INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIRII PRODUKCJI I TCHNOLOGII MATRIAŁÓW POLITCHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA LKTRYCZNOŚCI I MAGNTYZMU Ć W I C Z N I N R -3 SPRAWDZANI II PRAWA KIRCHHOFFA DLA POJDYNCZGO OBWODU
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu I. Zagadnienia do przestudioania 1. Praa przepłyu prądu stałego.. Ognia elektryczne. Postaanie siły elektromotorycznej ognia. 3. Opór enętrzny ognia. Prąd zarcia. 4. Regresja linioa. II. Wproadzenie teoretyczne Pomiędzy ielkościami charakteryzującymi prąd elektryczny, mianoicie pomiędzy różnicą potencjałó, natężeniem prądu i oporem - istnieją zależności ujęte praach Ohma i Kirchhoffa. Natężenie prądu przeodniku jest prost proporcjonalne do różnicy potencjałó, czyli napięcia pomiędzy jego końcami, co można zapisać zorem 1 I U R (1) Zależność (1) nazyamy praem Ohma. Współczynnik proporcjonalności R ystępujący tym praie R U I () nazyamy oporem elektrycznym (rezystancją przeodnika) i mierzymy go omach. Przy czym 1Ω = 1V/1A. Przeodnik ma opór jednego oma, jeśli pod płyem napięcia 1 olta przyłożonego do jego końcó, płynie nim prąd o natężeniu1 ampera. Dany przeodnik spełnia prao Ohma (rys. 1), jeśli jego ykres I(U) jest linioy, tzn. jeżeli jego opór R (przy stałej temperaturze) nie zależy od przyłożonego napięcia U i natężenia płynącego przezeń prądu I. Poyższe rozażania na temat praa Ohma dotyczyły odcinka przeodu. Prao Ohma będzie ymagało penych uogólnień, jeśli eźmiemy pod uagę zamknięty obód elektryczny ze źródłem napięcia. Źródłami napięcia są urządzenia, których energia chemiczna, mechaniczna lub inne jej rodzaje są przekształcane energię elektryczną. Źródłem napięcia może być np. ognio (akumulator, bateria). Wielkościami charakteryzującymi źródło napięcia (np. baterii) są: siła elektromotoryczna (skrót SM, mierzymy ją oltach) i opór enętrzny R. Idealne źródło napięcia posiada zeroy opór enętrzny. Jednakże, szystkie rzeczyiste źródła SM ykazują opór enętrzny różny od zera.
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu Rys. 1. Wykres praa Ohma dla odcinka przeodu Rys.. Obód zamknięty (oczko sieci) z siłą elektromotoryczną Na rysunku przedstaiono obód zamknięty zaierający opór zenętrzny R z pod- łączony do źródła (ognia) prądu o sile elektromotorycznej i oporze enętrznym R. Ten pojedynczy obód można nazać oczkiem sieci. Siła elektromotoryczna źródła prądu (ognia, baterii) jest to maksymalna różnica potencjałó między zaciskami - ystępująca tedy, gdy przez baterie nie płynie prąd. Prąd płynący obodzie pokonuje opór zenętrzny R z i opór enętrzny R źródła. Na oporach tych mamy do czynienia z tz. spadkiem potencjałó (napięcia), które obliczamy - na podstaie praa Ohma - jako iloczyny natężenia prądu I i artości oporó, tzn. U IR, U IR z z (3) Suma tych spadkó potencjałó jest róna sile elektromotorycznej Uz U IRz IR (4) 3
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu Jest to treść II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu zamkniętego (oczka) sieci przedstaionego na rysunku. Obód pokazany na tym rysunku i rónanie (4) stanoią najprostszy przykład obodó elektrycznych, które ogólności składają się z iększej ilości zamkniętych,,dróg oporoo-prądoych, czyli oczek sieci i są opisyane za pomocą dóch pra Kirchhoffa. I prao Kirchhoffa dotyczy natężeń prądó punktach rozgałęzień - inaczej ęzłach sieci. Punktem rozgałęzienia, czyli ęzłem sieci nazyamy punkt, którym zbiega się kilka gałęzi (rys. 3). Rys. 3. Rozgałęzienie prądu ilustrujące I prao Kirchhoffa I prao Kirchhoffa głosi, że suma natężeń prądó dopłyających do punktu rozgałęzienia (ęzła sieci) jest róna sumie natężeń prądó odpłyających z punk- tu rozgałęzienia (ęzła). Dla przypadku przedstaionego na rysunku 3 matematyczny zapis tego praa ma postać I1 I4 I I3 I5 (5) (prądy dopłyające) (prądy odpłyające) Natężenia prądó dopłyających do punktu rozgałęzienia można umonie traktoać jako dodatnie, a natężenia prądó odpłyających jako ujemne. Przy tak ustalonych znakach I prao Kirchhoffa przyjmuje następujące brzmienie: Algebraiczna suma natężeń prądó punkcie rozgałęzienia (ęźle sieci) jest róna zeru, co można zapisać zorem I1 I I3... I n 0 (6) albo skróconej formie n i1 I 0 i (7) II prao Kirchhoffa stanoi relację między spadkami potencjału (napięć) oraz siłami elektromotorycznymi zamkniętych obodach, inaczej oczkach sieci, które ogólności można utorzyć z różnych gałęzi. Przykład takiego zamkniętego obodu, czyli oczka sieci przedstaia rysunek 4. 4
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu Rys. 4. Zamknięty obód elektryczny (oczko sieci) z doma źródłami prądu o znikomych oporach enętrznych (z diema siłami elektromotorycznymi 1 i, przy czym 1 > ) W takim obodzie zamkniętym przyjmujemy dodatni kierunek obiegu, np. zgodny z kierunkiem ruchu skazóek zegara, czyli natężenie I i prądu płynącego zgodnie z tym kierunkiem uażamy za dodatnie i oznaczamy znakiem,,+. W konsekencji spadek potencjału (napięcia) na oporze R i, tzn. U i I i R i, rónież przyjmujemy za dodatni. Natężenie prądu płynącego stronę przeciną i ziązany z nim spadek potencjału (napięcia) na oporze, przez który prąd ten przepłya, oznaczamy znakiem,,. Analogicznie dobieramy znaki sił elektromotorycznych j. To znaczy siłę elektromotoryczną j, która ystępując,,samodzielnie obodzie yołałaby postanie dodatniego natężenia prądu, oznaczamy znakiem,,+, a sile elektromotorycznej, która, ystępując,,samodzielnie obodzie, yołałaby przepły prądu stronę,,ujemną, przypisujemy znak,,. Wóczas II prao Kirchhoffa stanoi, że algebraiczna suma spadkó potencjałó (napięć) zamkniętym obodzie (oczku sieci) jest róna algebraicznej sumie sił elektromotorycznych ystępujących tym obodzie (oczku sieci), co można zapisać zięźle postaci rónania m I R n i i j i1 j1 (8) gdzie: m - liczba oporó (napięć) oczku, n - liczba źródeł (sił elektromotorycznych) ystępujących oczku. Dla oczka sieci przedstaionego schematycznie na rysunku 4 rónanie II praa Kirchhoffa przyjmuje postać 5
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu I1R1 I3R3 I4R4 I5R5 IR 1 (9) Praa Kirchhoffa pozalają obliczyć konkretne natężenia prądó płynących przez opory różnych gałęziach skomplikoanych obodó pod arunkiem, że znamy siły elektromotoryczne oraz opory tych gałęziach. III. Istota ćiczenia Celem ćiczenia jest: 1. Spradzenie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu (oczka sieci) zaierającego: ognio prądu o nieznanej sile elektromotorycznej i oporze enętrznym R, opór zenętrzny o znanej dokładnie artości R R i mierniki natężenia prądu (miliamperomierz A [ma] o znanej artości z d oporu enętrznego R A ) i napięcia (oltomierz V), przy czym obód ten jest podłączony do zasilacza Z, umożliiającego ciągłą regulację napięcia yjścioego i co za tym idzie - zmianę natężenia prądu badanym obodzie (oczku).. Wyznaczenie artości siły elektromotorycznej ognia, jego oporu enętrznego R oraz prądu zarcia I / R. z Badany obód można podłączyć do zasilacza na da sposoby. W pierszym ognio prądu o sile elektromotorycznej i oporze enętrznym R podłączamy do zasilacza,,zgodnie, to znaczy zacisk dodatni ognia łączymy przeodem z zaciskiem dodatnim zasilacza; inaczej,, kierunku ładoania (jak na rys. 6). W drugim przypadku zacisk ujemny ognia łączymy z dodatnim zaciskiem zasilacza, realizując,,kierunek rozładoania (jak na rys. 7). W ćiczeniu ykonujemy pomiary i spradzamy II prao Kirchhoffa oraz yznaczamy artości, R i I z ognia zaróno dla kierunku ładoania, jak i rozładoania. Przy czym należy jeszcze raz podkreślić, że przedmiotem eksperymentu są,,prae obody (oczka) przedstaione na rysunkach 6 i 7. Dla kierunku ładoania (jak na rys. 6) ykonujemy pomiary dla artości napięcia yjścioego iększego od artości ognia. Przyjmując zmiankoaną poyżej regułę znakoania prądó z przyjęciem, że ystępująca,,samodzielnie obodzie siła elektromotoryczna yołałaby prąd kierunku przecinym do ruchu skazóek zegara - II prao Kirchhoffa może być tym przypadku zapisane następująco: IV RV IRA IRd IR (10) 6
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu Ale iloczyn IVR V, czyli spadek potencjałó (napięcia) na oltomierzu jest istocie z jednej strony artością skazania oltomierza U, a z drugiej strony różnicą potencjałó ęzłó A i B, czyli napięcia między ęzłami A i B. W konsekencji zależność (10) można zapisać rónoażnej postaci albo U U I R R R AB A d (11) U AB U IRc (1) gdzie Rc Rd RA R (13) jest całkoitym opisem gałęzi zaierającej ognio, opór R d i miliamperomierz. Dla U > natężenie I > 0, oznacza, że enątrz baterii prąd płynie od zacisku,,+ do zacisku,,, czyli bateria się ładuje. Zróćmy uagę, że relacja (1), będąca zmodyfikoanym zapisem II praa Kirchhoffa dla badanego oczka jest soistą instrukcją metody spradzenia tego praa tym przypadku. Zmieniając napięcie zasilacza, poodujemy zmianę skazania oltomierza, które to skazanie jest jednocześnie róne z jednej strony napięciu na zaciskach oltomierza, ale też - z drugiej strony - efektynemu napięciu na końcach gałęzi obodu zaierającego ognio, opór R d i miliamperomierz. Przy czym zmiana artości U AB róna skazaniu oltomierza U ymusza linioą zmianę natężenia prądu I. (Rónanie (1) może być potraktoane jako szczególna postać rónania linii prostej y = ax + b, gdzie x = I, y = U, a = R c, b = ). Zatem graficznym rónaniem pomiaró spółzależności artości I oraz U inna być tym przypadku prosta - prosta (1) na rysunku 5. Rys. 5. Wykres zależności napięcia od prądu obodzie z siłą elektromotoryczną SM: (1) kierunku ładoania, () kierunku rozładoania 7
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu Rzędna U 01 punktu prostej dla I = 0 jest miarą siły elektromotorycznej ognia, natomiast artość tangensa kąta nachylenia tej prostej zględem osi natężenia prądu I, tzn. tg jest liczboą miarą całkoitego oporu obodu R c. Zatem szacując artość tg = R c [], możemy yznaczyć opór enętrzny R ognia ze zoru R R R R c d A (14) a następnie natężenie prądu zarcia, to znaczy natężenie prądu, jakie przepłyałoby przez ognio, gdyby zaciski ognia (baterii) połączyć krótkim przeodem, dla którego RR 0 z I z R (15) Należy przy tym zaznaczyć, że przypadku źródeł (ogni) prądu o małym oporze enętrznym R, np. akumulatora samochodoego, prąd zarcia może ynosić setki amperó i może być dla tego źródła (akumulatora) bardzo szkodliy. Dla kierunku rozładoania (rys. 7) II prao Kirchhoffa możemy zapisać następująco: IR IRd IRA IV RV (16) albo IR U c (17) Proadzi to do zależności napięcia U od prądu I formie U IR c (18) Przy czym tym przypadku I > 0 oznacza, że bateria się rozładouje. Graficznym obrazem zależności (18) jest prosta taka jak prosta () na rysunku 5. W tym przypadku tg = R c [], natomiast artość jest, ziętą ze znakiem minus, rzędną U 0 punktu przecięcia prostej przedłużonej (ekstrapoloanej) z osią napięć (tzn. dla I = 0). IV. Zesta pomiaroy Zasilacz, oltomierz, miliamperomierz, opornica dekadoa, bateria (ognio). 8
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu V. Schemat układu pomiaroego Rys. 6. Schemat układ pomiaroego z ogniem łączonym kierunku ładoania Rys. 7. Schemat układ pomiaroego z ogniem łączonym kierunku rozładoania VI. Przebieg ćiczenia 1. Podłączyć obód dla ognia łączonego kierunku ładoania edług schematu przedstaionego na rysunku 6. (Źródłem siły elektromotorycznej jest bateria.). Przeproadzić pomiar kierunku ładoania; tym celu należy: a) Na opornicy dekadoej ybrać opór R d = 400. b) Za pomocą autotransformatora ustalić napięcie 5 V i zanotoać artość płynącego prądu (zakres amperomierza - 15 ma). c) Zmieniać napięcie od 5 V dół co 0,5 V i zanotoać skazania miernikó. Ostatni pomiar przeproadzić dla I = 0 ma. d) Wyniki zanotoać tabeli 1. 3. Przeproadzić podobne pomiary dla ognia łączonego kierunku rozładoania (schemat na rys. 7) zakresie napięć od 0 do 3 V co 0,5 V. Wyniki zanotoać tabeli. 9
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu VII. Tabele pomiaroe TABLA 1. Wyniki pomiaró i obliczeń dla kierunku ładoania Lp. U [V] I [ma] R c = a [] R = R c (R d + R A ) [] = b [V] I z R [A] 1 3.. TABLA. Wyniki pomiaró i obliczeń dla kierunku rozładoania Lp. U [V] I [ma] R c = a [] R = R c (R d + R A ) [] = b [V] I z R [A] 1 3.. TABLA 3. Dane miernikó ykorzystyanych ćiczeniu Klasa miernika K Zakres pomiaroy Z Rodzaj miernika Woltomierz Amperomierz Opór enętrzny dla ykorzystyanego zakresu pomiaroego Wartość najmniejszej działki Błąd miernika K Z 1 działki 100 TABLA 4. Wartości siły elektromotorycznej, oporu enętrznego R i prądu zarcia I z baterii yznaczone ćiczeniu (yniki średnich artości z pomiaró i obliczeń ykonanych dla kierunku ładoania i rozładoania) [V] R [] I z [A] [V] [] I [A] z R R 100% 100 % I z 100% R I z 10
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu VIII. Opracoanie ćiczenia 1. Na podstaie ynikó pomiaró na papierze milimetroym (format A4) sporządzić jednym układzie spółrzędnych ykresy zależności U = f(i) baterii łączonej kierunku ładoania i rozładoania.. Zauażmy, że jeśli rónaniu (11) dla kierunku ładoania ognia a = R c = R + R d + R A [], b = [V] oraz y = U [V] i x = I [A], óczas otrzymujemy rónanie prostej y ax b 3. Wartości spółczynnikó a i b oraz ich niepeności pomiaroe a i b obliczamy diema metodami: metodą najmniejszych kadrató za pomocą znajdującego się praconi komputera yposażonego program,,rgrsja oraz metodą graficzną (przedstaioną rozdziale X). 4. Na podstaie obseracji położenia punktó eksperymentalnych zględem prostej regresji linioej oraz artości spółczynnika regresji ocenić, czy II prao Kirchhoffa zostało ćiczeniu potierdzone. 5. Znając artość spółczynnika nachylenia a = R c, obliczyć opór enętrzny ognia ze zoru R R ( R R ) [] c d A gdzie: R d = 400 - opór zenętrzny o dokładnej artości ustalony na opornicy dekadoej, R A = 8 - opór enętrzny miliamperomierza, a = R c - całkoity opór obodu. 6. Znając artość spółczynnika b = oraz R, obliczyć prąd zarcia ze zoru: I z R [A] Porónujemy ją z artością prądu zarcia odczytaną z ykresu. 7. Otrzymane yniki obliczeń pisać do tabeli pomiaroej 1. (Pamiętać o spełnieniu zasad zaokrągleń ynikó.) 8. W analogiczny sposób opisany poyżej przeproadzić obliczenia dla ognia łączonego kierunku rozładoania. Wyniki obliczeń pisać do tabeli. 9. Obliczyć średnie artości ynikó obliczeń, R oraz I z oraz ich odchyleń standardoych obliczonych dla kierunku ładoania i rozładoania (sposób obliczenia odchyleń standardoych przedstaiono rozdziale IX). Wyniki pisać do tabeli 4. 10. Oblicz rónież artości, R oraz I z ykorzystując parametry a i b znalezione metodą graficzną. 11
z Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu IX. Rachunek niepeności pomiaroych 1. Korzystając z danych zaartych tabeli 3, obliczyć,,błędy bezzględne U i I ze zoró KZ 1 U działki 100 KZ 1 I działki 100 gdzie: K - klasa miernika, Z - zakres miernika.. Obliczone błędy bezzględne U i I nanieść na ykresy zależności U = f(i). 3. Przyjąć, że R d i R są pomijalnie małe, czyli że A R R c a. 4. Przyjąć, że odchylenie standardoe b. 5. Obliczyć odchylenie standardoe prądu zarcia oparciu o prao przenoszenia,,błędó, tzn. Iz Iz I z R R gdzie I z i I R z Oszacoanie ilościoe są pochodnymi cząstkoymi zoru na I R odpoiednio zględem oraz R. I z przeproadzić z ykorzystaniem prostej relacji, którą uzyskuje się yniku obliczeń pochodnych cząstkoych oraz prostych przekształceń, a mianoicie I z I z R R 6. Obliczyć zględne odchylenia standardoe procentoe: R I z 100%, 100%, 100% R I z Literatura 1. Dryński T., Ćiczenia laboratoryjne z fizyki, PWN, Warszaa 1978.. Jaorski B., Dietłaf A., Kurs fizyki, t. II, lektryczność i magnetyzm, PWN, Warszaa 1979. 3. Konopka H., Zięba A. i in., Ćiczenia laboratoryjne z fizyki, cz. 1, Wydanicto AGH, Krakó 1986. 4. Lech J., Opracoanie ynikó pomiaró laboratorium podsta fizyki, Wydanicto Wydziału Inżynierii Procesoej, Materiałoej i Fizyki Stosoanej PCz, Częstochoa 005. 5. Massalski J., Massalska M., Fizyka dla inżynieró - Fizyka klasyczna, Tom I, Wydanicta Naukoo- Techniczne, Warszaa 005. 6. Szczenioski S., Fizyka dośiadczalna, cz. III, lektryczność i magnetyzm, PWN, Warszaa 197. 1
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu X. Analiza graficzna A. Dopasoanie prostej do ynikó pomiaró. Jeżeli badana zależność jest linioa lub otrzymany ykres sugeruje taką zależność, to jej przebieg poinien mieć zapis: W jaki sposób uzyskać artości parametró a i b prostej jak najlepiej dopasoanej do zbioru n punktó dośiadczalnych (x 1 y 1 ), (x y ),... (x n y n )? 1. Na ykresie nanosimy szystkie punkty pomiaroe oraz ich niepeności (Rys.8). Jeżeli któryś z punktó pomiaroych znacznie odbiega od przebiegu linii, zdłuż której układają się pozostałe punkty, to dalszej analizie należy go odrzucić jako błąd gruby. Na rys.8 jest to prostokąt oznaczony kolorem zielonym. Rys.8. Jeżeli punkty układają się zdłuż linii prostej, to linię tak proadzimy, aby przechodziła przynajmniej przez 70%prostokątó i suma odległości spółrzędnych punktó pomiaroych od tej linii była po obu stronach mniej ięcej taka sama (rys.9). Określamy szeroki przedział artości argumentu X i odpoiadający temu przyrost artości zmiennej zależnej (artości funkcji) Y - ybieramy da punkty P 1 i P (zaznaczone na rys.9 kolorem czeronym) i odczytujemy odpoiednie artości ich spółrzędnych (x 1,y 1 ) oraz (x,y ). Obliczamy różnice X =x -x 1 i Y=y -y 1. 13
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu Rys.9 3. Współczynnik nachylenia a jest stosunkiem przyprostokątnych Y i X trójkąta, którego przeciprostokątna jest częścią poproadzonej graficznie prostej (rys. 9). Współczynnik kierunkoy tak narysoanej prostej jest róny: (1) Współczynnik b jest miejscem przecięcia prostej z osią Y. W przypadkach, gdy z ykresu nie można bezpośrednio odczytać artości Y dla X=0 (czyli parametru b), ykorzystujemy rónanie prostej y= a x + b, do którego podstaiamy np. spółrzędne punktu P 1 (x 1,y 1 ) i obliczony cześniej parametr a. UWAGA: Nie należy utożsamiać spółczynnika nachylenia z tangensem kąta nachylenia prostej do osi X (czyli nie mierzymy kąta nachylenia prostej kątomierzem!). W ykresach ielkości fizycznych kąt nachylenia prostej może być różny dla tych samych danych pomiaroych zależności od tego, jakie podziałki zastosujemy na osiach ykresu. Jednoznacznie określoną ielkością pozostaje spółczynnik nachylenia a określony zorem (1). W przeciieństie do bezymiaroego tangensa, nachylenie a posiada ymiar, będący stosunkiem ymiaró ielkości Y i X. 14
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu B. Graficzne szacoanie artości niepeności spółczynnikó a i b Wadą metody graficznej ydaać się może subiektyność (każdy poproadzi prostą trochę inaczej) jak i brak informacji o niepeności a i b parametró prostej. Poniżej przedstaiona jest metoda yznaczania artości parametró a i b oraz ich niepeności dla prostej najlepiej dopasoującej dane pomiaroe. Wybieramy da końcoe punkty pomiaroe i proadzimy die proste o najiększym (a maks ) i najmniejszym (a min ) kącie nachylenia. Proste te poinny przechodzić przez przeciległe ierzchołki skrajnych prostokątó niepeności, tak jak pokazano poniżej na rys.10. Na osi Y proste yznaczają da punkty przecięcia, yznaczające b min i b maks. Wóczas, Rys. 10 i oraz 15
Ćiczenie -3: Spradzanie II praa Kirchhoffa dla pojedynczego obodu Ostatecznie, na rys.11 poproadzono prostą najlepszego dopasoania, otrzymaną metodą graficzną (zaznaczona kolorem czeronym). Rys.11 16