Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Komisja Nadzoru Finansowego, Warszawa 4.10.2010 r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.10.2010 r. Zadanie l. Pewien podmiot posiada wyjściowy majątek o wartości w, i narażony jest na stratę X. Strata Xjest zmienną losową o rozkładzie dwupunktowym: Pr(X = l) = q, Pr(X = O) = 1- q Rynek ubezpieczeniowy oferuje kontrakty ubezpieczeniowe wypłacające aj( za szkodę w wysokości X dla dowolnych a E (0,1], w zamian za składkę w wysokości (l + B) q. a. Podmiot ten postępuje racjonalnie, a w swoich decyzjach kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności, przy czym jego funkcja użyteczności jest postaci: u(x) = -exp(-x). Jeśli założymy, że B = 25%, zaś q = 20%, wtedy podmiot, o którym mowa, osiągnie maksimum oczekiwanej użyteczności wybierając kontrakt z pokryciem równym (wybierz najl~psze przybliżenie): (A) (B) a~67% a ~7l% (C) a ~ 73% (D) a ~76% (E) a ~78% Ol"
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.10.2010 r. Zadanie 2. Zmienna losowa: X=.Y;+"'+Y N ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa składnika sumy.r;. W tejże tabeli podano także obliczone dla k = 0,1,...,4 prawdopodobieństwa Pr(X = k). k Pr(.r; = k) Pr(X = k) O O 0.36788 l 0.2 0.07358 2 0.3 0.11772 3 0.2 0.09614 4 0.1 0.07029. 5 0.2 Wobec tego Pr(X = 5) z dobrym przybliżeniem wynosi: (A) 0.116 (B) 0.112 (C) 0.108 (D) 0.104 (E) 0.100 2
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.10.20[0 r. Zadanie 3. Proces pojawiania się szkód w czasie N(t) jest procesem o przyrostach niezależnych, o rozkładzie ujerrmym dwumianowym danym dla każdego nieujemnego t oraz dodatniego s wzorem: Pr(N(t+s)-N(t)=k)= r(r [+V (I-q)'S.qk, k=o,l,... k!t r s d. ') J g Złe r = 5 oraz q = - to parametry procesu. 4 Oblicz granicę prawdopodobieństw warunkowych: limpr(n(t+ s)- N(t) = lln(t + s)- N(t) > O) S-łO (A) (B) (C) (D) (E) 2 3 2 31n2 3 8 3 81n2 3
Matematyka ubezpieczeó majątkowych 4.IO.2010r. Zadanie 4. Rozważamy klasyczny proces nadwyżki z zerową nadwyżką początkową U(t) = et - S N(r)' gdzie: et jest sumą składek zgromadzonych do momentu t, N(t) jest procesem Poissona z parametrem intensywności /L, n Sn = I 1;"jest sumą wartości n pierwszych szkód, ;=1 o wartości szkód ~, 1;,1;,... są i.i.d, niezależne od procesu N(t). O rozkładzie wartości pojedynczej szkody wiemy tylko tyle, że: Pr(~ E [0,1D = l, E(~) = 1/10. W. lem)"też, że e> -. A-.. 10 Wobec tego wartość oczekiwana deficytu w momencie miny (pod warunkiem że do ---:..ruinydojdzie) może przyjmować różne wartości. Przedział, który zawiera wszystkie te wartości Cinic ponadto) jes"tpostaci:. (A) (B) (C) [2 1 0' ~] [3 1 0' ~] [1~' ~] (D) [3 1 0' 1~] (E) [2 1 0' 1~] 4
Matematyka ubezpieczeó majątkowych 4.[0.20101'. Zadanie 5. W pewnym ubezpieczeniu mamy do czynienia z ciągłym, liniowym wzrostem liczby ryzyk w portfelu, co wyraża założenie, iż zmienna ~ E (0,1) wyrażająca moment zajścia losowo wybranej szkody z tego portfela w ciągu roku (o ile oczywiście do szkody dojdzie) ma rozkład dany gęstością: 6 2 ;; (t) = - + - t. 7 7 Niech T 2 oznacza odstęp w czasie od momentu zajścia szkody do jej likwidacji. Zmienna ta ma rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną równą 3 (lata). Zakładamy że zmienne losowe ~ oraz T 2 są niezależne. Prawdopodobieństwo, iż szkoda, do której doszło w ciągu roku, pozostanie nie-zlikwidowana na koniec tego roku, z dobrym przybliżeniem wynosi: (A) 71.7% (B) 78.5% - (C) 82.8% (D) 84.6% (E) 85.7% 5
Matematyka ubezpieczeó majątkowych 4.10.2010 r. Zadanie 6. W pewnym portfelu ryzyk łączna wartość szkód: W = ~ +Y 2 +"'+Y N ma złożony rozkład Poissona o parametrze częstotliwości A.= 100 oraz rozkładzie wartości pojedynczej szkody Y wykładniczym z wartością oczekiwaną E(Y) = 10. Niech: W M = min{~,ai}+ o + min{.r:v,ai}, gdzie W M oznacza tę część łącznej wartości szkód W, która pozostaje na udziale ubezpieczyciela po scedowaniu nadwyżki każdej szkody z tego portfela ponad M na reasekuratora. Aktualnie parametrem kontraktu reasekuracyjnego jest wartość zachowku M = 50. Rozważamy jednak możliwość zmiany tego parametru, oraz wpływ takiej zmiany na charakterystyki zmiennej losowej WM. Pochodna wariancj i zmiennej WM : 8Var(W M )1 -:8::..:.:M M=50 wynosi (w przybli~eniu do jedynek): "" (A) 75 (B) 67 (C) 61 (D) 55 (E) 50 u, 6
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.10.20l0 r. Zadanie 7. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: Un.=u+c n-sn, n=o,1,2,..., Sn =W 1 +W 2 +... +Wn, gdzie zmielme ~,W2,W3'''' są niezależne i mają ten sam rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną równąjeden. Jeśli parametry procesu wynoszą: c = 2ln2 u = 4ln2 to prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym horyzoncie czasu wynosi: (A) l 8 (B) l 8-fi (C) l 16-1lł1 (D) l 16-fi (E) l 32 7
.. Matematyka ubezpieczellll1ajątkowych 4.10.20]0 r. Zadanie 8. Oznaczmy przez XI łączną watiość szkód zaistniałych w roku t, przez XI,o tę jej część, która dotyczy szkód zlikwidowanych przed Jeońc~m_roku t, zaś przez XI,I część pozostałą. Warunkowe momenty tych zmiennych (przy danej wartości parametru ryzyka j.11) spełniają założenia: E(Xe,oJj.1J= j.1ip E(XI,l Ij.1J = j.1e(1- p) Var(XI,oljLe)= jllpb 2 Var(Xt,lljLJ = jlj1- p )b 2 Cov(XI,o, Xl,lljLJ = O, zaś rozkład parametru ryzyka j.11 spełnia założenia: E(j.1J = j.1._ Var(jLl) = a 2 Najlepszy nieobciążony liniowy predyktor zmiennej XI,I oparty na informacji o zmiennej Xt,o oraz znanych wartościach parametrów (p,b 2,jL,a 2 ) jest postaci: BLUP(XI,IIXI,o)= cxe,o +d Współczynnik c występujący w powyższym wzorze jest postaci: (A) (1- p)a 2 c=----- p(jib2 + a2) (B) (C) (D) (l-p)a 2 c=--- b 2 + pa 2 (E) 8
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.10.2010r. Zadanie 9. N, r;, Y2' ~,... to niezależne zmienne losowe, N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 10, zaś r;, Y 2, ~,... mają identyczny rozkład Pareto odystrybuancie określonej na półosi dodatniej wzorem: F(y) = 1_(_1_J3 1+ Y Niech M = max{r;'y2'...'y N }, przy czym jeśli N = O, to przyjmujemy M = O. Niech m O. 95 oznacza taką liczbę, że Pr(M..s; m 095 ) = 0.95 Liczba m 095 wynosi (z przybliżeniem do jednej dziesiątej): (A) 2.8 (B) 3.8 (C) 4.8 (D) 5.8 (E) 6.8... 9
~. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.10.2010 r. Zadanie 10. W pewnym ubezpieczeniu proces pojawiania się szkód jest procesem Poissona z oczeki wan~ liczbą szkód w ciągu roku ró~'llą 2, a wartości pojedynczych szkód (niezależne nawzajem i od procesu pojawiania się szkód) mają rozkład ciągły o gęstości ró~ej l na przedziale (O, l). Ubezpieczony stosuje następującą strategię zgłaszania szkód w ciągu roku: Nie zgłasza szkód, dopóki nie zdarzy mu się szkoda o wartości przekraczającej Yz Zgłasza pierwszą szkodę, która przekroczyła wartość Yz, po czym zgłasza ewentualne następne szkody bez względu na to, jaka jest ich wartość. Charakter ubezpieczenia jest przy tym taki, że decyzja o niezgłoszeniu danej szkody jest nieodwołalna - nie ma więc możliwości zgłoszenia danej szkody dopiero wtedy, kiedy zajdzie któraś z następnych szkód. ---------Ad~obfym Oczekiwana wartość szkód zgłoszonych w ciągu roku z tego ubezpieczenia wynosi (z przybliżeniem): (A) 0.84 (B) 0.82 (C) 0.79 (D) 0.77 (E) 0.75 10
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.10.20101'. Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi* Imię i nazwisko:. Pesel. Zadanie nr Odpowiedź Punktacja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I, -'..", "'1 Oceniane są wyłącznie odpowiedzi + Wypełnia Komisja Egzaminacyjna. umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. 11