Pomocnicze Materiały Dydaktyczne e-matematyka WSPOMAGAJĄCA EKONOMIĘ W ZADANIACH Wydanie pierwsze Redakcja naukowa Anna Łyczkowska-Hanćkowiak Poznań 2015
2
SPIS TREŚCI Przedmowa... 5 1. Logika matematyczna... 9 2. Wstęp do matematyki... 16 4. Relacje... 28 5. Zastosowania relacji w ekonomii... 40 6. Podstawy algebry liniowej... 46 7. Instrumenty algebry liniowej... 51 8. Układy warunków liniowych... 64 11. Ciągi i szeregi liczbowe... 74 12. Funkcja jednej zmiennej... 85 13. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej... 107 15. Elementy matematyki finansowej... 124 16. Analiza funkcji wielu zmiennych... 140 18. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej... 156 21. Równania różniczkowe.. 163 22. Rachunek prawdopodobieństwa... 173 3
Przedmowa W 2013 roku razem z zespołem współpracujących ze mną autorów oddaliśmy do rąk studentów studiujących na kierunkach ekonomicznych podręcznik "e-matematyka wspomagająca ekonomię". Książka ta zastąpiła stosowany przedtem podręcznik "Matematyka wspomagająca zarządzanie" wydany po raz pierwszy w 1994 roku. Był to podręcznik przeznaczony dla słuchaczy wykładu "Matematyka" wchodzącego do programu studiów w dyscyplinie zarządzanie. Stopniowo grono jego użytkowników poszerzyło się o słuchaczy kierunków studiów związanych z dyscyplinami ekonomia i finanse. Poszerzenie merytorycznego profilu osób korzystających z tego podręcznika skutkowało między innymi tym, że dawał się odczuć brak tych działów matematyki, które powinni znać przyszli ekonomiści i finansiści. Ta niedogodność zachęciła do przygotowania nowego, bardziej uniwersalnego podręcznika do nauki matematyki. Podręcznik "e-matematyka wspomagająca ekonomię" jest dedykowany studentom kierunków ogólnoekonomicznych, finansowych i zarządczych. Książka nie jest jedynie prostym poszerzeniem treści nauczania. Na jej kształcie odcisnął swój znak także czas niosący w minionym dwudziestoleciu wielkie zmiany. Od paru lat obserwujemy wyraźną zmianę profilu wykształcenia absolwentów szkół średnich. Autorzy nie mieli tutaj wyboru i musieli dostosować się do tych zmian. Drugą ważną zmianą jest postępująca szybko informatyzacja naszego dnia powszedniego. Proces ten wymaga także zmiany środków i celów kształcenia matematycznego. Wszyscy przywykliśmy już do poszukiwania potrzebnej wiedzy w Internecie. Robimy to także w odniesieniu do wiedzy matematycznej. Z tej przyczyny nowy podręcznik został napisany w międzynarodowym formalnym języku matematycznym stosowanym między innymi w Wikipedii. Postępująca informatyzacja dostarcza nam wszystkim łatwo dostępnych narzędzi informatycznych. W chwili obecnej dużym ułatwieniem w stosowaniu matematyki jest możliwość posługiwania się właściwym oprogramowaniem matematycznym. Z tej przyczyny książka e-matematyka wspomagająca ekonomię przedstawia możliwości zastosowania arkusza EXCEL i portalu WolframAlpha do rozwiązywania postawionych tam problemów matematycznych. Wymagało to dodatkowego wprowadzenia linearnego języka matematyki.
Informatyzacja obliczeń w praktyczny sposób zniosła wszystkie utrudnienia związane z wysoką złożonością analityczną i obliczeniową matematycznych zadań. Poprawne skorzystanie z tych możliwości wymaga jednak opanowania innych umiejętności formalnych związanych z zastosowaniami matematyki. W nowym podręczniku przeniesiono nacisk z kształtowania kompetencji wykonywanie skomplikowanych obliczeń na rzecz kształtowania kompetencji zarządzanie skomplikowanymi obliczeniami, gdyż nie ma większego zagrożenia dla poprawnych zastosowań matematyki, niż nieznające matematyki osoby biegle wykonujące nawet najbardziej trudne obliczenia. Wszystkie te przesłanki spowodowały, że podręcznik e- Matematyka wspomagająca ekonomię radykalnie różni się od książki Matematyka wspomagająca zarządzanie. Z drugiej strony podręcznikowi Matematyka wspomagająca zarządzanie towarzyszył ściśle z nim skorelowany zbiór zadań Matematyka wspomagająca zarządzanie w zadaniach wydany czterokrotnie przez Wydawnictwo AE/UE. Teraz tamten zbiór zadań jest zastępowany przez nowy skorelowany z podręcznikiem e-matematyka wspomagająca ekonomię. Na kształt nowego zbioru zadań wpływa organizacja podręcznika e-matematyka wspomagająca ekonomię. W porozumieniu z wydawcą - Wydawnictwem C.H. Beck - jest to podręcznik o zasięgu krajowym. Z tego powodu jest to książka obszerna. W oparciu o zaprezentowane tam treści można przygotować wiele różnych ścieżek dydaktycznych realizujących różne programy nauczania. Zadanie to pozostawiliśmy poszczególnym wykładowcom. Jedna z takich ścieżek została ustalona dla studentów Wydziału Gospodarki Międzynarodowej i Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu. Ze ścieżką tą jest ściśle powiązana zawartość internetowej platformy dydaktycznej e- Matma. Platforma ta jest swobodnie dostępna z oficjalnych stron internetowych Wydziału Zarządzania i Katedry Badań Operacyjnych Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu. W celu jednoznacznego powiązania zawartości e-matmy z treściami e-matematyki wspomagającej ekonomię, zakładki platformy uzyskały numerację identyczną, co rozdziały i podrozdziały podręcznika. Ten prosty zabieg redakcyjny ma służyć uproszczeniu organizacji nauczania. Zbiór zadań e-matematyka wspomagająca ekonomię w zadaniach jest zorganizowany w ten sam sposób, co platforma e- Matma. Z tych samych powodów, co powyżej, w zbiorze zadań rozdziały ponumerowane są identycznie, co rozdziały podręcznika. 6
W e-matematyce wspomagającej ekonomię w zadaniach nastąpiła nie tylko zmiana treści matematycznych. Pojawiły się też dwa nowe rodzaje zadań. Pomiędzy zadaniami, ukryte są takie zadania, które ze względu na swą złożoność obliczeniową mogą być rozwiązane jedynie za pomocą narzędzi informatycznych. Z oczywistych względów znalezienie tych zadań pozostawiamy użytkownikom zbioru. Czytelnik znajdzie też zadania wymagające zinterpretowania wyników uzyskanych za pomocą narzędzi informatycznych. Z założenia proponowany zbiór ma służyć realizacji trzech zadań edukacyjnych. Primo, jest to dopełnienie książki e-matematyka wspomagająca ekonomię. Rozwiązywanie zgromadzonych tutaj zadań ma wspomagać proces przyswajania treści podanych w tym podręczniku. Lektura podręcznika ma z kolei wspomagać rozwiązywanie zawartych tutaj zadań. W świadomy sposób ominęliśmy prezentację metod rozwiązania typowych zadań odsyłając tutaj do stosownych prezentacji zawartych w podręczniku i na platformie edukacyjnej e-matma. Secundo, autorzy zakładają, że proponowany zbiór zadań umożliwi zdefiniowanie ścieżek dydaktycznych o różnym poziomie dydaktycznym. Służyć temu będzie przygotowanie przewodników dydaktycznych udostępnianych w Internecie. W ten sposób powstanie dodatkowa możliwość dotarcia do różnych niszy dydaktycznych. Tertio, prezentowany zbiór zadań ma być narzędziem samodzielnej pracy studentów. Pani dr Annie Łyczkowskiej-Hanćkowiak z całego serca dziękuję za podjęcie się trudu zredagowania tego zbioru zadań. Bnin, 10.12.2015 7
Bibliografia Chrzan P., Matematyka finansowa. Podstawy teorii procentu, Oeikomos, Katowice 2001. Dobija M., Smaga E., Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN, Warszawa 1995. Foltynowicz I., Ćwiczenia z matematyka finansowa w Excelu, Mikom, Warszawa 2001. Kolupa M., Elementarny wykład z algebry liniowej dla ekonomistów, PWN, Warszawa 1976. Kolupa M., Metody matematyczne dla bankowców, Poltext, Warszawa 1992. Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa 2015. Leitner R., Matuszewski W., Rojek Z., Zadania z matematyki wyższej, WNT, Warszawa 2013 Piasecki K., Abtowa J., Różański T., Świtalski Z., Matematyka wspomagająca zarządzanie, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań 2011. Piasecki K, Anholcer M., Echaust K., e-matematyka wspomagająca ekonomię, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa 2013. Piasecki K. (red.), Matematyka wspomagająca zarządzanie w zadaniach, wyd. IV, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań 2011. Piasecki K., Ronka-Chmielowiec W., Matematyka finansowa, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa 2011. Smaga E., Arytmetyka finansowa, PWN, Warszawa Kraków 1999. Sobczyk M., Matematyka finansowa. Podstawy teoretyczne, przykłady, zadania Placet, Warszawa 2001. Szlenk W., Rachunek prawdopodobieństwa, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa 1970.