Przeliczanie jednostek długości i masy oraz zapisywanie ich w postaci ułamka dziesiętnego

Przeliczanie jednostek długości i masy oraz zapisywanie ich w postaci ułamka dziesiętnego Przedmowa Opracowanie to omawia zamianę jednostek długości oraz masy przy założeniu że czyta go uczeń klasy 4 lub 5 szkoły podstawowej, który nie był w szkole na ani jednej lekcji o tej tematyce. Założyłem więc, że osoby czytające tego e-booka całkowicie nic z tego zakresu nie umieją i wszystko co tu napisałem starałem się pisać jak najbardziej zrozumiale. Spis tematów 1. Jednostki długości.... 2 Jednostki długości stosowane w Polsce.... 2 Jak zapamiętać ile co ma czego?... 2 Zamiana jednostek większych na mniejsze np. metrów na centymetry.... 3 Jednostki dwumianowane.... 2 Wyrażanie liczb dwumianowanych w postaci jednego miana.... 5 Dodawanie liczb dwumianowanych.... 5 Odejmowanie liczb dwumianowanych.... 6 Zapisywanie liczb dwumianowanych w postaci ułamka dziesiętnego.... 7 Zamiana jednostek mniejszych na większe np. centymetrów na metry.... 9 Zamiana jednostek ułamki dziesiętne.... 11 Zapoznanie się z jednostkami długości nie stosowanymi w życiu codziennym.... 11 2. Jednostki masy.... 14 Jednostki masy stosowane w Polsce.... 14 Jak zapamiętać ile co ma czego?... 14 Zamiana jednostek większych na mniejsze np. kilogramów na gramy.... 15 Jednostki dwumianowane.... 16 Wyrażanie liczb dwumianowanych w postaci jednego miana.... 16 Dodawanie liczb dwumianowanych.... 17 Odejmowanie liczb dwumianowanych.... 18 Zapisywanie liczb dwumianowanych w postaci ułamka dziesiętnego.... 18 Zamiana jednostek mniejszych na większe np. gramów na kilogramy.... 20 Zamiana jednostek ułamki dziesiętne.... 21 3. Przydatne linki.... 22 Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 1

Temat: Jednostki długości. Jednostki długości stosowane w Polsce Tego co jest poniżej wyucz się na pamięć. 1 km = 1000 m 1 m = 1000 mm 1 m = 100 cm 1 m = 10 dm 1 dm = 100 mm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm Jak zapamiętać ile co ma czego? Aby zapamiętać, że 1 cm ma 10 mm wyobraź sobie linijkę zeszytową i skojarz milimetry z małymi kreseczkami które są na niej np. między 0 a 1. Bez trudu zapewne zapamiętasz, że 1 cm jest podzielony na 10 małych kreseczek na 10 mm. Aby zapamiętać, ile centymetrów lub milimetrów ma decymetr, najpierw zapamiętaj jaką długość ma decymetr. Zegnij palec wskazujący w połowie pod kątem mniej więcej prostym i zapamiętaj, że decymetr to mniej więcej tyle, ile wynosi odległość między czubkiem tego zgiętego palca a wyprostowanym kciukiem. Postaraj się jednak zrobić to tak, by kciuk był równoległy do górnej części zgiętego palca wskazującego. Teraz wyobraź sobie linijkę zeszytową (z podziałką centymetrową) i zastanów się ile centymetrów zmieści się między tym zgiętym palcem wskazującym a wyprostowanym kciukiem. Myślę, że bez problemów oszacujesz, że jest ich 10 a nie np. 100 czy 1000. Wiesz już, że decymetr ma 10 centymetrów a każdy centymetr w nim zawarty ma 10 milimetrów. Zatem wnioskujesz, że 1 dm = 100 mm. Przejdźmy do metrów. Aby zapamiętać ile metr ma centymetrów wyobraź sobie metrówkę linijkę o długości 1 metra (np. taką szkolną do rysowania linii prostych na tablicy). Zawsze na jej końcu zobaczysz liczbę 100, prawda? Ta liczba 100 oznacza ilość centymetrów. Zatem by zapamiętać ile metr ma centymetrów, wystarczy sobie wyobrazić metrówkę i ostatnią liczbę która jest na niej napisana. W celu zapamiętania ile metr ma decymetrów, przypomnij sobie zgięty palec wskazujący i wyprostowany kciuk równoległy do niego (była to przybliżona długość 1 decymetra). Oszacuj ile takich długości zmieści się w metrówce oczywiście będzie ich 10. Wiedząc już że metr ma 100 cm oraz, że 1 cm = 10 mm (skojarzenie z małymi kreseczkami na linijce zeszytowej), możesz obliczyć w pamięci, że 1 m = 1000 mm. Zostały już tylko kilometry. By zapamiętać, że kilometr ma 1000 metrów, wyobraź sobie, że jesteś poza miastem i idziesz poboczem drogi np. do najbliższej miejscowości. Po Twojej prawej stronie co jakiś czas mijasz mały pionowy biały słupek z napisaną na nim jakąś cyfrą (na rys. obok jest nią cyfra 5). Zapamiętaj, że takie słupki umieszcza się dokładnie co 100 m numerując je od 0 do 9. Odległość między dwoma słupkami z tą samą cyfrą (10 odcinków po 100 metrów) to dokładnie 1 kilometr. Nie trudno więc policzyć, że 1 km = 1000 m. Teraz pokazałem, że 1 km = 1000 m, a wcześniej, że 1 m = 1000 mm. Zatem 1 km = 1000000 mm. W taki sam sposób możesz przeliczyć sobie kilometry na centymetry lub decymetry. 1 km = 100000 cm 1 km = 10000 dm Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 2

Zamiana jednostek większych na mniejsze np. metrów na centymetry Na początku tego opracowania napisałem, że: 1 cm = 10 mm Zauważ, że przy zamianie cm na mm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostało jedno 0. Zatem zamieniając cm na mm do danej liczby trzeba dopisać jedno zero. 13 cm = 130 mm 175 cm = 1750 mm 563549 cm = 5635490 mm 1 dm = 10 cm Zauważ, że przy zamianie dm na cm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostało jedno 0. Zatem zamieniając dm na cm do danej liczby trzeba dopisać jedno zero. 19 dm = 190 cm 235 dm = 2350 cm 111222 dm = 1112220 cm 1 dm = 100 mm Zauważ, że przy zamianie dm na mm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostały dwa zera. Zatem zamieniając dm na mm do danej liczby trzeba dopisać dwa zera. 38 dm = 3800 mm 321 dm = 32100 mm 4567 dm = 456700 mm 1 m = 10 dm Zauważ, że przy zamianie m na dm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostało jedno 0. Zatem zamieniając m na dm do danej liczby trzeba dopisać jedno zero. 7 m = 70 dm 555 m = 5550 dm 112211 m = 1122110 dm 1 m = 100 cm Zauważ, że przy zamianie m na cm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostały dwa zera. Zatem zamieniając m na cm do danej liczby trzeba dopisać dwa zera. 23 m = 2300 cm 523 m = 52300 cm 7895 m = 789500 cm 1 m = 1000 mm Zauważ, że przy zamianie m na mm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostały trzy zera. Zatem zamieniając m na mm do danej liczby trzeba dopisać trzy zera. 13 m = 13000 mm 5689 m = 5689000 mm 554231 m = 554231000 mm 1 km = 1000 m Zauważ, że przy zamianie km na m, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostały trzy zera. Zatem zamieniając km na m do danej liczby trzeba dopisać trzy zera. 7 km = 7000 m 555 km = 555000 m 112211 km = 112211000 m 1 km = 10000 dm Zauważ, że przy zamianie m na cm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostały cztery zera. Zatem zamieniając km na dm do danej liczby trzeba dopisać cztery zera. 23 km = 230000 dm 523 km = 5230000 dm 7895 km = 78950000 dm 1 km = 100000 cm Zauważ, że przy zamianie m na mm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostało pięć zer. Zatem zamieniając km na cm do danej liczby trzeba dopisać pięć zer. 13 km = 1300000 cm 5689 km = 568900000 cm 554231 km = 55423100000 cm 1 km = 1000000 mm Zauważ, że przy zamianie m na mm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostało sześć zer. Zatem zamieniając km na mm do danej liczby trzeba dopisać sześć zer. 13 km = 13000000 mm 5689 km = 5689000000 mm 554231 km = 554231000000 mm Zauważ, że dopisanie do danej liczby: 1 zera jest równoważne pomnożeniu jej przez 10 2 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 100 3 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 1000 4 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 10000 5 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 100000 6 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 1000000. Spostrzeżenie: Aby zamienić np. kilometry na milimetry nie trzeba się uczyć na pamięć, że 1 km ma 1 000 000 mm. Wystarczy wiedzieć, że 1 km = 1000 m (dopisanie 3 zer) oraz, że każdy metr ma 100 cm (dopisanie 2 zer) i że 1 cm ma 10 mm (dopisanie dodatkowo 1 zera). W podobny sposób możesz przeliczać np. km na cm lub na dm oraz metry na centymetry lub milimetry. Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 3

Zamień na milimetry. [Podpowiedź: Ile podana jednostka ma milimetrów? Ile zer trzeba dopisać?] a) 27 cm b) 5 dm c) 35 dm d) 5 m e) 84 m f) 5479 m g) 45613 cm Odp. a) 270 mm, b) 500 mm, c) 3500 mm, d) 5000 mm, e) 84000 mm, f) 5479000 mm, g) 456130 mm Zamień na centymetry. a) 8 dm b) 16 dm c) 352 dm d) 4 m e) 27 m f) 328 m g) 9513 m Odp. a) 80 cm, b) 160 cm, c) 3520 cm, d) 400 cm, e) 2700 cm, f) 32800 cm, g) 951300 cm Zamień na decymetry. a) 700 mm b) 160 cm c) 300 cm d) 4 m e) 27 m f) 328 m g) 9000 mm Odp. a) 7 dm, b) 16 dm, c) 30 dm, d) 40 dm, e) 270 dm, f) 3280 dm, g) 90 dm Zamień na metry. a) 7000 mm b) 650000 mm c) 800 cm d) 40 dm e) 2700 dm f) 950 dm g) 6000 dm Odp. a) 7 m, b) 650 m, c) 8 m, d) 4 m, e) 270 m, f) 95 m, g) 600 m Zuzia narysowała kwadrat o obwodzie 20 cm, zaś Marlenka także kwadrat ale o boku 40 mm. Które z dzieci narysowało większy kwadrat? [Odp. Zuzia. Bok jej kwadratu ma długość 5 cm = 50 mm.] Prostokąt ma boki o długościach 3 cm i 7 cm. Ile milimetrów wynosi jego obwód? [Podpowiedź. Aby wyliczyć obwód prostokąta należy dodać do siebie długości wszystkich jego boków. Odp. 200 mm] Jednostki dwumianowane Zacznijmy od tego, że miano to inna nazwa jednostki. miano miano 5 m 18 cm Analogicznie: 14 km 8 m 3 cm liczba trójmianowana 14 km 8 m 3 cm 6 mm liczba czteromianowana itd. Na pierwszy rzut oka można pokusić się o stwierdzenie liczba 1000-mianowana itp. ale zastanów się, czy jakąkolwiek długość da się zapisać za pomocą 1000 różnych jednostek? Znasz kilometry, metry, decymetry, centymetry, milimetry 5 mian i do nich możesz dorzucić jeszcze kilka jednostek (mian) mniejszych od milimetra np.: mikrometr, nanometr, pikometr, femtometr, attometr, zeptometr oraz miliony razy większych od kilometra: jednostka astronomiczna, rok świetlny, parsek, kiloparsek, megaparsek itd. Czy zatem istnieje liczba 1000-mianowana? Z tego podtematu zapamiętaj tylko tyle, że liczba dwumianowana to taka, która jest zapisana za pomocą dwóch różnych jednostek tego samego rodzaju. Nie może więc zdarzyć się tak, że zostanie użyty zapis np.: 14 cm 8 kg bo centymetry są jednostką długości a kilogramy jednostką masy. Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 4

Wyrażanie liczb dwumianowanych w postaci jednego miana Każdą liczbę dwumianowaną można zamienić na liczbę jednomianowaną. Przypuśćmy, że masz odcinek o długości 5 m 7 mm i chcesz jego długość wyrazić za pomocą jednej jednostki. Zauważasz więc, że skoro 1 m = 1000 mm, to 5 m = 5000 mm. W oparciu o to zapisujesz: 5 m 7 mm = 5000 mm + 7 mm = 5007 mm Zobacz inne przykłady: 8 cm 9 mm = 80 mm + 9 mm = 89 mm 14 dm 6 mm = 1400 mm + 6 mm = 1406 mm 7 km 24 cm = 700000 cm + 24 cm = 700024 cm Spostrzeżenie Ponieważ kilometr (km) ma 1000 m (3 zera), a metr ma 100 cm (2 zera), więc by szybko zamienić 7 km na centymetry (cm) wystarczy do liczby kilometrów (w tym przypadku do liczby 7) dopisać 5 zer: 7 km = 700000 cm. Dodawanie liczb dwumianowanych Wyobraź sobie, że masz jeden sznurek który został rozcięty na 2 części. Jedna z tych części ma długość np. 3 m 90 cm a druga powiedzmy 1 m 40 cm. Jaką długość miał sznurek przed rozcięciem? By odpowiedzieć na to pytanie, musisz dodać do siebie podane liczby dwumianowane. Najłatwiej robi się to dodając do siebie metry z metrami i centymetry z centymetrami: 3 m 90 cm + 1 m 40 cm = 4 m 130 cm Proste, prawda? To jednak nie koniec. W otrzymanym wyniku wyszło 130 cm, a to przecież 1 m 30 cm, zgadza się? Zatem w myślach zamiast 130 cm możesz napisać 1 m 30 cm, co w rezultacie da wynik końcowy równy 5 m 30 cm. Zobacz inne przykłady: 3 m 90 cm + 1 m 40 cm = 4 m 130 cm = 5 m 30 cm 5 km 800 m + 2 km 600 m = 7 km 1400 m = 8 km 400 m 2 km 700 m + 400 m 53 cm = 2 km 1100 m 53 cm = 3 km 100 m 53 cm Spostrzeżenie: Wynikiem dodawania liczb dwumianowanych może być np. liczba trójmianowana. Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 5

Wykonaj wskazane działanie. a) 700 m 80 cm + 500 m 60 cm = b) 32 dm 9 cm + 8 dm 4 cm = [Odp. a) 1 km 201 m 40 cm b) 41 dm 3 cm = 4 m 1 dm 3 cm.] Liczby dwumianowane można do siebie dodawać również poprzez zamianę każdej z nich na liczbę jednomianowaną. Należy jednak pamiętać, że dodawanie liczb jednomianowanych jest możliwe tylko wtedy, gdy obie te liczby są wyrażone w tej samej jednostce. Nie można więc zrobić czegoś takiego, że pierwszą liczbę dwumianowaną zamienisz np. na metry a drugą na centymetry i je do siebie dodasz. Jeśli pierwsza liczba dwumianowana została zamieniona na metry, to i drugą liczbę też trzeba zamienić na metry. Przykład 2 km 700 m + 400 m 53 cm = 270000 cm + 40053 cm = 310053 cm Spostrzeżenie Nieco wcześniej na tej stronie (przy dodawaniu liczb dwumianowanych) zostało napisane, że: 2 km 700 m + 400 m 53 cm = 3 km 100 m 53 cm a tu przy zamianie na liczby jednomianowane, to samo działanie dało wynik 310053 cm. Nie ma w tym jednak sprzeczności, bo jak 3 km 100 m 53 cm zamienisz na centymetry, to otrzymasz właśnie 310053 cm. Odejmowanie liczb dwumianowanych 3 m 90 cm 1 m 40 cm = 2 m 50 cm metry odjęto od metrów a centymetry od centymetrów 5 km 800 m 2 km 600 m = 3 km 200 m kilometry odjęto od kilometrów a centymetry od centymetrów Nie zawsze jednak odejmowanie liczb dwumianowanych tak łatwo się wykonuje. Zobacz przykład: 15 km 500 m 8 km 600 m = 6 km 900 m Tu trzeba było najpierw rozmienić 1 km w pierwszej liczbie dwumianowanej, bo potem nie można byłoby wykonać odejmowania: 500 m 900 m, no chyba że znasz już liczby ujemne (mniejsze od 0) i umiesz się nimi posługiwać. To samo działanie co wyżej można również było wykonać zamieniając obie liczby mieszane na te same jednostki (miana): 15 km 500 m 8 km 600 m = 6900 m ą ć Podaj wynik: a) 700 m 80 cm 500 m 60 cm = b) 32 dm 2 cm 9 dm 8 cm = [Odp. a) 200 m 20 cm b) 22 dm 4 cm] Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 6

Zapisywanie liczb dwumianowanych w postaci ułamka dziesiętnego Do tej pory w tym opracowaniu zapisywaliśmy długość odcinków (odległość między dwoma punktami) na ogół za pomocą jednostek dwumianowanych. Zastanów się jednak, czy kiedykolwiek zdarzyło Ci się widzieć jednostki dwumianowane np. w telewizji, w internecie czy w jakiejkolwiek gazecie? Otóż nie. W praktyce tj. w życiu codziennym nie używa się jednostek które mają więcej niż jedno miano. Wszystko to co robiliśmy do tej pory zapisuje się za pomocą tzw. ułamków dziesiętnych. Ułamek dziesiętny inny zapis ułamka zwykłego o mianowniku 10 lub 100 lub 1000 lub 10000 lub W powyższym zdaniu nie wolno słowa lub zastąpić przecinkiem pomimo tego, że gramatyka języka polskiego zakazuje wielokrotnego używania tego samego słowa w jednym akapicie. Matematycznie słowo lub oznacza alternatywę a przecinek koniunkcję. Co to jest alternatywa oraz koniunkcja dowiesz się w klasie pierwszej liceum. Przypuśćmy, że masz liczbę mieszaną np. 8. Aby ją zamienić na ułamek dziesiętny, wystarczy: przepisać liczbę całości (w tym przypadku jest nią liczba 8) postawić za nią przecinek (oddziela on całości od części ułamkowej) za przecinkiem postawić 3 cyfry, bo w mianowniku była liczba 1000 która ma 3 zera na ostatnich miejscach napisać liczbę która była w liczniku (w tym przypadku jest nią liczba 7) puste miejsca uzupełnić zerami Zatem: Inne przykłady: 8 = 8, 007 15 = 15, 09 147 = 147, 013 19 = 19, 0015 230 = 8, 000042 Wiedząc już jak zamienia się liczby mieszane na ułamki dziesiętne, przejdźmy do zamiany liczb dwumianowanych na ułamki dziesiętne. Otóż jeśli masz np. zamienić 5 m 3 cm na ułamek dziesiętny to najpierw: patrzysz na miana (jednostki) występujące w danej liczbie (w tym przypadku są to metry i centymetry) zastanawiasz się ile metr ma centymetrów (przypomnij sobie ostatnią liczbę na metrówce) piszesz znak równości za znakiem równości piszesz liczbę która była przed pierwszą jednostką (przed pierwszym mianem) za napisaną liczbą stawiasz przecinek zastanawiasz się ile cyfr będzie za przecinkiem (będą dwie, bo metr ma 100 cm, a liczba 100 ma 2 zera) wpisujesz za przecinkiem liczbę która była między mianami puste miejsca uzupełniasz zerami za napisanym ułamkiem dziesiętnym dopisujesz to miano które było większe (tym przypadku są to metry). Tak więc w tym przypadku masz zapis: Zobacz inne przykłady: 5 m 3 cm = 5,03 m Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 7

8 km 6 cm = 8,00006 km 7 m 14 mm = 7,014 m 2 m 4 dm = 2,4 m 12 km 8 dm = 12,0008 km 18 dm 1 mm = 18,01 dm 14 km 94 mm = 14,000094 km Nigdy nie zapominaj o napisaniu jednostki za ułamkiem dziesiętnym. Zamień podane liczby dwumianowane na ułamek dziesiętny. a) 700 m 80 cm b) 54 m 64 mm c) 7 km 21 mm d) 19 dm 6 cm [Odp. a) 700,80 m, b) 54,064 m, c) 7,000021 km, d) 19,6 dm.] Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 8

Zamiana jednostek mniejszych na większe np. centymetrów na metry Na początku tego opracowania napisałem, że: 1 cm = 10 mm 10 mm = 1 cm Zauważ, że przy zamianie mm na cm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostało jedno 0. Zatem zamieniając mm na cm trzeba w danej liczbie skreślić jedno zero. 130 mm = 13 cm 170 mm = 17 cm 563540 mm = 56354 cm 1 dm = 10 cm 10 cm = 1 dm Zauważ, że przy zamianie cm na dm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostało jedno 0. Zatem zamieniając cm na dm trzeba w danej liczbie skreślić jedno zero. 190 cm = 19 dm 2350 cm = 235 dm 111200 cm = 11120 dm 1 dm = 100 mm 100 mm = 1 dm Zauważ, że przy zamianie mm na dm, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostały dwa zera. Zatem zamieniając mm na dm trzeba w danej liczbie skreślić dwa zera. 3800 dm = 38 mm 321000 dm = 3210 mm 456700 dm = 4567 mm 1 m = 10 dm 10 dm = 1 m Zauważ, że przy zamianie dm na m, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostało jedno 0. Zatem zamieniając dm na m trzeba w danej liczbie skreślić jedno zero. 70 dm = 7 m 55500 dm = 5550 m 11200000 dm = 112000 m 1 m = 100 cm 100 cm = 1 m Zauważ, że przy zamianie cm na m, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostały dwa zera. Zatem zamieniając cm na m trzeba w danej liczbie skreślić dwa zera. 2300 cm = 23 m 52300 cm = 523 m 7895000 cm = 78950 m 1 m = 1000 mm 1000 mm = 1 m Zauważ, że przy zamianie mm na m, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostały trzy zera. Zatem zamieniając mm na m trzeba w danej liczbie skreślić trzy zera. 13000 mm = 13 m 5689000 mm = 5689 m 554200000 mm = 554200 m 1 km = 1000 m 1000 m = 1 km Zauważ, że przy zamianie m na km, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostały trzy zera. Zatem zamieniając m na km trzeba w danej liczbie skreślić trzy zera. 7000 m = 7 km 555000 m = 555 km 1120000 m = 1120 km 1 km = 10000 dm 10000 dm = 1 km Zauważ, że przy zamianie dm na km, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostały cztery zera. Zatem zamieniając dm na km trzeba w danej liczbie skreślić cztery zera. 230000 dm = 23 km 5230000 dm = 523 km 78000000 dm = 7800 km 1 km = 100000 cm 100000 cm = 1 km Zauważ, że przy zamianie cm na km, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostało pięć zer. Zatem zamieniając cm na km trzeba w danej liczbie skreślić pięć zer. 1300000 cm = 13 km 568900000 cm = 5689 km 55423100000 cm = 554231 km 1 km = 1000000 mm 1000000 mm = 1 km Zauważ, że przy zamianie mm na km, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostało sześć zer. Zatem zamieniając mm na km w danej liczbie trzeba skreślić sześć zer. 13000000 mm = 13 km 56890000000 mm = 56890 km Zauważ, że skreślenie w danej liczbie: 1 zera jest równoważne podzieleniu jej przez 10 2 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 100 3 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 1000 4 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 10000 5 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 100000 6 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 1000000. Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 9

Spostrzeżenie: Aby zamienić np. milimetry na kilometry nie trzeba się uczyć na pamięć, że 1000000 mm to 1 km. Wystarczy wiedzieć, że 1000 m = 1 km (skreślenie 3 zer) oraz, że 100 cm to 1 m (skreślenie 2 zer) i że 10 mm to 1 cm (skreślenie dodatkowo 1 zera). W podobny sposób możesz przeliczać np. cm na km oraz milimetry na metry. Prostokąt ma boki o długościach 5 cm i 3 dm. Ile decymetrów wynosi jego obwód? [Podpowiedź. Aby wyliczyć obwód prostokąta należy dodać do siebie długości wszystkich jego boków. Odp. 7 dm] Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 10

Zamiana jednostek ułamki dziesiętne 1 cm = 10 mm 1 dm = 10 cm oraz mówiłem, że zamieniając cm na mm oraz dm na cm wystarczy dopisać jedno 0. Zauważ jednak, że dopisanie zera to inaczej pomnożenie danej liczby przez 10 (przesunięcie przecinka o 1 miejsce w prawo). 14,7 cm = 147 mm 58,129 cm = 581,29 mm 13549,3549 cm = 135493,549 mm 1 dm = 100 mm 1 m = 100 cm oraz mówiłem, że zamieniając dm na mm oraz m na cm wystarczy dopisać 2 zera. Zauważ jednak, że dopisanie dwóch zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez 100 (przesunięcie przecinka o 2 miejsca w prawo). 5,3 dm = 530 mm 89,146 dm = 8914,6 mm 2357,1675 dm = 235716,75 mm 1 m = 1000 mm 1 km = 1000 m oraz mówiłem, że zamieniając m na mm oraz km na m wystarczy dopisać 3 zera. Zauważ jednak, że dopisanie trzech zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez 1000 (przesunięcie przecinka o 3 miejsca w prawo). 8,2 m = 8200 mm 12,56 m = 12560 mm 4676,128 m = 4676128 mm 1 km = 10000 dm oraz mówiłem, że zamieniając km na dm wystarczy dopisać 4 zera. Zauważ jednak, że dopisanie czterech zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez 10000 (przesunięcie przecinka o 4 miejsca w prawo). 25,123456 km = 251234,56 dm 523,17 km = 5231700 dm 0,0011223344 km = 11,223344 dm 1 km = 100000 cm oraz mówiłem, że zamieniając km na cm wystarczy dopisać 5 zer. Zauważ jednak, że dopisanie pięciu zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez 100000 (przesunięcie przecinka o 5 miejsc w prawo). 1,314151617 km = 1331415,1617 cm 56,1234 km = 5612340 cm 0,0000008 km = 0,08 cm 1 km = 1000000 mm oraz mówiłem, że zamieniając km na mm wystarczy dopisać 6 zer. Zauważ jednak, że dopisanie sześciu zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez milion (przesunięcie przecinka o 6 miejsc w prawo). 1,314151617 km = 13314151,617 mm 56,1234 km = 56123400 mm 0,0000008 km = 0,8 mm 10 mm = 1 cm 10 cm = 1 dm oraz mówiłem, że zamieniając mm na cm oraz cm na dm wystarczy skreślić jedno 0. Zauważ jednak, że skreślenie zera to inaczej podzielenie danej liczby przez 10 (przesunięcie przecinka o 1 miejsce w lewo). 14,7 mm = 147 cm 58,129 mm = 581,29 cm 13549,3549 mm = 135493,549 cm 100 mm = 1 dm 100 cm = 1 m oraz mówiłem, że zamieniając mm na dm oraz cm na m wystarczy skreślić 2 zera. Zauważ jednak, że skreślenie dwóch zer to inaczej podzielenie danej liczby przez 100 (przesunięcie przecinka o 2 miejsca w lewo). 5,3 mm = 0,053 dm 89,146 mm = 0,89146 dm 2357,1675 mm = 23,571675 dm 1000 mm = 1 m 1000 m = 1 km oraz mówiłem, że zamieniając mm na m oraz m na km wystarczy skreślić 3 zera. Zauważ jednak, że skreślenie trzech zer to inaczej podzielenie danej liczby przez 1000 (przesunięcie przecinka o 3 miejsca w lewo). 8,2 mm = 0,0082 m 12,56 mm = 0,01256 m 4676,128 mm = 4,676128 m 10000 dm = 1 km oraz mówiłem, że zamieniając dm na km wystarczy skreślić 4 zera. Zauważ jednak, że skreślenie czterech zer to inaczej podzielenie danej liczby przez 10000 (przesunięcie przecinka o 4 miejsca w lewo). 25,123456 dm = 0,0025123456 km 523,17 dm = 0,052317 km 0,0011223344 dm = 0,00000011223344 km 100000 cm = 1 km oraz mówiłem, że zamieniając cm na km wystarczy skreślić 5 zer. Zauważ jednak, że skreślenie pięciu zer to inaczej podzielenie danej liczby przez 100000 (przesunięcie przecinka o 5 miejsc w lewo). 1,314151617 cm = 0,00001314151617 km 56,1234 cm = 0,000561234 km 0,0000008 cm = 0,000000000008 km 1000000 mm = 1 km oraz mówiłem, że zamieniając mm na km wystarczy skreślić 6 zer. Zauważ jednak, że skreślenie sześciu zer to inaczej podzielenie danej liczby przez milion (przesunięcie przecinka o 6 miejsc w lewo). 1,314151617 mm = 0,000001314151617 km 56,1234 mm = 0,0000561234 km 0,0000008 mm = 0,0000000000008 km Zamień na milimetry. [Podpowiedź: Ile podana jednostka ma milimetrów? O ile miejsc trzeba przesunąć przecinek?] a) 5,8 cm b) 25,74 cm c) 25,7 dm d) 3,1257 dm e) 5,4 m f) 8,5432 m g) 12,138 km Odp. a) 58 mm, b) 257,4 mm, c) 2570 mm, d) 312,57 mm, e) 5400 mm, f) 8543,2 mm, g) 12138000 mm. Zamień na centymetry. a) 5 km b) 2,3 km c) 5,74 km d) 23,18 km e) 42,7946 km f) 1,1568465 km Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 11

Odp. a) 500000 cm, b) 230000 cm, c) 574000 cm, d) 2318000 cm, e) 4279460 cm, f) 115684,65 cm. Zamień na decymetry. a) 320 mm b) 25 mm c) 8 mm d) 62,4 mm e) 4,2 cm f) 39 cm g) 73,8 m Odp. a) 3,2 dm, b) 0,25 dm, c) 0,08 dm, d) 0,624 dm, e) 0,42 dm, f) 3,9 dm, g) 738 dm. Zamień na metry. a) 4900 mm b) 16 mm c) 765 mm d) 59,18 mm e) 36,8 cm f) 3,68 dm g) 25,4 dm Odp. a) 4,9 m, b) 0,016 m, c) 0,765 m, d) 0,05918 m, e) 0,368 m, f) 0,368 m, g) 2,54 m. Na planie wykonanym w skali 1 : 10000 odległość od domu Kasi do Karoliny wynosi 64 mm. Na tym samym planie odległość od domu Tomka do domu Marka jest 4 razy mniejsza niż od domu Kasi do Karoliny. Ile centymetrów na tym planie liczy odległość między domem Marka a Tomka? [Odp. 1,6 cm] Pole pewnego rolnika ma kształt prostokąta o wymiarach 1 km 100 m. Ile centymetrów będzie mieć obwód tego pola na planie wykonanym w skali 1 : 10000? [Podpowiedź. Wymiary tego pola wyraź najpierw w centymetrach, a potem każdy z nich podziel przez 10000 i oblicz obwód. Odp. 22 cm.] Basia mieszka w odległości 400 m od domu Emilki, zaś Emilka by dojść do Sebastiana potrzebuje pokonać odległość 3000 dm. Sebastian chcąc iść do Basi, od niej do Emilki, a potem znowu do swojego domu musi pokonać w sumie 1,2 km. Oblicz ile metrów dzieli dom Sebastiana od domu Basi. Zapoznanie się z jednostkami długości nie stosowanymi w życiu codziennym. W zależności od tego czy w danej chwili zajmujesz się astronomią czy mikrobiologią (bakterie, wirusy, priony) czy może atomami albo zwykłym ustalaniem odległości np. między miastami, zachodzi potrzeba stosowania różnych jednostek długości. Poniżej przedstawiam zestawienie ich nazw oraz oznaczeń. chemiczne mikrobiologiczne geodezyjno-kartograficzne astronomiczne nazwa ozn. nazwa ozn. metryczne brytyjskie nazwa ozn. nazwa ozn. nazwa ozn. zeptometr (1/1000000000000000000 mm) zm pikometr (1/1000000000 mm) pm milimetr mm cal in sekundy świetlne ls attometr (1/1000000000000000 mm) am nanometr (1/1000000 mm) nm centymetr cm stopa ft minuty świetlne lm femtometr (1/1000000000000 mm) fm mikrometr (1/1000 mm) µm decymetr dm jard yd jednostka astronomiczna AU metr m pręt rd rok świetlny ly kilometr km łańcuch ch parsek pc furlong fur kiloparsek kpc mila m megaparsek Mpc mila morska NM gigaparsek Gpc liga lg teraparsek Tpc Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 12

Jednostki długości wymienione wyżej nie są jedynymi spotykanymi na świecie. Przykładowo w Japonii stosuje się jednostki długości: rin (ok. 0,3 mm), bu (ok. 3 mm), sun (ok. 3 cm), shaku (ok. 30 cm), ken (ok. 1,8 m). W fizyce do mierzenia m.in. długości fali używa się jednostki o nazwie Angstrem [A]. W Polsce na co dzień posługujemy się powyższymi geodezyjno-kartograficznymi jednostkami metrycznymi, ale do mniej więcej początków XX wieku, stosowano inne jednostki długości. W handlu stosowano: sążeń (ok. 1787 mm), łokieć (ok. 596 mm), stopę (ok. 298 mm), sztych (ok. 199 mm), ćwierć (ok. 149 mm), dłoń (ok. 74 mm), palec (ok. 25 mm), ziarno (ok. 3 mm). W rolnictwie używano: zagon (ok. 134 m), sznur (ok. 44,5 m), laskę (ok. 9 m), pręt (ok. 4,5 m), krok (ok. 2 m), łokieć (ok. 60 cm), pręcik (ok. 44,5 cm), ławkę (ok. 4,5 cm). W ruchu drogowym wyróżniano: mile (ok. 8 km), półmile (ok. 4 km), ćwierćmile (ok. 2 km), wiorsty (ok. 1067 m od 1835 r.), staje (ok. 1 km). Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 13

Temat: Jednostki masy. Jednostki masy stosowane w Polsce Tego co jest poniżej wyucz się na pamięć. 1 t = 1000 kg litera t to oznaczenie tony, zaś kg kilograma 1 q = 100 kg litera q oznacza kwintale (używa się ich przy ważeniu zboża) 1 t = 10 q 1 kg = 1000 g wymowa 1000 g to tysiąc gramów (nie tysiąc gram) 1 kg = 100 dag do 1960 roku w Polsce dekagram oznaczano skrótem dkg 1 dag = 10 g 1 g = 1000 mg mg to miligram Jak zapamiętać ile co ma czego? Aby zapamiętać, że 1 kg ma 1000 g przypomnij sobie starą wagę sklepową na odważniki np. taką jak na rysunku obok. Były one dwóch typów. Niektóre na podziałce miały liczby od 0 do 1000 (masa wyrażona w gramach), a niektóre od 0 do 100 (masa wyrażona w dekagramach). Waga na rysunku obok ma podziałkę od 0 do 1000 (powiększenie podziałki znajduje się niżej) więc liczby na niej wyrażają masę w gramach. Wiedząc już to że 1 kg ma 1000 g oraz, że 1 kg = 100 dag możesz łatwo obliczyć, że 1 dag = 10 g. Dokładnie w taki sam sposób można zapamiętać, że 1 tona (1000 kg) ma dokładnie 10 kwintali (po 100 kg). W celu zapamiętania, że 1 gram ma 1000 miligramów, przypomnij sobie metry i milimetry i zauważ, że wyróżnione kolorem czerwonym słowo mili pomniejsza słowo wyróżnione kolorem zielonym 1000-krotnie. Zatem milimetr to tysięczna część metra. Skoro tu mamy miligramy, to jest to dla Ciebie informacja, że miligram jest tysięczną częścią grama. Wniosek: 1 g = 1000 mg. Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 14

Zamiana jednostek większych na mniejsze np. kilogramów na gramy Na początku tego tematu napisałem, że: 1 dag = 10 g Zauważ, że przy zamianie dag na g, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostało jedno 0. Zatem zamieniając dag na g do danej liczby trzeba dopisać jedno zero. 13 dag = 130 g 175 dag = 1750 g 563549 dag = 5635490 g 1 kg = 100 dag Zauważ, że przy zamianie kg na dag, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostały dwa 0. Zatem zamieniając kg na dag do danej liczby trzeba dopisać dwa zera. 19 kg = 1900 dag 235 kg = 23500 dag 111222 kg = 11122200 dag 1 kg = 1000 g Zauważ, że przy zamianie kg na g, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostały trzy zera. Zatem zamieniając kg na g do danej liczby trzeba dopisać trzy zera. 38 kg = 38000 g 321 kg = 321000 g 4567 kg = 4567000 g 1 t = 10 q Zauważ, że przy zamianie t na q, cyfra 1 (kolor czerwony) występuje po obu stronach znaku równości, a po stronie prawej dopisane zostało jedno 0. Zatem zamieniając t na q (kwintale) do danej liczby trzeba dopisać jedno zero. 7 t = 70 q 555 t = 5550 q 112211 t = 1122110 q 1 q = 100 kg Zauważ, że przy zamianie q na kg, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostały dwa zera. Zatem zamieniając q na kg do danej liczby trzeba dopisać dwa zera. 23 q = 2300 kg 523 q = 52300 kg 7895 q = 789500 kg 1 t = 1000 kg Zauważ, że przy zamianie t na kg, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostały trzy zera. Zatem zamieniając t na kg do danej liczby trzeba dopisać trzy zera. 13 t = 13000 kg 5689 t = 5689000 kg 554231 t = 554231000 kg 1 g = 1000 mg Zauważ, że przy zamianie g na mg, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostały trzy zera. Zatem zamieniając g na mg (miligramy) do danej liczby trzeba dopisać trzy zera. 7 g = 7000 mg 555 g = 555000 mg 112211 g = 112211000 mg 1 q = 10000 dag Zauważ, że przy zamianie q na dag, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej dopisane zostały cztery zera. Zatem zamieniając q na dag do danej liczby trzeba dopisać cztery zera. 23 q = 230000 dag 523 q = 5230000 dag 7895 q = 78950000 dag 1 q = 100000 g Zauważ, że przy zamianie q na g, cyfra 1 (kolor czerwony) występuje po obu stronach znaku równości, a po stronie prawej dopisane zostało pięć zer. Zatem zamieniając km na cm do danej liczby trzeba dopisać pięć zer. 13 q = 1300000 g 5689 q = 568900000 g 554231 q = 55423100000 g 1 t = 1000000 g Zauważ, że przy zamianie t na g, cyfra 1 (kolor czerwony) występuje po obu stronach znaku równości, a po stronie prawej dopisane zostało sześć zer. Zatem zamieniając t na g do danej liczby trzeba dopisać sześć zer. 13 t = 13000000 g 5689 t = 5689000000 g 554231 t = 554231000000 g Zauważ, że dopisanie do danej liczby: 1 zera jest równoważne pomnożeniu jej przez 10 2 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 100 3 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 1000 4 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 10000 5 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 100000 6 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 1000000. Spostrzeżenie: Aby zamienić np. tony na gramy nie trzeba się uczyć na pamięć, że 1 km ma 1 000 000 mm. Wystarczy wiedzieć, że 1 t = 1000 kg (dopisanie 3 zer) oraz, że każdy kilogram ma 1000 gramów (dopisanie kolejnych 3-ch zer). W podobny sposób możesz przeliczać np. tony na dekagramy lub miligramy (1 t = 1000000000 mg). Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 15

Jednostki dwumianowane Zacznijmy od tego, że miano to inna nazwa jednostki. miano miano 5 kg 18 g Analogicznie: 14 kg 8 dag 3 g liczba trójmianowana 14 kg 8 dag 3 g 6 mg liczba czteromianowana itd. Na pierwszy rzut oka można pokusić się o stwierdzenie liczba 1000-mianowana itp. ale zastanów się, czy jakąkolwiek długość da się zapisać za pomocą 1000 różnych jednostek? Znasz tony, kilogramy, dekagramy, gramy, miligramy 5 mian i do nich możesz dorzucić jeszcze kilka jednostek (mian) mniejszych od miligrama które nie zostały w tym opracowaniu wymienione. Czy zatem doliczysz się 1000 różnych jednostek masy? Z tego podtematu zapamiętaj tylko tyle, że liczba dwumianowana to taka, która jest zapisana za pomocą dwóch różnych jednostek tego samego rodzaju. Nie może więc zdarzyć się tak, że zostanie użyty zapis np.: 14 cm 8 kg bo centymetry są jednostką długości a kilogramy jednostką masy. Wyrażanie liczb dwumianowanych w postaci jednego miana Każdą liczbę dwumianowaną można zamienić na liczbę jednomianowaną. Przypuśćmy, że coś waży 5 kg 7 g i chcesz masę tego czegoś wyrazić za pomocą jednej jednostki. Zauważasz więc, że skoro 1 kg = 1000 g, to 5 kg = 5000 g. W oparciu o to zapisujesz: 5 kg 7 g = 5000 g + 7 g = 5007 g Zobacz inne przykłady: 8 dag 9 g = 80 g + 9 g = 89 g 14 kg 6 dag = 1400 dag + 6 dag = 1406 dag 7 t 24 dag = 700000 dag + 24 dag = 700024 dag Spostrzeżenie Ponieważ tona (t) ma 1000 kg (3 zera), a kilogram ma 100 dag (2 zera), więc by szybko zamienić 7 ton na dekagramy (dag) wystarczy do liczby ton (w tym przypadku do liczby 7) dopisać 5 zer: 7 t = 700000 dag. Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 16

Dodawanie liczb dwumianowanych Wyobraź sobie, że cukiernia zrobiła na zamówienie bardzo duży tort, a osoba zamawiająca go rozcięła go na 2 części. Załóżmy, że jedna z tych części waży np. 3 kg 90 dag a druga 1 kg 40 dag. Ile ważył ten tort przed rozcięciem? By odpowiedzieć na to pytanie, musisz dodać do siebie podane liczby dwumianowane. Najłatwiej robi się to dodając do siebie kilogramy z kilogramami i dekagramy z dekagramami: 3 kg 90 dag + 1 kg 40 dag = 4 kg 130 dag Proste, prawda? To jednak nie koniec. W otrzymanym wyniku wyszło 130 dag, a to przecież 1 kg 30 dag, zgadza się? Zatem w myślach zamiast 130 dag możesz napisać 1 kg 30 dag, co w rezultacie da wynik końcowy równy 5 kg 30 dag. Zobacz inne przykłady: 5 kg 800 g + 2 kg 600 g = 7 kg 1400 g 3 kg 90 dag + 1 kg 40 dag = 4 kg 130 dag = 8 kg 400 g 2 t 700 kg + 400 kg 53 dag = 2 t 1100 kg 53 dag = 3 t 100 kg 53 dag Spostrzeżenie: = 5 kg 30 dag Wynikiem dodawania liczb dwumianowanych może być np. liczba trójmianowana. Wykonaj wskazane działanie. a) 700 kg 80 dag + 500 kg 60 dag = b) 32 dag 9 g + 78 dag 4 g = [Odp. a) 1 t 201 kg 40 dag b) 111 dag 3 g = 1 kg 11 dag 3 g.] Liczby dwumianowane można do siebie dodawać również poprzez zamianę każdej z nich na liczbę jednomianowaną. Należy jednak pamiętać, że dodawanie liczb jednomianowanych jest możliwe tylko wtedy, gdy obie te liczby są wyrażone w tej samej jednostce. Nie można więc zrobić czegoś takiego, że pierwszą liczbę dwumianowaną zamienisz np. na gramy a drugą na kilogramy i je do siebie dodasz. Jeśli pierwsza liczba dwumianowana została zamieniona na gramy, to i drugą liczbę też trzeba zamienić na gramy. Przykład 2 t 700 kg + 400 kg 53 dag = 270000 dag + 40053 dag = 310053 dag Spostrzeżenie ą ć Nieco wcześniej na tej stronie (przy dodawaniu liczb dwumianowanych) zostało napisane, że: 2 t 700 kg + 400 kg 53 dag = 3 t 100 kg 53 dag a tu przy zamianie na liczby jednomianowane, to samo działanie dało wynik 310053 dag. Nie ma w tym jednak sprzeczności, bo jak 3 t 100 kg 53 dag zamienisz na dekagramy, to otrzymasz właśnie 310053 dag. Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 17

Odejmowanie liczb dwumianowanych 3 kg 90 dag 1 kg 40 dag = 2 kg 50 dag kilogramy odjęto od kilogramów a dekagramy od dekagramów 5 kg 800 g 2 kg 600 g = 3 kg 200 g kilogramy odjęto od kilogramów a gramy od gramów Nie zawsze jednak odejmowanie liczb dwumianowanych tak łatwo się wykonuje. Zobacz przykład: 15 kg 500 g 8 kg 600 g = 6 kg 900 g Tu trzeba było najpierw rozmienić 1 kg w pierwszej liczbie dwumianowanej, bo potem nie można byłoby wykonać odejmowania: 500 g 900 g, no chyba że znasz już liczby ujemne (mniejsze od 0) i umiesz się nimi posługiwać. To samo działanie co wyżej można również było wykonać zamieniając obie liczby mieszane na te same jednostki (miana): 15 kg 500 g 8 kg 600 g = 6900 g ą ć Podaj wynik: a) 700 kg 80 dag 500 kg 60 dag = b) 32 dag 2 g 9 dag 8 g = [Odp. a) 200 kg 20 dag b) 22 dag 4 g] Zapisywanie liczb dwumianowanych w postaci ułamka dziesiętnego Do tej pory w tym opracowaniu zapisywaliśmy masę na ogół za pomocą jednostek dwumianowanych. Zastanów się jednak, czy kiedykolwiek zdarzyło Ci się widzieć jednostki dwumianowane np. w telewizji, w internecie czy w jakiejkolwiek gazecie? Otóż nie. W praktyce tj. w życiu codziennym nie używa się jednostek które mają więcej niż jedno miano. Wszystko to co robiliśmy do tej pory zapisuje się za pomocą tzw. ułamków dziesiętnych. Ułamek dziesiętny patrz strona 7 Wiedząc już jak zamienia się liczby mieszane na ułamki dziesiętne (strona 7), przejdźmy do zamiany liczb dwumianowanych na ułamki dziesiętne. Otóż jeśli masz np. zamienić 5 kg 3 dag na ułamek dziesiętny to najpierw: patrzysz na miana (jednostki) występujące w danej liczbie (w tym przypadku są to kilogramy i dekagramy) zastanawiasz się ile kilogram ma dekagramów (przypomnij sobie wagę szalkową z liczbą 100 na końcu) piszesz znak równości za znakiem równości piszesz liczbę która była przed pierwszą jednostką (przed pierwszym mianem) za napisaną liczbą stawiasz przecinek zastanawiasz się ile cyfr będzie za przecinkiem (będą dwie, bo kg ma 100 dag, a liczba 100 ma 2 zera) wpisujesz za przecinkiem liczbę która była między mianami puste miejsca uzupełniasz zerami za napisanym ułamkiem dziesiętnym dopisujesz to miano które było większe (tym przypadku są to kg). Tak więc w tym przypadku masz zapis: 5 kg 3 dag = 5,03 kg Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 18

Zobacz inne przykłady: 8 t 6 dag = 8,00006 t 7 g 14 mg = 7,014 g 2 dag 4 g = 2,4 dag 12 dag 8 mg = 12,0008 dag 18 kg 1 dag = 18,01 kg 14 t 94 g = 14,000094 t Nigdy nie zapominaj o napisaniu jednostki za ułamkiem dziesiętnym. Zamień podane liczby dwumianowane na ułamek dziesiętny. a) 700 kg 80 dag b) 54 kg 64 mg c) 7 t 21 g d) 19 dag 6 g [Odp. a) 700,80 kg, b) 54,000064 kg, c) 7,000021 t, d) 19,6 dag.] Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 19

Zamiana jednostek mniejszych na większe np. gramów na kilogramy Na początku tego tematu napisałem, że: 1 dag = 10 g 10 g = 1 dag Zauważ, że przy zamianie g na dag, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostało jedno 0. Zatem zamieniając g na dag trzeba w danej liczbie skreślić jedno zero. 130 dag = 13 g 170 dag = 17 g 563540 dag = 56354 g 1 kg = 100 dag 100 dag = 1 kg Zauważ, że przy zamianie dag na kg, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostały dwa 0. Zatem zamieniając dag na kg trzeba w danej liczbie skreślić dwa zera. 1900 dag = 19 kg 23500 dag = 235 kg 1112000 dag = 11120 kg 1 kg = 1000 g 1000 g = 1 kg Zauważ, że przy zamianie g na kg, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostały trzy zera. Zatem zamieniając g na kg trzeba w danej liczbie skreślić trzy zera. 38000 g = 38 kg 3210000 g = 3210 kg 4567000 g = 4567 kg 1 t = 10 q 10 q = 1 t Zauważ, że przy zamianie q na t, cyfra 1 (kolor czerwony) występuje po obu stronach znaku równości, a po stronie prawej skreślone zostało jedno 0. Zatem zamieniając q na t trzeba w danej liczbie skreślić jedno zero. 70 q = 7 t 55500 q = 5550 t 11200000 q = 112000 t 1 q = 100 kg 100 kg = 1 q Zauważ, że przy zamianie kg na q, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostały dwa zera. Zatem zamieniając kg na q trzeba w danej liczbie skreślić dwa zera. 2300 kg = 23 g 52300 kg = 523 g 7895000 kg = 78950 g 1 t = 1000 kg 1000 kg = 1 t Zauważ, że przy zamianie kg na t, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostały trzy zera. Zatem zamieniając kg na t trzeba w danej liczbie skreślić trzy zera. 13000 kg = 13 t 5689000 kg = 5689 t 554200000 kg = 554200 t 1 g = 1000 mg 1000 mg = 1 g Zauważ, że przy zamianie mt na g, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostały trzy zera. Zatem zamieniając mg na g trzeba w danej liczbie skreślić trzy zera. 7000 mg = 7 g 555000 mg = 555 g 1120000 mg = 1120 g 1 q = 10000 dag 10000 dag = 1 q Zauważ, że przy zamianie dag na q, cyfra 1 (kolor a po stronie prawej skreślone zostały cztery zera. Zatem zamieniając dag na q trzeba w danej liczbie skreślić cztery zera. 230000 dag = 23 q 5230000 dag = 523 q 78000000 dag = 7800 q 1 q = 100000 cg 100000 g = 1 q Zauważ, że przy zamianie g na q, cyfra 1 (kolor czerwony) występuje po obu stronach znaku równości, a po stronie prawej skreślone zostało pięć zer. Zatem zamieniając g na q trzeba w danej liczbie skreślić pięć zer. 1300000 g = 13 q 568900000 g = 5689 q 55423100000 g = 554231 q 1 t = 1000000 g 1000000 g = 1 t Zauważ, że przy zamianie t na t, cyfra 1 (kolor czerwony) występuje po obu stronach znaku równości, a po stronie prawej skreślone zostało sześć zer. Zatem zamieniając g na t w danej liczbie trzeba skreślić sześć zer. 13000000 g = 13 t 56890000000 g = 56890 t Zauważ, że skreślenie w danej liczbie: 1 zera jest równoważne podzieleniu jej przez 10 2 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 100 3 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 1000 4 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 10000 5 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 100000 6 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 1000000. 552244000000 g = 552244 t Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 20

Spostrzeżenie: Aby zamienić np. gramy na tony nie trzeba się uczyć na pamięć, że 1000000 g to 1 t. Wystarczy wiedzieć, że 1000 kg = 1 t (skreślenie 3 zer) oraz, że 1000 g to 1 kg (skreślenie dodatkowych 3-ch zer). W podobny sposób możesz przeliczać np. mg na t oraz mg na kg. Zamiana jednostek ułamki dziesiętne 1 dag = 10 g 1 t = 10 q oraz mówiłem, że zamieniając dag na g oraz t na q wystarczy dopisać jedno 0. Zauważ jednak, że dopisanie zera to inaczej pomnożenie danej liczby przez 10 (przesunięcie przecinka o 1 miejsce w prawo). 14,7 dag = 147 g 58,129 dag = 581,29 g 13549,3549 dag = 135493,549 g 1 kg = 100 dag 1 q = 100 kg oraz mówiłem, że zamieniając kg na dag oraz q na kg wystarczy dopisać 2 zera. Zauważ jednak, że dopisanie dwóch zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez 100 (przesunięcie przecinka o 2 miejsca w prawo). 5,3 kg = 530 dag 89,146 kg = 8914,6 dag 2357,1675 kg = 235716,75 dag 1 kg = 1000 g 1 t = 1000 kg 1 g = 1000 mg oraz mówiłem, że zamieniając kg na g oraz t na kg lub g na mg wystarczy dopisać 3 zera. Zauważ jednak, że dopisanie trzech zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez 1000 (przesunięcie przecinka o 3 miejsca w prawo). 8,2 kg = 8200 g 12,56 kg = 12560 g 4676,128 kg = 4676128 g 1 q = 10000 dag oraz mówiłem, że zamieniając q na dag wystarczy dopisać 4 zera. Zauważ jednak, że dopisanie czterech zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez 10000 (przesunięcie przecinka o 4 miejsca w prawo). 25,123456 q = 251234,56 dag 523,17 q = 5231700 dag 0,0011223344 q = 11,223344 dag 1 q = 100000 g oraz mówiłem, że zamieniając q na g wystarczy dopisać 5 zer. Zauważ jednak, że dopisanie pięciu zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez 100000 (przesunięcie przecinka o 5 miejsc w prawo). 1,314151617 q = 1331415,1617 g 56,1234 q = 5612340 g 0,0000008 q = 0,08 g 1 t = 1000000 g oraz mówiłem, że zamieniając t na g wystarczy dopisać 6 zer. Zauważ jednak, że dopisanie sześciu zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez milion (przesunięcie przecinka o 6 miejsc w prawo). 1,314151617 t = 13314151,617 g 56,1234 t = 56123400 g 0,0000008 t = 0,8 g 10 g = 1 dag 10 q = 1 t oraz mówiłem, że zamieniając g na dag oraz q na t wystarczy skreślić jedno 0. Zauważ jednak, że skreślenie zera to inaczej podzielenie danej liczby przez 10 (przesunięcie przecinka o 1 miejsce w lewo). 14,7 g = 147 dag 58,129 g = 581,29 dag 13549,3549 g = 135493,549 dag 100 dag = 1 kg 100 kg = 1 q oraz mówiłem, że zamieniając dag na kg oraz kg na q wystarczy skreślić 2 zera. Zauważ jednak, że skreślenie dwóch zer to inaczej podzielenie danej liczby przez 100 (przesunięcie przecinka o 2 miejsca w lewo). 5,3 dag = 0,053 kg 89,146 dag = 0,89146 kg 2357,1675 dag = 23,571675 kg 1000 g = 1 kg 1000 kg = 1 t oraz mówiłem, że zamieniając g na kg oraz kg na t wystarczy skreślić 3 zera. Zauważ jednak, że skreślenie trzech zer to inaczej podzielenie danej liczby przez 1000 (przesunięcie przecinka o 3 miejsca w lewo). 8,2 g = 0,0082 kg 12,56 g = 0,01256 kg 4676,128 g = 4,676128 kg 10000 dag = 1 q oraz mówiłem, że zamieniając dag na q wystarczy skreślić 4 zera. Zauważ jednak, że skreślenie czterech zer to inaczej podzielenie danej liczby przez 10000 (przesunięcie przecinka o 4 miejsca w lewo). 25,123456 dag = 0,0025123456 q 523,17 dag = 0,052317 q 0,0011223344 dag = 0,00000011223344 q 100000 g = 1 q oraz mówiłem, że zamieniając g na q wystarczy skreślić 5 zer. Zauważ jednak, że skreślenie pięciu zer to inaczej podzielenie danej liczby przez 100000 (przesunięcie przecinka o 5 miejsc w lewo). 1,314151617 g = 0,00001314151617 q 56,1234 g = 0,000561234 q 0,0000008 g = 0,000000000008 q 1000000 g = 1 t oraz mówiłem, że zamieniając g na t wystarczy skreślić 6 zer. Zauważ jednak, że skreślenie sześciu zer to inaczej podzielenie danej liczby przez milion (przesunięcie przecinka o 6 miejsc w lewo). 1,314151617 g = 0,000001314151617 t 56,1234 g = 0,0000561234 t 0,0000008 g = 0,0000000000008 t Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 21

Temat: Przydatne linki. Warto zobaczyć: 1. Staropolskie jednostki miar. http://pl.wikipedia.org/wiki/miary_staropolskie_-_przegl%c4%85d_historyczny 2. Jednostki brytyjskie. http://pl.wikipedia.org/wiki/jednostki_imperialne 3. Konwerter jednostek on-line. http://www.convertworld.com/pl/ Wersja z dnia: 30.04.2011 http://matematyka.strefa.pl Przeliczanie jednostek strona 22