ZESTAW ISTOTNYCH ZAGADNIEŃ

ZESTAW ISTOTNYCH ZAGADNIEŃ Zestaw wzorów i zagadnień matematycznych, których nie ma w zestawie wzorów opracowanym przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. Wszystkie przedstawione pojęcia obowiązują na egzaminie oraz są w podstawie programowej z matematyki dla liceum i technikum podpisanej przez Ministra Edukacji Narodowej. Zagadnienia oznaczone * nie są objęte podstawą programową, ale pozwalają szybciej i łatwiej przedstawić poprawny model rozwiązania. I. Liczby rzeczywiste. Podzbiory liczb rzeczywistych (N, C, W, NW, R). Rodzaje liczb (liczby dodatnie, liczby ujemne, liczby niedodatnie, liczby nieujemne, liczby parzyste, liczby nieparzyste, liczby przeciwne, liczby odwrotne, liczby pierwsze, liczby złożone) 3. Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych, 3, 4. Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze 5. Algorytm szukania NWW, NWD 6. Cechy podzielności liczby przez, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 0 7. Sposoby zapisywania liczb naturalnych o podanej własności np. Wszystkie liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 8. Metody umieszczania liczb niewymiernych na osi liczbowej 9. Twierdzenie o niewymierności pierwiastka kwadratowego z liczby 0. Trójkąt Pascala. * Wzory skróconego mnożenia: ( a b c) a b c ab ac bc; a n b n ( a b)( a a b... ab b n n n n. Usuwanie niewymierności z mianownika ułamków typu: ),, 3. Zasady zaokrąglania liczb 4. Algorytm zamiany ułamka okresowego na zwykły 5. Notacja wykładnicza 6. Błąd przybliżenia, przybliżenie z niedomiarem, przybliżenie z nadmiarem, błąd bezwzględny, błąd względny 3

7. Obliczenia procentowe: obliczanie procentu danej liczby, obliczanie liczby gdy dany jest jej procent, obliczanie jakim procentem liczby a jest liczba b, podwójne podwyżki/obniżki 8. Procent prosty 9. Procent składany z kapitalizacją odsetek: co kwartał, co miesiąc co dzień, uwzględnianie podatku i zmiennej stopy procentowej. II. * Elementy logiki matematycznej. * Zdania logiczne i nielogiczne w sensie matematycznym, zdania prawdziwe, zdania fałszywe. * Funktory zdaniotwórcze 3. * Tabele wartości logicznych 4. * Prawa rachunku zdań, prawa de Morgana 5. * Tautologia, metody dowodzenia tautologii 6. * Funkcja zadaniowa, dziedzina funkcji zdaniowej 7. * Kwantyfikator ogólny/duży, kwantyfikator szczegółowy/mały III. Zbiory i działania na zbiorach. Rodzaje zbiorów: zbiór pusty, zbiór skończony, zbiór nieskończony. Sposoby opisywania zbiorów 3. Działania na zbiorach: suma zbiorów, część wspólna zbiorów/iloczyn/przekrój, różnica zbiorów, dopełnienie zbioru w przestrzeni 4. Relacje między zbiorami: równość zbiorów, inkluzja zbiorów, zbiory rozłączne 5. Przedziały liczbowe ograniczone i nieograniczone, interpretacja geometryczna, działania na przedziałach 6. Zbiory na płaszczyźnie np. A {(, y) R : 4 y } 7. Złożone równania i nierówności z wartością bezwzględną np. 6 9 ; 3 IV. Wektory. Interpretacja geometryczna wektora, cechy wektora: kierunek, zwrot, długość. Wektory swobodne, wektory zaczepione, wektory równe 3. Interpretacja geometryczna działań na wektorach, wektory przeciwne 4. * Iloczyn skalarny wektorów w geometrii analitycznej i syntetycznej 5. * Warunek prostopadłości wektorów 6. * Kąt między wektorami V. Funkcje i ich własności. Pojęcie funkcji, sprawdzanie czy dane przyporządkowanie jest funkcją. Sposoby opisu funkcji, zasady przechodzenia z jednego opisu do drugiego 3. Dziedzina funkcji, interpretacja graficzna i algebraiczna

3 4. Zbiór wartości funkcji, przeciwdziedzina 5. Miejsca zerowe funkcji 6. Monotoniczność funkcji 7. Metody sprawdzania czy funkcja jest monotoniczna 8. * Własności funkcji: f ( ) sgn( ), f ( ), f ( ) [ ], f ( ) [ ] 9. Funkcje parzyste i nieparzyste, metody dowodzenia, własności i przykłady 0. Odczytywanie własności funkcji z wykresu. Funkcje klamrowe. Funkcje okresowe i ich własności 3. Funkcje różnowartościowe 4. * Funkcja odwrotna, funkcja odwracalna 5. * Funkcja złożona 6. Przekształcenia wykresu funkcji y f ( p) q, y f ( ), y f ( ), y f ( ), y f ( ) 7. Asymptoty funkcji VI. Funkcja liniowa. Podstawowe własności funkcji liniowej. Współczynnik kierunkowy prostej: monotoniczność, wyznaczanie współczynnika gdy dane są dwa punkty, współczynnik proporcjonalności 3. * Równanie odcinkowe prostej 4. Rodzaje równań liniowych, równania liniowe z parametrem 5. Interpretacja geometryczna nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi typu A By C 0 6. Metody rozwiązywania układów równań linowych, metoda wyznaczników 7. Rodzaje układów równań liniowych i ich interpretacja geometryczna 8. Układy równań liniowych z parametrem 9. Układy nierówności liniowych VII. Funkcja kwadratowa. Interpretacja geometryczna w zależności od współczynnika a oraz wyróżnika trójmianu kwadratowego. Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej 3. Równania kwadratowe zupełne i niezupełne, metody rozwiązywania 4. Typy równań sprowadzalnych do równań kwadratowych np. 3 8 9 0 5. Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 6. Wnioski ze wzorów Viete a, pierwiastki dodatnie, ujemne, różnych znaków, suma odwrotności pierwiastków, suma kwadratów pierwiastków, kwadrat różnicy pierwiastków 7. Wartość największa i najmniejsza funkcji określonej na przedziale 8. Optymalizacja z wykorzystaniem ekstremum funkcji kwadratowej 9. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem 3

4 0. Układy nierówności kwadratowych. Funkcja kwadratowa z wartością bezwzględną VIII. Wielomiany. Pojecie wielomianu, stopień, wyraz wolny, wielomian unormowany, suma współczynników, wielomian zerowy. Dodawanie, mnożenie wielomianów. Stopień sumy i iloczynu wielomianów 3. Metody rozwiązywania równań wielomianowych: wyłączanie przed nawias, grupowanie wyrazów, zastosowanie wzorów skróconego mnożenia 4. Dzielenie wielomianów, Twierdzenie o rozkładzie wielomianu 5. Równość wielomianów 6. Twierdzenie Bezouta 7. Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych, wymiernych wielomianu 8. Schemat Hornera 9. Pojecie pierwiastka k-krotnego 0. Wykres wielomianu. Nierówności wielomianowe. Graficzne rozwiązywanie równań i nierówności typu: f ( ) g( ), f ( ) g( ) IX. Funkcje wymierne. Wielkości odwrotnie proporcjonalne a. Własności funkcji f ( ) 3. Funkcja homograficzna 4. Szkicowanie wykresu funkcji homograficznej 5. Dziedzina wyrażenia wymiernego, działania na wyrażeniach wymiernych 6. Równania wymierne 7. Nierówności wymierne X. Funkcje trygonometryczne. Miara łukowa kąta. Tabela znaków funkcji trygonometrycznych 3. Kąt obrotu 4. Zasada wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta 5. Wyznaczanie okresu podstawowego funkcji np. y sin(3 ) 6. Własności funkcji trygonometrycznych na podstawie wykresu 7. Szkicowanie wykresów funkcji trygonometrycznych 8. Graficzne i algebraiczne rozwiązywanie równań trygonometrycznych 9. Złożone równania trygonometryczne typu: sin(3 ) sin( ), sin(3 ), cos 4sin 0. Nierówności trygonometryczne. Metody sprawdzania tożsamości trygonometrycznych 3 4

5 XI. Ciągi liczbowe. Wykres ciągu liczbowego. Monotoniczność ciągu liczbowego 3. Ciągi określone rekurencyjnie 4. * Ciągi ograniczone 5. Ciąg arytmetyczny a funkcja liniowa 6. Monotoniczność ciągu arytmetycznego 7. Metody sprawdzania czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny 8. * Zasada indukcji matematycznej 9. Granica niewłaściwa ciągu 0. Twierdzenie o trzech ciągach. Twierdzenia o granicach właściwych i niewłaściwych. Szczególne przypadki szeregu geometrycznego, ciąg sum częściowych 3. Wykorzystanie szeregu geometrycznego do zamiany ułamków okresowych na ułamki zwykłe. XII. Podstawy rachunku różniczkowego. Twierdzenie o granicy funkcji w punkcie. Granice jednostronne 3. Definicja granicy wg Heinego i Cauchy ego 4. Granice niewłaściwe i granice w nieskończoności 5. Asymptoty wykresu funkcji 6. Ciągłość funkcji 7. Własności funkcji ciągłych, własność Darbou 8. Iloraz różnicowy 9. Interpretacja graficzna i fizyczna pochodnej funkcji 0. Funkcja złożona i jej pochodna. Monotoniczność funkcji różniczkowalnych. Badanie przebiegu zmienności funkcji 3. Wykorzystanie pochodnej funkcji w zadaniach optymalizacyjnych XIII. Funkcja logarytmiczna. * Pojęcie logarytmu naturalnego. Wykres i własności funkcji logarytmicznej 3. Dziedzina funkcji logarytmicznej 4. Szkicowanie wykresu funkcji logarytmicznej 5. Różnowartościowość funkcji logarytmicznej log 6. Równania logarytmiczne typu: log log 8, 0 7. Nierówności logarytmiczne z wykorzystaniem monotoniczności funkcji logarytmicznej 5

6 XIV. Funkcja wykładnicza. Wykres i własności funkcji wykładniczej. Szkicowanie wykresu funkcji wykładniczej 3. Różnowartościowość funkcji wykładniczej 4. Równania wykładnicze typu: 5. Nierówności wykładnicze 4 3 0 0, 7 4 XIV. Planimetria. Rodzaje kątów płaskich. Kąty wierzchołkowe, przyległe, odpowiadające i naprzemianległe 3. Twierdzenie o prostych przeciętych sieczną, równość kątów odpowiadających i naprzemianległych 4. Warunek istnienia trójkąta 5. Wielokąty podobne, skala podobieństwa 6. Środkowe, wysokości, dwusieczne, symetralne trójkąta 7. Proporcje wynikające z Twierdzenia Talesa 8. Odcinek koła 9. Podział trójkątów ze względu na boki i kąty 0. Twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta. Kąty wewnętrzne i zewnętrzne w trójkącie. Twierdzenie o dwusiecznej Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli bok przeciwległy na dwa odcinki, których stosunek długości jest równy stosunkowi długości pozostałych boków. 3. Wielokąty foremne 4. Kiedy wielokąt jest wpisany w okrąg 5. Kiedy wielokąt jest opisany na okręgu 6. Środek okręgu wpisanego i opisanego na dowolnym czworokącie 7. Twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion trapezu 8. Dwusieczne kątów przyległych 9. Punkty współliniowe n ( n 3) 0. Liczba przekątnych w wielokącie wypukłym. Suma kątów wewnętrznych w wielokącie wypukłym ( n ) 80. Wzajemne położenie prostej i okręgu 3. Wzajemne położenie dwóch okręgów 4. Promień okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie równobocznym 5. Rodzaj trójkąta w zależności od relacji między a 6. Środek okręgu opisanego w zależności od rodzaju trójkąta 7. Klasyfikacja czworokątów wypukłych 8. Przekształcenia geometryczne, zasady rysowania obrazów symetrii osiowej, środkowej, jednokładności, translacji, obrotu o kąt skierowany 9. * Powinowactwo osiowe 30. Przekształcenia izometryczne 3. * Twierdzenie Ptolemeusza b, c 0 6

7 Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to iloczyn długości jego przekątnych jest równy sumie iloczynów długości przeciwległych boków. 3. * Pole czworokąta wpisanego w okrąg P ( p a)( p b)( p c)( p d) 33. Odległość prostych równoległych 34. Budowa układu współrzędnych, iloczyn kartezjański XV. Stereometria. Klasyfikacja graniastosłupów. Sześcian, pole powierzchni, przekątna, przekroje, własności 3. Klasyfikacja ostrosłupów 4. Ostrosłup prawidłowy 5. Kąt między prostą a płaszczyzną 6. Kąt dwuścienny 7. Przekrój osiowy walca 8. Przekrój osiowy stożka 9. Kąt rozwarcia stożka 0. Koło wielkie kuli. Sfera. * Bryły wpisane 3. * Bryły podobne XVI. Rachunek prawdopodobieństwa. Reguła mnożenia. Zdarzenia losowe, zdarzenie elementarne, przestrzeń zdarzeń elementarnych, zdarzenie sprzyjające 3. * Częstość zdarzeń 4. * Rozkład prawdopodobieństwa 5. Zdarzenia wykluczające się 6. Doświadczenia wieloetapowe 7. * Prawdopodobieństwo warunkowe 8. * Zdarzenia niezależne 9. * Prawdopodobieństwo całkowite 0. * Schemat Bernoulliego XVII. Elementy statystki. Interpretacja geometryczna średniej geometrycznej. Zależność między średnią harmoniczną, geometryczną, arytmetyczną, kwadratową 3. Dominanta 4. Interpretacja odchylenia standardowego 5. * Reguła trzech sigm 6. * Odchylenie przeciętne 7