Lekcja. Podstawowe prawa obwodów elektrycznych Wstp Lekcja pierwsza wprowadza podstawowe pojcia i prawa obwodów elektrycznych, w tym prd i napicie, elementy liniowe obwodu w postaci rezystora, cewki i kondensatora oraz ródła sterowane i niezalene. Najwaniejszym prawem teorii obwodów jest prawo prdowe i napiciowe Kirchhoffa, podane tutaj w postaci ogólnej. Z prawa Kirchhoffa wynikaj reguły upraszczania obwodów, zdefiniowane dla połczenia szeregowego, równoległego oraz transfiguracji gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda... Podstawowe pojcia obwodów Teoria obwodów stanowi jedn z dziedzin elektrotechniki zajmujc si stron teoretyczn zjawisk wystpujcych w obwodach elektrycznych, w tym metodami analizy rozpływu prdów i rozkładu napi obwodu w stanie ustalonym i nieustalonym. Przyjmuje si, e nonikami elektrycznoci s czstki elementarne: elektrony i protony wystpujce w atomie. W przypadku przewodników elektrycznych najwaniejsz rol odgrywaj elektrony swobodne, stanowice trwałe noniki ujemnego ładunku q, wyzwolone z przycigania jdra atomu oraz jony, stanowice czsteczki naładowane dodatnio lub ujemnie. Ładunek elektryczny elektronu, oznaczany jest liter e a jego warto e,6-9. Prd elektryczny powstaje jako uporzdkowany ruch ładunków elektrycznych i jest utosamiany w teorii obwodów z pojciem natenia prdu elektrycznego. W ogólnoci definiowany jest jako granica stosunku ładunku elektrycznego przepływajcego przez przekrój poprzeczny elementu do rozpatrywanego czasu, gdy czas ten dy do zera. Prd elektryczny oznaczany bdzie liter i (du lub mał). Jest wielkoci skalarn a jej jednostk w układzie S jest amper (A). Kademu punktowi w rodowisku przewodzcym prd elektryczny mona przyporzdkowa pewien potencjał mierzony wzgldem punktu odniesienia. Rónica potencjałów midzy dwoma punktami tego rodowiska nazywana jest napiciem elektrycznym. Jednostk napicia elektrycznego jest volt (V).
.. Elementy obwodu elektrycznego Za obwód elektryczny uwaa bdziemy takie połczenie elementów ze sob, e istnieje moliwo przepływu prdu w tym połczeniu. Obwód jest odwzorowywany poprzez swój schemat, na którym zaznaczone s symbole graficzne elementów oraz sposób ich połczenia ze sob, tworzcy okrelon struktur. Na struktur obwodu elektrycznego poza elementami składaj si równie gałzie, wzły i oczka. Gał obwodu jest tworzona przez jeden lub kilka elementów połczonych ze sob w okrelony sposób. Wzłem obwodu jest zacisk bdcy kocówk gałzi, do którego mona dołczy nastpn gał lub kilka gałzi. Gał obwodu tworz elementy ograniczone dwoma wzłami. Oczko obwodu to zbiór gałzi połczonych ze sob i tworzcych drog zamknit dla prdu elektrycznego. Oczko ma t właciwo, e po usuniciu dowolnej gałzi ze zbioru pozostałe gałzie nie tworz drogi zamknitej. W obwodzie o zadanej strukturze istnieje cile okrelona liczba wzłów, natomiast liczba oczek jest wprawdzie skoczona ale bliej nieokrelona. Element jest czci składow obwodu niepodzieln pod wzgldem funkcjonalnym bez utraty swych cech charakterystycznych. Na elementy obwodu składaj si ródła energii elektrycznej oraz elementy akumulujce energi lub rozpraszajce j. W kadym elemencie mog zachodzi dwa lub nawet wszystkie trzy wymienione tu procesy, cho jeden z nich jest zwykle dominujcy. Element jest idealny jeli charakteryzuje go tylko jeden rodzaj procesu energetycznego. Elementy posiadajce zdolno akumulacji oraz rozpraszania energii tworz klas elementów pasywnych. Nie wytwarzaj one energii a jedynie j przetwarzaj. Najwaniejsze z nich to rezystor, kondensator oraz cewka. Elementy majce zdolno generacji energii nazywane s ródłami. Zaliczamy do nich niezalene ródło napicia i prdu oraz ródła sterowane. Kady element obwodu moe by opisany równaniami algebraicznymi lub róniczkowymi, wicymi prd i napicie na jego zaciskach. Element jest liniowy, jeli równanie opisujce go jest liniowe. W przeciwnym wypadku element jest nieliniowy.... Rezystor Rezystor, zwany równie opornikiem naley do klasy elementów pasywnych rozpraszajcych energi. W teorii obwodów rezystor uwaa si za element idealny i przypisuje mu tylko jedn cech (parametr), zwan rezystancj lub oporem. W dalszej czci rozwaa bdziemy wyłcznie rezystor liniowy. Rezystancj (oporno) oznacza bdziemy liter R a jej odwrotno jest nazywana konduktancj i oznaczana liter G, przy czym R /G. Symbol graficzny rezystora liniowego przedstawiony jest na rys...
Rys... Oznaczenie rezystora liniowego Opis matematyczny rezystora wynika z prawa Ohma, zgodnie z którym u R Ri R (.) Spadek napicia na rezystorze liniowym jest proporcjonalny do prdu przepływajcego przez niego a współczynnik proporcjonalnoci jest równy rezystancji R. Warto rezystancji rezystora liniowego przyjmuje warto stał. Jednostk rezystancji jest om (Ω) a konduktancji siemens (S). W realizacji praktycznej opornik jest wykonywany najczciej z drutu metalowego o długoci l, polu przekroju poprzecznego S i rezystancji właciwej ρ. Rezystancja takiego opornika jest wprost proporcjonalna do l i ρ a odwrotnie proporcjonalna do S, std R ρ l/s.... ewka ewka zwana równie induktorem naley równie do klasy elementów pasywnych. Ma zdolno gromadzenia energii w polu magnetycznym. ewce idealnej przypisuje si tylko jedn właciwo, zwan indukcyjnoci własn (w skrócie indukcyjnoci) L. W przypadku cewki liniowej indukcyjno definiuje si jako stosunek strumienia Ψ skojarzonego z cewk do prdu płyncego przez ni, to znaczy Ψ L (.) i L Strumie skojarzony Ψ cewki o z zwojach jest równy sumie strumieni wszystkich zwojów cewki, to jest Ψ zφ (φ - strumie skojarzony z jednym zwojem cewki, z liczba zwojów). Jednostk indukcyjnoci jest henr (H), przy czym H Ωs. Napicie cewki wyraone jest jako pochodna strumienia wzgldem czasu 3
u L dψ (.3) dt W przypadku cewki liniowej, dla której strumie jest iloczynem prdu i indukcyjnoci L, Ψ Li L, relacja napiciowo-prdowa upraszcza si do postaci di u L L L dt (.4) Na rys.. przedstawiono symbol graficzny cewki liniowej o indukcyjnoci L. Rys... Symbol graficzny cewki liniowej Zauwamy, e przy stałej wartoci prdu cewki napicie na niej jest równe zeru, gdy pochodna wartoci stałej wzgldem czasu jest równa zeru. Std cewka w stanie ustalonym obwodu przy prdzie stałym zachowuje si jak zwarcie. nteresujce zjawiska powstaj w układzie dwu cewek połoonych blisko siebie, w których zachodzi wzajemne przenikanie si strumieni magnetycznych. Jeli dwie cewki o indukcyjnociach własnych L i L s tak usytuowane, e strumie wytworzony przez jedn z nich jest skojarzony z drug to takie cewki nazywamy sprzonymi magnetycznie. Na rys..3 przedstawiono oznaczenie cewek sprzonych magnetycznie. Gwiazdkami oznaczono pocztki uzwoje kadej cewki. Rys..3. Oznaczenie cewek sprzonych magnetycznie 4
Obok indukcyjnoci własnej wprowadza si dla nich pojcie indukcyjnoci wzajemnej M, jako stosunek strumienia magnetycznego wytworzonego w cewce pierwszej i skojarzonego z cewk drug do prdu płyncego w cewce pierwszej, a wic M Ψ i (.5) Ψ i gdzie ψ oznacza strumie skojarzony z cewka drug wytworzony przez prd płyncy w cewce pierwszej a ψ strumie skojarzony z cewka pierwsz wytworzony przez prd płyncy w cewce drugiej. Jednostk indukcyjnoci wzajemnej jest równie henr. stnienie sprzenia magnetycznego powoduje indukowanie si napi na cewce wskutek zmian prdu płyncego w cewce drugiej. Zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej napicie wytworzone na skutek indukcji wzajemnej okrelone jest wzorem di di L M (.6) dt dt u M ± di di L M (.7) dt dt u M ± Znak plus lub minus wystpujcy we wzorze jest uzaleniony od przyjtego zwrotu prdu wzgldem pocztku uzwojenia cewki. Przyjmuje si znak plus, jeli prdy w obu elementach sprzonych magnetycznie maj jednakowe zwroty wzgldem zacisków oznaczajcych pocztek uzwojenia (oznaczone na rysunku gwiazdk). Przy zwrotach przeciwnych przyjmuje si znak minus. Z zalenoci powyszych wida, e w elementach sprzonych magnetycznie energia elektryczna moe by przekazywana z jednego elementu do drugiego za porednictwem pola magnetycznego. o wicej, nawet przy braku przepływu prdu przez cewk, moe na niej pojawi si napicie pochodzce ze sprzenia magnetycznego od cewki drugiej...3. Kondensator Kondensator jest elementem pasywnym, w którym istnieje moliwo gromadzenia energii w polu elektrycznym. Kondensatorowi idealnemu przypisuje si tylko jedn 5
właciwo zwan pojemnoci. W przypadku kondensatora liniowego pojemno jest definiowana jako stosunek ładunku q zgromadzonego w kondensatorze do napicia midzy okładzinami tego kondensatora q (.8) u W układzie S jednostk ładunku jest kulomb (), a pojemnoci farad (F), przy czym F /V. Zaleno wica napicie i prd kondensatora dana jest w postaci równania róniczkowego du i (.9) dt Symbol graficzny kondensatora przedstawiony jest na rys..4. Rys..4. Symbol graficzny kondensatora Podobnie jak w przypadku cewki, jeli napicie na zaciskach kondensatora jest stałe, jego prd jest równy zeru (pochodna wartoci stałej wzgldem czasu jest zerem). Kondensator zachowuje si wtedy jak przerwa (pomimo istnienia napicia prd nie płynie)...4. Niesterowane ródło napicia i prdu ródło niesterowane (niezalene) prdu bd napicia, zwane w skrócie ródłem prdu i ródłem napicia, jest elementem aktywnym, generujcym energi elektryczn, powstajc zwykle z zamiany innego rodzaju energii, na przykład z energii mechanicznej, słonecznej, jdrowej itp. W teorii obwodów rozwaa bdziemy ródła idealne nalece do klasy ródeł napiciowych bd prdowych. Symbol idealnego niesterowanego ródła napicia przedstawiony jest na rys..5a, natomiast ródła prdu na rys..5.b. 6
Rys..5. Symbole graficzne niesterowanego ródła a) napicia, b) prdu Niesterowane ródła prdu i napicia maj nastpujce właciwoci. Napicie na zaciskach idealnego ródła napicia nie zaley od prdu przepływajcego przez to ródło, a zatem nie zaley od jego obcienia. Przy stałym napiciu u panujcym na zaciskach oraz prdzie i wynikajcym z obcienia, rezystancja wewntrzna idealnego ródła napiciowego, definiowana w du postaci zalenoci róniczkowej R w. Std idealne ródło napicia di charakteryzuje si rezystancj wewntrzna równ zeru (zwarcie z punktu widzenia rezystancyjnego). Prd idealnego ródła prdu nie zaley od obcienia tego ródła, a wic od napicia panujcego na jego zaciskach. Przy stałym prdzie płyncym przez idealne ródło prdowe i dowolnym (bliej nieokrelonym) napiciu panujcym na jego zaciskach rezystancja wewntrzna idealnego ródła prdowego jest równa nieskoczonoci. Std idealne ródło prdowe z punktu widzenia rezystancyjnego reprezentuje sob przerw. Rys..6 przedstawia charakterystyki prdowo-napiciowe obu rodzajów idealnych ródeł niesterowanych: napicia (rys..6a) i prdu (rys..6b). 7
Rys..6. harakterystyki prdowo-napiciowe idealnych ródeł niesterowanych: a) ródło napicia, b) ródło prdu Dla ródła napiciowego charakterystyka jest równoległa do osi prdowej (warto napicia u stała), a dla ródła prdowego równoległa do osi napiciowej (warto prdu i stała). Tak podane charakterystyki odnosz si do ródeł stałych. W przypadku ródeł sinusoidalnych idealno jest rozumiana jako stało parametrów ródła (amplituda, faza pocztkowa oraz czstotliwo niezalene od obcienia). Przykładami ródła napicia stałego jest akumulator, ródła napicia zmiennego - generator synchroniczny, ródła prdowego - elektroniczny zasilacz prdowy o stabilizowanym, niezalenym od obcienia prdzie, itp...5. ródła sterowane prdu i napicia W odrónieniu od ródeł niesterowanych, których prd lub napicie (bd parametry charakteryzujce je, np. amplituda i czstotliwo) były stałe, ustalone na etapie wytworzenia, ródła sterowane z definicji zale od wielkoci sterujcych, którymi mog by prd lub napicie dowolnego innego elementu w obwodzie. ródło sterowane jest wic elementem czterozaciskowym i charakteryzuje si tym, e napicie lub prd na jego zaciskach wyjciowych s proporcjonalne do napicia lub prdu zwizanego z druga par zacisków sterujcych. Wyróni mona cztery rodzaje ródeł sterowanych: ródło napicia sterowane napiciem, opisane równaniem u au ródło napicia sterowane prdem, opisane równaniem u ri ródło prdu sterowane napiciem, opisane równaniem i gu ródło prdu sterowane prdem, opisane równaniem i bi 8
Schematy graficzne wszystkich wymienionych tu rodzajów ródeł sterowanych prdu i napicia przedstawione s na rys..7. Rys..7. Schematy graficzne ródeł sterowanych Wielkoci r, g oraz a i b stanowi współczynniki proporcjonalnoci midzy wielkoci sterujca i sterowan tych ródeł. Przyjmuj one najczciej wartoci rzeczywiste, cho w rónego rodzaju modelach mog by równie opisane funkcj zespolon. Naley nadmieni, e ródła sterowane stanowi bardzo popularne modele wielu elementów elektrycznych i elektronicznych, takich jak transformatory idealne, maszyny elektryczne, tranzystory bipolarne i polowe, wzmacniacze operacyjne napiciowe i prdowe, itp..3. Prawa Kirchhoffa Pod pojciem analizy obwodu elektrycznego rozumie si proces okrelania rozpływu prdów i rozkładu napi w obwodzie przy załoeniu, e znana jest struktura obwodu oraz wartoci wszystkich jego elementów. Podstaw analizy obwodów elektrycznych stanowi prawa Kirchhoffa, podane przez niemieckiego fizyka Gustawa Kirchhoffa w dziewitnastym wieku. Wyrónia si dwa prawa okrelajce rozpływ prdów i rozkład napi w obwodzie. Pierwsze prawo Kirchhoffa kojarzy si zwykle z bilansem prdów w wle obwodu elektrycznego a drugie z bilansem napi w oczku..3.. Prawo prdowe Suma prdów w kadym wle obwodu elektrycznego jest równa zeru 9
k i (.) k Sumowanie dotyczy wszystkich prdów, które dopływaj lub odpływaj z danego oczka, przy czym wszystkie prdy wpływajce do wzła brane s z jednakowym znakiem a wszystkie prdy wypływajce z wzła ze znakiem przeciwnym (nie jest istotne czy znak plus dotyczy prdów wpływajcych czy wypływajcych). Sposób tworzenia równania prdowego Kirchhoffa zilustrujemy dla jednego wzła obwodu przedstawionego na rys..8. Rys..8. Przykład wzła obwodu elektrycznego Prawo Kirchhoffa dla tego wzła z uwzgldnieniem kierunków prdów w wle zapiszemy w postaci i i i i i 3 4 5 Mona je równie zapisa jako bilans prdów dopływajcych i odpływajcych od wzła w postaci i i i3 i4 i5 Dla kadego obwodu mona napisa dokładnie n- niezalenych równa prdowych, gdzie n oznacza całkowit liczb wzłów a (n-) liczb wzłów niezalenych. Bilans prdów w pozostałym n-tym wle obwodu wynika z równa prdowych napisanych dla n- wzłów
(jest to wzeł zaleny zwany wzłem odniesienia). Wybór wzła odniesienia jest całkowicie dowolny..3.. Prawo napiciowe Suma napi w kadym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru k u (.) k Sumowanie dotyczy napi gałziowych wystpujcych w danym oczku zorientowanych wzgldem dowolnie przyjtego kierunku odniesienia. Napicie gałziowe zgodne z tym kierunkiem jest brane z plusem a przeciwne z minusem. Sposób pisania równa wynikajcych z prawa napiciowego Kirchhoffa pokaemy na przykładzie oczka obwodu przedstawionego na rys..9. Rys..9. Przykład oczka obwodu z oznaczeniami napi gałziowych wzgldniajc kierunki napi gałziowych równanie napiciowe Kirchhoffa dla tego oczka przyjmie posta u u u u e 3 4 Mona je równie zapisa jako bilans napi ródłowych i odbiornikowych w postaci e u u u3 u4 Dla kadego obwodu mona napisa tyle równa oczkowych ile oczek wyodrbnimy w tym obwodzie, przy czym cz równa oczkowych bdzie równaniami zalenymi (wynikajcymi
z liniowej kombinacji innych równa). Liczba równa oczkowych branych pod uwag w analizie jest wic równa liczbie oczek niezalenych. Przykład. Napiszmy równania Kirchhoffa dla obwodu z rys... Rys... Schemat obwodu poddanego analizie w przykładzie. Rozwizanie Zgodnie z prawami Kirchhoffa równania obwodu przyjm nastpujc posta. Równania prdowe: i i i L L L i i i L R i i R Równania napiciowe: u u R u u L R u R e Przedstawiony tu układ równa jest wystarczajcy do uzyskania wszystkich innych wielkoci prdowych bd napiciowych w obwodzie. Naley go jedynie uzupełni o równania definicyjne wice prd i napicie kadego elementu. Po takim uzupełnieniu uzyskuje si pełny opis obwodu a jego rozwizanie pozwala wyznaczy rozpływ prdów i rozkład napi w obwodzie. Szczególnie proste zalenoci otrzymuje si dla obwodu rezystancyjnego, zawierajcego oprócz ródeł wymuszajcych jedynie rezystory oraz (ewentualnie) ródła sterowane o rzeczywistych współczynnikach sterowania. Dla takich obwodów równania elementów rezystancyjnych s dane w postaci zalenoci algebraicznych, które wstawione do równa Kirchhoffa pozwalaj utworzy układ równa algebraicznych o liczbie zmiennych
3 równych liczbie równa. Sposób tworzenia takiego układu równa pokaemy na przykładzie obwodu z rys... Przykład. Naley okreli rozpływ prdów i rozkład napi w obwodzie rezystancyjnym o strukturze przedstawionej na rys... Wartoci elementów s nastpujce: R Ω, R Ω, R 3 3Ω, R 4 4Ω, e V, i z A, i z 5A. Rys... Struktura obwodu poddanego analizie w przykładzie. Rozwizanie Z równa Kirchhoffa otrzymuje si 4 3 3 4 4 R R R R R z z u e u u e u u i i i i i i i i Równania elementów rezystancyjnych:, i R u R, i R u R 3 3 3 i R u R, 4 4 4 i R u R tworz wspólnie z równaniami Kirchhoffa nastpujcy układ równa algebraicznych: e i R i R e i R i R R i i i i i i i i i z z 4 4 3 3 4 3 4 Po wstawieniu danych liczbowych do powyszych równa otrzymuje si:
i i i i i i i 3 i 4i 3i 4 4 i 4 5 3 W wyniku rozwizania tego układu równa otrzymuje si: i 3,87A, i,875a, i 3 3,8A oraz i 4 -,6A. Łatwo sprawdzi przez podstawienie obliczonych wartoci do układu równa, e bilans prdów w kadym wle oraz bilans napi w kadym oczku obwodu jest zerowy..4. Przekształcenia obwodów W analizie obwodów elektrycznych wan rol odgrywa upraszczanie struktury obwodu, polegajce na zastpowaniu wielu elementów połczonych szeregowo lub równolegle poprzez jeden element zastpczy. moliwia to zmniejszenie liczby równa w opisie obwodu i uproszczenie etapu rozwizania tych równa. Wyróni mona cztery podstawowe rodzaje połcze elementów, do których stosuje si przekształcenie. S to: połczenie szeregowe połczenie równoległe połczenie gwiazdowe połczenie trójktne..4.. kład połczenia szeregowego elementów W połczeniu szeregowym elementów koniec jednego elementu jest bezporednio połczony z pocztkiem nastpnego. Rys.. przedstawia schemat ogólny połczenia szeregowego rezystorów. Rys... Połczenie szeregowe elementów 4
Prd kadego elementu obwodu jest jednakowy i równy i, natomiast napicie na zaciskach zewntrznych obwodu jest równe sumie napi poszczególnych elementów tworzcych połczenie. Napiciowe równanie Kirchhoffa dla obwodu z rys.. przyjmuje wic posta u R R... R ) N i (.) ( Przy oznaczeniu sumy rezystancji przez R R R... R R N (.3) otrzymuje si uproszczenie N rezystorów połczonych szeregowo do jednego rezystora zastpczego o rezystancji R opisanej wzorem (.3). Rezystancja wypadkowa połczenia szeregowego rezystorów jest równa sumie rezystancji poszczególnych elementów tworzcych to połczenie..4.. kład połczenia równoległego elementów W połczeniu równoległym pocztki i koce wszystkich elementów s ze sob bezporednio połczone, jak to pokazano dla elementów rezystancyjnych na rys..3. Rys..3. Połczenie równoległe elementów Z połczenia tego wynika, e napicie na wszystkich elementach jest jednakowe a prd wypadkowy jest równy sumie prdów wszystkich elementów obwodu. Prdowe prawo Kirchhoffa dla obwodu z rys..3 mona wic zapisa w postaci i G G... G ) N u (.) ( 5
przy czym G i (i,,..., N) stanowi konduktancje rezystorów, G i /R i. Przy oznaczeniu sumy konduktancji przez G, gdzie G G... G G N (.) otrzymuje si uproszczenie N rezystorów połczonych równolegle do jednego rezystora zastpczego o konduktancji G opisanej wzorem (.). Jak wida w połczeniu równoległym rezystorów konduktancja wypadkowa jest równa sumie konduktancji poszczególnych rezystorów. Szczególnie prosty jest wzór na rezystancj zastpcz dla rezystorów połczonych równolegle. W tym przypadku G G G. wzgldniajc, e G / R po prostych przekształceniach otrzymuje si R R R R R. Naley jednak podkreli, e przy trzech (i wicej) elementach połczonych równoległe wygodniejsze jest operowanie na konduktancjach a przejcie na rezystancj zastpcz wykonuje si w ostatnim kroku po ustaleniu wartoci sumy konduktancji..4.3. Transfiguracja gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda Operowanie uproszczonym schematem wynikajcym z połczenia szeregowego i równoległego elementów jest najwygodniejszym sposobem redukcji obwodu. W przypadku gdy nie ma elementów połczonych szeregowo czy równolegle moliwe jest dalsze uproszczenie przez zastosowanie przekształcenia gwiazda-trójk lub trójkt-gwiazda. Oznaczenia elementów obwodu trójkta i gwiazdy s przedstawione na rys..4. 6
Rys..4. Połczenie trójktne i gwiazdowe elementów Transfiguracja trójkta na gwiazd lub gwiazdy na trójkt polega na przyporzdkowaniu danej konfiguracji elementów konfiguracji zastpczej, równowanej jej z punktu widzenia zacisków zewntrznych (te same prdy przy tych samych napiciach midzyzaciskowych). Dla uzyskania niezmienionych prdów zewntrznych obwodu gwiazdy i trójkta rezystancje midzy parami tych samych zacisków gwiazdy i trójkta powinny by takie same. Zostało udowodnione, e warunki powysze s automatycznie spełnione, jeli przy zamianie gwiazdy na trójkt spełnione s nastpujce warunki na rezystancje R R R R R (.3) R3 R R R 3 3 R R3 (.4) R R R R 3 3 R3 R (.5) R Podobnie przy zamianie trójkta na gwiazd rezystancje gwiazdy musz spełnia warunki R R R 3 R R3 R (.6) 3 R 3 (.7) R R R R 3 R 3 R R R 3 3 3 R R3 R (.8) 3 7
Przekształcenia równowane obwodu wykorzystujce reguły połczenia szeregowego, równoległego oraz przekształcenia gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda umoliwiaj dalsz redukcj tego obwodu i po wykonaniu odpowiedniej liczby przekształce sprowadzenie go do pojedynczego elementu zastpczego. Przykład.3 Okreli rezystancj zastpcz obwodu przedstawionego na rys..5, widzian z zacisków -. Wartoci rezystancji s nastpujce: R Ω, R 4Ω, R 3Ω, R Ω, R 4Ω, R 5Ω, R 5Ω oraz R Ω. 6 7 8 3 4 5 Rys..5. Struktura obwodu do przykładu.3. Rozwizanie Z punktu widzenia zacisków wejciowych - w obwodzie nie mona wyróni adnego połczenia szeregowego czy równoległego elementów. Dla uproszczenia struktury tego obwodu konieczne jest wic zastosowanie przekształcenia gwiazda-trójkt lub trójktgwiazda w stosunku do rezystorów połoonych najdalej od wzłów wejciowych (w wyniku przekształcenia nie mog ulec likwidacji wzły wejciowe obwodu). Zamieniajc gwiazd złoon z rezystorów R, R 3 i R 5 na równowany jej trójkt otrzymuje si R R 3 4 3 4 4 3 3 4 3 4 4 35 8
R 4 4 4 4 3 5 3,33 Schemat obwodu po przekształceniach przedstawiony jest na rys..6. Rys..6. Schemat obwodu z rys..5 po przekształceniu gwiazda-trójkt W obwodzie tym mona ju wyróni połczenia równoległe elementów R i R 3 oraz R 4 i R 35. Wykorzystujc reguł upraszczania elementów połczonych równolegle otrzymuje si R R 3 R z R R3 R R 4 35 R z R4 R35,667,667 Rezystory R z i R z s połczone szeregowo. ch rezystancja zastpcza jest równa R z3 R z R z 3,333 Jest ona połczona równolegle z rezystorem R 5. Std rezystancja zastpcza tego połczenia wynosi R z 3,333 3,33 3,333 3,33 4,667 9
Rezystory R 6, R z4 i R 7 s połczone szeregowo. ch rezystancja zastpcza wynosi wic R z5 R 6 R z4 R 7,667 Rezystancja ta jest z kolei połczona równolegle z rezystancj R 8 tworzc wypadkow rezystancj obwodu widzian z zacisków zewntrznych. Std całkowita rezystancja zastpcza obwodu wyraa si wzorem R we R,667 z5r8 5, 588Ω R R,667 z5 8 Jak wida w powyszym przykładzie przekształcenie gwiazda-trójkt umoliwiło dalsze uproszczenie obwodu i otrzymanie ostatecznego wyniku na rezystancj widzian z zacisków wejciowych. Naley jednak zaznaczy, e przekształcenia gwiazda-trójkt i trójkt-gwiazda s bardziej złoone obliczeniowo w stosunku do reguły upraszczania połczenia szeregowego i równoległego. Stosuje si je tylko wtedy, gdy w obwodzie nie da si wyróni adnych połcze szeregowych i równoległych. Zadania sprawdzajce Zadanie. Stosujc prawa Kirchhoffa wyznaczy prdy w obwodzie przedstawionym na rysunku.7, jeli R Ω, R 5Ω, R 3 Ω, R 4 4Ω, a wartoci ródeł s nastpujce: ev, i5a.
Rys..7. Schemat obwodu do zadania.. Rozwizanie Korzystajc z praw Kirchhoffa otrzymuje si układ równa opisujcych obwód w postaci 4 4 3 3 4 3 3 i R i R i R e i R R i i i i i i i Po wstawieniu wartoci liczbowych parametrów i rozwizaniu układu równa otrzymuje si: i,a, i,798a, i 3 -,786A oraz i 4 4,4A. Zadanie. Stosujc prawa Kirchhoffa wyznaczy prdy w obwodzie przedstawionym na rysunku.8, jeli R Ω, R Ω, R 3 5Ω, R 4 5Ω, a wartoci ródeł s nastpujce: e V, i z A, i z A. Rys..8. Schemat obwodu do zadania.. Rozwizanie Korzystajc z praw Kirchhoffa otrzymuje si układ równa opisujcych obwód w postaci 4 3 3 3 z z z i i e i R i R R i i i i i i i Po wstawieniu wartoci liczbowych otrzymuje si: i -,375A, i,375a, i 3 3,375A oraz i 4 A.
Zadanie.3 Wyznaczy rezystancj wypadkow obwodu przedstawionego na rys..9 Rys..9. Schemat obwodu do zadania.3 Rozwizanie Naley najpierw zastosowa transformacj trójkt-gwiazda lub gwiazda-trójkt w odniesieniu do wybranych trzech rezystorów obwodu, a nastpnie wykorzysta uproszczenia wynikajce z powstałych połcze szeregowych i równoległych w obwodzie. Po wykonaniu tych działa otrzymuje si R we 3,8Ω. Zadanie.4 Wyznaczy rezystancj wypadkow obwodu przedstawionego na rys.. Rys... Schemat obwodu do zadania.4
Rozwizanie Poniewa w obwodzie nie mona wyróni adnych połcze szeregowych i równoległych naley najpierw zastosowa transformacj trójkt-gwiazda lub gwiazda-trójkt w odniesieniu do wybranych trzech rezystorów obwodu (np. transfiguracja gwiazdy Ω, 3Ω i 5Ω na równowany trójkt) a nastpnie wykorzysta uproszczenia wynikajce z powstałych połcze szeregowych i równoległych w obwodzie. Po wykonaniu tych działa otrzymuje si warto rezystancji zastpczej obwodu równ R we,59ω. 3
Lekcja. Metoda symboliczna analizy obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Wstp Sporód wielu rónych rodzajów wymusze stosowanych w obwodach elektrycznych, do najwaniejszych naley wymuszenie sinusoidalne, ze wzgldu na to, e w praktyce codziennej mamy do czynienia z napiciem i prdem sinusoidalnym generowanym w elektrowniach. Analiza obwodów RL przy wymuszeniu sinusoidalnym nastrcza pewne problemy zwizane z koniecznoci rozwizania układu równa róniczkowych, wynikajcych z opisu ogólnego kondensatorów i cewek. W lekcji drugiej poznamy metod symboliczn analizy obwodów RL w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. Dziki tej metodzie układ równa róniczkowo-całkowych opisujcych obwód RL zostaje sprowadzony do układu równa algebraicznych typu zespolonego. Wprowadzone zostanie pojcie wartoci skutecznej zespolonej, impedancji i admitancji zespolonej oraz prawa Kirchhoffa dla wartoci skutecznych zespolonych. Prawo prdowe i napiciowe Kirchhoffa dla obwodów RL w metodzie symbolicznej stosuje si identycznie jak dla obwodów rezystancyjnych prdu stałego zastpujc rezystancj pojciem impedancji zespolonej. W rezultacie otrzymuje si wartoci zespolone odpowiedzi, którym mona przyporzdkowa wartoci chwilowe zgodnie z metod symboliczn. zupełnieniem tej lekcji s wykresy wektorowe przedstawiajce na płaszczynie zespolonej relacje midzy wartociami skutecznymi prdów i napi gałziowych w obwodzie... Parametry sygnału sinusoidalnego Sygnały sinusoidalne zwane równie harmonicznymi s opisane w dziedzinie czasu nastpujcym wzorem (w opisie przyjto oznaczenie sygnału napiciowego) u( t) m sin( ω t ψ ) (.) Wielkoci wystpujce w opisie maj nastpujce nazwy i oznaczenia: u(t) - warto chwilowa napicia 4
m - warto maksymalna (szczytowa) napicia zwana równie amplitud ψ - faza pocztkowa napicia odpowiadajca chwili t ω t ψ - kt fazowy napicia w chwili t f/t T - czstotliwo mierzona w hercach (Hz) - okres przebiegu sinusoidalnego ω πf - pulsacja mierzona w radianach na sekund. Wartoci chwilowe sygnałów oznacza bdziemy mał liter a wartoci maksymalne, skuteczne i wielkoci operatorowe du. Rys... Sygnał sinusoidalny Rys.. przedstawia przebieg sygnału sinusoidalnego napicia z oznaczeniami poszczególnych jego parametrów. O odcitych ma podwójne oznaczenie: czasu oraz fazy (aktualny kt fazowy). Przebiegi zmienne w czasie dobrze charakteryzuje warto skuteczna. Dla przebiegu okresowego f(t) o okresie T jest ona definiowana w postaci F to T T t f ( t) dt (.) 5
Łatwo udowodni, e warto skuteczna przebiegu okresowego nie zaley od wybory fazy pocztkowej. Dla okrelenia wartoci skutecznej sygnału sinusoidalnego przyjmiemy sygnał napiciowy o fazie pocztkowej równej zeru. u( t) m sin( ωt) (.3) Warto skuteczna tego sygnału okrelona jest wic zalenoci T T m sin ( ω t) dt (.4) Wykonujc operacj całkowania otrzymuje si T m,5t m T m sin ( ωt) dt,5 ( cosωt ) dt m,5 sin ωt ω T,5T m (.5) Std po podstawieniu do wzoru (.4) otrzymuje si m (.6) Analogicznie w przypadku prdu sinusoidalnego i t) m sin( ω t ψ ) (.7) ( i otrzymujemy identyczn relacj m (.8) 6
Dla sygnału sinusoidalnego warto skuteczna jest wic razy mniejsza ni jego warto maksymalna. Drugim parametrem charakteryzujcym sygnał sinusoidalny jest warto rednia, czyli pole zawarte pod krzyw odniesione do czasu, w którym ta warto jest obliczana. Warto redni sygnału w okresie T definiuje zaleno F r T t T t f ( t) dt (.9) Ze wzgldu na symetri funkcji sinusoidalnej warto rednia całookresowa jest z definicji równa zeru. W elektrotechnice uywa si pojcia wartoci redniej półokresowej, w której przyjmuje si T T /. W tym przypadku mona udowodni, e warto rednia półokresowa dla sygnału sinusoidalnego jest powizana z wartoci maksymaln poprzez relacj r t T / o T / t o m sin( ω t) dt,637 (.) m Naley zauway, e napicie stałe u(t) jest szczególnym przypadkiem sygnału sinusoidalnego, dla którego czstotliwo jest równa zeru (f) a warto chwilowa jest stała i równa u(t) m sin(ψ ). Jest to wana właciwo, gdy dziki temu metody analizy obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym mog mie zastosowanie równie do wymusze stałych przy załoeniu f. Dla sygnału stałego warto maksymalna, skuteczna i rednia s sobie równe i równaj si danej wartoci stałej... Metoda symboliczna analizy obwodów RL w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Analiza obwodów zawierajcych elementy RL przy wymuszeniu sinusoidalnym napotyka na pewne trudnoci zwizane z wystpieniem w opisie cewki i kondensatora równa róniczkowych. Trudnoci te łatwo jest pokona w stanie ustalonym. Stanem ustalonym obwodu nazywa bdziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzi na wymuszenie sinusoidalne jest odpowied równie sinusoidalna o tej samej czstotliwoci cho o rónej amplitudzie i fazie 7
pocztkowej. Dla stanu ustalonego obwodu wprowadzona zostanie metoda symboliczna sprowadzajca wszystkie operacje róniczkowe i całkowe do działa algebraicznych na liczbach zespolonych. Dla wprowadzenia tej metody przyjmijmy, e rozwaany jest obwód szeregowy RL (rys..) zasilany ze ródła napicia sinusoidalnego u( t) m sin( ω t ψ ). Rys... Połczenie szeregowe elementów RL Z prawa napiciowego Kirchhoffa wynika nastpujcy zwizek midzy napiciami elementów tego obwodu u ( t) u u u (.) R L Biorc pod uwag podstawowe zalenoci definicyjne dla rezystora, cewki i kondensatora u R Ri, u / idt di u L L dt otrzymuje si di m sin( ω t ψ ) Ri idt L (.) dt Jest to równanie róniczkowo-całkowe opisujce zalenoci midzy wartociami chwilowymi prdu i napicia wymuszajcego w obwodzie. Pełne rozwizanie tego równania sprowadza si 8
do wyznaczenia dwu składowych prdu, stanowicych odpowied obwodu w stanie ustalonym i stanie przejciowym:. składowej ustalonej, której charakter zmian w czasie jest taki sam jak sygnału wymuszajcego (przy sinusoidalnym wymuszeniu odpowied równie sinusoidalna o tej samej czstotliwoci). składowej przejciowej stanowicej rozwizanie równania róniczkowego pochodzcego od niezerowych warunków pocztkowych. Składowa przejciowa zanika zwykle szybko w czasie i pozostaje jedynie składowa ustalona. Stan po zanikniciu składowej przejciowej nazywamy stanem ustalonym obwodu. Składow ustalon prdu w obwodzie mona otrzyma nie rozwizujc równania róniczkowego opisujcego ten obwód a korzystajc jedynie z tzw. metody symbolicznej. stotnym elementem tej metody jest zastpienie przebiegów czasowych ich reprezentacj zespolon. Przyjmijmy, e prd i t) m sin( ω t Ψ ) oraz napicie u( t) m sin( ω t Ψ) zastpione ( i zostały przez wektory wirujce w czasie, odpowiednio (t) oraz (t) okrelone w postaci jψ jωt ( t) me e (.3) jψ i jωt t) me e ( (.4) Po zastpieniu wartoci czasowych prdu i napicia w równaniu (.) poprzez ich reprezentacj w postaci wektorów wirujcych otrzymuje si d( t) ( t) R( t) L ( t) dt (.5) dt Po wykonaniu operacji róniczkowania i całkowania równanie powysze przyjmuje posta m e jψ e jωt jω jψ i jωt jψ i jωt jψ i jωt R me e jωl me e me e (.6) Dzielc obie strony równania przez j t e ω i przechodzc do wartoci skutecznych (w tym celu naley podzieli obie strony równania przez ) otrzymuje si 9
m e jψ R e jωl e jω m jψ i m jψ i m jψ i e (.7) Oznaczmy przez m e jψ i warto skuteczn zespolon napicia, a przez m e j ψ warto skuteczn zespolon prdu. Wtedy równanie (.5) mona zapisa w nastpujcej postaci obowizujcej dla wartoci skutecznych zespolonych R jωl (.8) jω Składnik R R (.9) odpowiada napiciu skutecznemu zespolonemu na rezystorze. Wielko L jωl (.) reprezentuje warto skuteczn zespolon napicia na cewce, a składnik (.) j ω odpowiada wartoci skutecznej zespolonej napicia na kondensatorze. Wszystkie napicia i prd w obwodzie s wartociami zespolonymi. Równanie (.8) wyraa prawo napiciowe Kirchhoffa odnoszce si do wartoci skutecznych zespolonych dla obwodu szeregowego RL. Stwierdza ono, e przy wymuszeniu sinusoidalnym warto skuteczna napicia wymuszajcego w obwodzie szeregowym RL jest równa sumie wartoci skutecznych zespolonych napi na poszczególnych elementach tego obwodu. Analizujc posta równania (.8) mona zauway prost analogi do równania opisujcego obwód rezystancyjny. W tym celu wprowadzimy uogólnienie rezystancji w postaci pojcia impedancji zespolonej wicej wartoci skuteczne prdu i napicia na 3
elementach R, L, w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. Z ostatnich równa na podstawie prawa Ohma mona napisa nastpujce przyporzdkowania: Dla rezystora impedancja Z R jest równa rezystancji tego rezystora. Z R R (.) Dla cewki Z L jωl (.3) impedancja Z L jest liczb zespolon (urojon) zalen liniowo od czstotliwoci. Dla kondensatora Z j (.4) j ω ω impedancja Z jest take zespolona i odwrotnie proporcjonalna do czstotliwoci. Warto X L ωl nosi nazw reaktancji indukcyjnej a warto pojemnociowej. W zwizku z powyszym mona napisa X reaktancji ω Z jx. Z L jx L, Wprowadzajc oznaczenie wypadkowej impedancji obwodu przez Z, gdzie Z Z Z Z R L zaleno prdowo-napiciow w obwodzie szeregowym RL mona zapisa w postaci, znanej jako prawo Ohma dla wartoci symbolicznych Z (.5) lub Z jψ i e (.6) gdzie moduł prdu (.7) Z R ( ωl / ω) 3
natomiast kt fazowy prdu ωl / ω ψ i ψ arctg (.8a) R Faza pocztkowa wektora napicia wymuszajcego jest tu oznaczona przez ψ, a faza pocztkowa wektora prdu przez ψ i. Rónica faz nazywana jest przesuniciem fazowym prdu wzgldem napicia i oznaczana liter ϕ, przy czym ωl / ω ϕ ψ ψ i arctg (.8b) R Kt przesunicia fazowego ϕ odgrywa ogromn rol w elektrotechnice, zwłaszcza w zagadnieniach mocy. Kt ten jest uwaany za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemnociowym. Zauwamy, e wartociom skutecznym prdu oraz napicia mona przyporzdkowa funkcj czasu. Biorc pod uwag, e przejcie z przebiegu czasowego na opis zespolony (symboliczny) odbywa si według schematu u( t) sin( ω ψ ) m jψ m t e (.9) powrót z wartoci zespolonej do postaci czasowej polega na pomnoeniu modułu wartoci skutecznej przez i uzupełnieniu wyniku przez dopisanie funkcji sin( ω t ψ ). Std przykładowo, jeli wynik zespolony prdu dany jest w postaci e j5, to odpowiadajcy mu przebieg czasowy ma posta i( t) sin( ω t 5 ). stnieje równie cisła analogia midzy konduktancj (odwrotno rezystancji) a odwrotnoci impedancji. Analogicznie do pojcia konduktancji w obwodzie rezystancyjnym wprowadza si pojcie admitancji zespolonej dla obwodu RL. Admitancja jest definiowana jako odwrotno impedancji. Oznaczana jest najczciej liter Y, przy czym Y /Z (.3) 3
Admitancja kondensatora jest równa Y jω, cewki Y L j, natomiast j ω L ω L admitancja rezystora jest równa jego konduktancji Y R G/R. Podobnie odwrotno reaktancji X nosi specjaln nazw susceptancji. Warto susceptancji dla kondensatora jest równa B ω, natomiast dla cewki / ωl. B L.3 Prawa Kirchhoffa dla wartoci symbolicznych Przy zastpieniu wartoci rzeczywistych przez wartoci zespolone równania róniczkowe zostały zastpione przez równania algebraiczne. Nastpiła zatem algebraizacja równa opisujcych obwód. Wszystkie elementy RL traktowane s w podobny sposób i reprezentowane przez swoje impedancje symboliczne w postaci zespolonej. mpedancje zespolone mog by interpretowane jako uogólnienie rezystancji. Dla obwodu reprezentowanego w postaci symbolicznej obowizuj prawa Kirchhoffa, które maj identyczn posta jak dla obwodu rzeczywistego, z ta rónic, e zamiast wielkoci chwilowych uywa si wielkoci zespolonych. Prawo prdowe Kirchhoffa Suma prdów zespolonych w dowolnym wle obwodu elektrycznego jest równa zeru, co zapiszemy w postaci k (.3) k W równaniu tym wszystkie prdy dane s w postaci zespolonej. Prawo napiciowe Kirchhoffa Suma napi zespolonych w kadym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru, co zapiszemy w postaci k (.3) k W równaniu tym symbolem oznaczono wszystkie napicia w postaci zespolonej, zarówno na gałziach pasywnych jak i ródłowych obwodu. Sposób sumowania (znak plus lub minus) 33
zarówno prdów jak i napi jest taki sam jak w przypadku operowania wartociami rzeczywistymi..4. Wykresy wektorowe obwodu W przypadku analizy obwodów RL w stanie ustalonym wanym pojciem jest wykres wektorowy przedstawiajcy w sposób orientacyjny zalenoci midzy poszczególnymi wektorami prdu i napicia w obwodzie. Jak wiadomo kadej liczbie zespolonej mona przyporzdkowa reprezentacj geometryczn w postaci odpowiedniej zalenoci wektorowej przedstawionej na płaszczynie, w której o pozioma odpowiada czci rzeczywistej a o pionowa czci urojonej liczby zespolonej. Konstruujc wykres naley pamita, e pomnoenie wektora przez operator j jest równowane jego obrotowi o kt 9 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara gdy operator j jest równy j9 e. Podobnie pomnoenie wektora przez operator -j jest równowane jego obrotowi o kt 9 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara gdy operator -j jest równy j9 e. Pomnoenie wektora przez liczb rzeczywist nie zmienia pozycji wektora w przestrzeni o ile jest to liczba dodatnia lub zmienia zwrot wektora o o 8 jeli liczba ta jest ujemna. Z zalenoci prdowo-napiciowych dla rezystora jest oczywiste, e R R R (.33) co wobec rzeczywistych, dodatnich wartoci R oznacza, e napicie na rezystorze jest w fazie z prdem tego rezystora. Dla cewki obowizuje jω (.34) L L L co oznacza, e napicie na cewce wyprzedza prd o kt kondensatorze opónia si wzgldem swojego prdu o kt 9, gdy 9. Podobnie napicie na j (.35) ω Na rys..3 przedstawiono wykresy wektorowe dla rezystora, cewki i kondensatora z zaznaczeniem przesuni ktowych midzy wektorami prdu i napicia. 34
Rys..3. Wykresy wektorowe dla a) rezystora, b) cewki, c) kondensatora Przedstawione powyej zasady konstruowania przesuni ktowych midzy wektorami prdu i napicia umoliwiaj podanie ogólnych zasad postpowania przy konstruowaniu wykresu wektorowego dla dowolnego obwodu RL. Wykres wektorowy z definicji uwzgldnia przede wszystkim przesunicia ktowe midzy poszczególnymi wektorami. Relacje ilociowe (długoci) poszczególnych wektorów s mniej istotne i zwykle uwzgldniane w sposób jedynie przybliony. Wykres rozpoczyna si zwykle od koca obwodu (gałzi najdalej połoonej od ródła). Jeli gał jest połczeniem szeregowym elementów rozpoczynamy od prdu tej gałzi, a w przypadku połczenia równoległego od napicia. Nastpnie rysuje si na wykresie na przemian napicia i prdy kolejnych gałzi, dochodzc w ten sposób do ródła. Budow wykresu koczy si w momencie dojcia do prdu i napicia ródłowego obwodu. Relacja wektora prdu ródłowego wzgldem napicia decyduje o charakterze obwodu. Jeli napicie wypadkowe (ródłowe) wyprzedza prd wypadkowy lub inaczej mówic prd opónia si wzgldem napicia - obwód ma charakter indukcyjny. Jeli natomiast napicie opónia si wzgldem prdu lub prd wyprzedza napicie - mówimy o charakterze pojemnociowym obwodu. Jeli nie istnieje przesunicie fazowe prdu wypadkowego wzgldem napicia (kt fazowy równy zeru) mówimy o tzw. stanie rezonansu obwodu, lub po prostu charakterze rezystancyjnym danego obwodu. harakter rezystancyjny obwodu moe powsta nawet przy istnieniu w obwodu indukcyjnoci i pojemnoci w przypadku gdy nastpuje kompensacja odpowiednich 35
składowych indukcyjnej i pojemnociowej wektorów. Sposób postpowania przy sporzdzaniu wykresów wektorowych przedstawimy na przykładzie konkretnego obwodu. Przykład. Narysowa wykres wektorowy prdów i napi dla obwodu RL o strukturze przedstawionej na rys..4. Rys..4. Schemat obwodu RL do przykładu. Rozwizanie Na rys..5 przedstawiono wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie RL z rys..4. Rys..5. Wykres wektorowy prdów i napi dla obwodu z rys..4 36
Sporzdzanie wykresu rozpoczyna si od prdu 3 dobudowujc kolejno wektory napi i prdów gałzi przesuwajc si w stron ródła: R, 3 L, 3 R,,,, E. Jak wida obwód ma charakter pojemnociowy, gdy napicie wypadkowe E opónia si wzgldem odpowiadajcego mu prdu. Zadania sprawdzajce Zadanie. Wyznaczy rozpływy prdów w obwodzie z rys..6 w stanie ustalonym. Przyj nastpujce wartoci parametrów: i ( t) 5 sin(t ) A, R Ω,,F, L 5mH. Rys..6. Schemat obwodu do zadania. Rozwizanie Wartoci symboliczne elementów obwodu: ω 5 Z L jω L j5 Z / jω j mpedancje obwodu RL: Y R Z L Z, j, Z Y j e o 45 Prdy i napicie w obwodzie: 37
5 Z R L R Z L j e 5 e o 45 o 45 e j o j45 Z 5 e o j35 Wartoci chwilowe prdów i napicia u ( t) 5sin(t 45 i ( t) 5sin(t 45 R o i ( t) sin(t 45 ) L i ( t) 5sin(t 35 o o ) o ) ) Zadanie. Wyznaczy prdy i napicia w obwodzie przedstawionym na rys..7. Przyj nastpujce o wartoci elementów: e( t) sin(t 9 ) V, R Ω, R 5Ω,,F, L.5H. Rys..7. Schemat obwodu do zadania. Rozwizanie Wartoci symboliczne elementów obwodu: 38
ω E e o 9 Z L jω L j j5 Z / jω j mpedancje obwodu: R ZL ZRL,5 R Z j L,5 Z Z RL R Z,5 j7,5 Prdy i napicia w obwodzie: E / Z,7 j,8 RL Z RL 4,7 j,8,3 RL j ZL RL,94 R j Z,94,3,76 j7,6 7, R R j,8 Zadanie.3 Sporzdzi wykres wektorowy prdów i napi w obwodzie przedstawionym na rys..8. Rys..8. Schemat obwodu do zadania.3 Rozwizanie 39
Wykres rozpoczyna si od prdu 3, dodajc kolejno napicia na R 3 i L 3, napicie, prd, prd oraz napicie E. Pełny wykres wektorowy przedstawiony jest na rys..9. Rys..9. Wykres wektorowy obwodu z rys..8 Kt fazowy przesunicia prdu wzgldem napicia zasilajcego jest równy ϕ. Biorc pod uwag, e napicie wyprzedza prd obwód ma charakter indukcyjny. 4
Lekcja 3. Zagadnienia mocy w obwodach RL przy wymuszeniu sinusoidalnym Wstp Jednym z najwaniejszych poj w elektrotechnice jest moc elektryczna. Jest ona cile zwizana ze zjawiskami energetycznymi zachodzcymi w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym. Wielkociom prdu i napicia przyporzdkowa mona róne rodzaje mocy. Lekcja trzecia powicona jest zagadnieniom mocy chwilowej p(t), mocy czynnej P, mocy biernej Q oraz mocy pozornej S. Poznamy wzory wice poszczególne rodzaje mocy z prdami i napiciami w obwodzie RL przy wymuszeniu sinusoidalnym w stanie ustalonym. Podane zostan wzory wyraajce energi zgromadzon w cewce i kondensatorze, a na tej podstawie modele rzeczywistej cewki i kondensatora, uwzgldniajce ich stratnoci. Ostatnim fragmentem lekcji s zagadnienia dopasowania odbiornika do ródła rzeczywistego o niezerowej impedancji wewntrznej. 3.. Moc chwilowa Warto chwilow napicia i prdu gałzi oznaczymy odpowiednio przez u( t) m sin( ωt) oraz i( t) m sin( ωt ϕ) przyjmujc dla uproszczenie faz pocztkow napicia równ zeru. Moc chwilowa p(t), jako jedyna z mocy jest funkcj czasu i definiuje si j w postaci iloczynu wartoci chwilowych prdu i(t) oraz napicia u(t) w obwodzie p ( t) u( t) i( t) (3.) Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem m p( t) u( t) i( t) mm sin( ωt)sin( ωt ϕ) [cos cos(ωt ϕ)] m [ cosϕ cos(ωt ϕ) ] (3.) Z powyszej zalenoci wida, e moc chwilowa zawiera dwie składowe: stał cos(ϕ ) oraz zmienn w czasie cos( ωt ϕ) o czstotliwoci dwukrotnie wikszej od czstotliwoci napicia i prdu w obwodzie. Jest zatem wielkoci zmienn w czasie opisan 4
funkcj okresow harmoniczn. Moc chwilowa nie znajduje wikszego zastosowania praktycznego, natomiast jest niezbdna dla zdefiniowania mocy czynnej. 3.. Moc czynna Moc czynn definiuje si jako warto redni za okres z mocy chwilowej, to jest P T t T t p( t) dt (3.3) Podstawiajc do powyszego wzoru funkcj okrelajc moc chwilow w obwodzie, po wykonaniu operacji całkowania otrzymuje si P cosϕ (3.4) Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest wic wielkoci stał równ iloczynowi modułów wartoci skutecznych napicia i prdu oraz cosinusa kta przesunicia fazowego midzy wektorem napicia i prdu. Współczynnik ten odgrywa ogromn rol w praktyce i nosi specjaln nazw współczynnika mocy ( cos ϕ ). Moc czynna stanowi składow stał mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu RL a w granicznym przypadku przy ϕ ±π / jest równa zeru. Moc czynna osiga warto najwiksz P wtedy, gdy ϕ, to znaczy gdy odbiornik ma charakter rezystancyjny, cos ϕ. Warto najmniejsz (P) moc osiga w przypadku granicznym, gdy ϕ ±π /, to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna lub kondensator idealny, cos ϕ. Oznacza to, e na elementach reaktancyjnych nie wydziela si moc czynna. Z przytoczonych rozwaa wynika, e moc czynna jest tym wiksza im mniejszy jest kt przesunicia fazowego midzy prdem i napiciem. Moe wydziela si jedynie na elementach rezystancyjnych i odpowiada energii, która wydziela si w jednostce czasu w postaci ciepła w tych elementach. wzgldniajc, e przesunicie fazowe prdu i napicia na rezystorze jest równe zeru ( cos ϕ ) wzór na moc czynn wydzielan w rezystorze moe by wyraony w trzech równorzdnych postaciach P cosϕ R G (3.5) 4
w których prd oraz napicie odpowiadaj rezystorowi R. Jednostk mocy czynnej jest wat (W), przy czym WAV. W praktyce stosuje si równie wielokrotnoci wata w postaci kilowata (kww) lub megawata (MW 6 W) oraz wartoci ułamkowe, np. miliwat (mw) lub mikrowat (W ). 3.3. Moc bierna W obwodach elektrycznych prdu sinusoidalnego definiuje si trzeci wielko energetyczn bdc iloczynem napicia i prdu oraz sinusa kta przesunicia fazowego midzy nimi. Wielko ta oznaczana jest liter Q i nazywana moc biern Q sinϕ (3.6) Jednostk mocy biernej jest war (var) bdcy skrótem nazwy woltamper reaktywny. Ze wzgldu na wystpowanie w definicji mocy biernej funkcji sinusoidalnej jest oczywiste, e moc bierna jest tym mniejsza im mniejszy jest kt przesunicia fazowego prdu i napicia. Std w przypadku rezystora, dla którego przesunicie fazowe jest równe zeru ( sin ϕ ) moc bierna jest zerowa Moc bierna moe si wic wydziela jedynie na elementach reaktancyjnych, gdy tylko dla nich przesunicie fazowe prdu i napicia jest róne od zera. Przesunicie fazowe prdu i napicia na elementach reaktancyjnych (cewce i kondensatorze) przyjmuje warto 9 dla cewki oraz -9 dla kondensatora, co oznacza, e sinus kta jest odpowiednio równy równy dla cewki (moc bierna cewki jest uwaana za dodatni) oraz dla kondensatora (moc bierna kondensatora jest uwaana za ujemn). Std przy pominiciu znaku wzór na moc biern elementów reaktancyjnych o reaktancji X moe by przedstawiony w trzech równorzdnych postaciach Q sinϕ X (3.7) X W ogólnoci kt przesunicia fazowego ϕ uwaa si za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym (napicie wyprzedza prd) a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemnociowym (napicie opónia si wzgldem prdu). Moc bierna obwodów o 43
charakterze indukcyjnym jest w sumie moc indukcyjn, kojarzona z liczb dodatni a moc bierna obwodów o charakterze pojemnociowym jest w sumie moc pojemnociow i kojarzon z liczb ujemn. 3.4. Moc pozorna zwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana moc pozorna. Jest ona proporcjonalna do wartoci skutecznych prdu i napicia, i oznaczana liter S. Moc pozorna definiowana jest formalnie jako liczba zespolona w postaci iloczynu wartoci skutecznej zespolonej napicia i wartoci skutecznej sprzonej prdu * S (3.8) Tak zdefiniowana moc pozorna przedstawia sob sum mocy czynnej (cz rzeczywista S) oraz mocy biernej (cz urojona S), std S P jq (3.9) wzgldniajc, e operator j oznacza przesunicie wektora o kt 9, ostatniej zalenoci na moc pozorn przyporzdkowa mona wykres wektorowy mocy, tzw. trójkt mocy przedstawiony na rys. 3.. a) b) Rys. 3.. Wykres wektorowy mocy dla obwodu a) o charakterze indukcyjnym, b) o charakterze pojemnociowym 44
Biorc pod uwag kierunek przesunicia prdu wzgldem napicia na rys. 3.a wykres mocy dotyczy obwodu o charakterze indukcyjnym a rys. 3.b obwodu o charakterze pojemnociowym. Wykres ten nazywany jest równie trójktem mocy. W trójkcie mocy składowa czynna i bierna s przyprostoktnymi natomiast moc pozorna przeciwprostoktn. Zaleno na moc pozorn zespolon mona przedstawi równie w postaci wykładniczej S S e jϕ. W zalenoci tej S wyraa moduł mocy pozornej, który moe by wyraony w postaci iloczynu modułów wartoci skutecznych prdu i napicia S P Q (3.) Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rys. 3. moliwe jest wyznaczenie współczynnika mocy. Mianowicie P cos ϕ (3.) S Warto współczynnika mocy wyznaczona z powyszej zalenoci jest identyczna z wartoci wynikajc z relacji prdowo-napiciowych zachodzcych dla wielkoci bramowych obwodu. Dla ułatwienia korzystania z poj mocy zestawiono poniej najwaniejsze postacie wzorów na moc czynn, biern i pozorn Moc pozorna * S P jq (3.) Moc czynna R P cos ϕ Re( S) R R (3.3) R Moc bierna 45
X Q sin ϕ m( S) X X (3.4) X 3.5. Bilans mocy W obwodzie elektrycznym, jak w kadym układzie fizycznym obowizuje prawo zachowania energii. W przypadku obwodów prawo to przekształca si w tak zwane prawo bilansu mocy. Jeli całkowit moc pozorn wytworzon przez ródło (lub wiele ródeł wystpujcych w obwodzie) oznaczymy przez S g a sumaryczn moc pozorn wydzielon w elementach odbiornika przez S o, to biorc pod uwag prawo zachowania energii obie moce musz by sobie równe, to znaczy S g S o. Jest to tak zwana zasada bilansu mocy w obwodach elektrycznych. W tak sformułowanej zasadzie bilansu mocy przyjmuje si standardowo, e zwroty prdów i napi w elementach odbiornikowych s przeciwne sobie a w elementach ródłowych takie same. Jeli przyjmiemy ujednolicon zasad znakowania prdów i napi na gałziach obwodu, zakładajc, e niezalenie od rodzaju elementu zwroty prdu i napicia na gałzi s przeciwne sobie, to zasad bilansu mocy mona sformułowa w ten sposób, e suma mocy liczonej po wszystkich elementach w obwodzie elektrycznym jest równa zeru, S g S o. Dla zilustrowania wprowadzonych tu poj mocy oraz zasady bilansowania si mocy rozpatrzymy przykład obwodu przedstawionego na rys. 3.. Przykład 3. Niech dany bdzie obwód RL o strukturze przedstawionej na rys. 3. zasilany z sinusoidalnego ródła napicia e( t) sin( ωt 45 ) V o wartoci elementów obwodu s nastpujce: R Ω,, 5F, L H. rad ω. Wartoci s 46