Teoria strun i unifikacja Michał Spaliński Instytut Problemów Jadrowych im. Andrzeja Sołtana 19 maja 2006 Teoria strun i unifikacja
Abstrakt Teoria strun jest od lat jedyna propozycja teorii unifikujacej wszystkie oddziaływania i materię w ramach teorii kwantów. Postaram sie omówić obecny kształt teorii strun i jej znaczenie dla fizyki wysokich energii i kosmologii. Teoria strun i unifikacja 2
Plan Efektywne teoria pola i unifikacja Podstawowy teorii strun Jak grawitacja pojawia się w teorii strun Rozwiazania klasyczne i dualność Co dalej? Teoria strun i unifikacja 3
Wstęp Fundament: efektywna kwantowa teoria pola obejmujaca Model Standardowy i Ogólna Teorię Względności MS+OTW : Z S = d 4 x R g( 16πG + O(R2 ) + L MS +...) Kładac g µν = η µν + κh µν (gdzie κ 16πG) mamy Z S = d 4 x( 1 2 h µνv µνρλ h ρλ + 1 2 κh µνt µν + O(h 2 )) Ponieważ [κ] = L, to teoria jest nierenormalizowalna: ma sens jako rozwinięcie niskoenergetyczne: kolejne rzędy rachunku zaburzeń wymagaja kontrczłonów wyższych rzędów w krzywiźnie. Taki opis jest dobry o ile krzywizna jest mała względem κ. Granicę stosowalności efektywnej teorii pola MS+OTW wyznacza skala κ 1 (czyli skala Plancka M P = ( hc/g) 1/2 10 19 GeV). Analogia: teoria Fermiego efektywny opis oddziaływań słabych przy niskich energiach. Przy wysokich energiach ujawniaja się dodatkowe stopnie swobody (bozony W i Z). Teoria strun i unifikacja 4
Naturalne pytanie: jakie jest ultrafioletowe dopełnienie MS+OTW? Możliwość unifikacji biegnacych stałych sprzężenia sugeruje, że może się ono wiazać z unifikacja wszystkich oddziaływań MS+OTW. Teoria unifikujaca powinna: dać konsystentny kwantowy opis grawitacji który redukuje się do perturbacyjnej kwantowej teorii pola opartej na działaniu Einsteina-Hilberta; wyjaśnić efekty kwantowe czarnych dziur (np. ich entropię); wyjaśnić strukturę modelu standardowego (grupę cechowania, występowanie chiralnej materii, strukturę oddziaływań Yukawy), a także ew. supersymetrię. Wyjaśnić sens osobliwości OTW, w szczególności sens osobliwości Wielkiego Wybuchu. Teoria strun i unifikacja 5
Teoria Strun Teoria strun jest jedyna propozycja unifikujac a, która wytrzymała próbę czasu być może ona, lub jakaś jej modyfikacja, daje rozwiazanie problemu unifikacji. Teoria strun powstała w 1970 jako próba opisu oddziaływań silnych, ale już w 1974 roku okazało się, że jest teoria kwantowej grawitacji tzn. jest dopełnieniem ultrafioletowym dla perturbacyjnej kwantowej grawitacji. Teoria strun stanowi uogólnienie kwantowej teorii pola mechanika kwantowa tak szczególna teoria względności tak czastki punktowe nie Naturalna skala długości: skala Plancka l P musza być bardzo małe. Eksperymenty przy E << M P struny. = ( hg/c 3 ) 1/2 10 33 cm struny = ( hc/g) 1/2 10 19 GeV nie widza struktury Lekkie wzbudzenia strun można opisywać kwantowa efektywna teoria pola (zawierajac a grawitację, pola Yanga-Millsa i materię). Teoria strun i unifikacja 6
Struny relatywistyczne Czastka relatywistyczna opisana jest działaniem na linii świata, danym przez jej długość: Z S = mc 2 dτ p Z q η µν ẋ µ ẋ ν = mc 2 dt 1 v 2 /c 2 gdzie x µ (τ) zanurzenie linii świata w czasoprzestrzeni (µ = 0,... d). Struna relatywistyczna opisana jest działaniem na powierzchni świata, danym przez jej powierzchnię: S = 1 l 2 s Z q dτdσ det (η µν X µ X ν ) gdzie X µ (τ, σ) zanurzenie powierzchni świata w czasoprzestrzeni. a l s skala długości. W zmiennych σ ± = τ ± σ mamy (po ustaleniu cechowania) równania ruchu: + X µ = 0 (równanie Laplace a w σ, τ) więzy: η µν ± X µ ± X ν = 0 Zasada Hamiltona dopuszcza dwa typy warunków warunki brzegowych: struny otwarte i zamknięte. Teoria strun i unifikacja 7
Mechanika kwantowa strun Warunki brzegowe n.p. struny zamknięte spełniaja X µ (σ + 2π, τ) = X µ (σ, τ) Rozwiazanie równania Laplace a: X µ = X µ L (σ+ ) + X µ R (σ ) X µ L = x µ L + l2 s pµ L σ+ + i 2 l s X n 0 X µ R = xµ R + l2 s pµ R σ + i 2 l s X Relacje komutacyjne (kwantowanie kanoniczne): n 0 1 + n αµ n e inσ, 1 n αµ n e inσ, [α µ m, αν n ] = ηµν mδ m+n,0 Przestrzeń Focka: α µ 1 m 1... α µ r mr 0 > αν 1 n 1... α ν s ns 0 > (m i, n i < 0) Teoria strun i unifikacja 8
Więzy określaja fizyczna podprzestrzeń Hilberta i widmo mas. Fizyczne stany bezmasowe: ζ µν (k) α µ 1 αν 1 0 >, przy czym k µ ζ µν = k µ ζ νµ = 0 Grawiton odpowiada symetrycznej i bezśladowej części ζ µν. Stany fizyczne określone sa z dokładnościa do stanów o normie zerowej, co tłumaczy się na relacje ζ (µν) ζ (µν) + k µ ζ ν + k ν ζ µ Odpowiada to symetrii cechowania w perturbacyjnej kwantowej OTW x µ x µ + η µ (x) h µν h µν + µ η ν + ν η µ Stan podstawowy struny zamkniętej zawiera stan o spinie 2, który można utożsamić z grawitonem perturbacyjnej OTW. Pozostałe stany bezmasowe: skalar i dwuindeksowe pole antysymetryczne. Teoria strun i unifikacja 9
Oddziaływania strun W teorii pola trzeba podać amplitudę prawdopodonieństwa dla każdego elementarnego procesu stałe sprzężenia. W teorii strun istnieje tylko jeden elementarny proces. Obraz ten prowadzi do jednoznacznego przepisu na obliczanie perturbacyjnych amplitud w teorii strun. Dla strunowych grawitonów można w ten sposób odtworzyć rzad po rzędzie wyniki perturbacyjnej OTW gdy E << M P. Oddziaływania grawitonów reprodukuja w wiodacym rzędzie teorię Einsteina, ale: OTW jest modyfikowana w wyższych rzędach w krzywiźnie grawitacja nie występuje w izolacji zawsze sa dodatkowe stopnie swobody (także bezmasowe) Teoria strun i unifikacja 10
Struny i efektywna teoria pola Widmo struny: skończona ilość stanów bezmasowych i nieskończona ilość stanów ciężkich o masach 1/l s. Dla E << 1/l s możliwy jest opis w języku efektywnej teorii pola dla lekkich stopni swobody S = 1 l 8 s Z d 10 x p ge 2φ (R 1 12 Hµνρ H µνρ + 4( φ) 2 +...) Stała sprzężenie dana jest wartościa próżniowa dylatonu: g s = e φ. Dodatkowe pola bezmasowe: pola wektorowe (Maxwella, Yanga-Millsa) wynikajace z kwantyzacji strun otwartych pola fermionowe Konsystencja teorii kwantowej: wymaga antykomutujacych pól na powierzchni świata struny; prowadza one do supersymetrycznego widma stanów w czasoprzestrzeni. struna w płaskim tle czasoprzestrzennym wymaga d = 10. 5 supersymetrycznych teorii strun w d=10: I, IIA, IIB, H/E 8, H/SO(32). Teoria strun i unifikacja 11
Kompaktyfikacje teorii strun Kompaktyfikacje rozwiazania opisujace czasoprzestrzenie o pewnej ilości małych wymiarów (n.p. M 4 K 6 ). Istnieje ogromna liczba rozwiazań, które na obecnym poziomie zrozumienia teorii strun wydaja się być całkowicie konsystentne. Rodziny rozwiazań sa parametryzowane przez moduły (n.p. objętość K 6 ); modułom kompaktyfikacji odpowiadaja bezmasowe pola skalarne w teorii efektywnej. W efektywnej teorii pola nie ma bezwymiarowych stałych (α, m e /m µ,... ) wszystko wyznaczone jest przez wartości oczekiwane modułów; n.p. G N = g s l 8 s. Pytania: Dlaczego istnieje aż 5 konsystentnych teorii strun w d = 10? Ile ich jest dla d < 10? Czy można jakoś wyeliminować większość kompaktyfikacji aby uzyskać konkretne przewidywania przy niskich energiach? Jak sytuuja się w teorii strun efekty nieperturbacyjne w teoriach pola? Jaki charakter maja strunowe efekty nieperturbacyjne? Czy i jak generowany jest potencjał dla modułów? Ostatnie 10 lat przyniosło ogromny postęp w zrozumieniu jak te różne rozwiazania sa powiazane. Teoria strun i unifikacja 12
Czastka na okręgu d + 1 wymiarów, kierunek u okresowy: (t, x, u) (t, x, u + 2πR). Funkcja falowa gdzie n = 0, ±1,.... ψ(t, x, u) = e inu/r ψ(t, x ) Pęd w kierunku u jest skwantowany: p u = n/r. Zwiazek dyspersyjny czastki bezmasowej w d + 1 wymiarach: E 2 = p 2 = p 2 + n2 To jest widmo energii charakterystyczne dla czastki o masie n/r w d wymiarach. Pojawia się wieża stanów masywnych o masach m n = n/r.. Granica R 0: redukcja wymiarowa. Granica R : dekompaktyfikacja. R 2 Teoria strun i unifikacja 13
Struna na okręgu Warunki brzegowe: X(σ + 2π, τ) = X(σ, τ) + 2πR Rozwiazanie istnieje dla wszystkich promienia; R jest modułem takiej kompaktyfikacji W efektywnej teorii pola odpowiada mu bezmasowy skalar przykład geometryzacji. Widmo zawiera dodatkowe stany o masach M 2 n,m = n2 R 2 + m2 R 2 l 4 s T-dualność: teoria nie rozróżnia kompaktyfikacji na okręgu o promieniu R i l 2 2 /R. liczby kwantowe pędu i nawinięcia zamieniaja się rolami. T-dualność wiaże teorie typu IIA i IIB, a także H/E 8 i H/SO(32): te pary sa tożsame w teorii na okręgu. Teoria strun i unifikacja 14
Dualność Teoria kwantowa może mieć wiele różnych granic klasycznych Wszystkie pozornie różne teorie strun sa różnymi rozwinięciami perturbacyjnymi (semiklasycznymi) jednej teorii. Można podać relacje dualności między pozornie różnymi teoriami: f A (g s, R,...) = f B (g s, R,...) gdzie n.p. g s = 1/g s. Wtedy A i B to dwa dualne opisy tej samej fizyki. Dualność w teorii pola miesza pola i solitony; w teorii strun mieszaja się stany nawinięte strun i innych obiektów rozciagłych, których istnienie jest konsekwencja istnienia strun. Teoria strun i unifikacja 15
Brany Tak jak nie ma relatywistycznej teorii samych elektronów, tak nie ma teorii samych strun istnienie strun implikuje istnienie innych obiektów rozciagłych o określonych własnościach Teoria zawiera nieperturbacyjne wzbudzenia (brany) o p-wymiarach przestrzennych z p = 0, 1,... 8. Brany sa niewidoczne w rachunku zaburzeń, bo ich masa na jednostkę objętości zachowuje się jak 1/g s (D-brany) lub 1/g 2 s (solitony). Stany bran nawiniętych na cykle w przestrzeni kompaktyfikacji uzupełniaja perturbacyjne widmo i prowadza do relacji dualności, które uogólniaja T-dualność. Teoria strun i unifikacja 16
Granica silnego sprzężenia teorii IIA Teoria strun typu IIA zawiera D0-brany o masie 1/g s l s. Progowe stany zwiazane D0-bran maja masy: m N = N l s g s, W granicy silnego sprzężenia wszystkie te sany staja się lekkie: ich obecność sygnalizuje nowy wymiar o promieniu R = g s l s. Granica silnego sprzężenia teorii strun typu IIA ma dualny opis jako supergrawitacja w d = 11. D0-brany maja interpretacje modów Kaluzy-Kleina metryki w d = 11. Dodatkowy wymiar jest niewidoczny w rachunku zaburzeń wokól g s = 0! Teoria strun i unifikacja 17
M-teoria Teoria strun i unifikacja 18
Co dalej? Teoria strun stanowi fascynujace uogólnienie kwantowej teorii pola; przy niskich energiach prowadzi do efektywnych teorii pola zawierajacych grawitację pola Yanga-Millsa supersymetrię Istnieje tylko jedna teoria strun, i jako taka nie zawiera bezwymiarowych parametrów ale dopuszcza ogromna ilość klasycznych próżni. Brak zrozumienia zasady selekcji próżni czy istnieja dodatkowe warunki konsystencji? Brak sformułowania teorii, które ukazywałoby wszystkie stopnie swobody w jednolity sposób Istnieje ogromna ilość metastabilnych próżni z dodatnia stała kosmologiczna Zasada wyboru - kosmologiczna ewolucja w przestrzeni modułów? Dlaczego prawa fizyki sa takie, jakie sa i czy mogłyby być inne? Teoria strun i unifikacja 19