PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 69 Transport 2009 Jolanta AK Wydział Transportu Politechniki Warszawskiej Zakład Logistyki i Systemów Transportowych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa logika1@it.pw.edupl ZASTOSOWANIE TECHNIKI KOMPUTEROWEJ DO OPTYMALIZACJI WYBRANYCH ASPEKTÓW SYSTEMÓW LOGISTYCZNYCH Streszczenie W artykule przedstawiono wybrane aspekty optymalizacji systemów logistycznych. Zaproponowano formalizacj zapisu charakterystyk sieci transportowej oraz typów dystrybuowanych towarów. Przedstawiono podej cie do kształtowania struktury systemu dystrybucji w danym obszarze. Sformułowano, adekwatne do rozwa anej sytuacji, zadanie optymalizacyjne minimalizacji kosztów wykonania okre lonych zada transportowych. Do rozwi zania zadania optymalizacyjnego wykorzystano pakiet komputerowy LINGO. Słowa kluczowe: zadanie optymalizacyjne, transport, system logistyczny. 1. WPROWADZENIE Jedn podstawowych potrzeb człowieka jest przemieszczanie. Zagadnienia zwi zane z transportem maj bezpo redni wpływ na problematyk zwi zan z logistyk. Definicji systemów logistycznych jest bardzo wiele w artykule przyj to nast puj c : System logistyczny to celowo zorganizowany zespół takich elementów (podsystemów) jak: produkcja, transport, magazynowanie, odbiorca- wraz z relacjami mi dzy nimi oraz ich własno ciami warunkuj cymi przepływ strumieni towarów, rodków finansowych i informacji. Maj c na uwadze powy sz definicj, system logistyczny mo na rozpatrywa wyró niaj c w nim trzy płaszczyzny (trzy struktury): przestrzenn - definiuj ca poł czenie elementów systemu i przepływ strumieni towarów, organizacyjn - definiuj ca zorganizowanie elementów systemu, informacyjn przejawiaj ca si w postaci przepływu strumieni finansowych i informacji. Płaszczyzny te s ze sob silnie powi zane i ł cznie tworz spójn cało opisuj c wielowymiarowo systemu logistycznego. Dotyczy to w równej mierze systemów w skali makro jak i systemów logistycznych poszczególnych przedsi biorstw. Ka dy system logistyczny charakteryzuje wiele wła ciwo ci, najwa niejsze z nich to:
116 Jolanta ak wysoki stopie spójno ci oznacza to, e zmiana w jednym podsystemie poci ga za sob zmiany w pozostałych podsystemach. Wynika to z faktu, e poszczególne podsystemy s ze sob powi zane i od siebie zale ne, elastyczno - wyra a si reagowaniem na wpływ otoczenia ekonomicznego, otoczenia konkurencji, a w zwi zku z tym podatno ci na zmiany cen, podatków, oraz poziomu inflacji. W ostatnich latach wymaganie klientów co do asortymentu, ilo ci, jako ci, miejsca oraz czasu dostarczenia towaru rosn. Zatem nale y, wła ciwie ukształtowa powi zania i relacje mi dzy dostawcami a odbiorcami. Kształtowanie systemu transportowego ł czy si ze zło onymi procesami decyzyjnymi. W ród zagadnie dotycz cych problematyki transportowej mo na wyró ni [6]: zagadnienia zwi zane z rozło eniem potoku ruchu na sieci, problemy dostosowania elementów infrastruktury transportowej do zgłaszanego zapotrzebowania na przewóz w modelach rozwoju systemu transportowego spotkamy problemy rozdziału rodków niezb dnych realizacji zada, problemy kształtowania sieci transportowej w tym lokalizacji obiektów logistycznych w sieci transportowej, problemy doboru wyposa enia technologicznego w obiektach transportowologistycznych, problemy minimalizacji czasów realizacji usługi transportowej, problemy oceny wielokryterialnej dostosowania infrastruktury systemu transportowego do realizowanych zada transportowych, problemy wyboru wariantów modernizacji elementów infrastruktury. Wszystkie te problemy mog by rozpatrywane zarówno w uj ciu jednokryterialnym jak i wielokryterialnym. W analizowaniu zagadnie logistycznych znajduj zastosowanie ró norodne metody optymalizacji. Metody te mo na znale w wielu pozycjach literaturowych [2], [3], [11]. Badaj c wpływ czasu na działanie badanego systemu stosujemy tzw. optymalizacj dynamiczn. W przeciwnym przypadku tj. gdy poszukiwania optymalnych warto ci parametru przeprowadzamy dla ustalonego stanu wówczas optymalizacj nazywamy statyczn. Metody pozwalaj ce na znalezienie optymalnego ze wzgl du na przyj te kryteria rozwi zania mo na równie podzieli na analityczne, eksperymentalne i symulacyjne. Otrzymanie wyników na drodze eksperymentalnej wymaga wykonania wielu do wiadcze, co jest zarówno bardzo pracochłonne jak i kosztowne[6]. Metody analityczne w tym przypadku s skuteczniejsze. Wówczas nale y proces opisa posługuj c si wykorzystywanym w badaniach j zykiem programowania matematycznego. Symulacyjna metoda bada ł czy cechy metody analitycznej z elementami metody eksperymentalnej. W artykule zaproponowano zastosowanie metody analitycznej jednokryterialnej do wyznaczenia optymalnej organizacji usług transportowych w badanym obszarze wykorzystuj c pakiet programowy LINGO 9.0. 2.OPIS PROBLEMU Dla potrzeb formalnego opisu zagadnienia modelowania systemów logistycznych zakładamy, e na pewnym obszarze wyró nione s miejscowo ci charakteryzuj ce si intensywno ci zapotrzebowania na ró norodne towary. Zmienn r zanumerujemy towary
Zastosowanie techniki komputerowej do optymalizacji wybranych aspektów systemów logistycznych 117 ró nych typów na które istnieje zapotrzebowanie w badanym obszarze. Wówczas zbiór R wszystkich typów towarów b dzie zbiorem postaci: R={1,2,..., r,..., } gdzie jest liczebno ci zbioru R. Badany system logistyczny charakteryzuje si hierarchiczn struktur dystrybucji. Systemy tego typu charakteryzuje mo liwo podziału zbioru elementów na podzbiory ró nego szczebla w taki sposób by elementy podzbioru ni szego szczebla były podrz dnie w stosunku do elementów wy szego szczebla. W ród systemów hierarchicznych wyró nia si jednocentrowe wieloszczeblowe tzw. liniowe i wielocentrowe wieloszczeblowe [6]. Analizowany w artykule system posiada struktur wielocentrow czteroszczeblow Schemat takiego systemu przedstawiono na rysunku 1. Na górze przedstawiono elementy szczebla najwy szego opisane jako C 1, C 2,, kolejne elementy opisane jako O 11, O 12,, O 1n nale szczebla drugiego. Analogicznie elementy opisane jako O 21, O 22, nale do szczebla trzeciego, a elementy O 31, O 32, nale szczebla czwartego najni szego. Strzałki wyznaczaj kierunek zale no ci. C 1 C 2 O 11 O 12 O 1n O 21 O 22 O 31 O 32 Rys.1. Przykład struktury wielocentrowej czteroszczeblowej na podstawie [5] Przyjmujemy, e w badanym obszarze wyró nione s miejscowo ci w których znajduj si odbiorcy towarów, które ponumerowane liczbami naturalnymi tworz zbiór K={1,2,..., k,...,k} numerów miejscowo ci, przy czym K jest liczb wyró nionych miejscowo ci. Zakładamy, ponadto, e ka da miejscowo ze zbioru K charakteryzuje si intensywno ci zu ycia towarów ró nego typu. Indeksem l natomiast zanumerujemy miejscowo ci, w których mog by usytuowane lokalne bazy dystrybucyjne. Niech L postaci L={1,2,..., l,..., L} b dzie zbiorem tych miejscowo ci, przy czym L jest liczb wyró nionych miejscowo ci. Indeksem ϕ zanumerujemy miejscowo ci, w których mog by usytuowane regionalne bazy dystrybucyjne. Niech Φ postaci Φ ={1,2,...,ϕ,..., Φ} b dzie zbiorem tych miejscowo ci, przy czym Φ jest liczb wyró nionych regionalnych baz dystrybucyjnych. Indeksem m natomiast zanumerujemy miejscowo ci, w których mog by usytuowane centralne bazy dystrybucyjne. Niech M postaci M ={1,2,..., m,..., M} b dzie zbiorem tych miejscowo ci, przy czym M jest liczb wyró nionych miejscowo ci (rys 2).
118 Jolanta ak Struktur sieci transportowej okre la istnienie poł cze transportowych mi dzy wyró nionymi miejscowo ciami. Zakładamy, e mi dzy parami miejscowo ci: klientem, a miejscem lokalizacji bazy lokalnej, tj. mi dzy w złem transportowym (miejscowo ci ) o numerze k, k K oraz w złem o numerze l, l L, istnieje bezpo rednie poł czenia transportowe (k, l). Podobnie zakładamy, e istniej poł czenia transportowe (l, ϕ), (ϕ, m) przy czym zbiory K, L, Φ, M s parami rozł czne. Przyjmujemy, e U k,l jest zbiorem bezpo rednich poł cze transportowych, tj.: U k,l K L= {(k,l): k K, l L}. Analogiczne przyjmujemy, e U l,ϕ jest zbiorem bezpo rednich poł cze transportowych, tj.: U l,ϕ L = {(l,ϕ): l L, ϕ }. CENTRALNE BAZY MAGAZYNOWE (m) REGIONALNE BAZY MAGAZYNOWE ( ) LOKALNE BAZY MAGAZYNOWE (l) ODBIORCY (KLIENCI) (k) Rys.2. Struktura sieci dystrybucyjnej. Opracowanie własne na podstawie [7] Przyjmujemy równie, e U ϕ,m jest zbiorem bezpo rednich poł cze transportowych, tj.: U ϕ,m M = {(ϕ, m): ϕ, m M}. Zatem struktura sieci transportowej w badanym obszarze opisana jest grafem G, G=(I,U), dla którego: I= K L Φ M gdzie: I zbiór miejscowo ci, w których usytuowani s klienci, lokalne bazy dystrybucyjne, regionalne bazy dystrybucyjne oraz centralne bazy dystrybucyjne. U= U k,l U l,ϕ U ϕ,m zbiór bezpo rednich poł cze transportowych miedzy klientami oraz wyró nionymi mi magazynowymi.
Zastosowanie techniki komputerowej do optymalizacji wybranych aspektów systemów logistycznych 119 2. ODWZOROWANIE KOSZTÓW TRANSPORTU TOWARU DO KLIENTA Zało ymy, e na iloczynie kartezja skim K L R zadane jest odwzorowanie k 1 przyporz dkowuj ce elementom tego iloczynu liczby rzeczywiste dodatnie, tj.: k 1 : K L R R +, przy czym wielko ci k 1 (k, l, r) maj interpretacj kosztu transportu jednostki ładunku r-tego typu do miejscowo ci nr k z miejscowo ci nr l. Zakładamy, e dysponujemy wielko ciami k 1 (k, l, r) dla ka dego poł czenia (k, l) oraz dla ka dego towaru r-tego typu. Zało ymy równie, e na iloczynie kartezja skim L Φ R zadane jest odwzorowanie k 2 przyporz dkowuj ce elementom tego iloczynu liczby rzeczywiste dodatnie, tj.: k 2 : L Φ R R +, przy czym wielko ci k 2 (l, ϕ, r) maj interpretacj kosztu transportu jednostki ładunku r-tego typu do miejscowo ci nr l z miejscowo ci nr ϕ, w którym nale y wykona usług przewozow. Zakładamy, e dysponujemy wielko ciami k 2 (l, ϕ, r) dla ka dego towaru r-tego typu oraz dla ka dego poł czenia (l, ϕ) Zało ymy ponadto, e na iloczynie kartezja skim Φ M R zadane jest odwzorowanie k 3 przyporz dkowuj ce elementom tego iloczynu liczby rzeczywiste dodatnie, tj.: k 3 : Φ M R R +, przy czym wielko k 3 (ϕ, m, r) maj interpretacj kosztu transportu jednostki r-tego typu. do miejscowo ci nr ϕ z miejscowo ci nr m, w którym nale y wykona usług przewozow. Zakładamy, e dysponujemy wielko ciami k 3 (ϕ, m, r) dla ka dego poł czenia (ϕ, m) oraz dla ka dego towaru r-tego typu. 3. ODWZOROWANIE KOSZTÓW MAGAZYNOWANIA TOWARÓW ORAZ FUNKCJONOWANA BAZ DYSTRYBUCYJNYCH Działalno ka dej z baz generuje koszt zwi zany z wielko ci ładunku przechodz cego przez dan baz oraz jego rodzajem [1]. Zało ymy, e na iloczynie kartezja skim L R zadane jest odwzorowanie 1 przyporz dkowuj ce elementom tego iloczynu liczby rzeczywiste dodatnie, tj.: 1:L R R +, przy czym 1 (l,r) jest interpretowana jako koszt zwi zany z przej ciem przez lokaln baz dystrybucyjn jednostki ładunkowej paletowej (jłp) r-tego typu. Zało ymy ponadto, e na iloczynie kartezja skim Φ R zadane jest odwzorowanie 2 przyporz dkowuj ce elementom tego iloczynu liczby rzeczywiste dodatnie, tj.: 2: Φ R R +, przy czym 2 (ϕ, r) jest interpretowana jako koszt zwi zany z przej ciem przez regionaln baz dystrybucyjn jłp r-tego typu.
120 Jolanta ak Analogicznie zało ymy, e na iloczynie kartezja skim M R zadane jest odwzorowanie 3 przyporz dkowuj ce elementom tego iloczynu liczby rzeczywiste dodatnie, tj.: 2 : M R R +, przy czym 3 (m, r) jest interpretowana jako koszt zwi zany z przej ciem przez centraln baz dystrybucyjn jłp r-tego typu. Z działalno ci ka dego typu bazy zwi zany tak e koszt niezale ny od wielko ci przemieszczanego ładunku. Zakładamy zatem, e ka da miejscowo ll L, charakteryzuje si wielko ci 1 (l) przy czym 1 (l) jest interpretowana jako koszt zwi zany z działalno ci l-tej lokalnej bazy dystrybucji niezale n od wielko ci przemieszczanego przez baz ładunku. Zakładamy tak e, e ka da miejscowo ϕ Φ, charakteryzuje si wielko ci 2 (ϕ) przy czym 2 (ϕ) jest interpretowana jako koszt zwi zany z działalno ci ϕ-tej regionalnej bazy dystrybucji niezale n od wielko ci przemieszczanego przez baz ładunku. Zakładamy ponadto, e ka da miejscowo m m M, charakteryzuje si wielko ci 3 (m) przy czym 3 (m) jest interpretowana jako koszt zwi zany z działalno ci m-tej centralnej bazy dystrybucji niezale n od wielko ci przemieszczanego przez baz ładunku. 4. ODWZOROWANIE WIELKO CI ZAPOTRZEBOWANIA NA TOWAR U KLIENTÓW I MOCY PRZEROBOWYCH POSZCZEGÓLNYCH BAZ MAGAZYNOWYCH Zakładamy, e na iloczynie kartezja skim K R zadane jest odwzorowanie Q przeprowadzaj ce elementy iloczynu w zbiór liczb rzeczywistych dodatnich R +, tj.: Q: K R wielko Q(k,r) ma nast puj c interpretacj : nale y dostarczy parti towaru r-tego typu o wielko ci Q(k,r) do klienta o numerze k. Ka d z baz charakteryzuje wielko zdolno ci przerobowych ładunku r-tego typu przemieszczanego przez dan baz. Zakładamy wi c, e ka da miejscowo ll L, charakteryzuje si wielko ci p 1 (l, r)przy czym p 1 (l,r) jest interpretowana jako wielko zdolno ci przerobowych ładunku r-tego typu w l-tej bazie lokalnej. Zakładamy tak e, e ka da miejscowo ϕ Φ, charakteryzuje si wielko ci p 2 (ϕ,r) przy czym p 2 (ϕ,r) jest interpretowana jako wielko zdolno ci przerobowych ładunku r-tego typu w ϕ tej bazie regionalnej. Zakładamy ponadto, e ka da potencjalna centralna mm M, charakteryzuje si wielko ci p 3 (m,r) przy czym p 3 (m,r)jest interpretowana jako wielko zdolno ci przerobowych ładunku r-tego typu w m-tej bazie centralnej 5. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU OPTYMALNEJ ORGANIZACJI USŁUG TRANSPORTOWYCH W BADANYM OBSZARZE Zadanie optymalizacyjne ma wi c nast puj c posta : dla danych :
Zastosowanie techniki komputerowej do optymalizacji wybranych aspektów systemów logistycznych 121 R, I, U, Q(k,r), k 1 (k, l, r), k 2 (l, ϕ, r), k 3 (ϕ, m, r), 1 (l,r), 2(ϕ, r), 3 (m, r) 1 (l), 2 (ϕ), 3 (m), p 1 (l,r), p 2 (ϕ, r), p 3 (m, r) ; nale y wyznaczy binarne zmienne decyzyjne: x1(k,l,r), x2(l ϕ,r), x3(ϕ,m,r) przyjmuj ce warto ci: spełniaj ce ograniczenia: Ka dy klient pobiera towar r-tego typu tylko z jednej bazy lokalnej. Ka dy klient d y do korzystania z mo liwie najmniejszej liczby baz lokalnych. Ka da lokalna pobiera towar r-tego typu z jednej bazy regionalnej. Ka dy lokalna d y do korzystania z mo liwie najmniejszej liczby baz regionalnych. Ka da regionalna pobiera towar r-tego typu z jednej bazy centralnej. Ka dy regionalna d y do korzystania z mo liwie najmniejszej liczby baz centralnych. Ka da lokalna mo e obsłu y tylko tak liczb nabywców, których potrzeby w zakresie obsługi ładunków nie przekroczyły jego zdolno ci przerobowych. Ka da regionalna mo e obsłu y tylko taka liczb nabywców, których potrzeby w zakresie obsługi ładunków nie przekraczaj jego zdolno ci przerobowych. Ka da centralna mo e obsłu y tylko taka liczb nabywców, których potrzeby w zakresie obsługi ładunków nie przekraczaj jego zdolno ci przerobowych. Nale y zorganizowa dostaw towarów do klientów w taki sposób, aby koszty obsługi były minimalne. Dla tak opisanego zadania optymalizacyjnego funkcja kryterium przyjmuje posta :
122 Jolanta ak Sformułowane powy ej zadanie spełnia warunki zadania programowania matematycznego linowego całkowitoliczbowego. Mo na, wi c zastosowa do jego rozwi zania program LINGO 9.0 _firmy Lindo Systems Inc. LINGO to kompleksowe narz dzie przeznaczone do budowy i rozwi zywania liniowych, nieliniowych i globalnych zada optymalizacji w sposób szybki, łatwy i skuteczny. Program ten pozwala na formułowanie zada, w sposób niezwykle czytelny. Buduj c modele mo na czerpa dane bezpo rednio z bazy danych lub arkuszy kalkulacyjnych. Oczywi cie równie rozwi zania mog by wysyłane bezpo rednio do bazy danych lub arkusza kalkulacyjnego co ułatwia generowanie raportów w wybranej aplikacji. 6. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Dla weryfikacji przedstawionego podej cia wykonano eksperymenty obliczeniowe korzystaj c z pakietu LINGO 9.0 dla wybranego obszaru sieci transportowej Przykład Zakładany, e na danym obszarze znajduj si 2 bazy centralne 3 bazy regionalne, 5 baz lokalnych oraz 6 klientów. Nale y wyznaczy takie przyporz dkowanie klientów do baz lokalnych, baz lokalnych do baz regionalnych, a tych do baz centralnych, aby koszty transportu były minimalne. Zakładamy, e przewozimy trzy typy towaru. W bazie lokalnej nr 4 oraz bazie regionalnej nr 2 nie magazynuje sie towaru pierwszego typu, natomiast w drugiej i pi tej bazie lokalnej nie magazynuje si towaru trzeciego typu. Pozostałe dane konieczne do rozwi zania zadania przedstawione s w postaci tabel 1-8. R ={1,2,3}; K ={1,2,3,4,5,6}; L={1,2,3,4,5 }; Φ ={1,2,3}; M ={1,2}
Zastosowanie techniki komputerowej do optymalizacji wybranych aspektów systemów logistycznych 123 Tabela 1. Koszty (w PLN) przewozu jłp towaru pierwszego typu od klienta lub bazy do odpowiednich baz wy szego szczebla numer klienta nr bazy regionalnej nr bazy lokalnej 1 2 3 4 5 6 1 3 1 10 10 15 20 20 20 20 20 2 12 20 20 25 25 20 10 20 3 17 20 20 10 15 10 5 20 5 20 20 5 10 8 25 30 10 Tabela 2. Koszty (w PLN) przewozu jłp towaru drugiego typu od klienta lub bazy do innych baz wy szego szczebla numer klienta nr bazy regionalnej nr bazy lokalnej 1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 10 10 15 20 20 20 20 20 20 2 12 20 20 25 25 20 10 20 20 3 17 20 20 10 15 10 5 10 20 4 30 30 20 50 5 15 20 10 15 5 20 20 5 10 8 25 30 15 10 Tabela 3. Koszty (w PLN) przewozu jłp towaru trzeciego typu od klienta lub bazy do innych baz wy szego szczebla numer klienta nr bazy regionalnej nr bazy lokalnej 1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 20 10 15 20 20 20 20 15 20 3 17 20 20 10 15 10 13 25 20 4 30 30 20 50 15 15 20 10 15. Tabela 4. Koszty (w PLN) przewozu jłp towaru pierwszego typu od bazy regionalnej lub bazy centralnej oraz koszty zmienne zwi zane z wykorzystaniem baz nr bazy regionalnej koszty zmienne zwi zane z wykorzystaniem baz nr bazy centralna regionalna lokalna centralnej 1 3 1 2 1 3 1 2 3 5 1 20 20 10 12 10 10 8 8 8 8 2 30 20 Tabela 5. Koszty(w PLN) przewozu jłp towaru drugiego typu do bazy regionalnej lub bazy centralnej oraz koszty zmienne zwi zane z wykorzystaniem baz nr bazy regionalnej koszty zmienne zwi zane z wykorzystaniem baz nr centralna regionalna lokalna bazy centralnej 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 1 20 25 30 13 13 11 11 11 9 9 9 9 9 2 10 30 20
124 Jolanta ak Tabela 6. Koszty (w PLN) przewozu jłp trzeciego typu do bazy regionalnej lub bazy centralnej oraz koszty zmienne zwi zane z wykorzystaniem baz nr bazy centralnej nr bazy regionalnej 1 2 3 koszty zmienne zwi zane z wykorzystaniem baz centralna regionalna lokalna 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 1 20 25 30 13 13 11 11 11 9 9 9 2 20 40 30 Tabela 7. Maksymalne zdolno ci przerobowe magazynu towaru dla pierwszego typu oraz koszty stałe (w PLN) zwi zane z funkcjonowaniem baz Maksymalne zdolno ci przerobowe Koszty stałe Zapotrzebowanie klienta na pierwszy typ nr towaru bazy 1 10 240 270 60 2100000 tys 1100000 tys 500000 tys centralna regionalna lokalna centralna regionalna 2 25 220 0 50 2000000 tys 9500000tys 550000 tys 3 20 250 60 1000000 tys 450000 tys 4 25 0 400000tys 5 40 40 520000 tys 6 20 Tabela 8. Maksymalne zdolno ci przerobowe magazynu dla towaru drugiego i trzeciego typu nr bazy Zapotrzebowanie klienta na drugi typ towaru Maksymalne zdolno ci przerobowe drugiego typu towaru centralna regionaln a lokalna Zapotrzebowanie klienta na trzeci typ towaru lokalna Maksymalne zdolno ci przerobowe trzeciego typu towaru centralna regionaln 1 35 240 270 60 50 240 270 150 2 40 220 300 50 30 220 300 0 3 25 250 60 15 250 100 4 15 50 30 80 5 40 40 60 0 6 40 0 Rozwi zanie lingo 9.0 Total solver iterations: 38116 W tabeli 9 umieszczono zmienne ró ne od zera. a lokalna
Zastosowanie techniki komputerowej do optymalizacji wybranych aspektów systemów logistycznych 125 Tabela 9. Warto ci zmiennych otrzymane z programu Lingo 9.0 Lp. Variable Value Lp. Variable Value 1 X1L1K1R1 1.000000 19 X2 2L2 R2 1.000000 2 X1L1K2R1 1.000000 20 X2 2L3 R2 1.000000 3 X1L1K3 R1 1.000000 21 X2 1L4 R2 1.000000 4 X1L5K4 R1 1.000000 22 X2 2L5 R2 1.000000 5 X1L3K5 R1 1.000000 23 X3M1 1R2 1.000000 6 X1L3K6 R1 1.000000 24 X3M1 2R2 1.000000 7 X2 1L1 R1 1.000000 25 X3M1 3R2 1.000000 8 X2 1L3 R1 1.000000 26 X1L1K1R3 1.000000 9 X2 3L5 R1 1.000000 27 X1L1K2R3 1.000000 10 X3M1 1R1 1.000000 28 X1L1K3 R3 1.000000 11 X3M1 3R1 1.000000 29 X1L4K4 R3 1.000000 12 X1L1K1R2 1.000000 30 X1L3K5 R3 1.000000 13 X1L1K2R2 1.000000 31 X1L2K6 R3 1.000000 14 X1L1K3 R2 1.000000 32 X2 1L1 R3 1.000000 15 X1L3K4 R2 1.000000 33 X2 3L3 R3 1.000000 16 X1L3K5 R2 1.000000 34 X2 1L4 R3 1.000000 17 X1L2K6 R2 1.000000 35 X3M1 1R3 1.000000 18 X2 1L1 R2 1.000000 36 X3M1 3R3 1.000000 Rozwi zane graficzne zadania przedstawiono na rysunku 3. m=1 m=2 =1 =2 =3 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 Rys. 3. Rozwi zanie graficzne dla pierwszego typu towaru.
126 Jolanta ak PODSUMOWANIE Zaproponowane w artykule podej cie do optymalizacji systemu dystrybucji towarów jest podej ciem uniwersalnym. Uniwersalno metody polega na tym, e mo e ona by wykorzystana do badania poprawno ci systemu dystrybucji dla istniej cych baz logistycznych dla wybranym obszarze usług transportowych. Jednocze nie mo e by u yta do kształtowania nowych systemów dystrybucji. Zastosowany do rozwi zania pakiet komputerowy LINGO 9.0 zawiera bogaty j zyk do wyra ania modeli optymalizacyjnych, pełne rodowisko do budowania i edytowania oraz wbudowany zbiór szybkich metod rozwi zywania. LITERATURA [1] Fijałkowski J.: Transport wewn trzny w systemach logistycznych. Wybrane zagadnienia. OWPW, Warszawa 2003 [2] Geunes J.,Pardalos P.M. Applied Optymization. Supply Chain Optymization. Springer Sciente&Business Media, USA 2005 [3] Huanchao T.,Lixin T., Lin J. Inventory-Transportation Integrated Optimization Problem:A Model of Product Oil Logistics International Journal of Nonlinear Science ISSN 1749-3889 Vol.8(2009) No.1, pp.92-96 [4] Jacyna M.: Distribucion Warehouses and Realization of Logistic Processes in suply [5] chains, The Archives of Transport, Warszawa 2008. [6] Jacyna M.: Modelowanie i ocena systemów transportowych, OWPW, Warszawa 2009. ISBN 978-83-7207-808-7 [7] Jacyna M., ak J.: Kształtowanie struktury systemu dystrybucji cz ci samochodowych z wykorzystaniem programu LINGO Zeszyty naukowe MWSLiT, we Wrocławiu "Logistyka i Transport ISSN 1734-2015. [8] Korzan B. : Elementy teorii grafów i sieci. Metody i zastosowania. WNT, Warszawa 1978 [9] Mattson S.-A.: Embracing Change, Management strategies in the e-economy area, Varsta, Sweden 2000r. [10] Pfohl H.-Ch.: Systemy logistyczne, Podstawy organizacji i zarz dzania. Biblioteka logistyka, Pozna 1998 r. [11] Roy B. Słowi ski R., Treichel W. Multicriteria programming of water supply systems for countryside. Water Resources Bulletin 28 (1992) no.1, 13-31. [12] ak J. Modelowanie usług transportowych w obszarze działania centrum logistyczno dystrybucyjnego Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej - Transport, z.64, Oficyna Wydawnicza PW, 2008, str. 177-184 APPLYING COMPUTER SCIENCE IN OPTIMIZING SOME ASPECTS OF LOGISTICS SYSTEMS Abstract Article proposes formalization of transportation network characteristics and kinds of means of transport. The approach to structuring distribution system through determining number and localization of warehouses is presented. Adequate optimization task minimizing costs of servicing given transportation tasks if formulated. The task is solved in LINGO computer software. Key words:, distribution, optimization task, transport. Recenzent: Tomasz Ambroziak