Algebra liniowa Zadanie 1 Czy jeśli wektory x, y i z, należące do binarnej przestrzeni wektorowej nad ciałem Galois GF (2), są liniowo niezależne, to można to samo orzec o następujących trzech wektorach: x + y y + z x + z? Zadanie 2 Pokaż, że w liniowej przestrzeni wektorowej V rozpiętej nad ciałem Galois GF (2), w której wektor ma długość c pozycji, maksymalna liczność zbioru wektorów, takiego że żadna para zawartych w nim wektorów nie jest liniowo zależna, wynosi: 2 c 1. Pokaż, że jeśli taki zbiór wyznacza kolumny macierzy kontroli parzystości, to otrzymany kod liniowy jest szczelnie upakowany oraz pozwala skorygować wszystkie błędy pojedyncze. Podstawowe właściwości kodów liniowych Zadanie 3 (kolokwium z lat poprzednich) Czy ciągi kodowe: 01101 11010 10111 11100 mogą wszystkie na raz być (niekoniecznie wszystkimi) ciągami kodowymi (niekoniecznie systematycznego) binarnego kodu liniowego (5, 2)? Zadanie 4 (kolokwium z lat poprzednich) Udowodnij, że jeśli kody C i C są kodami liniowymi zawartymi w przestrzeni liniowej V rozpiętej nad binarnym ciałem Galois GF (2), to wtedy kody: oraz również są kodami liniowymi. Czy kod: C + C = { x + x x C, x C } C C = { x x C x C } C C = { x x C x C } jest liniowy w każdej sytuacji? Jeśli nie, to jakie muszą być spełnione warunki, żeby był liniowy? Zadanie 5 Kody C i C są kodami liniowymi zawartymi w przestrzeni liniowej V rozpiętej nad binarnym ciałem Galois GF (2) o macierzach generujących oraz kontroli parzystości odpowiednio G, H i G, H. Znajdź macierz generującą kodu C + C oraz macierz kontroli parzystości kodu C C, gdzie: C + C = { u + u u C, u C }, C C = { u u C u C }. Strona 1 z 5
Zadanie 6 Pokaż, że jeśli binarny kod systematyczny C i ma parametry (n, k i ) i odległość minimalną d mini, to kod otrzymany w wyniku specjalnego złożenia poszczególnych słów kodowych (np. dla ciągów kodowych 00 i 11: (00, 11) = 0011): C 1 C 2 = { (x, x + x ) x C 1, x C 2 } ma parametry (2n, k 1 + k 2 ) oraz odległość minimalną: d minc1 C 2 = min {2d min1, d min2 } Udowodnij, że jeśli kody C i są liniowe, to kod C 1 C 2 również jest liniowy. Zadanie 7 Poszukiwany jest najkrótszy możliwy kod liniowy (tj. kod, którego słowa kodowe są jak najkrótsze) kodujący 16 wiadomości, korygujący błędy jednokrotne. Skonstruuj jego dowolną macierz generującą G. Podaj sposób korygowania błędu i podaj macierz kontroli parzystości H dla tego kodu. Zadanie 8 (kolokwium z lat poprzednich) Sprawdź czy R n jest kodem liniowym. Jeśli tak, to podaj jego macierz generującą oraz macierz testów parzystości. Pokaż również, że R 2015 jest kodem szczelnie upakowanym. Zadanie 9 Pokaż, że kod liniowy (n, k) korygujący t błędów ma przynajmniej 2t pozycji kontrolnych. Zadanie 10 (kolokwium z lat poprzednich) Do zbioru ciągów kodowych pewnego systematycznego kodu liniowego należą między innymi następujące ciągi: 10011011 00101110 01001101 11010110 00010111 01110100. Określ, jakie taki kod może mieć parametry (n, k), jeśli k ma być najmniejsze z możliwych, oraz ustal jego właściwości korekcyjne i detekcyjne. (Odp. Kod (8, 4), wykrywa i koryguje błędy pojedyncze) Zadanie 11 (kolokwium z lat poprzednich) Do zbioru ciągów kodowych pewnego kodu liniowego, który jest w stanie wykrywać przekłamania, należą m.in. następujące ciągi: 0011010 0100110 0101111 0110101 0111100 1001101. Ile jest różnych ciągów błędów niewykrywalnych przez ten kod? Zadanie 12 (kolokwium z lat poprzednich) Pewien liniowy kod blokowy używa wektorów binarnych o długości sześć. Ostatnie trzy symbole, oznaczane jako i 4, i 5 oraz i 6, to symbole informacyjne. Pierwsze trzy symbole, oznaczane jako c 1, c 2 i c 3, to symbole kontrolne. Wiadomo, że c 1 = i 4 i 5, c 2 = i 4 i 6 oraz c 3 = i 5 i 6. Proszę dla tego kodu określić: (a) macierz generującą, (b) właściwości korekcyjne, (c) czy sekwencja 101111 jest słowem kodowym. Zadanie 13 (kolokwium z lat poprzednich) Proszę znaleźć macierz kontrolną idealnego blokowego kodu binarnego, który może wykrywać wszystkie przekłamania czterokrotne (i przekłamania o niższej krotności). Strona 2 z 5
Zadanie 14 (kolokwium z lat poprzednich) Przedstaw za pomocą słowa binarnego o długości ośmiu symboli a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 liczbę utworzoną z dwóch ostatnich cyfr numeru swojego indeksu (np. dla końcówki 99 to będzie 01100011, gdzie a 7 =0, a 6 =1,... ), a następnie podaj, jakie są właściwości korekcyjne kodu liniowego, którego słowami kodowymi są m.in. następujące ciągi: 1a 7 100011000 01a 6 a 5 1010001 001a 4 a 3 110001 00a 2 1a 1 010011 0011a 0 010100 00011001011 Wiadomo że ten kod wykrywa co najmniej wszystkie błędy pojedyncze. Zadanie 15 (kolokwium z lat poprzednich) Pewien binarny kod liniowy charakteryzuje się następującą macierzą generującą: 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 Ile ten kod ma słów kodowych? Jaka jest jego minimalna odległość Hamminga? Proszę również odpowiedzieć na dwa poniższe pytania. (a) Z jakim prawdopodobieństwem dekoder podejmie błędną decyzję, gdy otrzyma poniższy ciąg: 11110, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo przekłamania pojedynczego symbolu to 0,723? (b) Czy kod o takich parametrach jest skonstruowany rozsądnie? Jeśli tak, to dlaczego? Jeśli nie, to jak dałoby się to zrobić lepiej? Zadanie 16 (kolokwium z lat poprzednich) Znajdź kod liniowy charakteryzujący się sprawnością o wartości 0,75 i korygujący błędy co najmniej pojedyncze, o najkrótszej możliwej długości słowa kodowego, podając: podstawowe parametry kodu, minimalną odległość Hamminga, zależność między bitami informacyjnymi i nadmiarowymi oraz jego macierz generującą. (Odp. Kod (20, 15)) Dekodowanie w kodowaniu liniowym Zadanie 17 (kolokwium z lat poprzednich) Syndrom obliczany dla pewnego nadmiarowego kodu binarnego ma postać: s = [ y 1 + y 3 + y 5 y 1 + y 2 + y 6 y 3 + y 4 + y 6 ]. przy czym dekoder oblicza go na podstawie otrzymanego ciągu y, gdzie y i oznaczają wartości y na pozycjach i. Znajdź parametry tego kodu (zakładając, że to najkrótszy możliwy kod) oraz określ jego właściwości korekcyjne i detekcyjne. (Odp. Kod (6, 3), wykrywa i koryguje błędy pojedyncze) Zadanie 18 (kolokwium z lat poprzednich) Każdy ciąg kodowy pewnego kodu liniowego jest zaburzany w trakcie transmisji na tej samej pozycji. Odebrano następujące ciągi: Odtwórz zbiór nadanych ciągów kodowych. 10011 01001 11110 Strona 3 z 5
Zadanie 19 (kolokwium z lat poprzednich) Niech a będzie binarną reprezentacją ostatniej cyfry numeru Pani/Pana indeksu. Dany jest kod liniowy o macierzy generującej: 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1. 1 0 0 0 1 1 1 1 0 Niech x 1 będzie ciągiem kodowym służącym do reprezentacji sekwencji informacyjnej u, utworzonej na podstawie a (gdzie u = [0... 0 a], tj. być może trzeba z przodu uzupełnić a odpowiednią liczbą zer, tak żeby sekwencja u miała długość odpowiednią z punktu widzenia tego kodu). y i to w ogólności ciąg binarny powstały w wyniku przesłania x 1 przez kanał z zakłóceniami i podawany na wejściu dekodera. Dekodowanie przebiega z użyciem syndromu. Proszę podać (jeśli dany ciąg istnieje): y 1 : ciąg binarny, który dekoder tego kodu jest w stanie rozpoznać jako ciąg zabroniony i poprawnie go skorygować, y 2 : ciąg binarny, który dekoder tego kodu jest wprawdzie w stanie rozpoznać jako ciąg zabroniony, ale nie będzie go korygować, y 3 : ciąg binarny, który dekoder tego kodu jest w stanie rozpoznać jako ciąg zabroniony i będzie go korygował, w wyniku czego podejmie błędną decyzję. Kody Hamminga Zadanie 20 (kolokwium z lat poprzednich) Podaj, które z następujących ciągów są słowami kodowymi kodu Hamminga: 01101011011000 011010110110000 10000010000011 100000100000011 11010110111111 110010110111111 Zadanie 21 Określ prawdopodobieństwo podjęcia błędnej decyzji korekcyjnej przez dekoder kodu Hamminga (7, 4), jeśli prawdopodobieństwa przekłamania pojedynczego bitu w słowie kodowym podczas transmisji są niezależne i wynoszą 10 3. Jaki jest stosunek prawdopodobieństwa wystąpienia błędów korygowalnych przez dekoder do prawdopodobieństwa wystąpienia przekłamania słowa podczas transmisji? (Odp. Nie więcej niż 2,093 10 5 i około 0,9969) Zadanie 22 (kolokwium z lat poprzednich) Niech a będzie binarną reprezentacją ostatniej cyfry numeru Pani/Pana indeksu. Niech b = 0... 0a oraz c = 1... 1a będą dwoma różnymi binarnymi sekwencjami informacyjnymi, których długości należy sobie odpowiednio dobrać (tzn. trzeba wymyśleć, ile może być zer/jedynek dopisanych na początku), mając na uwadze, że będą kodowane za pomocą binarnego kodu Hamminga. Proszę znaleźć odległość Hamminga między słowami kodowymi reprezentującymi sekwencje informacyjne b i c. Zadanie 23 (kolokwium z lat poprzednich) Dany jest binarny kod Hamminga o parametrach (n, k), dla którego liczba pozycji nadmiarowych wynosi pięć. Niech b będzie ostatnią cyfrą numeru Pani/Pana indeksu. Proszę podać (jeśli dane ciągi istnieją): Strona 4 z 5
x 1 i x 2 : dwa słowa kodowe tego kodu, takie że odległość Hamminga między nimi wynosi b + 3. y 1 i y 2 : dwa ciągi binarne, które dekoder tego kodu rozpozna jako ciągi zabronione, odległość Hamminga między nimi wynosi 12 b. Zadanie 24 (kolokwium z lat poprzednich) Proszę ustalić odległość maksymalną Hamminga d max dla kodu Hamminga, który ma siedem pozycji nadmiarowych. Odległość maksymalna Hamminga d max jest definiowana analogicznie jak d min, tzn. dla kodu C: d max (C) = max {d (x i, x j ) : x i, x j C x i x j }, gdzie d (x i, x j ) to odległość Hamminga między dwoma słowami kodowymi kodu C. Inne Zadanie 25 (**) Liniowy binarny kod idealny (szczelnie upakowany) C o parametrach (n, k > 1) charakteryzuje się minimalną odległością Hamminga d min (C) = 7. Jaka jest długość słowa kodowego? Zadanie 26 (**) Określ liczbę słów kodowych o wadze trzy w kodzie Hamminga, w którym liczba pozycji nadmiarowych wynosi sześć. Informacja dodatkowa: Na kartkach z zadaniami do kolejnego kolokwium znajdą Państwo następujące dane, być może pomocne przy rozwiązywaniu zadań: Kres górny Plotkina: d min n2k 1 2 k 1. Kres górny Eliasa: d min 2s K K 1 s ( n i=0 i całkowitą spełniającą zależność: K. 2 n k ( ) 1 s n, gdzie: s, K Z oraz 2 n k < s ) i=0 ( n i), i K jest najmniejszą liczbą Kres dolny Warszamowa-Gilberta: 2 n k > d min 2 i=0 ( n 1 ) i. Strona 5 z 5