WARUNKI STANU GRANICZNEGO DLA OŚRODKÓW ROZDROBNIONYCH Katarzyna DOŁŻYK Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska, Politechnika Białostocka, ul. Wiejska 45 A, 5-5 Białystok Streszczenie: W latach 60-tych ubiegłego wieku zaroonowano wiele warunków stanu granicznego dla ośrodków rozdrobnionych. Większość warunków uwzględnia wływ ośredniego narężenia głównego na wytrzymałość i rzyjmuje liniową zależność wytrzymałości od wartości średniego ciśnienia. Przyjmując, że wytrzymałość ośrodka rozdrobnionego nie zależy od ośredniego narężenia głównego, wytrzymałość ośrodka rozdrobnionego może być określona warunkiem Coulomba-Mohra o dwóch arametrach: kohezji c i kącie tarcia wewnętrznego Ф. Ze względu na swoją rostotę warunek Coulomba-Mohra jest najczęściej wykorzystywany w raktyce inżynierskiej. Słowa kluczowe: ośrodki rozdrobnione, warunki stanu granicznego.. Wrowadzenie W ośrodkach rozdrobnionych o osiągnięciu stanu granicznego mogą wystąić rzyrosty odkształceń bez rzyrostu narężeń. Funkcję stanu narężenia, rzy którym nastęuje wyczeranie nośności ośrodka rozdrobnionego nazywa się warunkiem stanu granicznego. Warunek stanu granicznego dla ośrodków rozdrobnionych, trójfazowych musi być wyrażony w narężeniach efektywnych, a nie całkowitych. W ośrodkach rozdrobnionych odkształcenia nieodwracalne (lastyczne) ojawiają się na znacznie niższych oziomach narężeń niż oziom narężeń granicznych. W wielu modelach ośrodka rozdrobnionego utożsamia się jednak warunek lastyczności i warunek stanu granicznego (Gryczmański, 995). W latach 60 i 70-tych dwudziestego wieku, gdy rozwano teorię lastyczności i teorię stanów granicznych ośrodków rozdrobnionych, sformułowano wiele warunków stanu granicznego, aby jak najbardziej recyzyjnie oisać właściwości ośrodka oraz wykorzystać do rozwiązania odstawowych zagadnień mechaniki gruntów i fundamentowania (Drucker i Prager, 95; Houlsby, 986; Izbicki i Mróz, 975; Lade, 977; Lade i Duncan, 975; Matsuoka i Nakai, 974; Viladkar i in., 995). Ze względu na swoją rostotę najczęściej używanym w geotechnice warunkiem jest warunek Coulomba-Mohra sformułowany w 776 roku (Izbicki i Mróz, 975). Aarat trójosiowego ściskania umożliwia omiar ciśnienia cieczy w orach gruntu. Jednak ze względu na swoją konstrukcję umożliwia on badania tylko w warunkach równości dwóch narężeń głównych. Zatem możliwe są badania tylko rzy szczególnych ścieżkach narężenia. W warunkach trójosiowego ściskania narężenia romieniowe i obwodowe w róbce są równe ciśnieniu cieczy w komorze aaratu, a także są mniejsze od narężeń ionowych wywołanych obciążeniem ionowym, zaś w warunkach trójosiowego rozciągania narężenia ionowe są mniejsze od ciśnienia cieczy w komorze aaratu. Warunki łaskiego stanu odkształcenia, często sotykane w raktyce inżynierskiej, modelowane są w aaratach dwuosiowego ściskania (Wanatowski i Chu, 008). Dla ośrodków izotroowych warunek stanu granicznego może być wyrażony w narężeniach głównych lub w niezmiennikach. Zgodnie z tradycją, jako dodatnie rzyjmuje się narężenia ściskające i maksymalne wartości narężeń głównych oznacza się jako σ, minimalne jako σ, a ośrednie σ. W racy oisano najbardziej oularne warunki stanu granicznego. Kąt tarcia wewnętrznego jest funkcją stanu narężenia i tylko dla warunku Coulomba-Mohra jest arametrem materiałowym. Oisując stany graniczne innymi warunkami, tradycyjnie zdefiniowany kąt tarcia wewnętrznego w stanach łaskiego odkształcenia jest większy niż w stanach osiowej symetrii. W racy skuiono uwagę na gruntach sykich, dla których c = 0. Przyjęto, że ciśnienie w orach u = 0, zatem narężenia całkowite są równe narężeniom efektywnym. Autor odowiedzialny za koresondencję. E-mail: k.dolzyk@b.edu.l
Civil and Environmental Engineering / Budownictwo i Inżynieria Środowiska (0) -8. Tensor narężenia i niezmienniki Każdy symetryczny tensor narężenia może być zaisany jako suma części kulistej i dewiatorowej: σ = δ + s () gdzie = ( σ + σ + σ ) () jest średnim ciśnieniem hydrostatycznym, zaś s = σ δ () jest dewiatorem narężenia, natomiast deltę Kroneckera oznaczono symbolem δ. Podstawowe niezmienniki tensora narężenia to:.. Warunek Coulomba-Mohra Warunek Coulomba-Mohra dla gruntów sykich ma ostać ( σ + σ ) sinφ = cosφ σ σ (9) c Zakłada, że narężenie ośrednie nie wływa na osiągnięcie stanu granicznego. W rzestrzeni narężeń głównych jest to ostrosłu o otrójnej symetrii (rys. a). Dla gruntów sykich (c = 0) wierzchołek ostrosłua leży w oczątku układu wsółrzędnych. Na rysunku b okazano rzekroje łaszczyzną θ = const, zaś na rysunku c rzekroje łaszczyzną / x = 0,5; 0,75;,0 dla Ф = 0. Jako wartość ciśnienia odniesienia rzyjęto x = 00 kpa, to znaczy wartość równą ciśnieniu atmosferycznemu. I = σ + σ + σ (4a) = ( σ + σ + σ ) I = (4b) ( σ + σ + σ ) I = (4c) zaś dewiatora narężenia: J = 0 (5a) ( σ + σ + σ ) ( σ + σ + σ ) J (5b) = 6 ( + σ + σ ) ρ( σ + σ + ) J = σ σ + (5c) Kąt Lodego natomiast wyrażony jest za omocą równania: J = 7 J = θ arcsin arcsin (6) J w którym = J (7) jest także niezmiennikiem. W rzestrzeni narężeń głównych niezmienniki,, θ mają rostą interretację geometryczną (Dołżyk, 009). Do oisu stanu narężenia często używa się arametru b: σ σ b = (8) σ σ Dla trójosiowego ściskania (triaxial comression, TXC) θ = π / 6 i b = 0, dla trójosiowego rozciągania (triaxial extension, TXE) θ = π / 6 i b =, zaś w warunkach łaskiego stanu odkształcenia b 0,5-0,5 (Wanatowski i Chu, 008). W racy rzyjęto b 0,7 oraz θ = 5.. Warunki stanu granicznego Rys.. Warunek graniczny Coulomba-Mohra: a) w rzestrzeni narężeń głównych, b) w łaszczyźnie -, c) w łaszczyźnie oktaedrycznej.. Warunek Druckera-Pragera 4
Katarzyna DOŁŻYK W 95 roku Drucker i Prager (95) zaroonowali rosty warunek stanu granicznego w ostaci stożka oisanego na ostrosłuie Coulomba-Mohra lub wisanego w ostrosłu Coulomba-Mohra. Warunek Druckera- Pragera ma ostać: J κ I = Κ (0) gdzie: sinφ κ =, Κ = ( sinφ) 6c cosφ ( sin Φ) (a) dla stożka oisanego na ostrosłuie Coulomba-Mohra, zaś sin Φ κ =, Κ = ( + sin Φ) 6ccosφ ( + sin Φ) (b) dla stożka wisanego w ostrosłu Coulomba-Mohra (rys. a). Przekrój łaszczyzną θ = const jest rostą w łaszczyźnie - (rys. b), zaś w łaszczyźnie oktaedrycznej są to okręgi o romieniu zależnym od c, Φ, (rys. c)... Warunek Argyrisa Argyris w 97 roku zaroonował warunek stanu granicznego w ostaci (Zienkiewicz i Pande, 977): J gdzie: g ( θ ) I 0 κ () g = ( θ ) = m () ( + m) ( m) sin θ Parametr κ określa równanie (a), zaś m określa stosunek omiędzy romieniem owierzchni rzy trójosiowym rozciąganiu i ściskaniu. W rzestrzeni narężeń głównych jest to stożek nieobrotowy oisany na ostrosłuie Coulomba-Mohra (rys. ). Rys.. Warunek graniczny Druckera-Pragera: a) w rzestrzeni narężeń głównych, b) w łaszczyźnie -, c) w łaszczyźnie oktaedrycznej Rys.. Warunek graniczny Argyrisa: a) w rzestrzeni narężeń głównych, b) w łaszczyźnie -, c) w łaszczyźnie oktaedrycznej 5
Przyjmując, że kąt tarcia rzy trójosiowym ściskaniu jest równy kątowi tarcia rzy trójosiowym rozciąganiu można naisać: sin Φ m = (4) + sin Φ zaś 6 sinφ g ( θ ) = (5) 6 sinφ sin θ Przekrój łaszczyzną θ = const tworzą roste w łaszczyźnie - o różnym nachyleniu zależnym od θ (rys. b), zaś w łaszczyźnie oktaedrycznej jest krzywoliniową figurą o otrójnej symetrii (rys. c)..4. Warunek Matsuoka-Nakai Matsuoka i Nakai (974) odali warunek stanu granicznego dla ośrodków sykich w ostaci: Civil and Environmental Engineering / Budownictwo i Inżynieria Środowiska (0) -8 I I I = κ 0 (6) gdzie: κ = 9 + 8tanφ (7) W rzestrzeni narężeń głównych jest to stożek nieobrotowy o nieco innym kształcie niż stożek określony z warunku Argyrisa (rys. 4a). Graficzną interretację warunku w rzestrzeni narężeń głównych, w łaszczyźnie - i łaszczyźnie oktaedrycznej okazano na rysunku 4..5. Warunek Ladego Lade i Duncan (975) oraz Lade (977) zaroonowali warunek stanu granicznego, w którym uwzględniono fakt zależności stanu granicznego od wartości ciśnienia hydrostatycznego (Yang i in., 006). Warunek Ladego-Duncana ma ostać: = I κ I 0 (8) w którym arametr κ jest określony oniższym wzorem ( sin Φ) ( + sin Φ)( sin Φ) κ = (9) Rys. 4. Warunek Matsuoki-Nakai: a) w rzestrzeni narężeń głównych, b) w łaszczyźnie -, c) w łaszczyźnie oktaedrycznej W 977 roku Lade zaroonował warunek stanu granicznego zależny od dwóch arametrów. Warunek Ladego (977) ma ostać: m I I 7 = π (0) I a 6
Katarzyna DOŁŻYK Dwa arametry m i η określają kształt i wielkość warunku stanu granicznego zaś a = 00 kpa jest ciśnieniem atmosferycznym. Na rysunku 5 okazano kształt warunku w rzestrzeni narężeń głównych (rys. 5a), w łaszczyźnie - (rys. 5b) oraz w łaszczyźnie oktaedrycznej (rys. 5c). σ σ sinφ m = () σ + σ Definicja ta jest logiczna dla warunków rostoliniowych w łaszczyźnie -, dla warunków krzywoliniowych w łaszczyźnie - mobilizowana wartość kąta tarcia wewnętrznego Φ m jest funkcją nie tylko kąta θ, ale również wartości narężenia hydrostatycznego. Równanie () może być zaisane za omocą niezmienników,, θ w ostaci: ccosθ sin Φ m = () + sinθ W racy, wykorzystując warunek Argyrisa, okazano różnice mobilizowanej wartości kąta tarcia wewnętrznego, Φ m, w stanach łaskiego odkształcenia i stanach osiowej symetrii (trójosiowego ściskania lub trójosiowego rozciągania). Wartość mobilizowaną kąta tarcia wewnętrznego określoną w warunkach trójosiowego ściskania oznacza się rzez Ф, zaś w warunkach łaskiego stanu odkształcenia jako Ф PS. W warunkach łaskiego stanu odkształcenia wartość ośredniego narężenia (σ ) nie jest stała (Wanatowski i Chu, 008) odczas deformacji. Parametr (b) oisujący tę zależność waha się w granicach 0,5-0,0, a więc kąt θ zmienia się w granicach -7. Do dalszych obliczeń rzyjęto, że w łaskim stanie odkształcenia θ = 5. Warunek Argyrisa może być zaisany w ostaci: 6sin Φ = sin Φsin θ () Dla łaskiego stanu odkształcenia (θ = 5 ) = 6sin Φ sin Φ (4) zatem rzekształcając równanie () otrzymano Rys. 5. Warunek graniczny Ladego: a) w rzestrzeni narężeń głównych, b) w łaszczyźnie -, c) w łaszczyźnie oktaedrycznej W warunku Ladego-Duncana kąt Φ nie jest arametrem wytrzymałościowym, zatem warunek może być stosowany w obliczeniach komuterowych, a nie jest rzydatny w obliczeniach inżynierskich. 4. Płaskie stany odkształcenia Płaskie stany odkształcenia, tak często wystęujące w inżynierskiej raktyce, są szczególnie interesujące. Tradycyjnie wartość mobilizowaną kąta tarcia wewnętrznego definiuje równanie: sin Φ sinφ PS = (5) + sinθ a nastęnie sin Φcosθ sinφ PS = (6) ( sin Φsin θ ) + sin Φsinθ Ostatecznie w wyniku kolejnych rzekształceń otrzymano: sin Φ cosθ Φ PS = arcsin ( ) (7) sin Φsin θ + sin Φsinθ 7
Civil and Environmental Engineering / Budownictwo i Inżynieria Środowiska (0) -8 Na rysunku 6 okazano zależność Φ PS - Φ dla 0 Ф 40 rzyjmując θ = 5. Rys. 6. Zależność Φ PS - Φ Przy zastosowaniu waruneku Argyrisa wartość kąta tarcia wewnętrznego w łaskim stanie odkształcenia jest większa o 7-% od wartości otrzymanych w warunkach osiowej symetrii. W obliczeniach nośności ław fundamentowych na iaskach roonuje się zwiększenie wartości kata tarcia wewnętrznego wyznaczanego w aaracie trójosiowego ściskania o 0% (Bowles, 996). Przy innych warunkach otrzyma się nieco inne różnice, których nie analizowano w racy. Przyjmując warunek Coulomba-Mohra, kąty tarcia w stanach łaskiego odkształcenia i trójosiowego ściskania są sobie równe. 5. Podsumowanie i wnioski Najrostszym warunkiem stanu granicznego ośrodków rozdrobnionych jest warunek Coulomba-Mohra, ale jego rzyjęcie nie uwzględnia faktu, że większość gruntów wykazuje nieco większe wartości kątów tarcia wewnętrznego w warunkach łaskiego stanu odkształcenia, niż w warunkach osiowej symetrii. Bardziej skomlikowane warunki wymagają bardziej racochłonnych badań laboratoryjnych rowadzonych rzy różnych ścieżkach obciążenia. W konwencjonalnych aaratach trójosiowego ściskania, gdy róbki mają kształt walca i narężenia romieniowe są równe narężeniom obwodowym, nie jest możliwe rawidłowe określenie kształtu owierzchni stanu granicznego. W obliczeniach inżynierskich można wrowadzać korektę wartości kąta tarcia wewnętrznego dla stanów łaskiego odkształcenia rzy wartościach kąta otrzymanych z badań trójosiowego ściskania. Taka raktyka jest ogólnie rzyjęta w obliczeniach inżynierskich. Literatura Bowles J.F.(996). Foundation Analysis and Design, McGrow- Hill Publishing Comany, New York. Dołżyk K. (009). Model stanów efektywnych lastycznego łynięcia ośrodków rozdrobnionych. Rozrawa doktorska, Politechnika Białostocka, Białystok. Drucker D.C., Prager W. (95). Soil mechanics and lastic analysis on limit design. Q. J. Al. Math., Vol. 0, No., 57-65. Gryczmański M. (995). Wrowadzenie Do Oisu Srężysto- Plastycznych Modeli Gruntów. Wydawnictwo IPPT PAN, Warszawa. Houlsby G.T. (986). A general failure criterion for frictional cohesive materials. Soils and Foundations, Vol. 6, No., 97-0. Izbicki R., Mróz Z. (975). Metody Nośności Granicznej W Mechanice Gruntów I Skał. Polska Akademia Nauk. Instytut Państwowych Problemów techniki. Warszawa-Poznań. Lade P.V. (977). Elasto-lastic stress-strain theory for cohesionless soil with curved yeald surface. J. Geotech. Engineering Div., ASCE, Vol. 0 (GT 0), 07-05. Lade P.V. and Duncan J.M. (975). Elasto-lastic stress-strain theory for cohesionless soil. Int. J. Solids Structure, Vol., No., 07-05. Matsuoka H., Nakai T. (974). Stress deformation and strength characteristics of soil under three different rincial stresses. Proceedings of ISCE, No., 59-74. Viladkar M.N., Noorzaei J. and Goodbole P.N. (995). Convenient forms of yield criteria in elasto-lastic analysis of geological materials. Comuters & structures, Vol. 4, No., 7-7. Wanatowski D. and Chu J. (008). Effect of secimen rearation method on the stress-strain behavior of sand in lane-strain comression tests. Geotechnical Testing Journal, Vol., No. 4, 08-0. Yang X.Q., Fung W.H. and Cheng Y.M. (006). A note on the Lade-Duncan failure criterion. Geomechanics and Geoengineering: An International Journal, Vol., No. 4, 99-04. Zienkiewicz O.C., Pande G.N. (977). Some Useful Forms of Isotroic Yield Surfaces for Soil and Rock Mechanics. W: Finite Elements in Geomechanics, Wiley-Interscience, London 997, 79-90. FAILURE CRITERIA FOR GEOMATERIALS Abstract: Many failure criteria were roosed for geomaterials in the sixties of the 0th century. In most of them the influence of middle main stress is neglected and linear influence of hydrostatic ressure on failure is assumed. The most oular and simlest is the Mohr-Coulomb criterion of failure with two material failure arameters: angle of friction Ф and cohesion c. The Mohr-Coulomb criterion is most often used in engineering ractice. Pracę wykonano w Politechnice Białostockiej w ramach Pracy Statutowej nr S/WBiIŚ/5/0 8