p, q są różnymi liczbami pierwszymi, oraz p q = 6. Z warunków zadania wynika, że φ(a) = φ(p q) = (p - ) (q ) = 40. Otrzymujemy zatem układ równań (p - ) (q ) = 40, p q = 6. Rozwiązując ten układ otrzymujemy p =, q = 5. Szukaną liczbą jest więc 55. 4. Rozwiązać równanie φ(x) = 3 - x, gdzie x jest liczba naturalną. Funkcja Eulera przyjmuje wartości w zbiorze liczb naturalnych, x jest liczbą podzielną przez 3. Zatem x ma postać x = 3 a k, gdzie liczby a i k są liczbami naturalnymi oraz (3, k) =. Z własności funkcji Eulera wynika, że φ(3 a k) = 3 a- φ(k). Więc z warunku zadania mamy 3 a- φ(k) = 3-3 a k. Skąd wynika, że φ(k) = k. Ponieważ tylko liczba spełnia równość φ(k) = k, więc x = 3 a, gdzie a jest dowolną liczbą naturalną.