Stanisław Jędrusik, Andrzej Paliński, Wojciech Chmiel, Piotr Kadłuczka Testowanie wsteczne modeli wartości narażonej na stratę

Podobne dokumenty
Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16

Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Statystyka matematyczna dla leśników

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Ekonometryczne modele nieliniowe

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

166 Wstęp do statystyki matematycznej

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych.

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Testowanie hipotez statystycznych.

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO

WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Testowanie hipotez statystycznych

Metody Ilościowe w Socjologii

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

Sprawy organizacyjne

Testowanie hipotez statystycznych

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Testowanie hipotez statystycznych.

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9

STATYSTYKA

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 3

Statystyka matematyczna i ekonometria

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Weryfikacja hipotez statystycznych

Hipotezy statystyczne

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Ekonometria. Zajęcia

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

Przykład 2. Stopa bezrobocia

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Statystyka matematyczna i ekonometria

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

Modelowanie rynków finansowych

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości

Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2017/2018

Wykład 10 ( ). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

Hipotezy statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

1. Pokaż, że estymator MNW parametru β ma postać β = nieobciążony. Znajdź estymator parametru σ 2.

WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno

Testowanie hipotez statystycznych

dr hab. Renata Karkowska 1

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń Problem Przykłady

Analiza zdarzeń Event studies

Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych

Wykład 12 ( ): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Zastosowanie modeli dyfuzji innowacji do analizy rynków finansowych: przykład rynku funduszy inwestycyjnych w Meksyku

Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Ćwiczenia Zarządzanie Ryzykiem. dr hab. Renata Karkowska, ćwiczenia Zarządzanie ryzykiem 1

Testowanie hipotez statystycznych

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II

Transkrypt:

Stanisław Jędrusik, Andrzej Paliński, Wojciech Chmiel, Piotr Kadłuczka Testowanie wsteczne modeli wartości narażonej na stratę Managerial Economics 1, 175-182 2007

Ekonomia Menedżerska 2007, nr 1, s. 175 182 Stanisław Jędrusik*, Andrzej Paliński*, Wojciech Chmiel**, Piotr Kadłuczka** Testowanie wsteczne modeli wartości narażonej na stratę Backtesting Value at Risk Models 1. Wstęp Metoda Wartości Narażonej na Stratę VaR (Value-at-Risk) znajduje zastosowanie nie tylko w praktyce bankowej, ale również w innych obszarach wymagających oszacowania ryzyka i efektywnego nim zarządzania. Do sukcesu tej metody w dużym stopniu przyczyniło się opublikowanie i upowszechnienie przez jeden z największych banków inwestycyjnych JP Morgan własnego systemu analizy i zarządzania ryzykiem RiskMetrics, opartego właśnie na metodologii VaR. W chwili obecnej bank JP Morgan udostępnia kilka wariantów podstawowego systemu, lepiej przystosowanych do konkretnych dziedzin (np. CreditMetrics). Powyższe cechy metody VaR znalazły odzwierciedlenie w dyrektywie Bazylejskiego Komitetu do spraw Nadzoru Bankowego rekomendującej metodę VaR jako dopuszczalną metodę pomiaru ryzyka finansowego w działalności bankowej. Idea metody VaR polega na obliczeniu tzw. potencjalnej straty portfela. W jej wyniku otrzymuje się poziom straty portfela, który może być wyrażony w jednostkach pieniężnych, przy czym straty wyższe od obliczonej mogą się pojawić z prawdopodobieństwem nie większym niż określona początkowo wartość zwykle jest to 1% lub 5%, co przedstawia rysunek 1. * Wydział Zarządzania, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie ** Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie 175

Stanisław Jędrusik, Andrzej Paliński, Wojciech Chmiel, Piotr Kadłuczka gêstoœæ prawdopodobieñstwa 0,1 0,05 0 VAR stopa zwrotu portfela 95% Rys. 1. Ilustracja metody VaR Dyrektywa, o której mowa wyżej, nie preferuje konkretnego modelu VaR rozumianego jako metoda uzyskiwania rozkładu prawdopodobieństwa zysku/ straty portfela. Banki w tej dziedzinie mogą korzystać z modeli opracowanych przez swoich ekspertów, bądź też oprzeć się na bogatej literaturze przedmiotu. Dyrektywa ta precyzuje natomiast wymagania stawiane potencjalnym modelom VaR odnośnie uzyskiwanych wyników. W poprawnie funkcjonującym modelu VaR w dłuższej perspektywie czasowej liczba przekroczeń poziomu VaR w stosunku do ogólnej liczby notowań powinna oscylować wokół poziomu założonego na wstępie. Znaczne przekroczenie tego poziomu oznacza w konsekwencji, że model VaR zaniża poziom ryzyka, i tym samym należy go odrzucić lub zmodyfikować. Z kolei wartości niższe od założonych oznaczają przeszacowanie ryzyka, co prowadzi do nieuzasadnionego podwyższenia kosztów zabezpieczenia portfela. VaR w ujęciu statystycznym jest kwantylem rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa prognozowanej stopy zwrotu portfela. Jeśli rozkład stóp zwrotu aktywów wchodzących w skład portfela dobrze opisuje rozkład normalny, to poziom VaR może być wyznaczony na podstawie zależności: VaR t 1, 65 st dla p = 0, 05 = 2, 33 st dla p = 0, 01 gdzie σ t oznacza odchylenie standardowe rozkładu prawdopodobieństwa prognozowanej stopy zwrotu portfela w chwili t. (1) 2. Testowanie wsteczne Metody oceny poprawności modelu VaR są bardzo istotnym elementem każdego systemu zarządzania ryzykiem finansowym. W literaturze przedmiotu tego rodzaju analiza nosi nazwę testowania wstecznego [2, 7]. 176

Testowanie wsteczne modeli wartości narażonej na stratę Do chwili obecnej opracowano wiele testów, które można zaliczyć do kategorii testowania wstecznego [1, 3, 5, 6]. W niniejszym artykule skoncentrowano się na dwóch z nich uznawanych za przełomowe w opinii większości a mianowicie na teście Kupca [8] i teście Christoffersena [4]. Celem badań było sprawdzenie, który z dwóch modeli (Model błądzenia przypadkowego i Model GARCH) generuje lepsze prognozy VaR. Wyniki przeprowadzonych eksperymentów na bazie portfeli z polskiego rynku finansowego poprzedzone zostały omówieniem matematycznych podstaw obydwu testów. 2.1. Test Kupca Z definicji wynika, że przekroczenia poziomu VaR powinny pojawiać się z częstotliwością równą p. Łatwo zauważyć, że prawdopodobieństwo uzyskania x przekroczeń w próbce o długości n przy założeniu, że model jest poprawny opisane jest rozkładem dwumianowym i wynosi n pr x x p x p n x ( ) = ( ) 1 (2) Idea testu Kupca opiera się statystyce ilorazu wiarygodności. Funkcja wiarygodności przy założeniu poprawności modelu (hipoteza zerowa) ma postać: x n x L = p ( p) (3) 0 1 W wypadku hipotezy alternatywnej funkcja wiarygodności wynosi gdzie ^p = x / n. ^x ^ n x LA = p ( p) 1 (4) Statystykę opartą na ilorazie wiarygodności można zatem zapisać w postaci LRuc = 2 log LA log L0 (5) Łatwo udowodnić, że zdefiniowana wyżej statystyka ma asymptotycznie rozkład χ 2 z jednym stopniem swobody. Hipotezę zerową odrzuca się, jeśli wartość tej statystyki przekroczy poziom krytyczny rozkładu χ 2 (1). 2.2. Test Christoffersena Test Kupca pozwala oszacować, czy liczba przekroczeń poziomu VaR znajduje się w dopuszczalnym przedziale. Wyniki tego testu nic jednak nie mówią o rozkładzie w czasie kolejnych przekroczeń. W poprawnie funkcjonującym modelu 177

Stanisław Jędrusik, Andrzej Paliński, Wojciech Chmiel, Piotr Kadłuczka przekroczenia poziomu VaR powinny mieć charakter losowy, tj. następować niezależnie od siebie. Brak niezależności, objawiający się często nadmierną koncentracją przekroczeń na pewnym odcinku czasu i jednocześnie nadmiernym rozproszeniem na innym odcinku oznacza, że model VaR niezbyt dobrze odwzorowuje cechy analizowanego procesu. Warto w tym miejscu zaznaczyć, że brak niezależności nie oznacza automatycznie, iż model nie będzie spełniał kryterium Kupca. Te dwie cechy są do pewnego stopnia niezależne. Zaproponowany przez Christoffersena test niezależności przekroczeń opiera się również na ilorazie wiarygodności. Jeśli I t oznacza zmienną losową określoną wzorem: 1 dla Rt + 1 < VaRt ( p) It + 1 = 0 w p. p. (6) gdzie R t+1 oznacza stopę zwrotu portfela w okresie t+1, to przy założeniu niezależności kolejnych przekroczeń zmienne losowe I t są również niezależne i mają rozkład dwumianowy o wartości oczekiwanej p. Hipotezę alternatywną można sformułować na wiele różnych sposobów. P.F. Christoffersen jako alternatywę przyjął proces Markowa pierwszego rzędu. Jeśli {I t } jest procesem Markowa, to prawdopodobieństwa przejścia pr(i t+1 I t ) opisane są następującą macierzą przejść: 1 p 1 p p 01 01 p 11 11 (7) gdzie π ij = pr(i t+1 = j I t = i). Funkcja wiarygodności hipotezy alternatywnej przyjmuje zatem postać T T T T L A = ( 1 ) 00 01 01 01 ( 1 11) 10 11 11 p p p p (8) gdzie T ij oznacza liczbę przejść ze stanu i do stanu j, T T + T 01 p 01 = 00 01 T T + T 11 p 11 = 10 11 (9) (10) Przy założeniu hipotezy zerowej przekroczenia poziomu VaR powinny mieć stałą warunkową średnią, co implikuje: p = p = p (11) 01 11 178

Testowanie wsteczne modeli wartości narażonej na stratę Funkcję wiarygodności w tym przypadku można zapisać L p T + = T p T + ( ) T (12) 0 1 00 10 01 11 a statystyka oparta na ilorazie wiarygodności ma postać LRind = 2 log LA log L0 (13) Podobnie jak w wypadku testu Kupca, rozkład statystyki LR ind jest zbieżny do rozkładu χ 2 z jednym stopniem swobody. 3. Wyniki badań Poniżej podjęto próbę oceny dwóch modeli VaR. Pierwszym z nich był to klasyczny model błądzenia przypadkowego. Formalnie rzecz biorąc za pomocą modelu błądzenia przypadkowego opisuje się szereg wartości portfela w kolejnych chwilach czasu. Ponieważ szereg stóp zwrotu jest jego pochodną, więc użycie tego terminu wydaje się przynajmniej częściowo uzasadnione gdzie: y t = C + e (14) t y t logarytmiczna stopa zwrotu portfela w chwili t, ε t ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym i odchyleniu standardowym σ t niezmiennym w czasie. W drugim modelu dopuszczono zmienność warunkowej wariancji procesu zgodnie z modelem GARCH 2 2 2 st = k + G st 1 + A e (15) t 1 Porównanie modelu ze stałą i zmienną warunkową wariancją pozwoliło na zbadanie, czy uwzględnienie zmienności warunkowej wariancji wpływa na jakość prognozy VaR. Badania przeprowadzono na grupie portfeli z polskiego rynku finansowego. Pod uwagę wzięto: portfele walutowe: EUR/PLN i USD/PLN, portfele akcyjne: WIG i WIG 20 oraz portfele funduszy inwestycyjnych: NFI01 i NF01. Długość próbki wahała się od 1893 notowań w wypadku szeregu EUR/PLN do 3404 notowań w wypadku szeregu USD/PLN. Obliczenia przeprowadzono dla dziennych stóp zwrotu każdego portfela. Do estymacji parametrów użyto 250 początkowych stóp zwrotu. Dla modelu błądzenia przypadkowego (RW) oszacowanie parametrów sprowadzało się do obliczenia odchylenia standardowego. Aby 179

Stanisław Jędrusik, Andrzej Paliński, Wojciech Chmiel, Piotr Kadłuczka uzyskać lepsze dopasowanie modelu do danych, procedurę estymacji parametrów powtarzano co 25 dni. Następnie na podstawie wzoru (1) (tj. przy założeniu normalności rozkładów) obliczono jednodniowe prognozy VaR dla wszystkich pozostałych dni. Ostatnim krokiem było obliczenie wartości statystyk Kupca i Christoffersena wszystkich portfeli i wszystkich modeli VaR. Oszacowano wartości statystyk dla najczęściej przyjmowanych wartości p = 0,05 i p = 0,01. Wyniki obliczeń zawiera tabela 1. Przedstawiono w niej wyniki obydwu testów oraz wynik testu łącznego: LR cc = LR uc + LR ind. (16) Statystyka LR cc ma również rozkład χ 2, ale z dwoma stopniami swobody. Tabela 1 Wyniki testów Kupca i Christoffersena dla 6 portfeli inwestycyjnych z polskiego rynku finansowego p = 0,01 p = 0,05 Portfel Model LR uc LR ind LR cc LR uc LR ind LR cc WIG WIG20 NFI 1 NFI 2 EUR USD Random Walk 3,91 8,71 12,62 0,77 17,82 18,58 GARCH(1,1) 3,14 1,86 5,00 0,30 16,25 16,55 Random Walk 2,82 0,84 3,66 2,63 1,72 4,35 GARCH(1,1) 3,20 0,06 3,26 0,13 1,40 1,53 Random Walk 10,75 2,25 13,00 0,26 1,27 1,53 GARCH(1,1) 11,49 1,03 12,53 1,06 0,37 1,43 Random Walk 12,27 6,58 18,84 0,01 4,48 4,49 GARCH(1,1) 6,14 1,75 7,89 0,09 0,53 0,62 Random Walk 0,01 0,15 0,16 2,69 0,02 2,70 GARCH(1,1) 0,05 0,12 0,17 0,37 0,30 0,66 Random Walk 1,93 0,89 2,82 2,70 4,97 7,67 GARCH(1,1) 3,64 3,14 6,78 0,63 1,26 1,89 Źródło: opracowanie własne. Analizując wyniki zawarte w tabeli 1, należy stwierdzić, że w większości wypadków otrzymane wartości statystyk są mniejsze niż wartości krytyczne rozkładów χ 2 (1) i χ 2 (2), które wynoszą odpowiednio: 3,842 i 5,992 przy poziomie istotności 95%. Dla modelu RW i statystyk LR uc i LR ind w 7 przypadkach (na 24 możliwe) nastąpiło przekroczenie wartości krytycznych. 180

Testowanie wsteczne modeli wartości narażonej na stratę Model GARCH dla tych samych statystyk daje jedynie 3 przypadki przekroczenia wartości krytycznej. Podobne wyniki uzyskano dla testu łącznego LR cc. W przypadku modelu RW odnotowano 5 przekroczeń na ogólną liczbę 12, a dla modelu GARCH 4 przekroczenia poziomu krytycznego. W praktyce oznacza to, że w odniesieniu do większości portfeli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, a tym samym obydwa modele VaR są poprawne. Z powyższej analizy wynika również, że wyraźnie lepsze wyniki uzyskuje się, stosując model GARCH niż RW. Modele przyjęte do analizy nie były w żaden sposób formalnie dobierane. Nie ulega wątpliwości, że w rodzinie GARCH można znaleźć model znacznie lepiej pasujący do danych niż klasyczny proces GARCH(1,1). Celem badań nie było jednak poszukiwanie najlepszego modelu GARCH dla badanych portfeli, ale weryfikacja tezy, czy uwzględnienie zmienności warunkowej wariancji pozwala w znaczący sposób poprawić jakość prognozy VaR. Z tych powodów warto spojrzeć na wyniki zawarte w tabeli 1 pod innym kątem, tj. istotnie jest nieprzekroczenie poziomu krytycznego, ale dla którego modelu uzyskuje się lepsze (czyli niższe) wartości odpowiednich statystyk. Na łączną liczbę 36 obliczonych wartości statystyk jedynie w 10 przypadkach modele RW dominują nad modelami GARCH. W rozbiciu na konkretne statystyki sytuacja ta nie zmienia się zasadniczo, aczkolwiek pojawiają się pewne charakterystyczne cechy. W wypadku LR uc odnotowano 6 przypadków, kiedy model RW był lepszy od GARCH i tyle samo przypadków, kiedy było odwrotnie. Oznacza to, że obydwa modele jednakowo dobrze prognozują liczbę przekroczeń poziomu VaR. Gdyby takie wyniki potwierdziły się dla większej liczby portfeli, oznaczałoby to, że model GARCH nie daje istotnych korzyści w kategoriach kryterium Kupca. Statystyka LR ind potwierdza już jednak regułę, że modele GARCH są lepsze niż RW. Na 12 możliwych porównań jedynie w 2 przypadkach model RW dawał lepsze wyniki niż GARCH. Na przykładzie tej statystyki widać przewagę modelu GARCH. Zastosowanie modelu GARCH nie pozwoliło na uzyskanie wyraźnie lepszych wartości statystyki LR uc, ale dla statystyki LR ind sytuacja jest już bardziej czytelna. Ponieważ w modelu RW warunkowa wariancja jest stała, to przewaga modelu GARCH musi wynikać z faktu, że szeregi stóp zwrotu nie są homoskedastyczne, a poziom zmienności warunkowej wariancji jest duży. Ze względu na różnorodność aktywów finansowych wchodzących w skład portfeli warto spojrzeć na wyniki z tabeli 1 jeszcze z innego punktu widzenia, a mianowicie: dla których portfeli model GARCH jest lepszy niż RW i odwrotnie? Liczba analizowanych portfeli w poszczególnych kategoriach nie upoważnia, co prawda, do wysuwania kategorycznych wniosków, ale nie sposób nie zauważyć, że dla portfeli giełdowych (WIG, WIG20) i portfeli funduszy inwestycyjnych (NFI01 i NFI02) model GARCH daje znacząco lepsze wyniki niż RW. Sytuacja 181

Stanisław Jędrusik, Andrzej Paliński, Wojciech Chmiel, Piotr Kadłuczka portfeli walutowych jest niejednoznaczna żaden z modeli nie dominuje wyraźnie. Należy podejrzewać, że jest to wynik bądź niedopasowania modelu GARCH(1,1) do danych walutowych, bądź też zbyt niskiego stopnia zmienności warunkowej wariancji w szeregach walutowych. Reasumując, wyniki przeprowadzonych badań potwierdziły tezę o przewadze modelu GARCH nad modelem RW w prognozowaniu poziomu VaR. Zaobserwowane prawidłowości, mimo iż liczba badanych portfeli nie była zbyt duża, wydają się zgodne z teoretycznymi przesłankami odnośnie badanych modeli. Nie ulega wątpliwości, że przewaga modelu GARCH jest wynikiem efektu zmienności warunkowej wariancji, obserwowanego na większości szeregów finansowych. Klasyczny model RW tego zjawiska nie uwzględnia, stąd prognoza VaR uzyskana na jego podstawie jest nieco gorsza niż na podstawie modelu GARCH. Literatura [1] Berkowitz J., Testing density forecasts, with applications to risk management, Journal of Business and Economic Statistics 2001, No. 19, s. 465 474. [2] Berkowitz, J., O Brien J., How Accurate are the Value-at-Risk Models at Commercial Banks?, Journal of Finance 2002, No. 57, s. 1093 1111. [3] Campbell S.D., A Review of Backtesting and Backtesting Procedures [working paper], Finance and Economics Discussion Series 2005. [4] Christoffersen P.F., Evaluating Interval Forecasts, International Economic Review 1998, No. 39, s. 841 862. [5] Christoffersen P.F., Pelletier D., Backtesting Value-at-Risk. A Duration-Based Approach, Journal of Financial Econometrics 2004, No. 2, s. 84 108. [6] Hass M., New Methods in Backtesting, Financial Engineering Research Center, Bonn 2001. [7] Jędrusik S., Paliński A., Analiza porównawcza modeli wartości narażonej na stratę (VaR) dla portfela akcji. [w:] idem, Zarządzanie firmą teoria i praktyka. Wybrane zagadnienia, Kraków 2001, s. 157 169. [8] Kupiec, P., Techniques for Veryfying the Accuracy of Risk Management Models, Journal of Derivatives 1995, No. 2, s. 73 84. 182