Chromodynamika kwantowa: grupa SU(3) Co trzyma kwarki związane w hadronach? Teoria z symetrią cechowania oparta na grupie SU(3) (lub SU(N c )): u r u = u g u b każdy u i jest czteorokomponentowym bispinorem Diraka. Lokalna symetria SU(3): (x) (x) = U(x)(x) gdzie U(x) jest macierzą unitarną 3 3 o wyznaczniku 1. Jest sparametryzowana N 2 c 1 = 8 rzeczywistymi parametrami. Można ją zapisać jako U(x) = e iλ aα a (x)/2 gdzie N 2 c 1 = 8 macierzy Gell-Mana λ a spełnia relację komutacji: [λ a, λ b ] = 2if abc λ c a, b, c = 1, 2... 8 analogicznie do [τ i, τ j ] = 2iε ijk λ k i, j, k = 1, 2, 3. 1
gdzie f abc są stałymi struktury (antysymetryczne). Różnica: stałe d abc (symetryczne): τ i τ j = δ ij + iε ijk τ k, λ a λ b = 2 3 δ ab + if abc λ c + d abc λ c. 2
Pochodna kowariantna Analogicznie do grupy SU(2) wprowadzmy pola cechowania gluony: Transformacja pola: W µ (x) = 3 Wµ k (x)τ k G µ (x) = 1 2 k=1 8 G a µ(x)λ a a=1 W µ = UW µ U + i 2 g 2 ( µ U) U G µ = UG µ U + i 1 g ( µu) U. Pochodna kowariantna: Mamy zatem Tensor pola D µ = µ + i g 2 2 W µ D µ = µ + igg µ = U, D µ D µ = UD µ G µν = D µ G ν D ν G µ = µ G ν ν G µ + ig [G µ, G ν ] 3
Gęstość Lagrange a L = 1 2 Tr [G µνg µν ] + 6 [ ] f iγ µ D µ f m f f f=1 4
Niezmienniki grupy SU(3): δ ab, Dlaczego grupa SU(3)? ε abc albowiem: U U = 1 U ab δ bcu cd = δ ad oraz ε abc U aa U bb U cc = ε a b c det U = ε a b c Jest to analogon związku dla SU(2) U T εu = ε Ua T a ε abu bb = ε ab U aa U bb = ε a b. Zatem singlety kolorowe to stany M 12 = 1 2 = B 123 = 1 6 ε abc a 1 b 2 c 3 [ ] r1, g1, b1 r 2 g 2 b2 bariony mezony 5
Naiwny model kwarków: kwarki w uśrednionym potencjale siedzą na poziomie podstawowym (jak elektrony w atomie wodoru) czyli w fali s. Jak zatem możliwe jest istnienie rezonansu który składa się z trzech kwarków u, każdy ze spinem +1/2? Funkcja falowa = u (x)u (y)u (z) przestrzenna symetryczna spinowa symetryczna kolorowa antysymetryczna 6
Policzmy stosunek: Dlaczego grupa SU(3)? R = σ e + e hadrons σ e + e µ + µ e e e + µ µ + 1 e e + Dlaenergii poniżej progu na charm (E < 3 GeV) i.t.d.: ( R = e 2 d + e 2 u + e 2 s = 1 2 ( ) 2 ( 2 + + 3) 1 ) 2 = 2 3 3 3 ( R = e 2 d + e 2 u + e 2 s + e 2 c = 1 2 ( ) 2 ( 2 + + 3) 1 2 + 3 3) R = e 2 d + e 2 u + e 2 s + e 2 c + e 2 b = ( 1 3) 2 + ( 2 3 7 ) 2 + ( 1 3) 2 + ( ) 2 2 = 10 3 9 ( 2 3 ) 2 + ( 1 3 ) 2 = 11 9
Poprawki: e e e e e + mezon e + Poprawki perturbacyjne małe, nieperturbacyjne duże, ale waskie. 8
Ê Â 10-8 ¾Ëµ 1 10 10 2 10 3 ¼ 10 2 Ô Î 10 1 ÙÖ ¼º ÏÓÖÐ Ø ÓÒØ ØÓØ ÐÖÓ Ø ÓÒÓ ÖÓÒ Ò Ø Ö Ø ÓÊ µ ÖÓÒ µ 10-1 ½ µº Ö Ø¹Ï Ò ÖÔ Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Â ¾Ëµ Ò Ò˵ Ò ½ ¾ Ö Ð Ó ÓÛÒºÌ ÙÐÐÐ ØÓ Ö Ö Ò ØÓØ ÓÖ Ò Ð Ø ÓÒÓ Ø Ê Ú Û Õº º½¾µÓÖ ÓÖÑÓÖ Ø Ð Ãº º ØÝÖ Ò Ø Ðº ÆÙÐºÈ Ý º ¾¼¼¼µ ÖÖ ØÙÑ º ¾¼¼¾µ Ø ÖÓ ÒÓÒ Ò Ú ÕÙ Ö ¹Ô ÖØÓÒÑÓ ÐÔÖ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÐ ÓÒ ¹ÐÓÓÔÔÉ ÔÖ Ø ÓÒ ÉÙ ÒØÙÑ ÖÓÑÓ ÝÒ Ñ µº µ «¾ µ º Ø ÖÖÓÖ Ö ØÓØ Ð ÐÓÛ¾ Î Ò Ø Ø Ø Ð ÓÚ ¾ ÎºÌ ÙÖÚ Ö Ò Ù Ø Ú Ù ÖÓÒ µ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÖÓ Ø ÓÒÓÖÖ Ø ÓÖ Ò Ø Ð Ø Ø Ö Ø ÓÒ Ò Ð ØÖÓÒ¹ÔÓ ØÖÓÒÚ ÖØ ÜÐÓÓÔ 1 10 10 2 Ð Ö Ú Ð Ð Ø ØØÔ»»Ô º Ôº Ù»Ü Ø»ÓÒØ ÒØ º ØÑк ÓÙÖØ ÝÓ Ø ÇÅÈ Ë ÈÖÓØÚ ÒÓµ Ò À È Ì ÙÖ Ñµ ÖÓÙÔ Ø Ò Ø Ø Ð Ó Ø ÊÖ Ø Ó ÜØÖ Ø ÓÒ ÖÓÑØ Ñ Ò ÓÙÒ Ò Ô¹Ô»¼ ½¾½½ º ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ö¹Ö Ð Ø Ù Ù Ø¾¼¼ º ÓÖÖ Ø ÓÒ ÝȺ ÒÓØ ÊƵ Ò ÅºË Ñ ØØ ÆÓÖØ Û Ø ÖÒͺµµ R = e 2 d + e 2 u + e 2 s = 2 3 + e2 c = 10 9 + e2 b = 11 9 9
Ê Â 10-8 ¾Ëµ 1 10 10 2 10 3 ¼ 10 2 Ô Î 10 1 ÙÖ ¼º ÏÓÖÐ Ø ÓÒØ ØÓØ ÐÖÓ Ø ÓÒÓ ÖÓÒ Ò Ø Ö Ø ÓÊ µ ÖÓÒ µ 10-1 ½ µº Ö Ø¹Ï Ò ÖÔ Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Â ¾Ëµ Ò Ò˵ Ò ½ ¾ Ö Ð Ó ÓÛÒºÌ ÙÐÐÐ ØÓ Ö Ö Ò ØÓØ ÓÖ Ò Ð Ø ÓÒÓ Ø Ê Ú Û Õº º½¾µÓÖ ÓÖÑÓÖ Ø Ð Ãº º ØÝÖ Ò Ø Ðº ÆÙÐºÈ Ý º ¾¼¼¼µ ÖÖ ØÙÑ º ¾¼¼¾µ Ø ÖÓ ÒÓÒ Ò Ú ÕÙ Ö ¹Ô ÖØÓÒÑÓ ÐÔÖ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÐ ÓÒ ¹ÐÓÓÔÔÉ ÔÖ Ø ÓÒ ÉÙ ÒØÙÑ ÖÓÑÓ ÝÒ Ñ µº µ «¾ µ º Ø ÖÖÓÖ Ö ØÓØ Ð ÐÓÛ¾ Î Ò Ø Ø Ø Ð ÓÚ ¾ ÎºÌ ÙÖÚ Ö Ò Ù Ø Ú Ù ÖÓÒ µ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÖÓ Ø ÓÒÓÖÖ Ø ÓÖ Ò Ø Ð Ø Ø Ö Ø ÓÒ Ò Ð ØÖÓÒ¹ÔÓ ØÖÓÒÚ ÖØ ÜÐÓÓÔ 1 10 10 2 Ð Ö Ú Ð Ð Ø ØØÔ»»Ô º Ôº Ù»Ü Ø»ÓÒØ ÒØ º ØÑк ÓÙÖØ ÝÓ Ø ÇÅÈ Ë ÈÖÓØÚ ÒÓµ Ò À È Ì ÙÖ Ñµ ÖÓÙÔ Ø Ò Ø Ø Ð Ó Ø ÊÖ Ø Ó ÜØÖ Ø ÓÒ ÖÓÑØ Ñ Ò ÓÙÒ Ò Ô¹Ô»¼ ½¾½½ º ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ö¹Ö Ð Ø Ù Ù Ø¾¼¼ º ÓÖÖ Ø ÓÒ ÝȺ ÒÓØ ÊƵ Ò ÅºË Ñ ØØ ÆÓÖØ Û Ø ÖÒͺµµ R = 3 ( ) e 2 d + e 2 u + e 2 s = 2 + 3e 2 c = 10 3 + 3e2 b = 11 3 Uwzględnienie koloru N c = 3 daje zgodnosc z doswiadczeniem. 10
40. Plots of cross sections and related uantities 7 10 2 10 R in Light-Flavour, Charm, and Beauty Threshold Regions ρ ω φ u, d, s ρ 3 loop pqcd Naive uark model 1 10-1 7 6 5 4 Sum of exclusive measurements Inclusive measurements 0.5 1 1.5 2 2.5 3 J/ψ ψ(2s) Mark-I Mark-I + LGW Mark-II PLUTO DASP Crystal Ball BES ψ 3770 ψ 4040 ψ 4160 ψ 4415 c 3 2 3 3.5 4 4.5 5 8 7 6 Υ(1S) Υ(2S) Υ(3S) Υ(4S) b 5 4 3 2 MD-1 ARGUS CLEO CUSB DHHM Crystal Ball CLEO II DASP LENA 11 s [GeV] 9.5 10 10.5 11 Figure 40.7: R in the light-flavour, charm, and beauty threshold regions. Data errors are total below 2 GeV and statistical above 2 GeV. The curves are the same as in Fig. 40.6. Note: CLEO data above Υ(4S) were not fully corrected for radiative effects, and we retain them on the plot only for illustrative purposes with a normalization factor of 0.8. The full list of references to the original data and the details of the R ratio extraction from them can be found in [arxiv:hep-ph/0312114]. The computer-readable data are available at http://pdg.ihep.su/xsect/contents.html (Courtesy of the COMPAS(Protvino)
12
Najpierw trzeba dokonać regularyzacji. Obcięcie czterowymiarowe (Λ ) dk g 2 } {{ k } skończone Renormalizacja Λ dk gλ 2 k = g2 Λ ln Λ + skończone Regularyzacja wymiarowa (ε 0) dk g 2 gε 2 k εdk } {{ k } k = 1 g2 ε ε k ε skończone 1 g2 ε ε skończone skończone Renormalizacja polega na wepchnięciu nieskończoności do stałej sprzężenia, mas cząstek, funkcji falowych. 13
Poprawki do wierzchołka fermion-gluon: 14
Mamy (Q 2 = 2 ): ) ) suma = g Λ (1 gλ (a 2 ln Q2 Λ +... +... 2 Renormalizacja polega na wciągnięciu nieskończoności do g Λ : Tu g jest liczbą suma = (g ag 3 ln Λ2 Q 2 0 g Λ = g ag 3 ln Λ2 Q 2 0 +...) ( 1 +... (g ag 3 ln Λ2 Q 2 0 ) 2 ) +... (a ln Q2 Λ + b 2 +... ) = g ag 3 ln Λ2 Q 2 0 = g ag 3 ln Q2 Q 2 0 Lepiej zapisać to dla stałej g 2 : g 3 a ln Q2 Λ 2 +... +... = g(q 2 ). g 2 (Q 2 ) = g 2 2ag 4 ln Q2 Q 2 0 15 +... = g 2 1 + 2ag 2 ln Q2 Q 2 0
Co to jest g 2? g 2 = g 2 (Q 2 0) Spróbujemy nieznaną wartość g w arbitralnym (acz ustalonym) punkcie Q 2 0 zastąpić przez jedną stałą. Najpierw przepiszmy 1 g 2 (Q 2 ) = 1 (1 g 2 (Q 2 0 ) + 2ag 2 (Q 20) ) ln Q2 1 Q2 Q 2 = 0 g 2 (Q 2 + 2a ln 0 ) Q 2 0 co daje co daje 1 g 2 (Q 2 ) 2a ln Q2 = 1 g 2 (Q 2 0 ) 2a ln Q2 0 ozn. = 2a ln Λ 2 QCD 1 = 2a ln Q2 g 2 (Q 2 ) Λ 2 g 2 (Q 2 1 ) = QCD 2a ln Q2 Λ 2 QCD Jest to wzór asymptotyczny. Jego sensowność zależy od znaku a. Jeżeli a jest ujemne to wzór g 2 (Q 2 ) = g 2 1 + 2ag 2 ln Q2 Q 2 0 16
ma osobliwość (biegun Landaua w elektrodynamice), jeżeli a jest dodatnie, g 2 (Q 2 ) znika dla dużych Q 2 (asymptotyczna swoboda). Używając (standardowa notacja): gdzie α(q 2 ) = 4π β 0 ln Q2 Λ 2 QCD, β 0 = 11 3 C A 2 3 n f n f liczba kwarhów w diagramie pętlowym C A operator Casimira dla grupy SU(N c ) 17
C F C A 2 n f C F = N 2 1 c 2N c C F C A 2 = N c 2 C A = N c 18
Czynniki kolorowe a d β γ α b a Σ a,γ T a βγ T a γα = C F δ βα Σ c,d T d bc T d ca = C A δ ba c T a γα = 1 2 λ a γα a T d ca = if dca d γ α c a 19
gdzie: C F = N 2 c 1 2N c, C A = N c dla SU(N c =2) C s = s(s + 1), reprezentacja fundamentalna s = 1/2, reprezentacja dołączona (adjoint) s = 1. 20
β 9.2. The QCD 2 = 2857 5033 coupling and 9 n f + 325 renormalization 27 n2 f ; scheme (9.4d) The Uniwersalność: renormalization to samo scalewychodzi dependence dla rachunku of the effective z wierzchołkiem QCD coupling gluonowym. where n α s = gs/4π 2 is controlled Grupa f is the number of uarks with mass less than the energy scale µ. The expression by renormalizacji: for the next the termβ-function: in this series (β 3 ) can be found in Ref. 5. In solving this differential euation for α µ α s, a constant of integration s µ = 2β(α s) = β is 0 2π α2 s β introduced. 1 4π 2 α3 s β This constant is the one fundamental constant of QCD that must be determined 2from 64π 3 α4 sexperiment., The (9.4a) most sensible choice for this constant β 0 = 11 2 is the value of α s at a fixed-reference scale µ 0. It has become standard to choose µ 3 n 0 = f, M Z. The value at other values of µ can be obtained (9.4b) from log(µ 2 /µ 2 0 ) = α s (µ) dα. β 1 = 51 19 It is also convenient to introduce the dimensional parameter α s (µ 0 ) β(α) 3 n f, (9.4c) Λ, since this provides a parameterization of the µ dependence of α s. The definition of Λ is arbitrary. One way to define β 2 = 2857 5033 it 9 n (adopted f + 325 27 n2 here) f ; is to write a solution of E. (9.4) (9.4d) as an expansion in inverse powers of ln(µ 2 ): where n f is the number of uarks with [ 4π mass less than the energy scale µ. The expression for the next αterm s (µ) in = this series (β 3 ) can be found in Ref. 5. In solving this differential β euation for α s, a constant 0 ln(µ 2 /Λ of 2 1 2β 1 ln [ ln(µ 2 /Λ 2 ) ] 4β ) β integration 0 2 ln(µ is introduced. 2 /Λ 2 + 1 2 ) This β0 4 constant ln2 (µ 2 /Λ is 2 ) the one ( [ ] fundamental constant of QCD that must be determined from experiment. The most ( ln ln(µ 2 /Λ 2 ) 1 ) 2 β 2 β 0 + sensible choice for this constant is the value of 2 α s at8β a 2 5 )]. (9.5) 1fixed-reference 4 scale µ 0. It has become standard to choose µ 0 = M Z. The value at other values of µ can be obtained from log(µ This 2 solution /µ 2 0 ) = illustrates α s (µ) dαthe. It asymptotic is also convenient freedom to property: introduce α s the 0 dimensional as µ parameter and shows that QCD becomes α s (µ 0 ) strongly β(α) coupled at µ Λ. 21 Λ, since this provides a parameterization of the µ dependence of α s. The definition of Λ is arbitrary. One way to define it (adopted here) is to write a solution of E. (9.4) as an expansion in inverse powers of ln(µ 2 ):
Average Hadronic Jets e + e - rates Photo-production Fragmentation Z width ep event shapes Polarized DIS Deep Inelastic Scattering (DIS) τ decays Spectroscopy (Lattice) Υ decay 0.1 0.12 0.14 α s (M Z ) 22
0.3 α s (µ) 0.2 0.1 0 1 10 10 2 µ GeV 23