matematyka dla opornych i ich korepetytorów michalina malinowska Matematyka matura dla opornych poziom podstawowy zestaw I
Wszelkie prawa zastrzeżone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną, a także kopiowanie książki na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji. Projekt okładki: Michalina Malinowska Skład: Michalina Malinowska ISBN: 978-8-90990-0-8 Copyright Michalina Malinowska
Dlaczego ludzie uczą się matematyki? Aby nauczać matematyki innych. Hugo Steinhaus
matematyka: matura dla opornych spis treści wstęp rozkład materiału 7 co już potrafię - zestaw I 8 gdy chcesz powrócić do podstaw 7 gdy szukasz szybkiej powtórki 76 gdy chcesz dobrze zdać maturę 78 gdy lubisz wyzwania 8 gdy potrzebujesz dowodu 8 odpowiedzi 5 86
wstęp 5 wstęp Dla większości maturzystów obowiązkowa matura z matematyki to zło konieczne, coś co trzeba zdać a następnie o tym zapomnieć. Nie chcą więc spędzać każdej wolnej chwili zmagając się z dziesiątkami zadań, z których żadne nie pojawi się na egzaminie. W zasadzie to chcą zdać/dobrze zdać maturę przy możliwie jak najmniejszej liczbie rozwiązanych zadań. A gdy liczy się jakoś a nie ilość to przygotowane przeze mnie repetytorium sprawdzi się doskonale. Matematyka: matura dla opornych to zbiór 95 zadań, umożliwiających powtórkę całego wymaganego na maturze materiału. Zadania opracowałam na podstawie materiałów udostępnionych przez CKE oraz oficjalnych arkuszy maturalnych, są więc dostosowane do aktualnych wymogów oraz standardów. Zrezygnowałam jednak z formy testowej moim zdaniem ważniejsze od nauki dopasowywania otrzymanych wyników do podanych odpowiedzi jest to, by uczniowie zrozumieli istotę zadań oraz poznali schematy ich rozwiązywania. Zamieszczone w repetytorium zadania są różnorodne, dlatego ze zbioru mogą korzystać zarówno zatwardziali humaniści, oraz ci, którzy matematykę lubią i rozumieją. Niektóre zadania umożliwiają powrót do korzeni są powtórką materiału przerabianego w gimnazjum a nawet w szkole podstawowej. Czasami skupiają się na oczywistych oczywistościach kwestiach często nie tłumaczonych przez nauczycieli bo to przecież oczywiste i każdy to wie. Z mojej wieloletniej praktyki wynika jednak, że dla uczniów oczywiste oczywistości wcale nie są tak oczywiste i lepiej (nawet narażając się na śmieszność i protekcjonalne spojrzenia) im o nich wspomnieć. Inne są typowymi, schematycznymi zadaniami maturalnymi, zadaniami pewniakami dzięki ich rozwiązaniu uczeń oswoi się z tym, co go czeka w maju. Mając jednak na uwadze to, że każde drobne odchylenie od schematu czy użycie innego sformułowania w poleceniu może powodować, że proste zadanie staje się problemem nie do rozwiązania, czasami prezentuję je w dość niekonwencjonalnej formie. Dzięki temu uczeń nie tylko uczy się je rozwiązywać, ale także myśleć i kombinować. Osobną grupę zadań stanowią dowody, tych w zbiorze jest aż ich przykładowe rozwiązania zamieściłam na końcu książki, w dziale z odpowiedziami. Szczególną uwagę polecam zwrócić na dowody na podzielność liczb oraz algebraiczne tak naprawdę to nie są one trudne, jak już się zrozumie, o co w nich chodzi. A zrozumieć warto, bo co roku pojawiają się one na egzaminie i co roku są wyzwaniem dla wielu maturzystów (w 0 roku zadanie tego typu rozwiązało zaledwie 8% abiturientów). Ponadto w repetytorium nie brakuje zadań z modelowania matematycznego (słynnych i oklepanych pociągów, samochodów, turystów ) także w nowym wydaniu (zgodnym z przykładami zamieszczonymi w Zbiorze zadań maturalnych z matematyki udostępnianym przez CKE) oraz ambitniejszych zadań wymagających niekonwencjonalnego podejścia oraz matematycznej biegłości i pewności siebie.
6 wstęp Rozwiązanie wszystkich zadań zajmuje około 50 godzin. Jeżeli więc jesteś korepetytorem to pamiętaj o tym planując swoją pracę z uczniem. Jeżeli nie masz tyle czasu możesz pominąć niektóre zadania. By ułatwić ci wybór tych najważniejszych spośród ważnych na końcu książki zamieściłam przykładowe listy zadań, których rozwiązanie polecam. W zależności od poziomu zaawansowania oraz czasu jakim dysponuje twój uczeń możesz wybrać wariant najbardziej dostosowany do jego potrzeb. Jeżeli któryś z Twoich uczniów zdaje starą maturę, również może korzystać z tego repetytorium, ponieważ znajduje się w nim kilka zadań zgodnych z poprzednimi standardami. Zadania te wyróżnione są kolorem zielonym, więc łatwo je odróżnić od pozostałych. Najlepsze efekty uczniowie osiągają korzystając z pierwszego oraz drugiego zestawu zadań (który ukaże się niebawem). Oba zawierają identyczne zadania, choć oczywiście z innymi wynikami. Pierwszy zestaw możesz wykorzystać podczas korepetycji, rozwiązując go razem z uczniem, drugi natomiast pozostawić uczniowi do samodzielnego, równoległego rozwiązywania. Dzięki temu lepiej utrwali i zapamięta przerabiany materiał. Brak samodzielnego myślenia oraz przyzwyczajenie do schematów to dwa główne powody dla których matury z matematyki nie zdaje co roku parędziesiąt tysięcy osób. Kolejny to niechęć do tego przedmiotu głównie wynikająca z zaniedbań sięgających często czasów szkoły podstawowej. Wiadomo: jak się czegoś nie rozumie to trudno to też polubić. Dlatego mam nadzieję, że wszystko to, co oferuje przygotowane przeze mnie repetytorium, czyli gruntowną powtórkę, odświeżanie starych i zdobywanie nowych wiadomości, pozwoli Twoim uczniom nie tylko dobrze zdać maturę, ale także lepiej zrozumieć matematykę, i kto wie może nawet polubić.
rozkład materiału 7 rozkład materiału liczby rzeczywiste - 50 czas: 5,5 h wyrażenia algebraiczne 5-6 czas:,5 h równania i nierówności 65-90 czas: h funkcje 9-70 czas: h ciągi 7-9 czas:,5 h funkcje trygonometryczne 0 - czas:,5 h planimetria - 86 czas: 7,5 h geometria analityczna 87 - czas: h stereometria - 6 czas: 5 h statystyka i rachunek prawdopodonieństwa 6-95 czas:,5 h razem: 95 czas: 50 h
8 co już potrafię - zestaw I co już potrafię zestaw I Oblicz: Oblicz zachowując kolejność wykonywania działań: + 9 + 5 + 7-5 - 8 + (- 7) - 5 - + - - + 5 5 - (- 9) - 7 - (- ) 56 : 7-5 : (- ) + (-8) Oblicz, zachowując kolejność wykonywania działań: Oblicz, nie używając kalkulatora: (8 - ) + [8 : (- ) + 0] 0,5 0, 0,8 ( - 8) 5 Oblicz: 6 Oblicz: 7 5 8 5 6,75 5 8 9 6 7 8 6,5 5 6 0 6 8 5 5 6, 7
co już potrafię - zestaw I 9 7 Oblicz: 5 5 6 (- ) 9 7 ( ) 7 8 8 Oblicz: 9 Oblicz: 7 7,5, 0 0 Wynikiem jakiego działania jest: Jakim procentem liczby 5 jest liczba? Jakim procentem liczby jest liczba 5? suma iloczyn różnica iloraz Ile wynosi 5% z 80? Znajdź liczbę o % większą od liczby 60. Dane są dwie liczby rzeczywiste a i b: Liczba a jest o 5% większa od liczby b. Ile wynosi liczba b? Zapisz liczbę o 8% mniejszą od liczby 50. Wyznacz liczbę, której % jest równe 6. Liczba a stanowi 75% liczby b. Jakim procentem liczby a jest liczba b? W pewnej gildii w grze internetowej RPG stosunek liczby wojowników do elfów i magów wynosi odpowiednio 5 : 8 : 7. Jakim procentem wszystkich graczy w tej gildi są magowie?
0 co już potrafię - zestaw I W pewnej klasie jest trzy razy więcej dziewczyn niż chłopców. Jaki procent wszystkich uczniów tej klasy stanowią chłopcy? 5 Karolina za połowę swoich oszczędności kupiła grę komputerową. 0 % tego, co jej pozostało przeznaczyła na książki. Ile procent oszczędności pozostało Karolinie? 6 Cenę gry komputerowej obniżono o 0%. Po miesiącu ponownie obniżono jej cenę o 0%. O ile procent łącznie obniżono cenę tej gry? 7 Oblicz: 8 Oblicz: 9 Oblicz nie używając kalkulatora: 8 7 576 0,005-0,008 05,, 7 9 5 6 6 6 00 80 0 Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: Włącz czynnik pod znak pierwiastka: 80 5 8 9 + 9-5
co już potrafię - zestaw I Usuń niewymierność z mianownika: 5 - - 5 Oblicz, stosując wzory skróconego mnożenia: 5 ( 5 - )( + 5) ( + ) 6 Oblicz korzystając z praw działań na pierwiastkach: ) 6 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność: ( 8 5 + 5 5 7 + 5 5( + 5 ) 5 ( + ) 5-5+ 5 + 6-8 ( 6 - ) ( 5 5 5 5 7 Oblicz: 8 + 7 9 + 06 ) < 05 Zapisz w postaci potęgi liczby : 6 8
co już potrafię - zestaw I 8 Zapisz w postaci potęgi liczby : 7 9 9 7 9 9 Zapisz w postaci potęgi liczby 5: 5 5 65 5 5 65 5 5 5 0 Która z podanych liczb jest większa? Zapisz liczby używając notacji wykładniczej: 7 9 czy 7 50 99 czy 7 5000000 000 0,00000009 0,00005 Oblicz: 8 7 6 + 6 7 9 7 ( ) 0 0 5 0 7 6 + 7 7 7 6 + 7 5 ( + )[ 7 -( ) ] [( + 5) - ( 5 - ) ] 8
co już potrafię - zestaw I Przedstaw wyrażenie w postaci potęgi liczby a: 5 Oblicz: a - ( ) ( a a 7 ) a Wykaż, że prawdziwa jest nierówność: 0 + + 0 - < 6 log log 8 log 5 5 log 8 6 6 Oblicz: log00 + log5 log 5 00 - log 5 0 log 7 7 Oblicz: 7 log 7 5 log 5 7 - log 8 Korzystając z definicji logarytmu określ jakie wartości może przyjmować x: log x 7 log ( - x) log 5 x log - log 9 + log log 5 (x - 9) 9 Oblicz: 0 Oblicz: log 8 + log 5 log log 6 log 5 5 log 9 + log 8 log 8
co już potrafię - zestaw I Wyznacz wartość x: Ile wynosi reszta z dzielenia liczby 9 przez 8? log 6 x = log 5 (x + 5) = Wykaż, że liczba 5 + + 5 jest po- dzielna przez 7. log 9 log (x + ) - = 0 Wykaż, że liczba - + 5 jest podziel- na przez 6. 5 Które spośród wypisanych liczb po podzieleniu przez: 6 Które z wyrażeń są równe wyrażeniu 8 +,5? dają resztę? 7 7 9 5 8 5 dają resztę? 5 7 8 0 9( + ) 8 + 9 9( + ) 7 Które z podanych równości są nieprawdziwe? ( 5 ) = 5-7 = - 7 7 = 7 (-) = - - = 5 5 = (-5) 5 = - - - 7 = 7
co już potrafię - zestaw I 5 8 Liczbę 7, zaokrąglij do cyfry jedności oraz dziesiątek. Dla obu zaokrągleń oblicz błąd względny i bezwzględny przybliżenia a t akże określ typ przybliżenia (przybliżenie z nadmiarem bądź niedomiarem). 9 Liczba 0 jest przybliżeniem liczby x. Błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,8. Wyznacz liczbę x (rozważ dwa przypadki). 50 Liczba jest przybliżeniem z niedomiarem liczby x. Błąd względny tego przybliżenia wynosi 0%. Oblicz wartość x. 5 Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych: 5 Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych (podaj konieczne założenia): liczbę o pięć większą od a liczbę parzystą liczbę trzy razy większą od b liczbę nieparzystą liczbę o sześć mniejszą od c trzy kolejne liczby naturalne liczbę cztery razy mniejsza od d liczbę dwucyfrową liczbę, która stanowi 75% liczby e liczbę podzielną przez 7 liczbę o 5% większą od liczby f liczbę, która dzieląc się przez daje resztę 5 Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla a = i a = - a - a a + 5 - a + (- a)
6 co już potrafię - zestaw I 5 Uporządkuj jednomiany: - a b (-5) 5 c c - c (-5) (- d ) (-) d - 55 Wyciągnij największy wspólny czynnik przed nawias: 9a + 5a - a - 50c - 75c 5 + 5c 6 6a b - ab 8 + 8a b x x 5 8 x 56 Wyznacz ze wzoru: 57 Wyznacz wartość b wiedząc, że: wartość a a a = - 0,5b =,a wartość t v = s t b = b + a wartość a q = b - ac a b + 7a = ab 58 Zapisz w postaci sumy algebraicznej: (a + b) ( c - 5d) ( c + d) (a + b) (a - b) (7a - b) (c + d) (d - c)
co już potrafię - zestaw I 7 59 Zapisz w postaci iloczynowej: a + ab + b 9c - c d + d 6a + 6 ab + b c + d - cd a + ab + b - 5c + 0cd - d 60 Wykonaj działania i zredukuj wyrazy podobne: 6 Wykonaj działanie: 6a - 5a - a + 7a a + 5 a - b (0,5b - 0b) - b ( - b) b + - b - b + b (a + b)(a - b) - (b - a)(a + b) a + b a ( ) b - a (a + a - )(a - a + ) a a - b a + b b 6 Dana jest liczba x taka, że: x ϵ <- 5, 5) (5, + ) 6 Zaznacz przedział na osi liczbowej: czy x = 5? czy x = 50? x ϵ (-, - 7 > (, + ) x ϵ (-, 5) / <, 7 >
8 co już potrafię - zestaw I 6 Jaki przedział zaznaczono na osi liczbowej? -5-0 - 65 Sprawdź, czy liczba x jest rozwiązaniem równania: x = - 5 - x + = x - 7 x = - x = x + x = 6x + = 5 - x 66 Rozwiąż równanie: 5x + 5 = 0 5 x = 6 - (x + ) = (,5x + 5) x + 6 = x + x + x - = x + 6 x - = x 67 Rozwiąż równanie korzystając z własności iloczynu: x(x - )(x + 9) = 0 - x(x - 6) = 0 (x - 6)(x + ) = 0 (x - 8)(x + 6) = 0