Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata. Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata



Podobne dokumenty
Zadania do samodzielnego rozwiązania

Rozmaitości matematyczne. dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

Odwrotne twierdzenie Fermata. Odwrotne twierdzenie Fermata

Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 6a

Przykładowe zadania z teorii liczb

W. Guzicki: Liczby pierwsze 1 LICZBY PIERWSZE. Warszawa, 11 kwietnia 2013 r.

Kongruencje pierwsze kroki

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Jeśli lubisz matematykę

Elementy teorii liczb. Matematyka dyskretna

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)

Liczba pierwsza to taka liczba n, która posiada dokładnie dwa dzielniki: 1 i

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

I) Reszta z dzielenia

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Sumy kolejnych bikwadratów

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Liczby pierwsze. Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku.

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami

Czy liczby pierwsze zdradzą swoje tajemnice? Czy liczby pierwsze zdradzą swoje tajemnice?

Kongruencje twierdzenie Wilsona

Zadania z arytmetyki i teorii liczb

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, C/10

Liczby pierwsze. Jacek Nowicki Wersja 1.0

Liczby pierwsze. Jacek Nowicki Wersja 0.92

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Ćwiczenia z teoria liczb, ciąg dalszy (pt 15 maja) Matematyka Dyskretna

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Matematyka dyskretna

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

w. SIERPIŃSKI (Warszawa)

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Podzielność liczb. Podzielność liczb

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100

Joanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki

SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI. Temat: Podzielność liczb całkowitych Cel: Uczeń tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność

Podzielność liczb przez liczby od 2 do 13 WSTĘP CO TO ZNACZY, ŻE LICZBA JEST PODZIELNA PRZEZ INNĄ LICZBĘ? ZASADY PODZIELNOŚCI PRZEZ LICZBY OD 2 DO 10

Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 5

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Liczby pierwsze wielomianowo - ekstremalnie trudne?

Liczby pierwsze na straży tajemnic

Matematyka dyskretna

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej

Matematyka dyskretna

Liczby półpierwsze (Semiprimes)

Podróże po Imperium Liczb

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Wielokąty foremne. (Konstrukcje platońskie)

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Podzielność liczb przez liczby od 2 do 10 WSTĘP CO TO ZNACZY, ŻE LICZBA JEST PODZIELNA PRZEZ INNĄ LICZBĘ? ZASADY PODZIELNOŚCI

LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Kongruencje i ich zastosowania

Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie

Algorytmy w teorii liczb

Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI 13 MAJA 2019 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 14:00 CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 90 minut

Przykładowe rozwiązania

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Teoretyczne podstawy informatyki

Transkrypt:

Liczby dwumianowe N = a n ± b n Tak zwane liczby dwumianowe N = a n ± b n łatwo poddają się faktoryzacji. Wynika to z wzorów (polecam sprawdzenie!) a n b n = (a b) ( a n 1 + a n 2 b +... + ab n 2 + b n 1) a także (zmieniamy b ( b), ale n musi być liczbą nieparzystą a n + b n = (a + b) ( a n 1 a n 2 b +... ab n 2 + b n 1). Kładąc teraz a a m, b b m na przykład w pierwszym wzorze dostaniemy ( a mn b mn = (a m b m ) a (n 1)m + a (n 2)m b m +... + a m b m(n 2) + b m(n 1)). na przykład dla N = 10 9 3 9 = 999 980 317 mamy 10 3 = 7 i 10 3 3 3 = 7 139, co daje N = 7 19 139 54 091. Podobnie do samodzielnego zrobienia można rozłożyć na czynniki N = 10 9 + 3 9.

Liczby dwumianowe N = b n 1 zachodzi twierdzenie... dla b m; a, c > 0; jeżeli b a 1 mod m i b c 1 mod m b d 1 mod m, d = (a, c). (dowód podamy przy rachunku kongruencji a k mod m oznacza: reszta z dzielenia a przez m równa jest k.)... z którego wynika kolejne twierdzenie Jeżeli liczba pierwsza p dzieli N p b n 1 to (1) albo p b d 1, gdzie d n; albo (2) p 1 mod n. Dla p > 2 i dla n = 2k + 1 mamy p 1 mod 2n. Na przykład jeżeli liczba 2 11 1 ma mieć dzielnik p to na mocy ostatniego twierdzenia p = k 22 + 1 rzeczywiście 2047 = 23 89. a liczba 2 13 1 czy ma dzielnik p? Kandydatami mogą być tylko p = k 26 + 1 i to mniejsze od N 90. Wszystkie trzy kandydatki 27, 53 i 79 nie dzielą N z czego wynika, że N jest liczbą pierwszą!

Liczby Mersenne a... to szczególny przypadek wzorów z poprzedniej strony. Są to liczby M n = 2 n 1 i były one przedmiotem intensywnych studiów, głównie w kontekście liczb doskonałych. Jak już wspomnieliśmy, każda liczba Mersenne a będąca liczbą pierwszą określa pewną liczbę doskonałą, które to liczby stanowiły przed wiekami i przez całe wieki obiekt przeróżnych dywagacji pseudo-matematycznych. Dla złożonego wykładnika n = rs liczba Mersenne a musi też być liczbą złożoną (wynika to z relacji z poprzedniej strony!). Aby liczba Mersenna była liczbą pierwszą wykładnik n musi być liczbą pierwszą M p = 2 p 1. Rzeczywiście dla p = 2, 3, 5, 7 a potem dla 13, 17, 19 liczby M p są liczbami pierwszymi, ale liczba M 11 = 2 11 1 = 2047 = 23 89 jest liczbą złożoną (wiedziano już o tym w 16 w.). Wraz ze wzrostem p mamy tych liczb pierwszych M P coraz to mniej; jeszcze 50 lat temu znano ich poniżej dwudziestki.

Ciekawy jest niesłychanie rozwój świadomości nt. tych liczb. Sam Mersenne w swoich Cogitata Physico-Mathematica (1644) autorytatywnie stwierdza, że M p są pierwsze dla p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 a złożone dla pozostałych p 257. (O 17 i 19 wiedziano już na początku 17 w. Cataldi). Braciszek Mersenne nie wyjaśnił podstaw swoich stwierdzeń. Czy były to tylko domysły? Liczba M 127 to bagatela 39 cyfr, a M 257 78. Następne uściślenia zawdzięczamy Eulerowi. Potwierdził on pierwszość M 31, sugerował (błędnie potem poprawił się) także pierwszość M 41 i M 47. Jasny obraz sytuacji dla p 257 pojawił się dopiero... 300 lat po publikacji Mersenne a. M. popełnił tylko (aż?) 5 błędów; liczby M 61, M 89 i M 107 są pierwsze, natomiast M 67 i M 257 złożone. Faktoryzację M 67 przedstawił Cole (1903) na posiedzeniu AMS (chociaż już w 1876 Lucas stwierdził, przy pomocy opracowanego przez siebie testu, że nie jest to liczba pierwsza ale nie potrafił znaleźć rozkładu). (193 707 721 761 838 257 287); faktoryzację M 257 przedstawił Krajczyk (1903).

Wraz z nadejściem ery komputerów (początek lat 1960) trochę ich przybyło, ale nie tak znowu wiele. W latach 1995-6 rozpoczęto akcje Great Internet Search (for) Mersenne Primes (GIMPS) i do chwili obecnej dorobiono się (listopad 2006) 44-ej liczby Mersenne a (a dziesiątej w ramach GIMPS). Jest to M 32 582 657 = 2 32 582 657 1 w sumie 9 808 358 cyfr. Jej bezpośrednia poprzedniczka to M 30402457 = 2 30402457 1 skromne maleństwo, którego zapis dziesiętny miałby ponad dwie trzecie miliona cyfr mniej! Niestety, liczba 44-ta też ma w swoim zapisie mniej niż 10 milionów cyfr dla odkrywcy liczby z przynajmniej 10 milionami cyfr czeka nagroda 100 000 $. Na wszelki wypadek podaję adres strony.

Stan A. D. 2013 mamy już 48 liczb Mersenne a In 2008, on August 23rd, a UCLA computer discovered the 45th known Mersenne prime, 2 43 112 609 1 a mammoth 12 978 189 digit number! In 2013, on September 6th, the 46th known Mersenne prime, 2 37 156 667 1, a 11 185 272 digit number was found by Hans-Michael Elvenich in Langenfeld near Cologne, Germany! This was the first Mersenne prime to be discovered out of order since Colquitt and Welsh discovered 2 110 503 1 in 1988.... On January 25th, prolific GIMPS contributor Dr. Curtis Cooper discovered the 48th known Mersenne prime, 2 57 885 161 1, a 17 425 170 digit number. This find shatters the previous record prime number of 12 978 189 digits, also a GIMPS prime, discovered over 4 years ago. The discovery is eligible for a 3 000 GIMPS research discovery award.

Rozmieszczenie liczb Mersenne a... Funkcja π dla liczb Mersenne a z bardzo dobrą dokładnością jest określona jako π M (x) eγ ln(ln x). ln 2 Z tego to wzoru wynika, że ilość liczb Mersenne a w przedziale (x, 2x) wynosi w przybliżeniu e γ ; gdzie γ to stała Eulera-Mascheroniego, n.b. bardzo ciekawa liczba. Można też wykazać, że prawdopodobieństwo że dana M q jest liczbą pierwszą to gdzie π (M q jest liczba pierwszą ) = eγ ln aq ln 2 ln 2, a = { 2 q mod 4 = 3 6 q mod 4 = 1

Liczby Fermata Liczby postaci N n = 2 n + 1 potrafimy bez trudu rozłożyć na czynniki jeżeli n = ab i (przynajmniej) jeden z tych czynników jest liczbą nieparzystą np. b. ( ) 2 n + 1 = (2 a ) b + 1 = (2 a + 1) 2 a(b 1) 2 a(b 2) + 2 a(b 3)... 2 a + 1. Jeżeli więc liczba N n miałaby być liczba pierwszą to wykładnik n nie może zawierać w sobie nieparzystych czynników n = 2 t. Takie właśnie liczby nazywamy liczbami Fermata F t = 2 2t + 1. Pierwsze liczby F: F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = 65 537 są liczbami pierwszymi i P.F. optymistycznie uważał, że znalazł sposób niezawodny na generowanie liczb pierwszych.

Euler (1739) wykazał, że F 5 = 2 32 + 1 = 641 6700417. Przy okazji udowodnił, że każdy ewentualny dzielnik pierwszy (!) liczby Fermata F t musi mieć postać p = 2 t+2 k + 1; k N. Tak więc dla t = 5 dzielnik p = 64k + 1 (k = 10). W 150 (!) lat później znaleziono rozkład F 6 = 2 64 + 1 = 274 177 67 280 421 310 721. i znowu po prawie 100 (!) latach później znaleziono rozkłady F 7 i F 8 ; potem znaleziono rozkłady F 9 i F 10 i F 11 (1990-1996). Rozkład liczby F 12 nie jest ciągle do końca poznany (wiemy, że jest to liczba złożona), tak zresztą jak i kolejny tuzin liczb Fermata.

Liczby Fermata relacje rekurencyjne Z wzoru definiującego liczby Fermata łatwo wyprowadzamy związek F t+1 = (F t 1) 2 + 1 albo F t+1 2 = F t (F t 2). Ten ostatni wzór generuje dość ciekawą zależność F t+1 2 = F 0 F 1... F t, a więc F t s (F t+1 2), 0 s t. Łatwo stąd wywnioskować, że F t s F t+1, 0 s t liczby Fermata są względnie pierwsze.

Liczby Fermata różne drobiazgi Nie wiemy, czy...... istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata.... istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych Fermata.... każda liczba Fermata jest bezkwadratowa. Ile cyfr ma F 73 = 2 273 + 1? korzystamy z 2 10 = 1024 > 10 3. 2 273 = 2 16 269 > 2 10 269 = ( 2 10) 2 69 > ( 10 3) 2 69 > ( 10 2 ) 2 69 = (10) 270 = (10 210) 7 > ( 10 103) 7 = (10) 10 21. strona A4 2 000 cyfr; książka 500 stron 10 6 cyfr; biblioteka 10 5 książek 10 11 cyfr 10 miliardów bibliotek.