Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013 CZŁOWIEK NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Przyrodniczo-Politechnicznych w Marszewie i ID grupy: Opiekun: Zespół Szkół nr 1 w Pyrzycach 97/88_MF_G1 i 97/30_MF_G1 Dobromira Zdunek i Agnieszka Wójcicka Kompetencja: matematyczno-fizyczne Temat projektowy: Różne własności liczb naturalnych Semestr/rok szkolny: semestr II r.szk.2010/11

RÓŻNE WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH Krótka historia liczby Liczby pierwsze Sito Eratostenesa Liczby pierwsze Mersenne a Liczba doskonała Liczby zaprzyjaźnione Ciekawe liczby Liczby Fibonacciego Trójkąt Pascala Liczby Fermata Ciekawostki

KRÓTKA HISTORIA LICZBY uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok. 30 000 lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości na których znaleziono ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Do najstarszych znaków cyfrowych należą znaki babilońskie. Liczby babilońskie są kombinacjami trzech znaków: jedynki, dziesiątki i setki. Babilończycy posługiwali się systemem pozycyjnym i układem sześćdziesiątkowym. W tym systemie znak jedynki może oznaczać: 1, 60, 1, 60, 60 2 itd. Dla wyrażenia zera pisali dwa pochyłe znaki jedynki. Ślady babilońskiej numeracji sześćdziesiątkowej odnajdujemy obecnie na przykład w rachubie czasu (godziny, minuty, sekundy),w używanych czasem nazwach kopa (60), mendel (15), tuzin (12), gros (144).

Z HISTORII LICZBY Grecy stosowali dwa sposoby zapisu liczb: joński i ateński. Sposobem jońskim liczby wyrażano literami alfabetu.aby napisaną liczbę odróżnić od słowa, pisano nad nią kreskę. Cyfry, którymi obecnie posługujemy się powszechnie, pochodzą od Hindusów. Narody europejskie poznały je dzięki Arabom. Polska była jednym z pierwszych krajów, który wprowadził u siebie cyfry hinduskie, a było to w XIV stuleciu. W XIX wieku Russell zdefiniował po raz pierwszy ściśle liczby naturalne jako moce zbiorów skończonych. Peano w 1889 zaksjomatyzował liczby naturalne. Na początku XX wieku von Neumann stworzył swoją konstrukcję liczb naturalnych. zbiór liczb naturalnych: n={ 0,1,2,3...}. każda liczba naturalna większa od 1 jest albo liczbą pierwszą, albo iloczynem liczb pierwszych.

LICZBY PIERWSZE Liczbą pierwszą nazywamy taką liczbę naturalną, która ma tylko dwa różne dzielniki: jeden i samą siebie. Kolejnymi liczbami pierwszymi są: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 D 2 ={1,2} D 3 ={1,3} D 5 ={1,5} D 7 ={1,7} Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone. W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, że dowolna liczba parzysta większa od 4 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych np. 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 48 = 29 + 19, 100 = 97 + 3 itd. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele (twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides).

SITO ERATOSTENESA W III w. p.n.e. matematyk grecki Eratostenes z Cyreny podał metodę wyznaczania liczb pierwszych, zwaną sitem Eratostenesa. Aby znaleźć wszystkie liczby pierwsze wśród liczb od 1 do 100 należy ustawić liczby w ciąg: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Jak znaleźć wszystkie liczby pierwsze od 1 do 100? Skreślamy 1 ponieważ nie jest liczbą pierwszą. Listę rozpoczyna liczba 2. Jest to liczba pierwsza. Należy wykreślić wszystkie liczby większe od 2 i podzielne przez 2. Najmniejszą liczbą po liczbie 2 jest teraz liczba 3 Następnie należy wykreślić z listy wszystkie liczby większe od 3 i podzielne przez 3. Najmniejszą liczbą na liście po liczbie 3 jest liczba 5. Skreślamy teraz wszystkie liczby podzielne przez 5 i większe od 5. Najmniejszą liczbą na liście po liczbie 5 jest liczba 7. Wykreślamy wszystkie jej wielokrotności. W ten sposób można znaleźć wszystkie liczby pierwsze od 1 do 100. Oto one: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

LICZBY PIERWSZE MERSENNE A W XVII wieku francuski mnich Marin Mersenne rozpatrywał możliwość istnienia liczb pierwszych postaci 2 n -1. Stwierdził, że 2 n - 1 jest liczbą pierwszą tylko dla n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. W rzeczywistości Mersenne popełnił 5 błędów. Wykazano w XIX wieku, że: M 61, M 89, M 107 są liczbami pierwszymi; natomiast M 67 i M 257 są liczbami złożonymi. Liczby postaci M n = 2 n - 1, gdzie n jest liczbą pierwszą, a wynik daje liczbę pierwszą nazywamy liczbami Mersenne'a. W 1876 r. E. Lucasowi udało się udowodnić, że 2 127-1 jest liczbą pierwszą i przez następnych siedem dekad była to największa liczba pierwsza.

POSZUKIWANIE LICZB PIERWSZYCH MERSENNE'A W 1952 roku R. M. Robinson przy użyciu komputera znalazł liczby pierwsze Mersenne'a M 521 i M 607. Były to pierwsze tego rodzaju odkrycia. W chwili obecnej duże liczby pierwsze będące liczbami Mersenne'a poszukuje się za pomocą: metody polegającej na obliczaniu wyrazów pewnego ciągu rekurencyjnego podanego przez E. Lucasa i D.H. Lehmera. projektów obliczeń rozproszonych takich jak GIMPS. Obecnie największą liczbą Mersenne'a jest 2 32582657-1 znaleziona w 2006 roku i licząca 9 808 358 cyfr. Mając do dyspozycji coraz to mocniejsze jednostki obliczeniowe, w każdej chwili możemy spodziewać się odkrycia nowej liczby pierwszej Mersenne'a.

LICZBA DOSKONAŁA Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Dwie liczby doskonałe znane były w starożytności: 6 i 28. D 6 ={1,2,3} 6 = 1+2+3 D 28 ={1,2,4,7,14} 28= 1+2+4+7+14 Zagadnieniem liczb doskonałych zajmował się Euklides (IV w. p.n.e.). to on znalazł dwie Kolejne liczby doskonałe: 496 i 8128 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016+ 2032 + 4064

LICZBA DOSKONAŁA W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą. 1 + 2 = 3 3 2 = 6 1 + 2 + 4 = 7 7 4 = 28 1 + 2 + 4+ 8+16 = 31 31 16 = 496 Reguła odnajdowania parzystych liczb doskonałych: N=2 k-1 (2 k -1), gdzie (2 k -1) musi być liczbą pierwszą dla k>1 (naturalnego). Znajdowanie liczb doskonałych według powyższej reguły: k 2 k-1 2 k -1 Liczby doskonałe 2 3 5 7 13 17 19 31... 2 4 16 64 4 096 65 536 262 144 1 073 741 824... 3 7 31 127 8 191 131 071 524 287 2 147 483 647... 6 28 496 8128 33 550 336 8 589 869 056 137 438 691 328 2 305 843 008 139 952 128...

LICZBA DOSKONAŁA W roku1536 Hudalrichus Regius pokazał, że 2 13 1 jest liczbą pierwszą, a więc 2 12 (2 13 1) = 33550336 jest liczbą doskonałą (piątą). Na początku XVII wieku Cataldi odkrył szóstą i siódmą liczbę doskonałą 2 16 (2 17 1) = 8589869056,2 18 (2 19 1) = 137438691328 Dwa tysiące lat po Euklidesie, Leonhard Euler znalazł trzy kolejne liczby doskonałe. W roku 1732: 2 30 (2 31 1) = 2305843008139952128 i pozostawała największą znaną liczbą doskonałą przez 150 lat. W roku 1883 Pervusin pokazał, że 2 60 (2 61 1) jest doskonała. Ostatnią znalezioną "ręcznie" w 1911 roku jest liczba 2 288 (2 289 1), która ma 173 cyfry w rozwinięciu dziesiętnym.

LICZBA DOSKONAŁA DRUGIEGO RODZAJU W roku 1952, po raz pierwszy do poszukiwań liczb doskonałych użyto maszyny liczącej. Do tej pory znano ich tylko 12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5. Ostatnią znaleziono w 2001 roku. Największa liczba doskonała: (2 32582656 ) (2 32582657 1) liczy ona 19 616 714 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. Liczbą doskonałą drugiego rodzaju nazywamy taką liczbę naturalną, która jest równa iloczynowi swoich dzielników właściwych (mniejszych od niej). Na przykład liczba 10 jest taką liczbą bo 10=1 2 5 (1, 2, 5 jej dzielniki bez niej samej).

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych takich, że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie licząc dzielników przez samą siebie). Pierwsza para takich liczb została podana przez Pitagorasa, są to liczby 220 i 284 (para najmniejszych liczb zaprzyjaźnionych) Dzielniki właściwe liczby 284 to: D 284 ={1,2,4,71,142} 220=1+2+4+71+142 (liczba 220 jest sumą dzielników liczby 284) Dzielniki właściwe liczby 220 to: D 220 ={1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110} 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (liczba 284 jest sumą dzielników liczby 220).

HISTORIA LICZB 220 i 284 Gdy zapytano Pitagorasa: "Co to jest przyjaciel?" - odpowiedział: "Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". Stąd podobno pochodzi owa nazwa liczb zaprzyjaźnionych. W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości. Przez dobre dwa tysiące lat para ta była właściwie jedyną znaną,,powszechnie'', chociaż arabski matematyk z IX wieku, Thabit ibn Kurrah, podaje regułę wyszukiwania liczb zaprzyjaźnionych: jeżeli trzy liczby: oraz są wszystkie liczbami pierwszymi i n>2, to 2npq i 2nr tworzą parę liczb zaprzyjaźnionych.

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą. Znanych jest około miliona par liczb zaprzyjaźnionych. Inne pary liczb zaprzyjaźnionych to: 1184 i 1210 2620 i 2924 5020 i 5564 6232 i 6368 10744 i 10856 12285 i 14595 17296 i 18416 63020 i 76084 66928 i 66992 LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowali się ci sami matematycy, którzy szukali także liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz, Euler. Polski matematyk Jan Brożek znalazł parę liczb zaprzyjaźnionych: 17296 i 18416

CIEKAWE LICZBY Liczby bliźniacze to dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Przykładami par liczb bliźniaczych są: 3 i 5; 5 i 7; 11 i 13 ; 17 i 19; 29 i 31. Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para liczb: (260497545 2 6625-1 i 260497545 2 6625 +1) Liczby czworacze to takie liczby pierwsze: p, p+2, p+6, p+8, dające dwie pary liczb bliźniaczych. np.: 5, 7, 11, 13; 11, 13, 17, 19; 191, 193, 197, 199; 821, 823, 827, 829.

CZY ZNASZ TE LICZBY? Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem, np.: 125 i 521, 68 i 86, 17 i 71, 3245 i 5423. Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie, np.1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11. 1221:11=192 Liczbą automorficzną nazywamy liczbę, której kwadrat kończy się tymi samymi cyframi co sama liczba np.: 5 2 =25, 76 2 =5776, 9376 2 = 87909376,

CZY ZNASZ TE LICZBY? Liczby Sophie Germain to takie liczby pierwsze p jeżeli 2p+1 jest także liczbą pierwszą np.: 5, 11, 23, 29, 41. Liczby względnie pierwsze to liczby, które nie mają wspólnego dzielnika. Parą liczb względnie pierwszych jest licznik i mianownik ułamka nieskracalnego,np.6 i 13, 20 i 35. Liczby palindromiczne - liczby naturalne, które czyta się tak samo od początku i od końca. Przykłady takich liczb: 55, 494, 30703, 414, 5115...

LICZBY TRÓJKĄTNE Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem ich geometryczna ilustracja: Na przykład: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35,...

LICZBY KWADRATOWE Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja: Na przykład: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...

LICZBY FIBONACCIEGO Liczby Fibonacciego to liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich (tj. 1,1,2,3,5,8,13, 21, 34,...). Nazwa pochodzi od imienia Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim, który w 1202 podał ten ciąg.

Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (np. drzewa) Róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.

TRÓJKĄT PASCALA Jednym z najbardziej interesujących układów liczbowych jest trójkąt Pascala (od nazwiska Blaise'a Pascala, sławnego francuskiego matematyka i filozofa). Został on tak nazwany, ponieważ liczby, które w nim występują układają się w trójkąt. Trójkąt Pascala tworzy się z liczb naturalnych zgodnie z następującą regułą: W wierzchołku trójkąta oraz wzdłuż boków wychodzących z tego wierzchołka są jedynki. Reszta liczb powstaje w ten sposób, że liczba będąca w kolejnym rzędzie jest sumą dwóch liczb, które są bezpośrednio nad nią.

Własności trójkąta Pierwsza przekątna to oczywiście same jedynki, następna przekątna ma liczby naturalne,trzecia przekątna utworzona została z liczb trójkątnych. Czwarta przekątna ma liczby czworościenne Suma liczb w poziomym rzędzie to kolejne potęgi liczby 2. Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego.

LICZBY FERMATA Liczby Fermata to liczby mające postać gdzie n jest liczba całkowitą nieujemną. 3, 5, 17, 257,... Matematyk francuski Pierre de Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby mające tę postać są liczbami pierwszymi. Okazało się, że liczby F 0 =3, F 1 =5, F 2 =17, F 3 =257, F 4 =65537 są liczbami pierwszymi, natomiast F 5 =4294967297 jest liczbą złożoną i dzieli się przez 641.

CIEKAWOSTKI O LICZBACH Największa liczba pierwsza (2 759 677 cyfr), która nie jest liczbą Mersenne'a: 27653 2 9167433 + 1 Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera: (2 148 + 1) / 17 znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.:23, 67, 4567, 23456789, 1234567891, 1234567891234567891234567891. W dwóch ostatnich liczbach cyfry występują w tak zwanym rosnącym porządku cyklicznym, tzn. po kolei, z tym że po 9 może być 0 lub 1. Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym porządkiem cyklicznym: 43, 10987, 76543 i 1987.

CIEKAWOSTKI O LICZBACH Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, jest pierwsza. Są wielocyfrowe liczby pierwsze, które składają się z samych jedynek np. 11 111 111 111 111 111 111 111 (23-cyfrowa). Liczba 73939133 nie tylko jest pierwsza, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej też są pierwsze: 7393913, 739391, 73939, 7393, 739, 73, 7. Wielkie liczby pierwsze służą do testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Klucze najlepszych szyfrów oparte są na liczbach pierwszych. Są użyteczne przy konstruowaniu kodów korekcyjnych do wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy kosmiczne...) oraz w czytnikach CD wysokiej jakości.

BIBLIOGRAFIA W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1966 W. Sierpiński, Wstęp to teorii liczb, WSiP, Warszawa 1987 J.H. Conway, R.K. Guy Księga Liczb W. Sięrpiński, Teoria liczb, PAN, Warszawa 1959 http://www.math.edu.pl/liczby-blizniacze http://www.serwis-matematyczny.pl/static/st_liczby_dosk.php http://pl.wikipedia.org/wiki/liczby_doskonałe http://pl.wikipedia.org/wiki/liczby_zaprzyjaźnione http://pl.wikipedia.org/wiki/liczby_mersenne a http://pl.wikipedia.org/wiki/liczby_pierwsze http://www.math.edu.pl/liczby-fibonacciego

Dziękujemy za uwagę :