Systemy liczbowe Laura Robińska
Czym jest system liczbowy? Systemem liczbowym nazywamy sposób zapisywania liczb oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie działań na tych liczbach.
Systemy pozycyjne i niepozycyjne W systemach liczbowych pozycyjnych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr. Wartość jej jest zależna od położenia cyfry w liczbie (np. system arabski). Systemy niepozycyjne posiadają osobne symbole kilku liczb, a następnie posiadają kolejne symbole dla ich wielokrotności. W systemach tych liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli (np. system egipski).
System karbowy Powstał ok. 30 000 lat temu, polegał na tworzeniu żłobień w kościach. Wersja 1 Wersja 2 / / / / / Wersja 3 / X / X / Bardzo prawdopodobne, że system ten wyewoluował w znany nam system rzymski.
System babiloński Znaki babilońskie istnieją od ok. 5000 lat. Pismo klinowe Babilończyków zawierało bardzo wiele znaków, jednak zapis liczb jest dosyć prosty. W zapisie używa się dwóch znaków, oznaczających 1 i 10. System babiloński jest system pozycyjnym sześćdziesiątkowym. Dużą zaletą 60 jest to, że posiada ona wiele dzielników np. 2, 3, 5, 6, 12, 15, 20, 30. Problem stanowiła nieznajomość cyfry zero. Babilończycy najczęściej zostawiali wtedy puste miejsce. W późniejszym czasie umieszczano tam pionową kreseczkę.
System egipski System ten był powszechnie używany w Egipcie już 3000 lat p.n.e. Do zapisu służyły hieroglify. Każdy z symboli przedstawiał coś innego. 1- tyczka do mierzenia, 10- podkowa, 100- zwinięty liść palmy, 1000- kwiat lotosu, 10 000- wyciągnięty palec, 100 000- żaba, 1 000 000- postać z podniesionymi rękoma.
Ułamki w systemie egipskim Jedyne znane ułamki posiadały w liczniku 1 przedstawiane jako otwarte usta czyli część. Wyjątek stanowiły ⅔ i ¾. 1/323 ⅓ 1/2 ⅔ ¾
System grecki Liczebniki greckie oznaczane były kolejnymi literami alfabetu. Ich alfabet miał jednak tylko 24 litery, a potrzeba było 27, zapożyczyli więc 3 litery i użyli ich do oznaczenia liczb 6, 90 i 900. Aby zapisać liczby większe od 999 do jednej z przedziału 1-9 umieszczali w indeksie dodatkowy znak ι (jota) oznaczający pomnożenie przez 1000. Podobną funkcję miała miriada, nad którą umieszczano liczbę od 1 do 9999. Wyglądała ona w ten sposób M. Zamiast 1000 mnożyła jednak przez 10 000.
System rzymski Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali liczby za pomocą tylko pionowych kresek, na kształt systemu karbowego. Wprowadzono więc dla oznaczenia ważnych liczb dodatkowe znaki. I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 ↁ = 5000 ↂ = 10 000
Ułamki w systemie rzymskim Rzymski zapis ułamków jest mało znany. Jednostka była zwykle dzielona na dwanaście mniejszych jednostek i wszystkie wielokrotności tych mniejszych jednostek miały swoje nazwy i oznaczenia. ułamek oznaczenie nazwa 1/12 uncia 2/12 sextans 3/12 quadrans 4/12 triens 5/12 quincunx 6/12 Ⴝ semis 7/12 Ⴝ septunx 8/12 Ⴝ bes 9/12 Ⴝ dodrans 10/12 dextans 11/12 deunx 12/12 I as
System Majów Indiańskie plemię Majów, które zamieszkiwało Amerykę Środkową, stworzyło własny system zapisywania liczb. Opracowali oni system liczbowy pozycyjny na długo przed wprowadzeniem symboli arabskich w Europie. System ten opierał się na trzech symbolach: kropka, kreska i muszla. 1 (kin) - jednostka 20 (unial) - 20 x kin 360 (tun) - 18 x unial 7 200 (katun) - 20 x tun 144 000 (baktun) - 20 x katun 2 880 000 (piktun) - 20 x baktun
System arabski Nasz system dziesiętny, którym posługujemy się na co dzień, jest znany jako system arabski lub indyjsko-arabski. System dziesiętny został zapoczątkowany w Indiach w V w. n.e., a rozpowszechnił się w krajach arabskich dzięki matematykowi al-chwarizmi, który w połowie VIII w. przetłumaczył na arabski indyjską książkę o matematyce.
C. D. Hindusi jako pierwsi wpadli na pomysł pisania cyfr słowami. Podawali również oddzielne nazwy dla kolejnych potęg liczby 10 oraz wynaleźli zero. Arabowie wprowadzili natomiast sposób zapisu i czytania liczb, w którym podajemy cyfrę, a potem rząd w jakim ona stoi, choć Arabowie czytali odwrotnie, zaczynając od jedności do wyższego rzędu. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 adi dvi tri katur pańca sat sapta asta nova
Rozpowszechnienie systemu arabskiego Do rozwoju i popularyzacji systemu dziesiętnego w Europie przyczynił się włoski matematyk i podróżnik Leonardo Fibonacci. Zafascynowany systemem, w 1202 roku napisał książkę "Liber Abaci" w której tłumaczył jak używać arabskich cyfr, jak dodawać, odejmować i wykonywać inne działania w systemie dziesiętnym.
Współczesne systemy pozycyjne Oprócz powszechnie używanego systemy dziesiątkowego do najczęściej wykorzystywanych systemów liczbowych należą system binarny oraz system heksadecymalny, używane głównie w maszynach cyfrowych np. komputerach.
Porównanie systemów pozycyjnych 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 10 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 100 11 10 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 101 12 11 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 110 20 12 11 10 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 111 21 13 12 11 10 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1000 22 20 13 12 11 10 8 8 8 8 8 8 8 8 1001 100 21 14 13 12 11 10 9 9 9 9 9 9 9 1010 101 22 20 14 13 12 11 10 A A A A A A 1011 102 23 21 15 14 13 12 11 10 B B B B B 1100 110 30 22 20 15 14 13 12 11 10 C C C C 1101 111 31 23 21 16 15 14 13 12 11 10 D D D 1110 112 32 24 22 20 16 15 14 13 12 11 10 E E 1111 120 33 30 23 21 17 16 15 14 13 12 11 10 F 10000 121 100 31 24 22 20 17 16 15 14 13 12 11 10 10001 122 101 32 25 23 21 18 17 16 15 14 13 12 11 10010 200 102 33 31 24 22 20 18 17 16 15 14 13 12 10011 201 103 34 31 25 23 21 19 18 17 16 15 14 13 10100 202 110 40 32 26 24 22 20 19 18 17 16 15 14
Przeliczanie System dwójkowy 7654321= 11101001100101110110001 System trójkowy 7654321= 112101212202101 System czwórkowy 7654321= 131030232301 System piątkowy 7654321= 3424414241 System szóstkowy 7654321= 432020401 System siódemkowy 7654321= 122026543 System ósemkowy 7654321= 351145661 System dziewiątkowy 7654321= 15355671 System dziesiątkowy 7654321= 7654321 System jedenastkowy 7654321= 4358894 System dwunastkowy 7654321= 2691701 System trzynastkowy 7654321= 177CCAC System czternastkowy 7654321= 1033693 System piętnastkowy 7654321= A12E31 System szesnastkowy 7654321= 74CBB1
Dziękuję za uwagę! Główne źródła: http://www.math.edu.pl/systemy-liczbowe http://www.linux.net.pl/~wkotwica/megipt1.html https://pl.wikipedia.org/wiki/egipski_system_liczbowy