Zaawansowane metody numeryczne 4,5 ECTS Nazwa w języku angielskim: Numerical methods. Advanced dzienne magisterskie course Kod przedmiotu Imię i Nazwisko organizującego EO1ET3000SBCTOS2 dr inż. Oleg Maslennikow w c Kurs egzaminacyjny Egzamin LICZBA GODZIN 2 1 15 tygodni zajęć 4 tygodnie sesji egzaminacyjny ch Kursy poprzedzające analiza matematyczna, podstawy programowania Słowa kluczowe algorytmy, programy, struktury danych, sortowanie i przeszukiwanie danych, optymalizacja algorytmów i programów PROGRAM SZCZEGÓŁOWY CELE KURSU. Opis kursu cele i procedury ich osiągania: Uzyskanie pogłębionej wiedzy w zakresie najważniejszych zagadnień numerycznych i metod ich realizacji; zastosowania metod numerycznych w analizie obwodów elektrycznych, modeli zjawisk fizycznych, ekonomicznych, biologicznych itd.; realizacji komputerowej w/w metod z uwzględnieniem wymaganej dokładności, stabilności i wiarygodności otrzymywanych wyników. Cel poznawczy: Ugruntowanie wiedzy o metodach obliczenia funkcji elementarnych, rozwiązywania układów równań liniowych i problemu najmniejszych kwadratów, obliczenia wartości i wektorów własnych macierzy, rozwiązywania równań różniczkowych. Poznanie sposobów zwiększenia wiarygodności obliczeń i zrównoleglenia algorytmów numerycznych. Cel kształcący: Kształtowanie u studentów umiejętności samodzielnej pracy badawczej w stopniu pozwalającym na przeprowadzenie analizy postawionego problemu i wybór właściwych metod jego rozwiązania. Cel praktyczny: Uzyskanie umiejętności doprowadzenia procesu rozwiązania zadanego problemu do łańcucha odpowiednich zagadnień numerycznych, wyboru właściwych metod ich realizacji w różnych systemach komputerowych, w tym w systemach równoległych i specjalistycznych. Umiejętności wynikowe kursu i ich ewaluacja: Umiejętność opracowania programów komputerowych realizujących podstawowe metody numeryczne z uwzględnieniem wymaganej dokładności, stabilności i wiarygodności otrzymywanych wyników.
Wymagania podstawowe (stopnie dostateczne) Potrafi opracować procedury programowe realizujące podstawowe metody rozwiązywania układów liniowych i problemu najmniejszych kwadratów, obliczenia wartości i wektorów własnych macierzy, rozwiązywania równań różniczkowych. Potrafi wprowadzić do opracowanych programów procedury kontrolne, pozwalające na odnajdywanie i/lub korekcje błędów w wynikach obliczeń. Potrafi ocenić złożoność obliczeniową i stabilność wykorzystanej metody. Wykład 1. (3 godz.) Wymagania rozszerzone (stopnie dobre) Wykonuje analizę postawionego problemu i tworzy procedurę jego rozwiązania jako łańcuch właściwych metod numerycznych, dobranych odpowiednio do wymaganej dokładności, stabilności i wiarygodności wyników. Potrafi wprowadzić do opracowanych programów procedury kontrolne, pozwalające na odnajdywanie i/lub korekcje błędów w wynikach obliczeń. Potrafi ocenić złożoność obliczeniową i stabilność wykorzystanej metody. Wykazuje praktyczną umiejętność opracowania równoległych wersji podstawowych algebry liniowej. MACIERZE PASMOWE, RZADKIE I BLOKOWE Zagadnienia: Formaty przedstawienia w/w macierzy w komputerze. Operacje na macierzach pasmowych, rzadkich i blokowych. Osobliwości rozwiązywania układów równań liniowych (URL) z macierzami pasmowymi, rzadkimi i blokowymi. Źle uwarunkowane układy i macierze. Współczynnik uwarunkowania macierzy. Wykład 2. (4 godz.) ORTOGONALNE MACIERZE I PRZEKSZTAŁCENIA. ROZKŁAD QR-MACIERZY PROSTOKĄTNYCH ZA POMOCĄ METOD PRZEKSZTAŁCEŃ ORTOGONALNYCH Zagadnienia: Metoda odbić Householdera: wzory macierzowe, wzory dla przykładowej macierzy A(4,3), fragment programu. Metoda obrotów Givensa. Ortogonalizacja Gramma-Schmidta. Wykład 3. (3 godz.) ROZWIĄZANIE PROBLEMU NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Zagadnienia: Rozwiązanie problemu najmniejszych kwadratów w oparciu o metody Householdera i Givensa. Metoda Faddeeva (oryginalna i ortogonalna) i jej zastosowania. Odnalezienie macierzy odwrotnej i pseudo-odwrotnej w oparciu w/w metody przekształceń ortogonalnych. Wykład 4. (4 godz.) METODY ODNALEZIENIA WARTOŚCI WŁASNYCH I WEKTORÓW WŁASNYCH MACIERZY Zagadnienia: Metody odnalezienia wartości własnych i wektorów własnych macierzy symetrycznych, trójdiagonalnych i Hessenberga (metody: Jacobi ego, iteracji prostej i odwrotnej, QR i jej modyfikacje, bisekcji, Lanczos a). Wykład 5. (4 godz.) ZASTOSOWANIE METOD NUMERYCZNYCH W MODELOWANIU PROCESÓW EWOLUCYJNYCH Zagadnienia: Zastosowanie metod numerycznych w analizie obwodów elektrycznych, modelowaniu zjawisk fizycznych i ekonomicznych, w biologii. Przykłady. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych metodami jednokrokowymi (schematy różnicowe Eulera, Heuna i Rungego-Kutty) i wielokrokowymi (schematy różnicowe Adamsa- Bashfortha i Adamsa-Moultona). Zbieżność schematów różnicowych i dokładność obliczeń; stabilność rozwiązań. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych: eliptycznych, hiperbolicznych i parabolicznych.
Wykład 6. (5 godz.) ZAPEWNIENIE ZADANEJ DOKŁADNOŚCI I WIARYGODNOŚCI OTRZYMYWANYCH WYNIKÓW PRZY REALIZACJI KOMPUTEROWEJ METOD NUMERYCZNYCH Zagadnienia: Metoda zbyteczności czasowej TTR (ang. triple time redundance). Działania na przesuniętych argumentach. Metoda ważonych sum kontrolnych WCS (ang. weighted checksum method). Zastosowanie metody WCS do opracowania odpornych na błędy algorytmów algebry liniowej (mnożenia macierzy, redukcji wstecznej, eliminacji Gaussa i in.) Wykład 7. (5 godz.) REALIZACJA METOD NUMERYCZNYCH W SYSTEMACH SPECJALISTYCZNYCH I RÓWNOLEGŁYCH Zagadnienia: Sposoby obliczenia funkcji elementarnych 1/x, sqrt(x), sin(x), tg(x), itd. Metodą Voldera (CORDIC - ang. COordinate Rotation DIgital Computer). Realizacja w oparciu o metodę CORDIC funkcji przykładowej. Opracowanie równoległych wersji algorytmów numerycznych (na przykładzie algorytmów macierzowych, np. redukcji wstecznej, eliminacji Gaussa, metody Householdera i in.). Wykład 8. (2 godz.) Repetytorium CZYNNOŚCI KONTROLNE I ORGANIZACYJNE ZWIĄZANE Z DOPUSZCZENIEM DO ZASADNICZEJ SESJI EGZAMINACYJNEJ Ćwiczenie 1 (3godz.) PLANY WYNIKOWE ĆWICZEŃ OPERACJE NA MACIERZACH PASMOWYCH, RZADKICH I BLOKOWYCH Opis ćwiczenia cele i procedury ich osiągania: zapoznanie się praktyczne z formatami przedstawienia w/w macierzy w komputerach i osobliwościach wykonania podstawowych operacji na nich. Umiejętności wynikowe i ich ewaluacja: Dopasowuje klasyczne algorytmy algebry macierzowej do struktur i formatów przechowywania macierzy danych wejściowych. Wymagania podstawowe (stopnie dostateczne) Potrafi opracować: program mnożenia macierzy pasmowej przez wektor; program do obliczenia wyznacznika macierzy blokowej. Ćwiczenie 2 (3godz.) Wymagania rozszerzone (stopnie dobre) Potrafi opracować: program mnożenia macierzy pasmowej przez wektor; program do obliczenia wyznacznika macierzy blokowej; program konwertujący tablice dwuwymiarowe, reprezentując macierze A[M][N], w format CSR i na odwrót. ROZKŁAD QR-MACIERZY PROSTOKĄTNYCH NA CZYNNIKI TRÓJKĄTNE Opis ćwiczenia cele i procedury ich osiągania: zapoznanie się praktyczne z algorytmami ortogonalnych przekształceń macierzy. Umiejętności wynikowe i ich ewaluacja: Dokonuje wyboru właściwej metody (dopasowanej do struktury macierzy danych wejściowych) i potrafi opracować jej realizację programową. Tworzy modele obwodów elektrycznych (bez elementów reaktywnych) w postaci układów równań liniowych.
Wymagania podstawowe (stopnie dostateczne): Potrafi opracować program realizujący rozkład QR macierzy Hessenberga w oparciu o obroty Givensa. Potrafi przetestować opracowany program i przeanalizować jego efektywność. Ćwiczenie 3 (2godz.) Wymagania rozszerzone (stopnie dobre:) Potrafi opracować: program realizujący rozkład QR macierzy Hessenberga w oparciu o obroty Givensa; program obliczający prądy we wszystkich gałęziach zadanego obwodu elektrycznego, w oparciu o rozkład QR Householdera i redukcję wsteczną. Potrafi przetestować opracowane programy i przeanalizować ich efektywność. OBLICZENIE WARTOŚCI I WEKTORÓW WŁASNYCH MACIERZY Opis ćwiczenia cele i procedury ich osiągania: Zapoznanie się praktyczne z najbardziej znanymi metodami obliczenia wartości i wektorów własnych macierzy kwadratowych. Umiejętności wynikowe i ich ewaluacja: Dokonuje wyboru właściwej metody (w zależności od struktury macierzy danych wejściowych) i potrafi opracować jej realizację programową. Wymagania podstawowe (stopnie dostateczne): Potrafi opracować: Wymagania rozszerzone (stopnie dobre): Opracowanie program doprowadzający macierz kwadratową programu doprowadzającego macierz do postaci Hessenberga; program do odnalezienia kwadratową do postaci Hessenberga; programu wartości i wektorów własnych macierzy do odnalezienia wartości i wektorów własnych Hessenberga. Potrafi przetestować opracowane macierzy Hessenberga, wykorzystując programy i przeanalizować ich efektywność. najbardziej efektywny dla tego przypadku algorytm. Potrafi przetestować opracowane programy i przeanalizować ich efektywność. Ćwiczenie 4 (2godz.) ZASTOSOWANIE METOD NUMERYCZNYCH W MODELOWANIU PROCESÓW EWOLUCYJNYCH Opis ćwiczenia cele i procedury ich osiągania: Zapoznanie się praktyczne z metodami numerycznymi rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Umiejętności wynikowe i ich ewaluacja: Umiejętność opracowania modeli procesów ewolucyjnych w oparciu o zwyczajne równania różniczkowe. Realizacja komputerowa metod rozwiązywania w/w równań. Wymagania podstawowe (stopnie dostateczne) Wyprowadzenie wzoru analitycznego (nie rekurencyjnego), pozwalającego na obliczenie i-tego elementu ciągu liczb Fibonacci ego. Realizacja komputerowa metody Rungego-Kutty. Wymagania rozszerzone (stopnie dobre) Wyprowadzenie wzoru analitycznego (nie rekurencyjnego), pozwalającego na obliczenie i-tego elementu ciągu liczb Fibonacci ego. Opracowanie modelu cyklu ekonomicznego. Inne podobne zadania. Realizacja komputerowa metody Rungego-Kutty. Ćwiczenie 5 (2godz.) NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH: ELIPTYCZNYCH, HIPERBOLICZNYCH I PARABOLICZNYCH Opis ćwiczenia cele i procedury ich osiągania: Zapoznanie się praktyczne ze sposobami doprowadzenia rozwiązania w/w równań różniczkowych do odpowiednich układów równań liniowych (URL) z pasmowymi macierzami współczynników. Dostosowanie znanych metod rozwiązywania URL na przypadek macierzy 3-diagonalnych i 5-diagonalnych. Umiejętności wynikowe i ich ewaluacja:. umiejętność wyboru właściwej metody rozwiązywania URL i jej dostosowanie do struktury macierzy współczynników układu.
Wymagania podstawowe (stopnie dostateczne): Potrafi doprowadzić rozwiązanie zadanego równania różniczkowego do rozwiązania odpowiedniego układu równań liniowych z pasmową macierzą współczynników. Ćwiczenie 6 (2godz.) Wymagania rozszerzone (stopnie dobre): Potrafi doprowadzić rozwiązanie zadanego równania różniczkowego do rozwiązania odpowiedniego układu równań liniowych z pasmową macierzą współczynników. Potrafi opracować efektywny program rozwiązujący URL z pasmową macierzą współczynników. Potrafi przetestować opracowany program i przeanalizować jego efektywność. OPRACOWANIE ODPORNYCH NA BŁĘDY ALGORYTMÓW ALGEBRY LINIOWEJ Opis ćwiczenia cele i procedury ich osiągania: Zapoznanie się praktyczne z metodą ważonych sum kontrolnych WSC. Opracowanie, w oparciu o metodę WCS, odpornych na błędy algorytmów algebry macierzowej. Umiejętności wynikowe i ich ewaluacja: Potrafi przeanalizować zadany algorytm macierzowy i uzupełnić go odpowiednimi procedurami kontroli, umożliwiającymi odnalezienie i poprawienie błędów w wynikach obliczeń. Wymagania podstawowe (stopnie dostateczne) Potrafi opracować i przetestować programy realizujące odporną na błędy wersję algorytmu redukcji wstecznej i eliminacji Gaussa. Wymagania rozszerzone (stopnie dobre) Potrafi opracować programy realizujące odporne na błędy wersje algorytmów: redukcji wstecznej; eliminacji Gaussa z wyborem elementu podstawowego; obrotów Givensa. Potrafi przetestować opracowane programy i przeanalizować stopień ich odporności na błędy obliczeń. Ćwiczenie 7 (1godz.) CZYNNOŚCI KONTROLNE I ORGANIZACYJNE ZWIĄZANE Z DOPUSZCZENIEM DO ZASADNICZEJ SESJI EGZAMINACYJNEJ Kolokwium I. OPIS RYGORÓW POŚREDNICH Opis kolokwium : Zadania indywidualne na ocenę. Lista przykładowych zadań: 1) Obliczenie współczynnika uwarunkowania przykładowej macierzy A(3,3). 2) Rozkład QR przykładowej macierzy A(4,3) za pomocą odbić Householdera. 3) Odnalezienie macierzy odwrotnej do zadanej A(3,3) za pomocą metody Faddeeva. 4) Obliczenie wartości własnych zadanej macierzy A(3,3) za pomocą metody QR. 5) Obliczenie za pomocą metody Voldera (CORDIC) podstawowych funkcji trygonometrycznych. 6) Opracowanie algorytmu (w formie schematu blokowego) i odpowiedniego fragmentu programu wykonującego mnożenie macierzy rzadkiej (przedstawionej w formacie CSR) przez wektor. 7) Opracowanie algorytmu (w formie schematu blokowego) i odpowiedniego fragmentu programu realizującego metodę redukcji wstecznej dla macierzy rzadkiej przedstawionej w formacie CSR. Sposób oceniania: Ocena zależy od prawidłowości wykonania zadania rachunkowego; od prawidłowości i efektywności opracowanego algorytmu. Wymagania podstawowe (stopnie dostateczne) Zadanie Wymagania rozszerzone (stopnie dobre) Zadanie rachunkowe rachunkowe wykonano z drobnymi usterkami. wykonano bez usterek. Opracowano prawidłowy i Opracowano prawidłowy algorytm i program. efektywny algorytm. Opracowano fragment programu zgodny z zasadą programowania strukturalnego.
WARUNKI DOPUSZCZENIA DO SESJI EGZAMINACYJNEJ Opis ogólny warunków dopuszczenia : Zaliczone ćwiczenia i kolokwium Wymagania podstawowe (stopnie dostateczne) Ćwiczenia i kolokwium zaliczono na stopień dostateczny Wymagania rozszerzone (stopnie dobre) Ćwiczenia i kolokwium zaliczono na stopnie dobry lub bardzo dobry OPIS RYGORU ZASADNICZEGO. (EGZAMIN) Opis ogólny rygoru zasadniczego: Sprawdzenie wiedzy studenta na podstawie 3 pytań teoretycznych dotyczących zagadnień omawianych na wykładzie. Każde pytanie oceniane jest osobno. Wymagania podstawowe (stopnie dostateczne) Ocena średnia z Wymagania rozszerzone (stopnie dobre) Ocena średnia z odpowiedzi na pytania wynosi (w zaokrągleniu) 3 odpowiedzi na pytania wynosi (w zaokrągleniu) lub 3.5. 4, 4.5 lub 5. WYKAZ ŹRÓDEŁ (PODRĘCZNIKÓW I SKRYPTÓW) 1. Fortuna Z., Macuków B., Wąsowski J. Metody numeryczne. WNT, 1982, 1998 (seria podręczniki akademickie). 2. Baron B. Metody numeryczne w Turbo-Pascalu. Helion, 1995. 3. Kiełbasiński A., Schwetlick H. Numeryczna algebra liniowa. WNT, 1992. 4. Bjorck A., Dahlquist G. Metody numeryczne, PWN, 1987. 5. J. i M. Jankowscy. Przegląd metod i algorytmów numerycznych. WNT, 1981. 6. Kaczorek T. Wektory i macierze w automatyce i elektrotechnice. WNT, 1998. 7. Stoer J. Wstęp do metod numerycznych. PWN, 1979. 8. Ralston A. Wstęp do analizy numerycznej. WNT, 1975. 9. Legras J. Praktyczne metody analizy numerycznej. WNT, 1974. 10. Palczewski A. Równania różniczkowe zwyczajne. WNT, 1999.