Dobry matematyk potrafi dostrzegać fakty, matematyk wybitny analogie między faktami, zaś matematyk genialny analogie między analogiami. Stefan Banach WITAMY SERDECZNIE NA MIĘDZYSZKOLNYCH WARSZTATACH MATEMATYCZNYCH 12 Honorowy Patronat: Organizator: Marszałek Województwa Wielkopolskiego Gimnazjum nr 12 im. J. Kuronia Marek Woźniak Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Matematyki i Informatyki Wielkopolski Kurator Oświaty w Poznaniu
Zasada szufladkowa Dirichleta
Zasada szufladkowa Dirichleta Wedle tej zasady jeżeli mamy m przedmiotów, które chcemy umieścić w n szufladkach i m>n to co najmniej dwa przedmioty znajdą się w tej samej szufladce.
Zadania
Zad. 1 Udowodnij, że w grupie 26 osób co najmniej 3 urodziły się w tym samym miesiącu.
Rozwiązanie: Ponumerujmy 12 szufladek kolejnymi liczbami porządkowymi każdego miesiąca. Do tych szufladek możemy włożyć 2*12 osób. Spośród grona 26 osób pozostają jeszcze dwie. Do którejkolwiek szufladki je wsadzimy będą tam przynajmniej 3 osoby.
Zad. 2 Wiedząc, że na głowie człowieka rośnie do 500.000 włosów udowodnij, że w Poznaniu liczącym około 545.000 mieszkańców są przynajmniej dwie osoby z tą samą liczbą włosów na głowie.
Rozwiązanie: Ponumerujmy szufladki od 0 do 500.000 i wkładajmy do nich osoby z ilością włosów odpowiadającą numerowi szufladki. Szufladek jest 500.001, a osób 545.000 zatem z zasady szufladkowej wynika, że przynajmniej dwie osoby znajdą się w tej samej szufladce, czyli mają taką samą liczbę włosów na głowie.
Zad. 3 W pewnej grupie 8 osób są osoby, które się znają oraz takie, które się nie znają. Udowodnij, że co najmniej dwie osoby w tej grupie mają taką samą ilość znajomych.
Rozwiązanie: Każda z osób w tej grupie może znać 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lub 7 osób. Przy czym jeżeli ktoś zna 7 osób to nie ma osoby, która nie zna nikogo i na odwrót. W każdym z tych przypadków będziemy mieć 7 szufladek, do których przyporządkujemy osoby z ilością znajomych zgodną z numerem szufladki. Jeżeli mamy 7 szufladek i 8 osób to w przynajmniej jednej szufladce znajdą się co najmniej dwie osoby.
Zad. 4 Uzasadnij, że pośród dowolnych pięciu liczb całkowitych niepodzielnych przez 5 są dwie liczby, których różnica jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie: Każda z tych liczb przy dzieleniu przez 5 da resztę 1, 2, 3 lub 4. Ponumerujmy w ten sposób szufladki i wrzućmy do nich liczby dające resztę zgodną z numerem szufladki. W co najmniej jednej szufladce znajdą się co najmniej dwie liczby. Różnica liczb dających przy dzieleniu przez 5 tą samą resztę jest podzielna przez 5.
Zad. 5 Udowodnij, że jeżeli w kwadracie o boku 2 umieścimy 5 punktów to 2 z nich są odległe o nie więcej niż 2.
Rozwiązanie: Podzielmy ten kwadrat na cztery mniejsze kwadraty, każdy o boku 1. Wśród naszych 5 punktów, jak wynika z zasady szufladkowej, co najmniej 2 punkty będą leżeć w obrębie tego samego kwadratu. Najdłuższym odcinkiem w obrębie kwadratu jest jego przekątna, która wynosi a* 2. Dla a=1 odległość ta wyniesie 2.
Zad. 6 Każdy punkt okręgu pomalowano na zielono lub niebiesko. Wykaż, że istnieje trójkąt równoramienny wpisany w ten okrąg o wszystkich wierzchołkach tego samego koloru.
Rozwiązanie: W ten okrąg wpiszmy pięciokąt foremny. Każdy z jego wierzchołków będzie albo niebieski, albo zielony. Z zasady szufladkowej wynika, że co najmniej trzy z tych wierzchołków będą tego samego koloru. Po połączeniu ich otrzymamy trójkąt, a jako że dowolne 3 wierzchołki pięciokąta foremnego zawsze tworzą trójkąt równoramienny dowiedliśmy tym samym istnienia szukanego trójkąta.
Zad. 7 Udowodnij, że jeśli ze zbioru składającego się z 4 elementów wybierzemy dowolnych 9 podzbiorów to zawsze dwa z nich będą rozłączne( nie będzie się w nich powtarzał żaden element).
Rozwiązanie: Zbiór mający 4 elementy ma 2 4 podzbiorów, czyli 16. Dla każdego podzbioru A 1 istnieje podzbiór A 2 zawierający wszystkie elementy nie należące do tego pierwszego. Takich par zbiorów jest 16/2=8. Skoro rozważamy dowolne 9 podzbiorów to co najmniej 2 z nich będą należały do jednej z 8 wskazanych przez nas par podzbiorów, czyli będą rozłączne.
Dziękuję za uwagę!