ρ h (x 0 ) = M h h 3 ρ(x 0 ) = lim ρ h (x 0 )

ÏÝ ½ ÈÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Ñ Ò Ó ÖÓ Ó ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ø ÓÖ Ó ÖÓ Ó ½ ½º½ ÍÛ Ó ÔÓØ Þ Ó ÖÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÈÓ ÖÙ Ù Û Ó ÖÓ Ù ÝÑ ¾ ¾º½ ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÓÐ ÔÖ Ó ÔÖÞÝ Ô Þ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ÌÛ Ö Þ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ ½½ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ø ÓÖ Ó ÖÓ Ó ÛÞ Ð Ù Ò Ô õò Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ó Ò Ò Þ Ò Ò ÔÓ ÓØݹ Þ Ò Ô ÖÛ Ò Ñ ØÝ ÖÙ Ù Ò ØÔÒ Ò ØÔÒ ÛÝ Ö Ò Þ Ò Ò ÓØÝÞ Ò Ñ ØÝ ÖÙ Ù Û ÖÓÛ Óº ½º½ ÍÛ Ó ÔÓØ Þ Ó ÖÓ Ó Å Ò Ó ÖÓ Ó Ó ÑÙ Ñ Ò Ø Ó Ñ Ò ÞÝ ¹ Þ Û Ø ÓÖ ÔÖ Ý ØÓ Þ ÑÙ ÖÙ Ñ Ò Ñ ØÝ ÝÒ Ñ ÖÓÞÛ Ó ÖÓ Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ó Ò Ó ÞÓÒÝ Ý Ù Þ Ø ÞÝ ÞÙ ÐÙ Ø Óº Ï Ñ ¹ Ò Ó ÖÓ Ó ÒÓÖÓÛ Ò ÞÞ Ý Ù ÓÛÝ Ñ Ø Ö Ò ÔÓÞ ÓÑ ØÓÑÓÛÝÑ Þ Ø Þ ÓÛÝѵº ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ñ Ø Ö ÑÓ Ò Þ Ø Ô Ø ÔÖÞ Þ ÔÓØ ØÝÞÒ ÓÒØ ÒÙÙÑ ÓÛÓÐÒ Ñ ÔÓÖ ÓÒØ ÒÙÙÑ Ø Ó ÖÞ Ö Ø ÖÝÞÓÛ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ÓÔ Ù Ó ÒÝ Ñ Ø Ö Ø Ñ ØÓ Ð Ô Ó Ò Ò º È Ö Ñ ØÖÝ Ø ÞÑ ¹ Ò Û Ó Ö Ó ØÓ Þ ÑÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ñ Ø Ö Û ÔÓ Ý Ó Ö ¹ ÐÓÒ Û ÝÑ ÔÙÒ Ó ØÓ º È Ö Ñ ØÖÝ ÓÔ Ù Ø Ò Ó ÖÓ Ó ÒÔ º ÔÖ Ó Ò Ò ÑÓ Ý Ó Ð ÞÓÒ Ò ÔÓ Ø Û ÓÑ ØÝÞÒÝ Ö Ù Ò Ð ÞÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÒÔº Ó Ð Þ Ò Ö Ò Ý ÙÒ ÔÓ Ó ÒÝ ØÔº ½

¾ ÈÇ Á ÊÍ ÀÍ Ï ÇáÊÇ ÃÍ Á Å À ÔÓØ Þ ÓÒØ ÒÙÙÑ ÔÖÞ Ø Ó ÓÛ ÞÝÛ Ý Ð ÓÔ ÝÛ ÒÝ Þ Û Ø ÖÞ Ù Ó ¹ Ð Ó Ñ ÞÝ ØÓÑÓÛÝ º Ð Þ Û Ø ØÓ Ó Ð Ó ÖÞ Ù 10 7 m Ð ÞÝ 10 9 mº Ý Ð Ô ÞÖÓÞÙÑ Ó Ö Ò Þ Ò ÑÓ ÐÙ ÓÒØ ÒÙÙÑ ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ò ØÔÙ Ý Ô ¹ ÖÝÑ ÒØ ÑÝ ÐÓÛݺ Ï Ó Þ ÖÞ Ω Þ ÑÓÛ ÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ô ÝÒ Û õñý ÓÒØÖÓÐÒ Ó ØÓ ÞÐÓ¹ Ð ÞÓÛ Ò ÛÓ ÔÙÒ ØÙ x 0 = Û ÞØ Þ ÒÙ Ó Ó Ù Ó Ð ÞÑÝ Ö Ò ØÓ Ô ÝÒÙ ÞÛ ÖØ Û Ø Ó ØÓ Ó ρ h (x 0 ) = M h h 3 Ý Ó Ð ÞÝ Û ÖØÓ ØÓ Û ÔÙÒ x 0 ÑÙ ÑÝ ÛÞ Ö Ò ρ(x 0 ) = lim h 0 ρ h (x 0 ) Ï Ù Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ Ñ Ø Ö ÐÒÝÑ ØÖ ØÓÛ Ò ÔÖÞ Ö Ò ÞÒ Ó Û ÔÓ Ó¹ ÓÛÒÝ ÔÖÓÛ Þ Þ Ó ÛÝ Ö Ù ØÓ Û Þ Ð ÒÓ Ó ÖÓÞÑ ÖÙ ÓÒØÖÓÐÒ Ó ØÓ h Ò ÖÝ ÙÒ Ù ½º Ï Ó Þ ÖÞ ÓÞÒ ÞÓÒÝÑ Ò ÖÝ ÙÒ Ù Ó ÁÁ ÛÝ Ö ØÓ ρ h Ø ÊÝ ÙÒ ½ ÏÝ Ö Ö Ò ØÓ Û Þ Ò Ó Ó Ù Û Þ Ð ÒÓ Ó Ù Ó Ó Ó Ù h ÔÓÞ ÓÑݺ Æ Þ ÙÛ Ù ØÙ Û ÖØÓ Û ØÝÑ Ó Þ ÖÞ ÔÓÒ Û Ð Þ Þ Ø Û Þ Ò Ø Ö ÞÓ Ù Û 1 cm 3 ÛÓ Ý Þ Û Ö Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù Ó Ó Ó 3 10 22 Þ Ø µº ÑÒ Þ Ò ÔÓÒ 10 9 m ÔÓÛÓ Ù Ö ØÝÞÒÝ Ô Ð Þ Ý Þ Ø Û Ó ØÓ Þ ¹ ÒÙ Ù ÞÑ ÒÝ ØÓ Û ÔÖÞÝ Ò Û Ð ÞÑ Ò ÔÖÞÝ ÑÒ ÞÝÑ Ó 10 9 m Ð Þ Þ Ø ÞÝ ÛÝÒÓ Ó Ó Ó ¼µº Ð Ø Ó ÔÖÞ Ö Ò ÞÒ h 0 Ò Ð Ý ÖÓÞÙÑ Ó h h Þ h = 10 9 m Ð Þݺ Ï ÔÓ Ó ÒÝ ÔÓ Ò Ð Ý ÒØ ÖÔÖ ØÓÛ ÒÒ ÙÒ Þ Ð Ò Ó ÔÙÒ ØÙ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ ÝÑ ÖÓÞ Ñ Ñ Ø Ö Û Ø ÖÝÑ Þ Ò Ù¹ ÑÝ ÑÓÐ ÙÐ ÖÒ ØÖÙ ØÙÖ Ñ Ø Ö º ¾ ÈÓ ÖÙ Ù Û Ó ÖÓ Ù ÝÑ Ý ÑÓ Ò Ð Þ ÑÓÛ ÖÙ Ñ Ô ÝÒÙ ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ô ÛÒ ÔÓ Ø Ö Ù ¹ ØÛ Ò Ñ Ò ÖÙ Ùº Ï Ô ÖÛ Þ ÓÐ ÒÓ Þ Ò Ù ÑÝ ÔÓ Ù Ù Ö ÖÝ Ò Ó Ù Ù Ó ÞÑ ÒÒÝ Ñ Ø Ö ÐÒÝ ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ º ÈÓ ÑÝ ÖÓÞÙ¹ Ñ ÑÝ ÖÙ Þ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ó ÔÙÒ ØÙ ÓÖ Þ Ö Ò ÔÓ Ó Ý ÓÔ Ù Ø Ó ÖÙ Ù ¾

ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö ¾º½ ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö Ó ÓÔ Ù ÔÓ Ó Ò ÔÙÒ ØÙ Þ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ð ÖØ Þ Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ x = (x 1,x 2,x 3 )º Þ ÑÝ Þ Ó ÖÓ Ý ÛÝÔ Ò Ô ÛÒ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò E 3 ÓÖ Þ ÒØ Ö Ù ÑÝ Ô ÛÒÝÑ ÛÝÖ Ò ÓÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ù Ð ÓÛ E 3 Ø ÖÝ Þ ÑÝ Ó ÞÒ Þ Ð Ω Ø ÒÓÛ Ý ÓÒØ ÒÙÙѺ ÌÓ ÞÒ ÞÝ Û ÝÑ ÓØÛ ÖØÝÑ ÔÓ Þ ÓÖÞ Þ ÓÖÙ Ω ÞÒ Ù Ò Ó Þ Ò Û Ð Þ Ø Ñ Ø Ö ÐÒÝ º Ì Ñ Ø Ö ÐÒ Þ Ø Ó ÖÓ ÓÒØ ÒÙÙÑ Û Ò ÞÝÑ ÛÝ Þ Þ ÑÝ Ò ÞÝÛ Ð Þ Ø Ñ Ô ÝÒÙº Á Ò¹ ØÝ Þ Ø Ô ÝÒÙ Û Ω Ó Ö Ð ÓÒ ÙÖ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ Ωº Æ Û Ô ÛÒ ÛÝÖ Ò ÓÒ Û Ð Ò ÞÛ Ò ÔÓÞ Ø ÓÛ t = 0 Þ Ø Þ ÑÙ Ô ÛÒ ÔÓ Ó Ò Ω 0 º ÈÓ Ó Ò Þ Ø Û Þ ÓÖÞ Ω 0 Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ñ Ý Ð Ø Ö Ö ÒÔº α = (α 1,α 2,α 3 ) Þ α i (i = 1,..3)º ØÛÓ ÞÖÓÞÙÑ Ð Þ Ö Ω 0 ÙÐ Ò ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ù ØÓ Þ Ø ÔÖÞÝ Ñ ÒÓÛ ÔÓ Ó Ò x = (x 1,x 2,x 3 ) Ω t Þ Ö Ω 0 ÞÓ Ø Ò ÔÖÞ ÞØ ÓÒÝ ÔÓ Ð ÓÖÑ µ Û Þ Ö Ω t º Ö Ω 0 Ò ÞÝÛ ÓÒ ÙÖ ¹ Ö Ö ÒÝ Ò Þ Ö Ω t ÓÒ ÙÖ Þ ÓÖÑÓÛ Ò ÐÙ ÓÒ ÙÖ º ÓÖÝ Ω 0 ÓÖ Þ Ω t Û Ñ ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ ØÞÒº ÙØÛÓÖÞ Ò Þ ØÝ ÑÝ Þ Ø º Ö Û Ô ÖÞ ÒÝ α = (α 1,α 2,α 3 ) Ø Ö ÓÔ Ù ÔÓ Ó Ò Þ Ø Û Þ ÓÖÞ Ω 0 Ò ÞÝÛ Û Ô ÖÞ ÒÝÑ Ñ Ø Ö ÐÒÝÑ Ò ØÓÑ Ø Û Ô ÖÞ Ò x = (x 1,x 2,x 3 ) Ò ÞÝÛ Þ ÑÝ Û Ô ÖÞ ÒÝÑ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝÑ º Ð Û ÖØÓ Û Ð t ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ω 0 Ω t Ó Ò Þ ÑÓ Ò Þ Ô Ó x = Φ(α,t). ½µ Ç ÛÞÓÖÓÛ Ò ½µ ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ð Ù Ø ÐÓÒ Û Ð t ÔÙÒ Ø α = (α 1,α 2,α 3 ) Ω 0 ÔÖÞÝ ÞÝÑ Φ(α,0) = αº Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó Þ Ù Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ½µ Ò ÞÝÛ Ò Ø ÓÖÑ ÛÞ Ð Ñ Ù Ù Ö ¹ Ö ÒÝ Ò Ó Ω 0 º ÊÝ ÙÒ ¾ ÈÖÞ Ñ ÞÞ Ò Þ Ø Þ Þ ÓÖÙ Ω 0 Ó ÔÓ Ó Ò Ω t ÔÓ ÛÔ ÝÛ Ñ ÓÖÑ Φ(α, t) Ò ¾º½º ÓÖÑ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ Þ ÙÔ ÝÛ Ñ Þ Ù Ò ÞÛ Þ ÑÝ Ö٠Ѻ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö ÊÙ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ Þ ÓÒ ÙÖ Ö Ö ÒÝ Ò Ω 0 ÓÔ Ù Ó ÛÞÓÖÓÛ ¹ Ò Φ : Ω 0 (0, ) E 3 ÔÖÞÝ ÞÝÑ Ð Ó Ù Ø ÐÓÒ Ó Þ Ù t 0 ÙÒ Φ(,t) = Φ t : Ω 0 E 3 Ø ÓÖÑ º Ç ÒÓ Ò Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ½µ ÞÝÒ Þ Ö Þ ¹ Ó º ÈÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ Þ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ½µ Ø Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ ÝÑ Ó Ø Ø ÞÒ ÐÓ Ö ÞÝ Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒÝÑ Þ Ö ÛÒÓ Þ ÛÞ Ð Ñ Þ Ù t Ô Ö Ñ ØÖÙ αº Ö ÛÒ Φ(α,t) Ø Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ ÛÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒÝѺ Û ØÒ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ α = Φ 1 (x). ¾µ Ó ÛÞ Ð Ñ Þ Ù Þ Ô ÛÒ Þ Ø ÔÓ Þ ÖÙ Ù Ò ÞÑ Ò ÛÓ Ó ÔÓ Ó¹ Ò Û ÔÓ Ó ÓÛÝ Ò Ýº Ó ÛÞ Ð Ñ Ô Ö Ñ ØÖÙ α Û Ö ÒØÙ Þ Ø ÞÒ Ù Û Ò Ó Þ Ò Ñ ÝÑ ÓØÓÞ Ò Ù Ô ÛÒ ÛÝ Ö Ò Þ Ø ØÛÓÖÞÝ Ý ØÓ ÓØÓÞ Ò Û Û Ð Ô õò ÞÝ º  ÒÓÞÒ ÞÒÓ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Þ Ô ÛÒ Û ØÝÑ ÑÝÑ Þ Û ÒÝÑ ÔÓ Ó Ò Ù ÑÓ ÔÖÞ ÝÛ ØÝÐ Ó Ò Þ Ø º Ì Û Ñ Ø Ö Ð Þ Ø Ô ÝÒÙ Ø Ö Û Ô Û Ò ÔÓ ÞÓ Ø Ý ÛÝÖ Ò ÓÒ Û Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ ÖÓÞ¹ Ö Ò ÐÒ ÔÓ Þ Ó ÖÙ Ùº Ó Ò Ó ØÒ Ò Ò Ù Ó ÛÖÓØÒ Ó Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ Ó Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ¾µÛÝÑ Ý Â ¹ Ó Ò Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ½µ Φ 1 (α,t) Φ J = det 2 (α,t) α 1 Φ 3 (α,t) Ý Ö ÒÝ Ó Þ Ö º Þ ÑÝ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Φ 1 (α,t) Φ 2 (α,t) Φ 3 (α,t) Φ 1 (α,t) α 3 Φ 2 (α,t) α 3 Φ 3 (α,t) α 3 µ 0 < J <. µ Å ÖÞ ÛÝ ØÔÙ ÔÓ ÓÔ Ö ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ÖÞ Â Ó Ó Jµ Ò ÞÝÛ Þ ÑÝ Ö ÒØ Ñ ÓÖÑ J = Φº Ö ÒØ ÓÖÑ Ó Ø ÖÞ ÐÓ ÐÒ Ò ÓÖÑ Ò Ø ¹ Ñ Ø Ñ ÓÖÑ º ÊÓÞÙÑ ÔÖÞ Þ ØÓ Ø Ð ÓÛÓÐÒ Þ Ø α Ω 0 ÓÖÑ Φ ÑÓ Ò ÖÓÞ Ó Ý Û Þ Ö Ì ÝÐÓÖ ÛÞ Ð Ñ α 0 Ω 0 Φ(α) = Φ(α 0 ) + Φ(α α 0 ) + O ( α α 0 2) Ì Û Ö ÒØ ÓÖÑ ÓÔ Ù Ð Ò ÓÛ ÞÑ Ò ÓÖÑ Φ(α) Φ(α 0 ) = Φh + O ( h 2) ÔÖÞÝ ÞÝÑ h = α α 0 º Ï Ò Ò ÖÙ Ñ Ó ÖÓ Ó ÔÓØÝ ÑÝ Þ ÔÓÐ Ñ ÒÔº ÔÓÐ Ñ ÔÖ ¹ Ó Ò Ò µ Ó Ö ÐÓÒÝ Ò ÓÒ ÙÖ Ω t Ø Ö ÔÙÒ ØÝ ÓÔ Ò ÞÑ ÒÒ xº ÈÓÒ Û Ò x = Φ(α,t) ÓÛÓÐÒ ÙÒ x Ω t ÑÓ Ý ÛÝÖ ÓÒ Ó ÙÒ ¹ α Ω t º ÈÓ Ó Ò ÑÓ Ò ÔÓØ ÔÓÐ Ó Ö ÐÓÒ Ò ÓÒ ÙÖ Ö Ö ÒÝ Ò Ø Ö ÔÙÒ ØÝ ÓÔ Ò ÞÑ ÒÒÝÑ αº Á ØÒ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ó α = Φ 1 (x) ÔÓÞÛ Ð ÓÛÓÐÒ ÙÒ Ó α ÛÝÖ Þ Ó ÙÒ x Ω t º ÇÔ ÖÙ Ù ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÞÑ ÒÒÝ (α,t) Ò ÞÝÛ ÓÔ Ñ Û ÞÑ ÒÒÝ Ñ Ø Ö ÐÒÝ ÐÙ Ø ÓÔ Ñ Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ º ÇÔ ÖÙ Ù Þ Ù Ý Ñ ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ (x,t) Ò ÞÝÛ ÓÔ Ñ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö º µ

ÈÓÐ ÔÖ Ó ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ¾º¾ ÈÓÐ ÔÖ Ó ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÈÖ Ó v L ÔÖÞÝ Ô Þ Ò a L Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ ÛÝÖ Ó v L = Φ(α,t), a L = 2 Φ(α,t) 2 µ Ï ÓÔ ÙÐ Ö ÖÙ Ù Ô ÝÒÙ ÙÔ ÑÝ Ò Þ Ð ÒÓ Ô Ö Ñ ØÖ Û Ô ÝÒÙ Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÙÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò x Û Ð Þ Ù t Ò Ó Ò ÒØ Ö Ù Ò ØÓÖ ÖÙ Ù Þ Ø º ÑÝ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÐ ÔÖ Ó v(x,t) Ò Ò p(x,t) ØÓ ρ(x,t) Û Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÔÙÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò º  РÔÓÐ ÔÖ Ó v(x,t) Ø ÞÒ Ò ØÓ ÔÓÞÛ Ð ØÓ ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ø ÓÖ ØÝÞÒ ÛÝÞÒ ÞÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÔÖÞ Ô ÝÛÓÛ x = Φ(α,t) ÔÓÔÖÞ Þ ÖÓÞÛ Þ Ò Þ ¹ Ò Ò ÔÓÞ Ø ÓÛ Ó { dx = v(x,t) µ x(0) = α Ì Û Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Φ(α,t) Ø ÖÞÝÛ ÓÛ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó µº Æ ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó ØÒ Ò Ù ÒÓÞÒ ÞÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó ÊÝ ÙÒ ÌÖ ØÓÖ Þ Ø Ø ÖÞÝÛ ÓÛ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó µ µ ÛÝÒ Þ Ð t > s > 0 Þ Ó Þ x(t + s) = Φ(α,t + s) = Φ(x(s),t) Φ(α,0) = α Þ x(s) = Φ(α,s)º ÈÓÐ ÔÖ Ó v(x,t) ÓÞÒ Þ ÔÖ Ó Þ Ø Û Þ t Ø Ö Û Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ ÞÒ ÓÛ Û ÔÓ Ó Ò Ù αº Â ØÓ ÔÓÛ Þ ÒÓ Ù ÛÝ Ý ÔÓÒÙ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ ÔÖÞ Ô ÝÛÓÛÝÑ Ö٠ѵ Φ(α,t) ÓÛÓÐÒ Û Ð Ó ÞÝÞÒ Þ Ò Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö f(x,t) ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ f(x,t) = f(φ(α,t),t) = F(α,t) ÈÓ Ó Ò ÛÞ Ð Ñ Þ Ù ÙÒ f(x,t) Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ò Þ ÓÛ Ò Ù ÙÒ Þ Ó ÓÒ ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó df(x,t) = f 3 ( ) f + x i x i i=1 µ µ ½¼µ ½½µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

ÈÓÐ ÔÖ Ó ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÊÝ ÙÒ Ê Ò ÔÓ Ó Ò Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ Ω ÔÓ Þ ÖÙ Ù Ω 0 ÓÞÒ Þ ÔÓ Ó Ò Þ ÓÖÙ Ω Û Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ t = 0 Ω t ÓÞÒ Þ ÓÒ ÙÖ Û Û Ð tº ÃÓÒ ÙÖ t 2 ÑÓ Ý Ó Ò Ø Þ Ó Ò Ω t2 = Φ t2 t 1 (Φ t1 (Ω 0 )) Þ x i = Φ i (x 1,x 2,x 3,t)º ÈÓÒ Û v i = Φ i ÛÞ Ð Ñ Þ Ù ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø Û ÛÞ Ö ½½µ Ò ÔÓ Ó Ò ÙÒ df = f + 3 i=1 v i f x i = f + v f ½¾µ ÈÓ Ó Ò f Ò ÞÝÛ ÔÓ Ó Ò ÐÓ ÐÒ ÙÒ f Ò ØÓÑ Ø Þ ÓÒ v f ÓÔ Ù ÞÝ Ó ÞÑ Ò Û Ð Ó f ÛÞ Ù ØÖ ØÓÖ x = Φ(α,t) Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÓ Ó Ò ÓÒÛ Ý Ò º Ì Û Ö Ò Þ ÓÛ ÞÑ Ò ÙÒ f ÔÓ Þ ÖÙ Ù Ñ Û Ò ÐÓ ÐÒÝ df lok = f ÓÖ Þ ÓÒÛ Ý ÒÝ df konv = df df ds ds Þ ds = dx Ø Ð Ñ ÒØ Ñ ØÖ ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ds Ø ÔÓ Ó Ò ÖÙÒ ÓÛ Û ÖÙÒ Ù sº Ï ØÓÖ s ÔÓ ÖÝÛ Þ ÖÙÒ Ñ ÔÓÐ ÔÖ Ó Û df ds ds = v f v = v f. v Ð Ý ÙÔÖÓ Þ Ô ÓÖ ÞÓÛÓ Ò Ô ÞÒ Ù ÙÑÝ Þ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ ÓÒÛ Ò ÙÑ Ý Ò Ð Û ÛÝÖ Ò Ù ÛÝ ØÔÙ Þ ÓÒ Û Ø ÖÝÑ ÞÑ ÒÒ Ñ Ø Ò Ñ Ò ÛÝ ØÔÙ ÔÓÛØ ÖÞ Ý Ò Û ÛÞÓÖÞ ½½ Ò iµ ØÓ Ò Ð Ý ÖÓÞÑ Þ ÓÒ Ø Ò ØÓ ÔÓ ÞÒ Ñ ÙÑÝ ÙÑÓÛ Ò ÔÖÞ Ó i = 1 Ó i = 3º Ë ÓÛ ¹Ø ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó dv i (x,t) = v i + v i x j v j = v i + v i v ½ µ

ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ Ï Þ Ô Û ØÓÖÓÛÝÑ ÛÞ Ö ½ µ ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó dv(x, t) = v + (v )v ½ µ Ö ÒØ Þ ÔÓÐ ÔÖ Ó v = (v 1 (x 1,x 2,x 3 ),v 2 (x 1,x 2,x 3 ),v 3 (x 1,x 2,x 3 )) ÛÝÖ Ó Ñ ÖÞ Þ Ó Ð Ñ ÒØÓÛ v 1 v 1 v 1 x 1 x 2 x 3 v 2 v 2 v 2 v = ½ µ x 1 x 2 x 3 v 3 v 3 v 3 x 1 x 2 x 3 Þ Ó ÖÝÛ Ö ÞÓ Û Ò ÖÓÐ Û ÓÔ ÓÖÑ Ð Ñ ÒØÙ Ó ØÓ Ô ÝÒÙ Ò ¹ ÔÖ ÛÝ ØÔÙ Ý Û Ô ÝÒ º ¾º ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ Ï Ð ÞÝÑ ÛÝ Þ Ó Ò ÞÛÝ Ð ÔÓ ÝØ ÞÒÝ ÛÞ Ö ÙÐ Ö Ò ÔÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ ÛÞ Ð Ñ Þ Ùº Å Û ÔÓÐ Ó Ö ÐÓÒ ÔÖÞ Þ Â Ó Ò J(α,t) = det Φ(α,t) Ô ØÖÞ µµ Ø Ñ Ö Ó ØÓ ÓÛ Ó Ò ÔÖ Ò ÔÓÛÓ ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÓÖÑ Φ(α,t) Û Û Ð t ÔÙÒ αº ÊÓÞÛ ÑÝ ÓØÓÞ Ò ÔÙÒ ØÙ α Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε α Ω 0 º ÇØÓÞ Ò ØÓ ÓÖÑ Φ(α,t) ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Û ÓØÓÞ Ò ÔÙÒ ØÙ x Ω t º Ì Û Ω t = {x = Φ(α,t),α Ω 0 } Æ ÔÖ Ò Ñ Ó ØÓ ÓÛÝÑ Û ÔÙÒ α Ò ÞÝÛ ÛÞ Ð Ò ÞÑ Ò ÞØ ØÙ ÔÓÑ ¹ ÞÝ Ω t Ω 0 Ý ÔÖÓÑ ε 0º Ì Û Ò ÔÖ Ò Ó ØÓ ÓÛ Û ÐÓ ÐÒÝÑ ÖÓÞ Ò Ñ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ ÔÓ ÛÔ ÝÛ Ñ ÓÖÑ Φº ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Þ Ò Ð ÞÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÞ Ö Ò Þ Ñ Ò ÞÑ ÒÒÝ Û Ó ØÓ ÓÛ Ä Ñ Ø ¾º½º Æ φ Þ ÓÛÓÐÒÝÑ ÔÓÐ Ñ Ð ÖÒÝÑ Û ÞÑ ÒÒÝ Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ò Þ Ó¹ ÖÞ Þ ÓÖÞ B t Ø Ö Ó ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Ø Ω t Ω t B t ÓÖ Þ Ω t = Φ t (Ω 0 )º ÏØ Ý Þ Ó Þ Ö ÛÒÓ φ(x,t)dυ x = φ(α,t) J dυ α Ω t Ω 0 ÇÞÒ ÞÑÝ ÙÐ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù ε Û Þ ÓÖÞ Ω t Ó Ω ε,t Ø Ö Ø Ó Ö Þ Ñ ÙÐ Ω ε,0 ÞÒ Ù Û Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ Û ÔÙÒ α 0 Ω ε,t = Φ t (Ω ε,0 )º Æ ÑÓÝ Þ Ó Ò Ó Ö ÙÐ ÖÒÓ Â Ó ÒÙ J(α,t) ÑÓ ÑÝ Â Ó Ò Û ÓØÓÞ Ò Ù ÔÙÒ ØÙ α 0 ÖÓÞÛ Ò Û Þ Ö Ì ÝÐÓÖ J(α,t) = J(α 0,t) + 0(ε) ½ µ Ì Û Ó ØÓ ÙÐ Ω ε,t ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó vol(ω ε,t ) = dυ x = J dυ α = Ω t Ω 0 = J(α 0,t) + 0(ε) dυ α = (J(α 0,t) + 0(ε)) vol(ω ε,0 ) Ω 0 ½ µ ½ µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ Þ Ð ØÖÓÒ Ñ Û ÛÞÓÖÞ µ ÔÖÞ Þ vol(ω ε,0 ) ÔÖÞ Ó Þ Ó Ö Ò Ý ε 0 ÓØÖÞÝÑÙ¹ ÑÝ vol(ω ε,t ) J(α 0,t) = lim ½ µ ε 0 vol(ω ε,0 ) Ì Û Û ÖØÓ Â Ó ÒÙ J(α 0,t) ÛÝÖ ÐÓÖ Þ Þ ÓÖÑÓÛ Ò Ó ØÓ vol(ω t ) ÔÓ Þ Ò Ñ ÓÖÑ Φ t Ó Ó ØÓ Ò Þ ÓÖÑÓÛ Ò vol(ω 0 ) Û ÔÙÒ α 0 Ω 0 º Ý J(α,t) > 1 ÓÞÒ Þ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ ÓØÓÞ Ò vol(ω ε,t ) ÖÓ Ò ÛØ Ý Þ Ó Þ ÖÓÞ Ò Ñ Ø Ö Ù Ð Ò ØÓÑ Ø J(α,t) < 1 ØÓ Ñ Ø Ö ÔÓ Ð ÓÑÔÖ º Ý J(α,t) = 1 ØÓ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ Û ÔÓ Ð Ù ÔÙÒ ØÙ α Þ Þ ÓÛÝÛ º ÅÓ ÓÒ ÙÐ ÖÓÞ Ò Ù Û ÒÝÑ ÖÙÒ Ù ÔÓ Ð ÓÑÔÖ Û ÒÒÝÑ Ð Ó ÓÛ Ø Ó ØÓ Ò ÙÐ ÞÑ Ò º Í ÓÛÓ Ò ÑÝ Ø Ö Þ ÛÞ Ö ÙÐ Ö Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ò Â Ó ÒÙ ÛÞ Ð Ñ Þ Ùº Ä Ñ Ø ¾º¾º J(α, t) = J(α,t)div v(x,t) ¾¼µ ÓÛ º Ð Þ ÓÛ Ò ÔÖÓ ØÓØÝ ÔÖÞ ÖÞÝ ØÓ Ö ÙÒ Û ÓÛ ÞÓ Ø Ò ÔÖÞ Ø ¹ Û ÓÒÝ Ð ÖÙ Ù ÛÙ ÛÝÑ ÖÓÛ Óº ÓÛ Ð ÖÙ Ù ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖÞ Ó ¹ Ò Ø ÑÓº Æ Φ(x,t) = (Φ 1 (x 1,x 2,t),Φ 2 (x 1,x 2,t) ÓÖ Þ x i = Φ 1 (x 1,x 2,t)º Ï ÑÝ u i = Φ i(x 1,x 2,t) ÛÝÖ ÔÖ Ó Û ÔÙÒ (x 1,x 2 ) Þ Ø Ø Ö Û Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ Ý Û ÔÙÒ α 1,α 2 º Ò ÔÓ Ó Ò Ñ ÑÝ J = lim h 0 ÏÝÖ Ò Ð J(t + h) Ø Ò ØÔÙ Φ 1 (t + h) Φ 1 (t + h) J(t + h) = Φ 2 (t + h) Φ 2 (t + h) ÙÒ Φ i(t+h) α j J(α,t + h) J(α,t) ) ¾½µ h ÑÓ Ò ÖÓÞÛ Ò Û Þ Ö Ì ÝÐÓÖ ÛÓ ÔÙÒ ØÙ t Φ i (t + h) α j = Φ i(t) α j Ï Ø Û ¾ µ Ó ÛÝÖ Ò ¾¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Φ 1 (t) + h 2 Φ 1 (t) J(t + h) = + O(h2 ) + h 2 Φ 2 (t) + O(h2 ) + 2 Φ i (t) α j h + O(h2 ) Φ 1 (t) + h 2 Φ 1 (t) + O(h2 ) + h 2 Φ 2 (t) + O(h2 ) Ì Ö Þ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ ØÙ ÛÝÞÒ ÞÒ Ø ÙÒ Û ÐÓ Ð Ò ÓÛ ÛÓ Û Ö Þݺ Â Ð Û w i ÓÞÒ Þ ¹ØÝ Û Ö Þ Ñ ÖÞÝ Ø Ö ÛÝÞÒ ÞÒ ÓÞÒ ÞÝÑÝ Ó det(w 1,w 2 ) ØÓ det(w 1 +ha 1,w 2 +ha 2 ) = det(w 1,w 2 )+h ( det(a 1,w 2 ) + det(w 1,a 2 )) + h 2 det(a 1,a 2 ) ) ¾ µ ¾¾µ ¾ µ ¾ µ

ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ Ì Û ÛÝÖ Ò ¾ µ ÑÓ Ò ÔÖÞ ÞØ Ó ÔÓ Ø 2 Φ 1 (t) J(t + h) = J + h( 2 Φ 1 (t) Φ 1 (t) + Φ 2 (t) α 2 α 1 1 Φ 1 (t) 2 Φ 2 (t) ) + O(h 2 ) ¾ µ Ð ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Ø ÑÓ Ò Þ Ñ Ò ÓÐ ÒÓ Ö Ò Þ ÓÛ Ò Û ÛÝÖ Ò Ù 2 Φ i (x 1,x 2 ) α j Ô Ñ Ø u i = Φ i ÓÖ Þ x i = Φ i (α 1,α 2 )º ËØ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ 2 Φ i (x 1,x 2 ) α j = v i(x 1,x 2 ) = v i(x 1,x 2 ) x 1 + v i(x 1,x 2 ) x 2 α j x 1 α j x 2 α j ¾ µ Ð Ý ÙÔÖÓ Ò Ó Þ Ô ÞÓ Ø Ò Ù ÝØ ÓÞÒ Þ Ò v i x j = v i,j ÓÖ Þ Φ i α j Ù Ý Ñ Þ Ô Ù Ò ÓÛ Ó ÛÝÖ Ò ¾ µ ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó = Φ i,j º 2 Φ i (x 1,x 2 ) α j = u i,j = u i,1 Φ 1,j + u i,2 Φ 2,j ¾ µ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ Þ Ð ÒÓ ¾ µ Û Ø Û Ó Ô ÖÛ Þ Ó Û Ö Þ Ô ÖÛ Þ Ó ÛÝÞÒ Þ¹ Ò Û Ò Û ÔÖÞ ÔÖÞÝÖÓ Ø Ñ hµ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ 2 Φ 1 (t) 2 Φ 1 (t) = v 1,1Φ 1,1 + v 1,2 Φ 1,2 v 1,1 Φ 1,2 + v 1,2 Φ 2,2 Φ 2,1 Φ 2,2 = Φ = u 1,1 Φ 1,2 1,1 Φ 2,1 Φ 2,2 + u 1,2 Φ 2,1 Φ 2,2 Φ 2,1 Φ 2,2 = v 1,1J ÈÓÛØ ÖÞ Ó Ð Þ Ò Ð ÖÙ Ó ÛÝÞÒ ÞÒ Û Ò Û ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û Ó Ø Ø ÞÒ 2 Φ 1 (t) 2 Φ 1 (t) = v 2,2 J J(t + h) = J(t) + hj( v 1 x 1 + v 2 x 2 ) + O(h 2 ) = J + hjdiv v x=φ(α,t) + O(h 2 ) ¾ µ ÈÓ Û Ø Û Ò Ù Ø Ó ÛÝÖ Ò Ó ÛÞÓÖÙ ¾½µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ø Þ Ð Ñ ØÙ ¾¼µº ÈÖÞÝ ½º ÊÙ Þ ÒÝ Ø Ò ØÔÙ ÝÑ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ x 1 = Φ 1 (α,t) = α 1 e bt, x 2 = Φ 2 (α,t) = α 2 e bt, x 3 = Φ 1 (α,t) = α 3 e 2bt ¼µ ½º Ç Ð ÞÝ Ó Ò ÓÖÑ º ÊÓÞ ØÖÞÝ Ò ÞÝ ÖÙ Þ Þ ÓÛÝÛ Ó ØÓ º Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û

ÈÓ Ó Ò Â Ó ÒÙ ¾º Ç Ð ÞÝ ÔÖ Ó ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Ñ Ø Ö ÐÒÝ µ ÓÖ Þ Û ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ÙÐ Ö µº º ÏÝÞÒ ÞÝ ØÖ ØÓÖ Þ Ø ÓÖ Þ Ð Ò ÔÖ Ù Þ Ó Ð ÞÓÒ Ó Û Ô Øº¾ ÔÓÐ ÔÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö ÊÓÞÛ Þ Ò º ½º Â Ó Ò Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÓÔ Ù Ó ÖÙ Ñ Ô Ø Φ 1 (α,t) Φ J = det 2 (α,t) α 1 Φ 3 (α,t) Φ 1 (α,t) Φ 2 (α,t) Φ 3 (α,t) Φ 1 (α,t) α 3 Φ 2 (α,t) e bt 0 0 = α 3 0 e bt 0 Φ 3 (α,t) 0 0 e 2bt = 1 α 3 ½µ J = 1 0 ÓÞÒ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÔ Ù ÖÙ Þ Ò Ø ÔÖ Û ÓÛÓº Á ØÒ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ø Ö Ñ ÔÓ Ø α 1 = x 1 e bt, α 2 = x 2 e bt, α 3 = x 3 e 2bt ¾µ ÈÖÞ Ô ÝÛ Φ Þ Þ ÓÛÝÛ Ó ØÓ º ¾º ÈÓÐ ÔÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó v L1 = Φ 1 = bα 1 e bt, v L2 = Φ 2 = bα 2 e bt, v L3 = Φ 3 = 2bα 3 e 2bt µ ÈÓ Ù Ù Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ Ó ÛÖÓØÒÝÑ ¾µ ÑÓ Ò ÛÝ Ð Ñ ÒÓÛ Þ ÛÝÖ µ Ô Ö Ñ ØÖÝ Ñ Ø Ö ÐÒ α i º ÈÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ÙÐ Ö µ ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó v 1 = bx 1, v 2 = bx 2, v 3 = 2bx 3 µ ÈÖÞÝ Ô Þ Ò Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ ÛÝÖ ÛÞÓÖÝ a L1 = 2 Φ 1 2 = b 2 α 1 e bt, a L2 = b 2 α 2 e bt, a L3 = 4b 2 α 3 e 2bt µ Ð Ñ ÒÙ Þ ÛÝÖ µ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ó ¾µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Û ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ a 1 = b 2 x 1, a 2 = b 2 x 2, a 3 = 4b 2 x 3 µ ÈÓÒ Û ÞÒ ÑÝ Ù ÔÓÐ ÔÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö µ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Û ØÝ ÞÑ ÒÒÝ ÑÓ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ Þ ÛÞÓÖÙ Ò ÔÓ Ó Ò Ù Ø Ò ÐÒ ½ µ a 1 = v 1 + v 1 v = b 2 x 1, a 2 = b 2 x 2, a 3 = 4b 2 x 3 µ ½¼

ÌÏÁ Ê ÆÁ ÌÊ ÆËÈÇÊÌÇÏ º½º ¾º Ò ÒÝ Ø ÖÙ x = Φ(α, t) x 1 = Φ 1 (α, t) = α 1 e t + α 3, x 2 = Φ 2 (α, t) = α 2, x 3 = Φ 1 (α, t) = α 3 tα 1 µ ½º ÈÖÞ Ø Û ÖÙ Ù Û ÔÓ Ø Ñ ÖÞÓÛ x = Aαº ÏÝÞÒ ÞÝ Â Ó Ò Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ¾º ÈÓ Þ Ó ÛÖÓØÒ α = Φ 1 (x) Þ Ò Ø Ò ØÔÙ ÝÑ ÛÞÓÖ Ñ α 1 = x 1 x 3 t + e t, α 2 = x 2, α 3 = tx 1 + e t x 3 t + e t µ º ËÔÖ Û Þ Φ ( Φ 1 (x, t) ) = xº º ÏÝÞÒ ÞÝ ÔÓÐ ÔÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ v L (α, t) ÓÖ Þ ÔÓÐ ÔÖ Ó Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö v(x, t)º º¾º Æ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò E 3 Þ Ò Û ÔÓÐ Ð ÖÒ ρ(α, t) ÓÖ Þ T(x, t) Ø Ö Ó Ö ÐÓÒ Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Þ ÔÓÑÓ ÛÞÓÖ Û ρ(α) = α 1 + t, T(x, t) = x 1 + t ¼µ ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÔÖÞ Ô ÝÛÙ Φ ÔÓ Ò Ó Û Þ Ò Ù ½ ÛÝÞÒ ÞÝ ½º ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ÓÔ ÔÓÐ ρ(x, t) ¾º ÓÔ ÔÓÐ Û ÞÑ ÒÒÝ Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ð ÔÓÐ T(α, t) º ÔÓ Ó Ò Ù Ø Ò ÐÒ ÔÓÐ T(x, t) ÌÛ Ö Þ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ Ï ÔÖ ØÝ Þ ØÓ Þ Ó Þ ÓÒ ÞÒÓ Ó Ð Þ Ò ÔÓ Ó Ò ÛÞ Ð Ñ Þ Ù Þ Û Ð Ó f(x, t) Ó Ö ÐÓÒ Ò ÙÒÓ ÞÓÒ ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ Ò µ ÔÖÞ Þ ÔÖÞ Ô ÝÛ Φ Ó ØÓ Ω(t) = Φ(Ω(0))º  Рf(x, t) Ø Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ ÙÒ Ò Ω t ØÓ ÙÒ Q(t) = d f(x, t)dυ Ω(t) Ø ÙÒ Ö ÛÒ Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ º Ç Ð Þ Ò ÔÓ Ó Ò Q(t) Ò ÔÓØÝ Ô ÛÒ ØÖÙ ÒÓ Ûݹ Ò Þ ØÙ Ó Þ Ö ÓÛ Ò Ø Þ Ð ÒÝ Ó Þ Ùº Ý Ó ÓÒ Ø Ó Ö Ò Þ ÓÛ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÔÖÞ Ô ÝÛÓÛ ½µº Ó ÓÒÙ Þ Ñ ÒÝ ÓÛ Ò ÔÓ ÖÙ ÓÑÝÑ Ó Þ ÖÞ Ò ÓÛ Ò ÓÛ Ò ÔÓ Ó Þ ÖÞ Ö Ö ÒÝ ÒÝÑ Ò Þ Ð ÒÝÑ Ó Þ Ù Ô ØÖÞ ½ µº ÌÛ Ö Þ Ò º½º º Æ Þ Þ ÒÝ ÖÙ Φ(α, t) Þ ÔÓÐ Ñ ÔÖ Ó v(x, t) ÛØ Ý ( ) d df f(x, t)dυ x = Ω(t) Ω(t) + f divv dυ x ÓÛ º Ó ÓÒ ÑÝ Þ Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÔÖÞ Ô ÝÛÓÛ Ó Φ Ò ØÔÒ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ ÛÞÓÖÙ ÙÐ Ö Ò ÔÓ Ó Ò Ó ÒÙ ½ µº ËØ d f(x, = d f(φ(α, t))j(t, α)dυ α = Ω t t)dυx Ω 0 ( ( f ) + f v)j + f Jdivv dυ α = Ω 0 Ω t ( ) df + f divv dυ x ½µ ¾µ Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½½

ÌÏÁ Ê ÆÁ ÌÊ ÆËÈÇÊÌÇÏ ÏÞ Ö ½µ ÑÓ Ò Þ Ô Ò Ó Ò Þ º Ñ ÒÓÛ ØÛÓ ÔÖ Û Þ Ð ÓÛÓÐÒ ÙÒ Ð ÖÒ f Û ØÓÖ v Þ Ó Þ Ò ØÔÙ Ö ÛÒÓ div (fv) = f v + fdivv µ ÃÓÖÞÝ Ø Þ ØÓ ÑÓ µ ÛÝÖ Ò ÔÓ ÓÛ ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ ÛÞÓÖÙ ½µ ÑÓ Ò Þ Ô Ó df f + f divv = + div (fv) Æ ØÔÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ØÛ Ö Þ Ò Ù Ç ØÖÓ Ö Þ Ó ÑÓ Ò Þ Ô ØÛ Ö Þ Ò ØÖ Ò ¹ ÔÓÖØÓÛ Û ÔÓ Ø d f f(x, t)dυ x = Ω(t) Ω(t) dυ x + f v nds S ÏÞ Ö µ ÒÓ Ò ÞÛ ÛÞÓÖÙ Ä Ò Þ º Â Ó ÒÓÛÝÑ ÖÓÛ Û Ö ÓØÝÞ Ö Ò Þ ÓÛ Ò Û Ø Ö Ö Ò ÙÒ ÔÓ ÓÛ Þ Ð Ó Ô Ö Ñ ØÖÙ t Ñ ÔÓ Ø µ d b(t) a(t) f(x, t)dx = b a f db dx + da f(b, t) f(a, t) µ ÈÓ Ó Ò db/ = u(b) Ò ØÓÑ Ø da/ = u(a)º Ê ÛÒ Ò µ ÑÓ Ò Þ Ô Ó d b(t) a(t) f(x, t)dx = b a b a f dx + u(b) f(b, t) u(a)f(a, t) = f dx + b a (uf) x dx = b a ( f + (uf) ) dx = x b a ( df + f u ) dx x ÏÞ Ö µ Ø ÒÓÛ ÒÓ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ó ÔÓÛ Ò ÛÞÓÖ Û ½µ µº ÏÞ Ö µ ÞÒ Ù Û ÔÖ ØÝ Ð ÞÒ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Û ÖØÓ ÔÓ Û ÑÙ Ò Ó Û ÙÛ º Ï ÛÞÓÖÞ ½µ ÔÖÞÝ ÑÙ Ó ØÓ ÞÝ Ω(t) ÔÓ Ø Ö Ù ÑÝ Ð Þ ØÝ ÑÝ Þ Ø º ÖÞ Ω Þ Ð Ó Þ Ö ÔÖÞ Ô ÝÛÙ Ò Û ÛÒØÖÞÒÝ ØÓ ÞÒ ÞÝ Ò Þ Ø Þ Û ÖØ Û ÛÒ ØÖÞ Ω ÓÖ Þ Þ ÛÒØÖÞÒÝ Û ØÓ ÙÒ Ù Ó ØÓ Ωº ÛÞ Ð Ù Ò Ó ÛÖ ÐÒÓ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ÔÖÞ Ô ÝÛÓÛ Ó ÖÞ Ó Þ ÖÙ Ω Þ Ù ÓÛ ÒÝ Ø Ö ÛÒ Þ Û Þ Þ ØÝ ÑÝ Þ Ø º Ì Ûݹ Ó Ö Ò ÓÒ Ó ØÓ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ù Ñ Þ Ñ Ò ØÝÑ Ó ÞÓÐÓÛ ÒÝѵ ÐÙ Ó ØÓ Ñ Ø Ö ÐÒ º Ï Þ ØÓ ÓÛ Ò ÔÖ ØÝÞÒÝ ÛÝ Ó Ò Ø Ó ÖÓÞÛ ÛÔÖÓÛ Þ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ Ø Ö Ò ÞÝÛ Ò Ø Ø Ù Ñ ÓØÛ ÖØÝѺ Ñ Ò Ý ÛÓ ÔÓ Ó Ò Ù Þ Ñ Ò ØÝ Ð ÛÝ Ö Ò Û Ð t = t 0 ÔÓ ÖÝÛ Þ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ º ÈÖ Ó Þ Ø Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò Ó Ö Ò Þ ¹ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ Ö ÛÒ Û Ø ÛÝ Ö Ò Û Ð ÔÖ Ó Þ Ø Ù Ù Þ Ñ Ò Ø Óº ÌÛ Ö Þ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ Ð Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ ÔÖÞÝ ÑÙ ÔÓ Ø d f(x, t)dυ = f(x, t)dυ + f v nds Ω(t=t 0) OK S ÁÒØ ÖÔÖ Ø ÞÝÞÒ ØÛ Ö Þ Ò ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ Ó Ø Ò ØÔÙ ËÞÝ Ó ÞÑ ÒÝ Û Ð Ó f Û Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ Ó ÔÓÛ ÙÑ Û ÐÓÛ ÞÝ Ó ÞÑ ÒÝ f Û Ø Ó ØÓ ÓÖ Þ ØÖÙÑ Ò f ÔÖÞ Þ ÔÓÛ ÖÞ Ò S Ó Ö Ò Þ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ º µ µ ½¾

ÌÏÁ Ê ÆÁ ÌÊ ÆËÈÇÊÌÇÏ ÊÝ ÙÒ ÈÓ Ó Ò Ù Ù Þ Ñ Ò Ø Ó ÛÞ Ð Ñ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ Û Ö ÒÝ Û ¹ Ð t 0 t, t 0 ÓÖ Þ t 0 + tº Ç ØÓ Ù Ù Þ Ñ Ò Ø Ó ÔÓ ÖÝÛ Û Û Ð t 0 Þ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐÒ º Å Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ñ Ò Ô ÝÒ Û ½