Programowanie dynamiczne

Programowanie dynamiczne Programowanie dynamiczne jest jedną z technik matematycznych, którą można zastosować do rozwiązywania takich problemów jak: zagadnienie dyliżansu, zagadnienie finansowania inwestycji, optymalizacja zapasów, alokacja zasobów, wymiana majątku trwałego itd. Zagadnienie dyliżansu - poszukiwanie optymalnej drogi w sieci Podział całej trasy na etapy, a następnie sekwencyjne rozwiązywanie, aż do znalezienia rozwiązania optymalnego. Stosuje się tu tzw. zasadę optymalności Bellmana, w myśl której "Polityka optymalna ma tę własność, że niezależnie od początkowego stanu i początkowej decyzji pozostałe decyzje muszą stanowić politykę optymalną ze względu na stan wynikający z pierwszej decyzji." 1

Oznacza to, iż optymalne rozwiązanie zagadnienia z zakresu programowania dynamicznego, ma tę własność, że optymalne rozwiązanie dla k-tego etapu jest równocześnie rozwiązaniem optymalnym dla etapów k+1, k+2, N. Tak więc optymalne rozwiązanie dla etapu pierwszego stanowi optymalne rozwiązanie dla całego problemu. Problem rozwiązuje się rozpoczynając od poszukiwania rozwiązania dla ostatniego etapu N, a następnie cofając się poszukuje się rozwiązania dla etapu N-1. Uzyskane w ten sposób rozwiązanie dla etapów N-1 oraz N jest optymalne bez względu na to, w jaki sposób osiągnięto etap N-1. Powtarzając w powyższy sposób etap po etapie dochodzimy do rozwiązania optymalnego dla pierwszego etapu, a więc i dla całego problemu. Przykład: Kowalscy jadą samochodem na urlop nad morze. Cała trasa została podzielona na kilka etapów. Odległości między poszczególnymi miastami, przez które można przejechać jadąc 2

od miejsca zamieszkania 1 do miejsca pobytu nad morzem 7 są przedstawione poniżej. Znaleźć najkrótszą trasę przejazdu z miejsca 1 do 7. Etap I Etap II Etap III Etap IV 2 5 1 40 3 7 6 4 Krok I: Załóżmy, że Kowalscy dotarli do etapu III. W tej sytuacji odległość od celu wynosi: od miasta 5: od miasta 6: d 5,7 = 70 km d 6,7 = 50 km w zależności od tego, w którym z miast w etapie III zatrzymano się. 3

Krok II: Cofamy się o jeden etap. Odległość miast w etapie II od celu (miasta 7) wynosi: od miasta 2: d 2,5 + d 5,7 = d 2,5,7 120 + 70 = 190 km d 2,6 + d 6,7 = d 2,6,7 120 + 50 = 170 km od miasta 3: d 3,5 + d 5,7 = d 3,5,7 100 + 70 = 170 km d 3,6 + d 6,7 = d 3,6,7 90 + 50 = 140 km od miasta 4: d 4,5 + d 5,7 = d 4,5,7 70 + 70 = 140 km d 4,5 + d 6,7 = d 4,6,7 130 + 50 = 180 km 4

Tak więc: z miasta 2 do 7 należy wybrać drogę d 2,6,7 =170 km; z miasta 3 do 7 drogę d 3,6,7 =140 km; z miasta 4 do 7 drogę d 4,5,7 =140 km. Krok III: Cofamy się o jeden etap. Odległość miast w etapie I od celu wynosi: d 1,2 + d 2,6,7 = d 1,2,6,7 50 + 170 = 220 km od miasta 1: d 1,3 + d 3,5,7 = d 1,3,5,7 40 + 140 = 180 km d 1,4 + d 4,5,7 = d 1,4,5,7 30 + 140 = 170 km Z miasta 1 do 7 należy wybrać drogę d 1,4,5,7 =170 km. 5

Etap I Etap II Etap III Etap IV 2 5 1 40 3 7 6 4 Załóżmy, że pomyliśmy drogi i wyruszając z miasta 1 zamiast do 4 pojechaliśmy do 3. Jak należy zaplanować dalszą trasę? od miasta 3: d 3,5 + d 5,7 = d 3,5,7 100 + 70 = 170 km d 3,6 + d 6,7 = d 3,6,7 90 + 50 = 140 km 6

Wybieramy drogę d 3,6,7 liczącą 140 km. Zagadnienie finansowania inwestycji Przykład: Janusz Owsianko parający się produkcją płatków śniadaniowych, postanowił zainwestować w nową linię technologiczną. Zamierza w tym celu wziąć kredyt w wysokości 5 mln zł. Miał do wyboru trzy linie umownie nazwane A, B i C. Każda z tych linii daje jednakowe zyski w przeliczeniu na 1 t płatków. Miesięczne zdolności produkcyjne w zależności od linii są następujące: Zdolności Nakłady (w mln zł) produkcyjne (w setkach t) 0 1 2 3 4 5 A 0 1 2 2 3 5 B 0 4 4 5 5 6 C 0 4 5 5 7 9 Jak należy rozlokować nakłady, aby zoptymalizować zdolności produkcyjne zakładu? 7

Krok I: Załóżmy, że jedynym rozwiązaniem jest zakup linii produkcyjnej C; biorąc pod uwagę miesięczną zdolność produkcyjną: Zdolności Nakłady (w mln zł) produkcyjne (w setkach t) 0 1 2 3 4 5 C 0 4 5 5 7 9 należy całą kwotę kredytu, a zatem 5 mln zł przeznaczyć na zakup tej linii, co da zdolność produkcyjną na poziomie 9 setek ton. Krok II: Załóżmy teraz, że dostępne są dwie linie produkcyjne C i B i całą kwotę dzielimy między te linie: (1) Dzielimy 5 mln: C(5) + B(0) = 9 + 0 = 9 C(4) + B(1) = 7 + 4 = 11 MAX C(3) + B(2) = 6 + 4 = 10 C(2) + B(3) = 5 + 5 = 10 C(1) + B(4) = 4 + 5 = 9 C(0) + B(5) = 0 + 6 = 6 8

(2) Dzielimy 4 mln: C(4) + B(0) = 7 + 0 = 7 C(3) + B(1) = 5 + 4 = 9 MAX C(2) + B(2) = 5 + 4 = 9 MAX C(1) + B(3) = 4 + 5 = 9 MAX C(0) + B(4) = 0 + 5 = 6 (3) Dzielimy 3 mln: C(3) + B(0) = 5 + 0 = 5 C(2) + B(1) = 5 + 4 = 9 MAX C(1) + B(2) = 4 + 4 = 8 C(0) + B(3) = 0 + 5 = 5 (4) Dzielimy 2 mln: C(2) + B(0) = 5 + 0 = 5 C(1) + B(1) = 4 + 4 = 8 MAX C(0) + B(2) = 0 + 4 = 4 (5) Dzielimy 1 mln: C(1) + B(0) = 4 + 0 = 4 MAX C(0) + B(1) = 0 + 4 = 4 MAX 9

Krok III: Rozpatrzymy wszystkie możliwe kombinacje podziału kwoty kredytu 5 mln na linie C+B dołączając teraz nakłady na linię A: Linia 0 1 2 3 4 5 C+B 0 4 8 9 9 11 A 0 1 2 2 3 5 Istnieje 6 wariantów podziału kwoty 5 mln kredytu pomiędzy linie C+B oraz A, które dają następujący podział zdolności produkcyjnych: (C+B)(0) + A(5) = 0 + 5 = 5 (C+B)(1) + A(4) = 4 + 3 = 7 (C+B)(2) + A(3) = 8 + 2 = 10 (C+B)(3) + A(2) = 9 + 2 = 11 MAX (C+B)(4) + A(1) = 9 + 1 = 10 (C+B)(5) + A(0) = 11 + 0 = 11 MAX Janusz Owsianko powinien zainwestować: 3 mln w linie C i B oraz 2 mln w linię A; kwotę 3 mln przeznaczoną na linie C i B 10

dzielimy: 2 mln na C i 1 mln na B, co wynika z kroku II (3), czyli ostatecznie: 2 mln w C i 1 mln w B, 2 mln w linię A, bądź: całą kwotę 5 mln w linie C i B, a konkretnie 4 mln w C i 1 mln w B, co wynika kroku II (1). W obydwu wariantach dostanie maksymalne zdolności wytwórcze na poziomie 11 setek t płatków śniadaniowych w skali miesiąca. Rozwiązanie w EXCEL: Dynamiczne.xlsx, arkusz: Janusz Owsianko 11

Zadania do rozwiązania: Zad. 1. Kowalscy bardzo nie chcieli wracać do domu z wczasów, a że pogoda była piękna postanowili pojechać z miasta 7 do 1 najdłuższą trasą. Jaka to trasa i ile liczy km? Rozwiązanie: Trasa: 7-5-2-1; odległość 240 km. Zad. 2. Inwestor rozpoczynający pewne zadanie inwestycyjne, realizowane za pomocą czterech programów inwestycyjnych, które umownie nazwiemy I, II, III i IV musi podjąć decyzję bazując wyłącznie na kosztach jednostkowych (w tys. zł) wiążących się z każdym z programów. Koszty te przedstawia poniższe zestawienie. Koszty Nakłady (w mln) jednostkowe (w tys. zł) 0 1 2 3 4 I 100 85 75 60 50 II 100 70 62 52 40 III 100 90 80 70 60 IV 100 90 80 80 45 Jakie należy ponieść nakłady inwestycyjne na poszczególne programy kierując się kryterium minimalizacji kosztów jednostkowych? Rozwiązanie: 4 mln zł na inwestycję IV; minimalny koszt jednostkowy 45 tys. zł. 12