Wykład Zmiana wartości wynikająca ze zmiany jednostek dana jest zwykle funkcją liniową: y = ay + c Wpływ przekształceń Co się stanie ze średnią i odchyleniem standardowym, gdy zmienimy jednostki? Przykłady: stopnie Celsiusza stopnie Fahrenheita dolary 1,000 dolarów wartość faktyczna odległość od minimum cm : mm, in, nm, m, ft; dolary : euro Przykłady: y = 1.8 y + 3 y = 1/1000 y ( + 0) y = (1)y - y min Wpływ stałej (odejmujemy 0) Uwagi: a-współczynnik (kierunkowy) c-stała niekiedy a = 1 lub c = 0 Funkcja liniowa nie zmienia w zasadniczy sposób kształtu histogramu. Może go rozszerzyć ( a >1), ścieśnić ( a <1), przesunąć (c<>0) i obrócić (a<0). Średnia y 6 8 6 Dev. 0 y 6 8 6 Dev 0 Średnia y zmienia się tak jak y. Mamy: Wariancja jest kwadratem SD. Mamy: y = a y + c s = a s Odchylenie standardowe s zmienia się tylko pod wpływem współczynnika a (stała c nie ma wpływu na odchylenie standardowe, ponieważ zależy ono jedynie od odchyleń od średniej). Mamy: Przykład: Y- temperatura w F: y = 98.6, s = 0.9, s = 0.81 Oblicz średnią, odchylenie standardowe i wariancję dla tych samych danych wyrażonych w stopniach Celsjusza. s = a s 1
Rozwiązanie: Standaryzacja: Jakich wyników należy oczekiwać, gdy dane przekształcimy w następujący sposób y' = (y- y )/s =(y-98.6)/0.9? Jest to transformacja liniowa: y' = 1/s y - y/s. Odpowiedź: Liniowa transformacja zmiennych: inne statystyki Funkcja liniowa zmienia: medianę i kwartyle tak, jak średnią, rozstęp i IQR tak, jak odchylenie standardowe. Transformacje nieliniowe Funkcje nieliniowe (np. logarytm) zmieniają kształt histogramu i na ogół nie ma prostych formuł dla nowej średniej i nowego odchylenia standardowego. Przykład: dla y =log(y) na ogół y log y Wielkości te liczymy z korzystając z nowego zbioru danych. Z medianą i kwartylami jest lepiej... Funkcji nieliniowych używany niekiedy po to, aby przekształcić dane skośne w dane bardziej symetryczne.
Wnioskowanie statystyczne Próba a populacja Populacja: Zbiór, z którego losujemy próbę i który chcemy opisać. Czasami rzeczywista, czasami abstrakcyjna (np. nieskończenie duża próba ). Próba: Podzbiór populacji. Próba powinna być reprezentatywna dla populacji. Wnioskowanie statystyczne: Wnioskowanie o populacji w oparciu o próbę. Populacja Grupa wykładowa Wszyscy pacjenci biorący Prozac ``wszystkie rzuty kostkami Wszystkie owocówki ze śmietnika, albo Wszystkie owocówki w okolicy Parametry : µ, σ Populacja µ σ Próbkowanie Próba 10 losowo wybranych studentów 30 pacjentów biorących Prozac rzutów kostką Owocówki złapane na śmietniku Wnioskowanie Próba y s Statystyki y, s Parametry populacji µ = średnia w populacji, µ=ey, wartość oczekiwana zmiennej Y σ = odchylenie standardowe w populacji, σ =(Var Y) 1/, pierwiastek kwadratowy wariancji zmiennej Y, Var Y=E(Y-µ)...i inne. Statystyki z próby są estymatorami, służą do oceny parametrów całej populacji. Parametry i estymatory odróżniamy w notacji. Przykład: Grupy krwi u 3696 osób żyjących w Anglii. Grupa krwi A B AB O suma Liczność 1,634 Około 44% ludzi w próbie ma grupę krwi A. A w Anglii?? (Czy nie było systematycznego błędu przy próbkowaniu? Czy rozmiar próby był dość duży?) 37 119 1616 3696 Możliwe błędy przy próbkowaniu: Próba złożona z przyjaciół i pracowników może nie być reprezentatywna..mimo tego... Grupy krwi mogą być reprezentatywne...ale już... Pomiary ciśnienia nie byłyby reprezentatywne (ciśnienie na ogół wzrasta z wiekiem). 3
Populacja a próba Średnia z próby y na ogół różni się od wartości oczekiwanej µ=ey (średniej w populacji), ale w miarę wzrostu rozmiaru próby różnica między tymi wielkościami zwykle dąży do zera. Średnia z próby jest estymatorem wartości oczekiwanej. Podobnie próbkowe odchylenie standardowe s i wariancja próbkowa s są estymatorami odpowiednich parametrów w populacji: σ i σ =Var Y. Przykład Rozmiar populacji=0, średnia w populacji =6.48 Populacja:. 17.8 36.7 9.8 40.7 6.0 7.7 7.7 10.3.3 4.4 43.4 0. 4. 44. 1.6.7 48.6 3.9 7. 17.0 19. 47.7 3.9 39.3 9. 30.7 18.9.7 3.8 16.8 11.7 13.9 4.9 49.4 30. 0.7 38.1.6 40.7 4.0 30.8 11.3 34.0 49.7 1.3 3. 8.7 19.7 3.6 Stopniowo powiększamy próbę losową do rozmiarów n=10, 0, 30, 40 Otrzymana średnia z próby: 3. (dla n=10), 7.3 (n=0), 6.7 (n=30), 6.4 (n=40) Prosta próba losowa: Próbkowanie, cd. Każdy osobnik z populacji może być wybrany z tym samym prawdopodobieństwem. Wybory poszczególnych osobników są od siebie niezależne. Jak wybrać prostą próbę losową: Mechanizm losujący, np.: Przyznajemy numer każdemu osobnikowi Losujemy numery=osobników, tyle razy, ile wynosi rozmiar próby Do losowania możemy użyć urn, komputera lub gotowej tablicy liczb (cyfr) losowych (zob. dalej). Gdy rozmiar populacji nie jest ustalony lub nie mamy dostępu do wszystkich osobników, zadanie jest dużo trudniejsze. Błędy w póbkowaniu, cd, Przykład 1 (Ochotnicy) Dziennikarka Ann Landers spytała swoich czytelników Gdybyście mogli zacząć je-szcze raz: czy mielibyście znowu dzieci? Odpisało prawie 10,000 czytelników i 70% powiedziało: Nie! Populacja: wszyscy rodzice w USA 4
Przykład 1 (Ochotnicy) cd. Próba: część populacji, która zdecydowała się odpisać, n=10,000. Czasopismo Newsday przeprowadziło statystycznie zaplanowaną ankietę, w której 91% z 1,373 przepytanych rodziców odpowiedziało: Tak! Wniosek: ochotnicy=bardzo zła reprezentatywność (badanie bezwartościowe). Przykład Przewidywanie wyników wyborów prezydenckich w USA, 1936: Literary Digest wysłało kwestionariusze do 10 milionów ludzi (% głosujących) Odpowiedziało.4 miliona: Przewidywanie: Landon 7%, Roosevelt 43% Wynik wyborów: Roosevelt 6%, Landon 38% Uwagi: F.D. Roosevelt, Partia Demokratyczna, prezydent w latach 193394; Wielki Kryzys: 199-1933 Przyczyny błędu Literary Digest: Obciążenie w próbkowaniu Złe (dyskryminujące) próbkowanie: Użyto książek telefonicznych, list członkowskich klubów, listy zamówień pocztowych, listy właścicieli pojazdów Brak odpowiedzi: Tylko 4% odpowiedziało (niemal wyłącznie Republikanie) Uwaga: George Gallup przewidział poprawnie na podstawie reprezentatywnej próbki 0 000 osób. Obciążenie w próbkowaniu występuje, gdy mamy do czynienia z systematycznym błędem faworyzującym pewną część populacji. W przypadku takiego obciążenia nie pomoże nawet duży rozmiar próby. Losowy wybór elementów do próby zwykle eliminuje takie obciążenie. Warianty losowego wyboru: Stratyfikacja Dzielimy populację na pod-populacje podobnych jednostek (warstwy) i oddzielnie próbkujemy w każdej warstwie. Przykłady warstw: studenci & studentki grupy zawodowe regiony geograficzne Warianty losowego wyboru cd.: Próbkowanie wielostopniowe Przykład: Badanie w USA dotyczące struktury zatrudnienia. Ankietuje się około 60.000 gospodarstw domowych co miesiąc. Poziom 1: losowa próba z 3,000 counties Poziom : losowa próba reprezentująca powiaty w każdym wybranym county Poziom 3: losowa próba reprezentująca gminy w każdym wybranym powiecie Poziom 4: losowa próba gospodarstw domowych w każdej wybranej gminie