BADANIE POTENCJALNEGO POLA ELEKTRYCZNEGO I. Ce ćwczena: zapoznane z metodą wyznaczana n ekwpotencjanych poa eektrycznego da róŝnych układów eektrod. przy zastosowanu wanny eektrotycznej. II. Przyrządy: wanna eektrotyczna, wotomerz cyfrowy, transformator bezpeczeństwa, autotransformator, zestaw eektrod. III. Lteratura:. A.K.Wróbewsk, J.A.Zakrzewsk "Wstęp do fzyk" T., cz.. PWN 989. E.M.Purce, "Eektryczność magnetyzm" PWN 975 3. R.P.Feynnman nn "Feynnmana wykłady z fzyk" T., cz.. PWN 970 4. A.H.Pekara "Eektryczność magnetyzm" PWN 970. I. Wprowadzene. Poem eektrycznym nazywamy własność przestrzen, w której na neruchome ładunk eektryczne dzałają sły (eektrostatyczne) Couomba. Własnośc poa eektrycznego w danym punkce zaeŝą od jego połoŝena (x,y,z) oraz czasu t. Poe eektryczne ne zmenające sę w czase nazywamy poem eektrostatycznym. Właścwośc poa eektrycznego opsujemy dwema wekoścam: wektorową - natęŝenem poa eektrycznego E r skaarną - potencjałem poa eektrycznego. Poe wytworzone przez neruchome ładunk eektryczne nazywamy potencjanym poem eektrycznym. Poe take ma tę właścwość, Ŝe praca potrzebna na przenesene w nm ładunku q po dowonej drodze zamknętej zawsze równa sę zeru (patrz uzupełnene str. 5) KaŜdy punkt eektrycznego poa potencjanego moŝna scharakteryzować funkcją skaarną - potencjałem. Wartość czbowa wektora natęŝena E r tego poa jest równa róŝncy potencjałów przypadającej na jednostkę długośc, merzonej wzdłuŝ kerunku, da którego = max Mamy zatem E = () 3 E r E r < < 3 = E 3 = E da poa jednorodnego: E E = E = Rys. Lne jednorodnego poa eektrycznego (ne cągłe) ne jednakowego potencjału (ne przerywane). I PRACOWNIA FIZYCZNA
Znak mnus nformuje, Ŝe zwrot wektora E r jest przecwny do zwrotu najwększego wzrostu potencjału (patrz teŝ uzupełnene str. 5) Potencjane poe eektryczne przedstawamy za pomocą układu powerzchn ekwpotencjanych (jednakowego potencjału) oraz układu n sł prostopadłych do tych powerzchn. Lną sł nazywamy krzywą, do której styczne pokrywają sę w kaŝdym punkce z kerunkem poa E r. Matematyczny ops poa nastręcza wee trudnośc. Datego charakter poa - kształt powerzchn ekwpotencjanych wyznacza sę dośwadczane. Z rozwaŝań matematycznych (uzupełnene str. 5) wynka, Ŝe: wypełnene przestrzen mędzy eektrodam deektrykem ne ma wpływu na strukturę poa - rozkład n sł zwązanych z nm powerzchn ekwpotencjanych w deektryku będze tak sam jak w próŝn, wypełnene przestrzen mędzy eektrodam ośrodkem słabo przewodzącym o małej przewodnośc eektrycznej (G = /R) daje poe eektryczne podobne do poa eektrycznego w deektryku. Zbadane struktury poa eektrycznego w przestrzen trójwymarowej wymaga wanny o duŝych rozmarach (w ceu wyemnowana wpływu ścanek). PonewaŜ przeprowadzene pomarów w ośrodku przewodzącym jest łatwejsze nŝ w deektryku, datego przestrzeń mędzy eektrodam wypełnamy słabym eektrotem. Potencjał w róŝnych punktach wyznacza sę za pomocą sondy. Łatwejsze do reazacj jest badane poa w przestrzen dwuwymarowej (płaska wanna z bardzo cenką warstwą słabego eektrotu ub nnego słabo przewodzącego ośrodka.. Metoda pomaru. Praktyczne znaczene dośwadczeń z modeowanem pó eektrycznych opera sę na fakce nezaeŝnośc rozkładu potencjału mędzy eektrodam od wymarów układu od bezwzgędnych napęć. Rozkład potencjału zachowuje sę przy zmane wszystkch rozmarów napęć w odpowednm stosunku. Jest to tzw. zasada podobeństwa: dwa układy nazywamy podobnym, jeŝe wektory natęŝena poa w odpowednch punktach są równoegłe, a stosunek ch wartośc pozostaje stały. Modeowane pó eektrycznych znaazło zastosowane przy projektowanu amp eektronowych w optyce eektronowej. Znajomość poa potencjału pozwaa jednoznaczne okreść tory eektronów. Zasada podobeństwa jest wykorzystywana przy projektowanu akceeratorów cząstek naładowanych, poprzez budowę mode tych akceeratorów. W ćwczenu pomar poega na znajdowanu n jednakowego potencjału (n ekwpotencjanych). Równane n ma postać ( x, y) = () o Maksymana szybkość zmany potencjału przy zmane współrzędnych (tzw. gradent potencjału) skerowana jest w stronę wzrostu potencjału wzdłuŝ normanej do n ekwpotencjanej. NatęŜene poa eektrycznego E r zgodne z równanem () jest równeŝ prostopadłe do tej n zwrócone w stronę nŝszego potencjału. Z okreśena tego wynka, Ŝe ne sł są prostopadłe do n ekwpotencjanych o czym juŝ wspomnano wcześnej. Pomary z uŝycem wanny eektrotycznej przeprowadza sę zwyke w ośrodku jednorodnym tzn. przy stałej przewodnośc właścwej σ (σ = /ρ, gdze ρ jest oporem właścwym) eektrotu w całej objętośc. Jeś ośrodek jest nejednorodny, natęŝene poa E r zmen sę odwrotne proporcjonane do przewodnośc właścwej. W ogónym przypadku zmena sę wartość kerunek natęŝena poa (załamane n sł - rys.). I PRACOWNIA FIZYCZNA
E t E σ E σ n E t E Rys. Zmana natęŝena poa eektrycznego przy przejścu z ośrodka o σ do ośrodka z σ (σ < σ ). Na grancy ośrodków zachodz E t = E t, E n < E n. E n W praktyce otrzymane eektrotu o zmennej przewodnośc właścwej jest dość kłopotwe. Załamane n sł zachodz jednak równeŝ wtedy, gdy σ = const natomast zmena sę grubość warstwy eektrotu (zmana przewodnośc eektrycznej eektrotu G ). Warstwę eektrotu o zmennej grubośc uzyskujemy poprzez nachyene wanny ub umeszczene na dne wanny płytek deektryka o róŝnej grubośc kształce. I. Układ dośwadczany. Podstawową częścą układu jest wanna eektrotyczna umeszczona na nóŝkach o reguowanej wysokośc oraz układ prętów do zamocowana eektrod. Na dno wanny nanesona jest satka autotransf. transformator wanna eektrotyczna układ eektrod wotomerz cyfrowy a) ~ 30 uzemony zacsk sonda pomarowa autotransf. transformator wanna eektrotyczna układ eektrod b) wotomerz cyfrowy ~ 30 uzemony zacsk sonda pomarowa Rys.3 chemat układu pomarowego: a) układ eektrod równoegłych, b) układ eektrod do badana soczewk eektrycznej. 3 I PRACOWNIA FIZYCZNA
współrzędnych. posób łączena układów moŝwych do wykorzystana w ćwczenu pokazuje rys 3 rys. 4 (uzupełnene, strona 7). Pomar róŝncy potencjałów dokonywany jest wotomerzem cyfrowym zaopatrzonym w sondę na zakrese zmennoprądowym ( przełącznk rodzaju pracy wotomerza w połoŝenu AC ). Uzwojene wtórne transformatora posada odczep w środku (dołączony do gnazda z oznaczenem ). Eektrody pomarowe dołączane są do gnazd wyjścowych transformatora. Gnazda skrajne oznaczone jako "" "" w kaŝdej chw czasu t mają przecwny potencjał wzgędem zem (punktu ). JeŜe przyłączymy eektrody do dwu gnazd "" "", to jedna eektroda znajdze sę na potencjae ujemnym, druga na potencjae dodatnm (w tej samej chw t). W pobŝu tej perwszej ne ekwpotencjane mają wartośc ujemne, w pobŝu drugej dodatne. Trzeba jednak pamętać o tym, Ŝe wotomerz cyfrowy na zakrese zmennoprądowym merzy wartość skuteczną napęca przemennego da obydwu eektrod zawsze wskaŝe ten sam znak. Do gnazd "" "" przyłączamy eektrody w ceu zbadana poa dpoa, kwadrupoa ub soczewk eektrycznej. W pozostałych przypadkach dołączamy eektrody mędzy gnazda wyjścowe "" ub "". Pamętajmy, aby uzemć gnazdo transformatora (połączyć go z gnazdem uzemena znajdującym sę w metaowej szafce zasającej). II. Pomary.. Zmontować układ pomarowy do reazacj danego zadana. (poe eektrod równoegłych, soczewk eektrycznej, soczewk kwadrupoowej, eektrod wacowych dpoa). Naać do wanny wodę z kranu, aby cenką warstwą pokryła całkowce jej dno. Na paper mmetrowy naneść satkę z dna wanny, zmerzyć kształt połoŝene eektrod oraz ewentuanych nnych eementów.. Korzystając z autotransformatora doprowadzć róŝncę potencjałów na wyjścu transformatora (a tym samym mędzy eektrodam) do wartośc "okrągłej", np. 0. 3. Znaeźć take połoŝene sondy, przy którym potencjał wzgędem eektrody uzemonej (ub eektrody wzgędem zem) wynese np.. Czynność tę naeŝy powtórzyć kkakrotne w ceu wyznaczena n ekwpotencjanej. Pomary wykonać da róŝncy potencjałów, 3,... td. Wynk naeŝy naneść na wykres. Zanotować nepewność pomaru napęca oraz nepewność ustaena połoŝena punktu. 4. Powtórzyć pomary da dwu nnych układów eektrod. (zadana ustaa prowadzący zajęca). III. Opracowane.. Wykreść ne ekwpotencjane oraz ne sł (najepej róŝnym koorem).. Wyznaczyć maksymane mnmane występujące natęŝene poa ( E = /, gdze oznacza róŝncę potencjałów pomędzy dwoma koejnym nam ekwpotencjanym, - odegłość mędzy nm, merzona wzdłuŝ n sł ). Ocenć nepewność pomarową wyznaczonych wartośc natęŝena poa E max E mn. 3. Przedstawć grafczne zaeŝność potencjału od odegłośc x od jednej z eektrod da punktów eŝących na n symetr poa. Znaeźć natęŝene poa w dowonym punkce A eŝącym na tej n. 4. Przeprowadzć dyskusję otrzymanych wynków pomarów obczeń (rodzaj poa, występujące symetre, stopeń nejednorodnośc natęŝena poa, zastosowana). ( zadana ustaa prowadzący zajęca ) 4 I PRACOWNIA FIZYCZNA
Uzupełnene a) Poe potencjane Poe w którym praca tego poa przy przenesenu ładunku q po dowonej drodze zamknętej jest równa zeru jest poem potencjanym (czasem o takm pou mówmy, Ŝe jest zachowawcze). Matematyczne przedstawa to wzór r r r r q E d = q E d cos( E, d ) = q E d = 0 () gdze E jest rzutem wektora natęŝena poa eektrycznego na kerunek d. b) Gradent potencjału ZałóŜmy, Ŝe w pewnym obszarze mamy poe potencjane okreśony jest w kaŝdym jego punkce potencjał = (x,y,z). Weźmy pod uwagę dwa bske punkty w tym pou A B, eŝące w małej odegłośc jeden od drugego. Nech wartość potencjału w punkce A wynos zaś w punkce B - (rysunek obok). tosunek przyrostu potencjału do odegłośc tych punktów wyznacza szybkość, z jaką zmena sę potencjał, gdy punkt obserwacj przesuwamy z A do B. Oznaczając odegłość tych punktów przez, na szybkość tej zmany A wzdłuŝ AB otrzymamy wyraŝene = (3) d PrzybŜając punkt B do A w grancy otrzymamy pochodną zwaną pochodną kerunkową w kerunku d. Da róŝnych kerunków otrzymabyśmy d róŝne wartośc pochodnej. W okreśonym kerunku wartość tej pochodnej będze najwększa (najwększy przyrost potencjału). Zatem maksymanej wartośc d/d odpowada okreśony kerunek d przestrzen. MoŜemy węc wyobrazć sobe wektor o tym kerunku o wartośc równej. d max Wektor ten nazywamy gradentem potencjału. Jego symboem jest grad. MoŜemy węc napsać: d grad = m = (4) 0 max d max Zwrot tego wektora jest skerowany w stronę najszybszego przyrostu potencjału. W potencjanym pou eektrycznym zachodz następująca reacja mędzy wektorem poa eektrycznego E r gradentem potencjału r E = grad (5) gdze grad B (x,y,z) jest wektorem gradentu potencjału; znak mnus zawera nformację, Ŝe wektor natę- Ŝena poa E r ma zwrot przecwny do wektora gradentu. c) Rozkład n sł zwązanych z nm powerzchn ekwpotencjanych w deektryku jest tak sam jak w próŝn Eektrody podłączone do źródła napęca o pewnej róŝncy potencjałów umeszczono w próŝn. Mędzy eektrodam powstane poe eektryczne zwązany z nm rozkład powerzchn ekwpotencjanych. Następne wypełnono przestrzeń mędzy eektrodam deektrykem o przenkanośc eektrycznej ε. Deektryk umeszczony w pou eektrycznym uega poaryzacj. W jednorodnym deektryku powstaje jednakowa ość dodatnch ujemnych ładunków zwązanych. Z tego powodu da dowo- 5 I PRACOWNIA FIZYCZNA
nej objętośc jednorodnego deektryka mamy q = 0. Prawo Gaussa okreśa następujący zwązek mędzy natęŝenem poa eektrycznego a ładunkem eektrycznym r r ε E d = ε E d q (6) n = gdze ε - przenkaność eektryczna ośrodka, E n - rzut wektora E r na normaną do eementu powerzchn ds., - całka powerzchnowa po powerzchn zamknętej, q - suma ładunków znajdujących sę wewnątrz powerzchn. Zatem da deektryka ogranczonego powerzchną, wewnątrz której ne ma ładunków swobodnych mamy E r d r = 0 (7) Oznacza to, Ŝe jednorodny ośrodek deektryczny ne moŝe być źródłem czy teŝ ujścem n sł poa eektrycznego. Datego rozkład n sł zwązanych nm powerzchn ekwpotenjanych będze tak sam jak w próŝn - ośrodek ne ma wpływu na strukturę poa (w opsanym wyŝej przypadku). d) Wypełnene przestrzen mędzy eektrodam ośrodkem słabo przewodzącym o małej przewodnośc eektrycznej ( G = /R) daje poe eektryczne podobne do poa eektrycznego w deektryku ZałóŜmy, Ŝe mamy układ składający sę z dwu eektrod (przewodnków) rozdzeonych ośrodkem o małej przewodnośc eektrycznej G (konduktancj). Do eektrod przykładamy EM źródła. Powerzchna eektrody jest powerzchną ekwpotencjaną (tak samo jak da próŝn). W przestrzen mędzy eektrodam powstaje poe potencjane. Gęstość prądu płynącego przez ośrodek okreśa róŝnczkowe prawo Ohma r r j = σe (8) gdze σ jest przewodnoścą właścwą ośrodka (konduktywność). Da prądu stałego mamy r r jd = 0 (9) gdze całkowane odbywa sę po powerzchn ogranczającej eement objętośc ośrodka. Jest to I prawo Krchhoffa (w neco nnym zapse) - suma natęŝeń prądów wpływających wypływających z powerzchn zamknętej równa sę zeru. Z równań (8) (9) wynka, Ŝe w przypadku ośrodka przewodzącego podobne jak w przypadku deektryka, spełnona jest zaeŝność (7). Poe eektryczne wewnątrz ośrodka o małej przewodnośc eektrycznej jest równeŝ okreśone przez równana (), (5), (7). tąd wynka, Ŝe objętoścowa gęstość ładunku w ośrodku przewodzącym jest równa zeru oraz poe eektryczne w takm ośrodku jest podobne do poa eektrycznego w deektryku. 6 I PRACOWNIA FIZYCZNA
e) Układ do wytworzena poa soczewk kwadrupoowej autotransf. transformator wanna eektrotyczna wotomerz cyfrowy ~ 30 uzemony zacsk sonda pomarowa Rys 4. chemat układu do badana rozkładu potencjału soczewk kwadrupoowej. 7 I PRACOWNIA FIZYCZNA