KONFERENCJA DLA NAUCZYCIELI MATEMATYKI Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Analiza wybranych zadańmaturalnych z poziomu podstawowego z lat 2010-2014 w kontekście przygotowania uczniów do matury w roku 2015 Omówienie zmian w egzaminie maturalnym z matematyki od 2015 roku ze szczególnym uwzględnieniem zmian dotyczących egzaminu na poziomie rozszerzonym
ZADANIA ZAMKNIĘTE - POZIOM PODSTAWOWY 2014 BŁ Ł UT T BT 3
ZADANIA ZAMKNIĘTE TRUDNE WYKORZYSTANIE I INTERPRETOWANIE REPREZENTACJI Obliczanie potęgi o wykładniku wymiernym 4
ZADANIA ZAMKNIĘTE UMIARKOWANIE TRUDNE WYKORZYSTANIE I INTERPRETOWANIE REPREZENTACJI Wykorzystanie interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej 5
ZADANIA OTWARTE - POZIOM PODSTAWOWY BŁ Ł UT T BT 6
ZADANIA OTWARTE - UMIARKOWANIE TRUDNE WYKORZYSTANIE I TWORZENIE INFORMACJI Rozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu na czynniki. Takie równania mogą być na maturze od roku 2015 tylko na poziomie rozszerzonym. 7
ZADANIE BARDZO TRUDNE ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA Przeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia W rozwiązaniach tego zadania pojawiały się następujące błędy: - próba zapisania wniosku ogólnego na podstawie jednego (lub kilku) sprawdzonych przykładów - nieumiejętność zapisania w postaci wyrażenia algebraicznego liczby całkowitej, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2 8
PODSUMOWANIE Wyniki egzaminu maturalnego wskazują, że zadania typowe, schematyczne, zawierające utarte sformułowania i układ treści znany z egzaminów w latach poprzednich, są na ogół rozwiązywane przez zdających z dobrymi rezultatami. Powielanie ujęcia zagadnienia w treści zadań sprawia, że poziom wykonania zadań wzrasta, ale to niekoniecznie musi być dowodem na zrozumienie istoty problemu. Z kolei każda modyfikacja schematycznego sformułowania, nawet niewielka zmiana w podaniu wielkości danych w treści zadania tekstowego, powoduje, że zdający często nie potrafią poradzić sobie z problemem. Dotyczy to także sytuacji, gdy nowe ujęcie zagadnienia daje nowe, również łatwiejsze, możliwości znalezienia rozwiązania. 9
REKOMENDACJE Należy: rozwiązywać dane zadanie różnymi metodami. do rozwiązywania zadań zamkniętych stosować różne strategie. zwrócić uwagę, aby uczniowie weryfikowali otrzymywane przez siebie wyniki i kończyli rozwiązanie zadania pisemną odpowiedzią adekwatną do pytania. przypominać, aby uczniowie czytali ze zrozumieniem treści zadań i nie stosowali bezkrytycznie wyuczonych algorytmów. 10
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI OD ROKU 2015 11
PODSTAWA PRAWNA EGZAMINU MATURALNEGO Rozporządzenie MEN z dnia 30 kwietnia 2007 roku w sprawie warunków i sposobu oceniania, klasyfikowania i promowania uczniów i słuchaczy oraz przeprowadzania sprawdzianów i egzaminów w szkołach publicznych (Dz.U. nr 83, poz.562 z późniejszymi zmianami) oraz w szczególności Rozporządzenie MEN z dnia 25 kwietnia 2013 r. zmieniające powyższe rozporządzenie (Dz.U. z 2013 r., poz. 520) które określa ogólne zasady przeprowadzania egzaminu maturalnego od roku 2015. 12
EGZAMIN MATURALNY OD 2015 ROKU przedmioty obowiązkowe część pisemna język polski (poziom podstawowy) minimum 30% język obcy nowożytny (poziom podstawowy) minimum 30% matematyka (poziom podstawowy) minimum 30% 1 przedmiot dodatkowy na poziomie rozszerzonym bez progu zaliczenia język mniejszości narodowej (poziom podstawowy) minimum 30% część ustna język polski (bez określania poziomu) minimum 30% język obcy nowożytny (bez określania poziomu) minimum 30% język mniejszości narodowej (bez określania poziomu) minimum 30% przedmioty dodatkowe od 1 do 5 kolejnych przedmiotów dodatkowych (na poziomie rozszerzonym albo w przypadku języków obcych dwujęzycznym) bez progu zaliczenia 13
PODSTAWA PROGRAMOWA Rozporządzenie MEN z dnia 27 sierpnia 2012 roku w sprawie podstawy programowej wychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. z 30.08.2012, poz. 977) które określa: - cele kształcenia wymagania ogólne - treści nauczania wymagania szczegółowe dla każdego etapu edukacyjnego i obowiązuje od 1 września 2012 roku 14
Matura z matematyki od 2015 r. 15
ZMIANY W PODSTAWIE PROGRAMOWEJ Z MATEMATYKI Najważniejsze zmiany: usunięto 1. Posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia na sześcian sumy i różnicy oraz różnicę i sumę sześcianów. 2. Rozkładanie wielomianu na czynniki za pomocą wzorów skróconego mnożenia i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias. 3. Działania na wielomianach i wyrażeniach wymiernych. POZIOM PODSTAWOWY 2. Wyrażenia algebraiczne dodano 1. Rozwiązywanie układów równań prowadzących do równania kwadratowego. 2. Rozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu wielomianu na czynniki. 3. Wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną w równaniach i nierównościach typu: x a = b, x a < b, x a b. 3. Równania i nierówno wności 1. Wykorzystywanie interpretacji geometrycznej układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. 2. Korzystanie z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x 3 = 8. 16
ZMIANY W PODSTAWIE PROGRAMOWEJ Z MATEMATYKI Najważniejsze zmiany: usunięto 1.Sporządzanie wykresów funkcji spełniających podane warunki. usunięto usunięto POZIOM PODSTAWOWY 4. Funkcje 6. Trygonometria 7. Planimetria dodano 1.Interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji liniowej (postaci kanonicznej, ogólnej). 2.Posługiwanie się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym. dodano 1.Wykorzystanie definicji i wyznaczanie wartości funkcji sinus, cosinus i tangens katów o miarach od 0 do 180. dodano 1. Korzystanie ze związków między styczną a cięciwą okręgu. 1. Własności okręgów stycznych. 2. Korzystanie z własności z funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych. 17
ZMIANY W PODSTAWIE PROGRAMOWEJ Z MATEMATYKI Najważniejsze zmiany: usunięto 1.Posługiwanie się równaniem okręgu. 2.Wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej. usunięto POZIOM PODSTAWOWY 8. Geometria na płaszczyp aszczyźnie kartezjańskiej 9. Stereometria dodano 1.Znajdowanie obrazów niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu. dodano 1. Przekrój prostopadłościanu płaszczyzną. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. usunięto dodano 1. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. 2. Wykorzystywanie własności prawdopodobieństwa. 1. Obliczanie średniej ważonej i odchylenia standardowego zestawu danych (także danych pogrupowanych). 2. Przy zliczaniu obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych dodano do reguły mnożenia, regułę dodawania. 18
ZMIANY W PODSTAWIE PROGRAMOWEJ Z MATEMATYKI Najważniejsze zmiany: 1. 2. POZIOM ROZSZERZONY - dodano 5.. Ciągi 1 1 1.Obliczanie granic ciągów, korzystając c z granic ciągów w typu, oraz z twierdzeń o działaniach aniach na granicach ciągów. n 2 n 2.Rozpoznawanie szeregów geometrycznych ych zbieżnych i obliczanie ich sum. 6.. Trygonometria 1.Stosowanie wzorów w na sinus i cosinus sumy i różnicy r kątów, k sumę i różnicr nicę sinusów w i cosinusów w kątów. k 1. 2. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. 1.Obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego. 2.Korzystanie z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. 1. 4. Rachunek różniczkowyr 1.Obliczanie granic funkcji (i granic jednostronnych), korzystając c z twierdzeń o o działaniach aniach na granicach i z własnow asności funkcji ciągłych. 2.Oblicza Obliczanie pochodnych funkcji wymiernych. 3.Korzystanie z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej. 4.Korzysta Korzystanie z własnow asności pochodnej do wyznaczania przedziałów w monotoniczności ci funkcji. 5.Znajd Znajdowanie ekstremów funkcji wielomianowych i wymiernych. 6.Stosowanieowanie pochodnych do rozwiązywania zywania zagadnień optymalizacyjnych. 6. 19
OPIS ARKUSZA Z MATEMATYKI DLA POZIOMU PODSTAWOWEGO Arkusz dla poziomu podstawowego Składał się będzie z trzech grup zadań I grupa - zawiera zadania zamknięte. Dla każdego z tych zadań podane są cztery odpowiedzi, z których jedna jest prawdziwa. Każde zadanie z tej grupy jest punktowane w skali 0-1. Zdający wskazuje właściwą odpowiedź, zaznaczając swoją decyzję na karcie odpowiedzi. II grupa - zawiera zadania otwarte krótkiej odpowiedzi. Zdający podaje krótkie uzasadnienie swojej odpowiedzi. Zadania z tej grupy punktowane są w skali 0-2. III grupa - zawiera zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi. Zadania te wymagają starannego zaplanowania strategii rozwiązania oraz przedstawienia sposobu rozumowania i są punktowane w skali 0-4, 0-5 albo 0-6. 20
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM 21
Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 20 (0 1) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10, jest A. 25 B. 24 C. 21 D. 20 WYKORZYSTANIE I INTERPRETOWANIE REPREZENTACJI Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, nie wymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania. Rozwiązanie C 22
Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 43 (0 2) Wykaż, że prawdziwa jest nierówność 250 + 1+ 250 1< 226. ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na a± b oraz 2 2. ( ) 2 a b Zadanie 44 (0 5) W roku 2015 na uroczystości urodzinowej ktoś spytał jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: jeżeli swój wiek sprzed 27 lat pomnożę przez swój wiek za 15 lat, to otrzymam rok swojego urodzenia. Oblicz, ile lat ma ten jubilat. MODELOWANIE MATEMATYCZNE Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą. 23
OPIS ARKUSZA Z MATEMATYKI DLA POZIOMU ROZSZERZONEGO Arkusz dla poziomu rozszerzonego Składał się będzie z trzech grup zadań I grupa - zawiera zadania zamknięte. Dla każdego z tych zadań zdający wskazuje właściwą odpowiedź, zaznaczając swoją decyzję na karcie odpowiedzi. Zadania punktowane są w skali 0-1. II grupa - zawiera zadania otwarte krótkiej odpowiedzi w tym zadania z kodowaną odpowiedzią. Zadania z tej grupy punktowane są w skali 0-2, 0-3 albo 0-4. W zadaniach z kodowaną odpowiedzią zdający udziela odpowiedzi wpisując żądane cyfry otrzymanego wyniku do odpowiedniej tabeli. Ocenie podlega tylko zakodowana odpowiedź. III grupa - zawiera zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi. Rozwiązując zadania z tej grupy, zdający ma wykazać się umiejętnością rozumowania oraz dobierania własnych strategii matematycznych do nietypowych warunków. Zadania te punktowane są w skali 0-5, 0-6 albo 0-7. 24
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE ROZSZERZONYM 25
Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym y y = x 3 4 3 2 y = x 3 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 y = x 3 4 26
Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadanie 12 (0-2) 4 Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x) = 2x + 15 dla wszystkich 6 x2 liczb rzeczywistych x takich, że x 6 i x 6. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x =1. WYKORZYSTANIE I INTERPRETOWANIE REPREZENTACJI Zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych 27
Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadanie 12a (0-2) 4 Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x) = 2x + 15 dla wszystkich 6 x2 liczb rzeczywistych x takich, że x 6 i x 6. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x =1. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonego wyniku. Rozwiązanie: Należy zakodować cyfry: 2, 9, 6. 28
Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadanie (0-7 p.) - zadanie na optymalizację Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. \W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek). Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość. MODELOWANIE MATEMATYCZNE Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych. 29
Rozwiązanie Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym Oznaczmy literąxdługośćboku kwadratowych naroży. Podstawa pudełka ma wymiary ( 80 2x) x ( 50 2x). Wysokośćpudełka jest równa x. Zatem objętość wyraża się wzorem V = 80 2x 50 2x x, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 czyli V = 4000 160 x 100 x+ 4 x x = 4 x 65 x + 1000 x dla 0< x < 25. ( ) 3 2 Rozważmy funkcję f x = x 65x + 1000x określonądla każdej liczby rzeczywistej x. Obliczamy pochodnątej funkcji: f ( x) = 3x2 130x+ 1000. Następnie znajdujemy miejsca zerowe tej pochodnej: x x = 10, = 33 1 3 1 2. 30
Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym Rozwiązanie c.d. Ponadto: 100 w każdym z przedziałów,10 oraz,, f ( x) > 0 f ( x) < 0 100 3 w przedziale 10,. ( ) Zatem funkcja fjest rosnąca w każdym z przedziałów oraz 100, + i malejąca w przedziale 10, 100. 3 ( ) = ( ) ( ) Ponieważ V x 4 f x dla x 0,25, więc w przedziale funkcja V ( x) ma ekstremum w tym samym punkcie, w którym funkcja f ( x). Stąd wynika, że w punkcie x = 10 funkcja V przyjmuje wartośćnajwiększą. Szukana objętośćjest zatem równa V = ( 80 20 3 ) ( 50 20) 10 = 18000cm. 3 3 (,10 ( 0,25) 31
Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadanie 1. Oblicz granicę ciągu: 3n + 7 3n 4 lim + n 8 n 4 6 n 5 + +. Zadanie 1.a Uzasadnij, że 3n + 7 3n 4 7 lim + = n 8 n 4 6 n 5 + + 8. 32
W przygotowaniu do egzaminu maturalnego w 2015 roku warto korzystać z ogólnie dostępnych, wzorcowych materiałów Informatory o egzaminie maturalnym od roku szkolnego 2014/2015 z poszczególnych przedmiotów: dostępne od lipca 2013 r. zawierają opis egzaminu zawierają przykładowe zadania wraz z rozwiązaniami. www.cke.edu.pl 33
INFORMATORY PRZEDMIOTOWE 34 34
W przygotowaniu do egzaminu maturalnego w 2015 roku warto korzystać z ogólnie dostępnych, wzorcowych materiałów Przykładowe zestawy zadań z poszczególnych przedmiotów: dostępne od grudnia 2013 r. zawierają przykładowe zadania wraz z rozwiązaniami i omówieniem dostępne zestawy standardowe i dostosowane (dla zdających dysfunkcyjnych). www.cke.edu.pl 35
( a n ) Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. W przygotowaniu do egzaminu maturalnego w 2015 roku warto korzystać z ogólnie dostępnych, wzorcowych materiałów 36
W przygotowaniu do egzaminu maturalnego w 2015 roku warto korzystać z ogólnie dostępnych, wzorcowych materiałów Zbiór przykładowych zadań z matematyki na poziomie rozszerzonym - zbiór liczy ponad 20 przykładowych zadań wraz z rozwiązaniami. www.cke.edu.pl 37
W przygotowaniu do egzaminu maturalnego w 2015 roku warto korzystać ogólnie dostępnych, wzorcowych materiałów 38
W przygotowaniu do egzaminu maturalnego w 2015 roku warto pamięta tać, że: 1. Około 15 grudnia 2014 r. CKE udostępni przykładowe arkusze egzaminacyjne z wszystkich przedmiotów, które będzie można wykorzystać do przeprowadzenia tzw. próbnej matury. 2. Od połowy października br. do końca kwietnia 2015 r. przeprowadzane zostaną szkolenia dla egzaminatorów egzaminu maturalnego z matematyki; szczegółowe informacje pojawią się wkrótce na stronie internetowej CKE i komisji okręgowej. 3. W okresie od połowy października do końca listopada br., oprócz tej konferencji, odbędzie się jeszcze 48 konferencji w całym kraju. 39
W przygotowaniu do egzaminu maturalnego w 2015 roku warto pamięta tać, że: 4. 25-26 października br. CKE wspólnie z Ośrodkiem Rozwoju Edukacji zorganizuje warsztaty dla 120 liderów nauczycieli, którzy następnie od listopada br. do lutego 2015 r., wspólnie ze 120 doradcami metodycznymi współpracującymi dotychczas z CZEM, przeszkolą nauczycieli matematyki liceów i techników na terenie danego województwa. 5. W listopadzie br. uruchomiona zostanie strona internetowa, na której zamieszczone zostaną materiały dotyczące nauczania matematyki opracowane przez różne podmioty (CKE, IBE, ORE, stowarzyszenia nauczycieli matematyki) oraz informacje o projektach dotyczących edukacji matematycznej; na stronie będzie również uruchomione forum dla nauczycieli matematyki. 40
Dziękuj kujęza uwagę 41