PRZEGLD STATYSTYCZNY R. LXIV ZESZYT 2 2017 GRZEGORZ TARCZYSKI 1 MODEL DLA ZADANIA KOMPLETACJI ZLECE CZONYCH UWZGLDNIAJCY PROBLEM BLOKOWANIA SI MAGAZYNIERÓW 1. WSTP Dynamiczny rozwój handlu internetowego pociga za sob konieczno szybkiej i niezawodnej kompletacji zamówie. Klienci bowiem czsto ju nastpnego dnia chc otrzyma zamówiony towar. Z tego powodu wdraane s w magazynach nowoczesne rozwizania majce umoliwi bardziej pynn realizacj procesu kompletacji. Jednym z takich rozwiza jest instalacja systemu automatycznego, w którym towary (umieszczone zazwyczaj w kuwetach) za pomoc suwnicy i systemu przenoników dostarczane s do stanowiska kompletacyjnego. Zakup takiego systemu generuje jednak powane koszty, dlatego wci powszechnie stosowana jest kompletacja tradycyjna, odbywajca si zgodnie z zasad czowiek do towaru. Równie w takim przypadku moliwe jest znaczne zwikszenie efektywnoci (rozumianej jako minimalizacja czasu, jaki magazynier przeznacza na skompletowanie zamówienia) procesu realizacji zamówie. Takim sposobem jest m.in. równoczesna kompletacja kilku zamówie poprzez stworzenie tzw. zlece czonych. W ten sposób redni dystans przypadajcy na jedno zamówienie, a jaki jest pokonywany przez magazyniera, ulega skróceniu, co z kolei skutkuje redukcj czasów kompletacji. Problem badania wpywu tworzenia zlece czonych na rednie czasy kompletacji zamówie wydaje si nie do koca zbadany. Magazynierzy, którzy pobieraj w jednym cyklu wiksz liczb towarów, mog przeszkadza sobie w pracy zwaszcza w sytuacji, gdy w magazynie towary skadowane s w oparciu o klasyfikacj ABC. Umieszczenie towarów szybko rotujcych w takich rejonach magazynu, które s atwo dostpne, jest bowiem kolejnym elementem mogcym spowodowa redukcj pokonywanego podczas kompletacji dystansu. Jednym ze sposobów, stosowanych do podziau magazynu na strefy ABC jest polityka within-aisle, gdzie klas A, w której umieszcza si towary najszybciej rotujce, tworzy pewna liczba alejek najbliszych miejsca, w którym magazynier rozpoczyna i koczy swoj prac. Na kolejne klasy zawierajce towary coraz wolniej rotujce przeznacza si alejki coraz bardziej oddalone. W ramach kadej klasy towary rozmieszcza si w sposób losowy, a w bada- 1 Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocawiu, Wydzia Zarzdzania, Informatyki i Finansów, Katedra Ekonometrii i Bada Operacyjnych, ul. Komandorska 118/120, 53-345 Wrocaw, Polska, e-mail: grzegorz. tarczynski@ue.wroc.pl.
194 Grzegorz Tarczyski niach teoretycznych przyjmuje si dodatkowe zaoenie o braku korelacji pomidzy towarami (pojawienie si na zamówieniu okrelonego towaru nie wpywa na prawdopodobiestwo wystpienia na tym samym zamówieniu innego towaru). Warunek komplementarnoci towarów uwzgldniany jest zazwyczaj podczas analizy tzw. skadowania dedykowanego. W literaturze procesy magazynowe modelowane s zarówno za pomoc narzdzi symulacyjnych, jak i podejcia analitycznego. Symulacje umoliwiaj uwzgldnienie wikszej liczby parametrów, ich wad jest jednak dugi czas oblicze. Celem artykuu jest stworzenie modelu analitycznego umoliwiajcego ustalenie optymalnej liczby czonych zamówie dla dwóch heurystyk wyznaczania trasy magazyniera, które maj najwiksze znaczenie praktyczne. Poniewa podczas równoczesnej pracy wielu magazynierów w magazynie mog powstawa zatory, niezbdne jest uwzgldnienie w proponowanym modelu ewentualnych interakcji pomidzy pracownikami. Zgodnie z wiedz autora, takie badania przeprowadzane byy jak dotd za pomoc narzdzi symulacyjnych. W tej pracy poczono podejcie analityczne z symulacyjnym symulacje wykorzystano do stworzenia postaci analitycznej funkcji czasu blokowania si magazynierów. Analizujc procesy magazynowe, w badaniach teoretycznych zazwyczaj zakada si skadowanie tego samego towaru wycznie w jednym miejscu w magazynie. Problem optymalizacji wyboru lokalizacji, z której naley pobra towar jest wic pomijany w badaniach. Takie zaoenie zostao przyjte równie przez autora artykuu. Studia nad tym zagadnieniem przedstawione s m.in. przez Dmytrowa (2013, 2015) oraz Dmytrowa, Doszynia (2015). Artyku skada si ze wstpu, piciu rozdziaów oraz wniosków kocowych. W rozdziale 2 przedstawiono przegld literatury dotyczcej kompletacji zlece czonych oraz problemu blokowania si magazynierów. Lista zaoe odnoszcych si do opracowanego modelu wraz z przyjt notacj podana jest w rozdziale 3. W rozdziale 4 na podstawie wyników eksperymentów symulacyjnych przedstawiono posta analityczn funkcji czasu blokowania. Kolejny rozdzia zawiera model pozwalajcy na optymalizacj procesu tworzenia zlece czonych. Przykad empiryczny pokazano w rozdziale 6. 2. PRZEGLD LITERATURY Kompletacja zlece czonych oprócz oczywistych korzyci, takich jak bardziej efektywne wykorzystanie urzdze i czasu pracy, generuje te pewne zagroenia: np. brak moliwoci pobrania zbyt duej liczby towarów w jednym cyklu (Krawczyk, 2011). Innym problemem, który pojawia si podczas kompletacji zlece czonych jest ryzyko zwikszonego blokowania si magazynierów (Parikh, Meller, 2008). Problem wzajemnych interakcji zachodzcych pomidzy magazynierami nie zosta jak dotd zbadany w wyczerpujcy sposób. Zagadnienie to najczciej analizowane jest za pomoc symulacji, cho powstaj równie modele analityczne pozwalajce na
Model dla zadania kompletacji zlece czonych uwzgldniajcy problem blokowania si magazynierów 195 okrelenie, w jakich warunkach magazynierzy w najmniejszy oraz najwikszy sposób przeszkadzaj sobie w pracy. Dla magazynów z wskimi alejkami, w których mona w precyzyjny i jednoznaczny sposób wyznaczy niezmienn tras, po której porusza si bd magazynierzy, sama kompletacja towarów, jak i blokowanie si magazynierów, mog by analizowane za pomoc procesu Markowa (Gue i inni, 2006; Hong i inni, 2010; Parikh, Meller, 2010). W pracach tych zakada si sta warto prawdopodobiestwa pobrania towarów dla wszystkich lokalizacji w magazynie i w sposób analityczny badane s dwa przypadki: taki w którym magazynierzy podczas procesu kompletacji zamówie przemieszczaj si po alejkach bardzo wolno oraz taki, w którym poruszaj si oni nieskoczenie szybko stosunek czasu pobrania towaru z okrelonej lokalizacji do czasu przejcia obok lokalizacji z towarem (ang. pick:walk ratio) wynosi odpowiednio 1:1 i :1. Inne wartoci tej relacji analizowane s z wykorzystaniem symulacji. Dopiero Hong (2014) wykorzysta proces Markowa do stworzenia bardziej ogólnego modelu m:1 dla dwóch magazynierów. Gue i inni (2006) pokazali, e dla wariantu 1:1 problem blokowania wystpuje w najwikszym stopniu wtedy, gdy magazynierzy musz pobra towary rednio z okoo co trzeciej lokalizacji. Dla innych wariantów zatory w magazynie pojawiay si najrzadziej, gdy prawdopodobiestwa pobrania towarów byy bardzo niskie, albo bardzo wysokie. Parikh, Meller (2010) zbadali wariant, w którym czasy pobrania towarów byy losowe. O ile dla wariantu 1:1 i przypadku deterministycznego problem blokowania nasila si, gdy prawdopodobiestwo pobrania towarów z lokalizacji wynosio okoo 35%, to dla przypadku stochastycznego najwiksze zatory pojawiay si, gdy magazynierzy pobierali towary ze wszystkich lokalizacji w magazynie (prawdopodobiestwo równe 100%). Podobne badanie wykorzystujce proces Markowa, ale dla magazynów z szerokimi alejkami przeprowadzili Parikh, Meller (2009). Zagadnienie kompletacji towarów i blokowania magazynierów modelowane jest równie za pomoc systemów kolejkowych. Pan i inni (2012) zbadali magazyny z alejkami o ruchu dwustronnym przy jednoczesnym zaoeniu, e w alejce moe w tym samym czasie przebywa tylko jedna osoba. Zhang i inni (2009) analizowali 4 przypadki, które mog prowadzi do powstawania zatorów w drukarni. Autorzy zalecaj, aby zarówno w sytuacjach, gdy natenie ruchu jest niewielkie, jak i wtedy, gdy jest bardzo wysokie, porusza si zawsze po najkrótszych trasach. Poszukiwanie dróg alternatywnych przynosi efekty, gdy intensywno ruchu jest na rednim poziomie. Chen i inni (2016) dla magazynu wieloblokowego oraz losowych czasów pobrania towarów zaproponowali, aby w celu uniknicia blokowania modyfikowa trasy magazynierów z wykorzystaniem algorytmów mrówkowych na bieco w trakcie realizacji procesu kompletacji. Hong i inni (2012a) przedstawili model oraz zaproponowali heurystyk pozwalajc na czenie zamówie z rozwaaniem moliwoci blokowania si magazynierów. Autorzy zaprezentowali metod ustalania kolejnoci realizacji zlece, która minimalizuje czasy kompletacji (z uwzgldnieniem problemu zatorów) przy zaoeniu deterministycznych czasów pobrania towarów. Hong i inni (2012b) problem czenia
196 Grzegorz Tarczyski zamówie potraktowali w oryginalny sposób: wyznaczyli wszystkie moliwe trasy przejcia przez prostoktny jednoblokowy magazyn z wskimi alejkami, a nastpnie do tych tras przypisywali zamówienia w ten sposób scalajc je ze sob. Przedstawiony model minimalizuje odlego pokonywan przez magazynierów, a ewentualne zatory zbadane zostay za pomoc symulacji. Parikh, Meller (2008) w celu rozwizania zadania czenia zamówie poszukali analogii do problemu pakowania (ang. bin packing problem). Autorzy zaprezentowali zmodyfikowany dualny problem pakowania: wyznaczenie maksymalnej liczby towarów moliwych do pobrania przez zadan liczb magazynierów. 3. ZAOENIA DO MODELU POZWALAJCEGO NA CZENIE ZAMÓWIE W badaniach analizie poddany bdzie najczciej opisywany w literaturze magazyn prostoktny jednoblokowy (rysunek 1), gdzie punkt I/O w którym magazynierzy rozpoczynaj i kocz cykl kompletacyjny znajduje si naprzeciwko wejcia do pierwszej alejki. W magazynie znajduj si dwa gówne korytarze, umownie zwane dolnym i górnym. Towary skadowane s w bocznych alejkach w badaniach empirycznych przeanalizowano magazyny z 4 i 10 alejkami. Alejki s na tyle szerokie, e magazynierzy mog si w nich porusza w dwie strony i w razie potrzeby mija za wyjtkiem sytuacji, kiedy jeden z magazynierów pobiera towar (rysunek 2). Wówczas powstaje zator i magazynier chccy przej obok musi poczeka, a inny pracownik skoczy pobiera towar (blokowanie w szerokich alejkach przedstawione jest np. w artykule Parikha, Mellera, 2009). Na rysunku zaznaczono odlegoci: pomidzy wejciami do dwóch ssiadujcych alejek (a 1 ), z gównego korytarza do najbliszej lokalizacji w alejce (a 3 ) i od pierwszej do ostatniej lokalizacji w regale (a 2 ). Rysunek 1. Magazyn prostoktny jednoblokowy z 10 alejkami
Model dla zadania kompletacji zlece czonych uwzgldniajcy problem blokowania si magazynierów 197 a) magazynierzy mog si mija (zator nie powstaje), b) jeden magazynier pobiera towar, a drugi chce przej (powstaje zator) Rysunek 2. Powstawanie zatorów w magazynach z szerokim alejkami ródo: opracowanie wasne na podstawie Parikh, Meller, 2009. W literaturze opisanych jest 5 heurystyk sucych do wyznaczania trasy magazynierów w magazynach prostoktnych jednoblokowych, znany jest te algorytm, oparty na programowaniu dynamicznym, umoliwiajcy szybkie znalezienie drogi optymalnej (Ratliff, Rosenthal, 1983). rednie czasy kompletacji dla kadej z wymienionych metod zale od pokonywanego przez pracowników dystansu, na który wpywa wiele parametrów, takich jak: liczba i dugo alejek, lokalizacja punktu I/O, liczba towarów na zamówieniu, sposób rozmieszczenia w magazynie towarów szybko rotujcych. Wymienione parametry rónicuj dystans, a wic i czasy kompletacji dla rónych sposobów wyznaczania trasy. Inne, jak np. czas inicjalizacji zamówienia, liczba pobieranych towarów tego samego typu i (w przypadku skadowania jednopoziomowego) czas pobrania towaru, wpywaj na czas kompletacji zamówie, ale zazwyczaj nie zaburzaj hierarchii rankingu wyników (cho mog wpywa na zatory). Czasy kompletacji zamówie dla rónych parametrów mog by wyznaczane w sposób dokadny z wykorzystaniem symulacji komputerowych i w sposób zazwyczaj przybliony za pomoc podejcia analitycznego. W artykule omówione zostan dwie najpopularniejsze heurystyki: s-shape (zwana równie traversal lub transversal) oraz return, dla których mona w do dokadny sposób wyznacza rednie czasy kompletacji zamówie w sposób analityczny (np. Tarczyski, 2015a, 2015b). Metody te s atwo implementowalne i maj due znaczenie praktyczne, w odrónieniu od pozostaych opisanych w literaturze: zarówno heurystyk, jak i algorytmu drogi optymalnej (ze wzgldu na trudnoci z wdroeniem wykorzystywane s raczej tylko w badaniach teoretycznych). Trasa wyznaczona za pomoc metody s-shape ksztatem przypomina liter S. Magazynier wchodzi tylko do tych alejek, w których skadowane s towary, które znajduj si na aktualnie obsugiwanym zleceniu (licie kompletacyjnej). Po wejciu do alejki pobierane s wszystkie potrzebne towary, po czym pracownik opuszcza alejk drugim wejciem. Podobne zasady obowizuj dla heurystyki return, z t rónic, e tutaj w uyciu jest tylko dolny gówny korytarz, a wic po pobraniu z alejki wyrónionych na zleceniu towarów magazynier zawsze musi zawróci.
198 Grzegorz Tarczyski W dalszych obliczeniach przyjto nastpujc notacj: i,j numer alejki, i,j = 1... K, K liczba alejek w magazynie, n liczba towarów na zamówieniu, n i rednia liczba towarów pobieranych przez magazynierów z i-tej alejki, m liczba magazynierów pracujcych równoczenie w magazynie, m i rednia liczba magazynierów pracujcych równoczenie w i-tej alejce, B i redni czas blokowania w i-tej alejce, a 1 odlego pomidzy wejciami do dwóch ssiadujcych alejek, a 2 dugo bocznych alejek (odlego od pierwszej do ostatniej lokalizacji), a 3 odlego od rodka gównego korytarza do pierwszego miejsca skadowania towaru w alejce, t pobr czas pobrania towaru, t ini suma czasów inicjalizacji i zakoczenia zamówienia, t bl czas stracony przez blokowanie podczas kompletacji jednego zamówienia, t sort czas sortowania przypadajcy na 1 towar, p i prawdopodobiestwo, e towar z zamówienia znajduje si w i-tej alejce, prawdopodobiestwo wejcia przez magazyniera do i-tej bocznej alejki i, P i prawdopodobiestwo dojcia przez magazyniera do wejcia do i-tej bocznej alejki, d 1 rednia odlego pokonywana przez magazyniera w gównych korytarzach, d heur 2 rednia odlego pokonywana przez magazyniera (poruszajcego si zgodnie z heurystyk heur) w bocznych alejkach, t heur redni czas kompletacji zamówienia dla heurystyki heur, v prdko z jak porusza si magazynier, x liczba czonych zamówie, f(x) funkcja wyraajca procentow strat czasow na pobranie towaru wynikajc z poczenia zamówie. 4. REDNI CZAS BLOKOWANIA W celu wyznaczenia postaci analitycznej funkcji czasu blokowania podczas procesu kompletacji zamówie wykonano szereg symulacji z wykorzystaniem programu Warehouse Real-Time Simulator (Tarczyski, 2013). Istotnym elementem
Model dla zadania kompletacji zlece czonych uwzgldniajcy problem blokowania si magazynierów 199 oceny jakoci modelu symulacyjnego jest jego weryfikacja, czyli sprawdzenie czy model komputerowy jest wystarczajco trafn reprezentacj modelu konceptualnego (Schlesinger i inni, 1979, cyt. za Balcerak, 2003). Wyniki uzyskiwane przez program Warehouse Real-Time Simulator zostay zweryfikowane na rónych poziomach szczegóowoci. Dla kadego zrealizowanego zamówienia program generuje statystyki dotyczce m.in. numerów odwiedzanych lokalizacji, momentu rozpoczcia i zakoczenia procesu kompletacji, ale i dystansu pokonanego przez magazyniera zarówno w gównych korytarzach, jak i w bocznych alejkach. Wyniki te zostay sprawdzone dla rónych parametrów wejciowych z wynikiem pozytywnym. Kolejnym etapem weryfikacji wyników uzyskanych za pomoc symulacji jest porównanie rednich czasów kompletacji zamówie z modelami analitycznymi dla heurystyk return i s-shape rónica uzyskanych wyników nie przekracza 1% dla dowolnych prawdopodobiestw pobierania towarów z poszczególnych lokalizacji magazynowych (autor przygotowuje artyku na ten temat). O ile atwo zweryfikowa jako modelu symulacyjnego, gdy w magazynie pracuje jedna osoba, o tyle w przypadku badania interakcji pomidzy pracownikami nie jest to ju takie proste. Sytuacje blokowania si magazynierów mona jednak sprawdzi za pomoc analizy wizualnej (program Warehouse Real- Time Simulator przewiduje moliwo ledzenia realizacji procesu kompletacji zamówie za pomoc animacji komputerowej). Istniejce modele analityczne wymagaj przyjcia pewnych zaoe, które nie znajduj odzwierciedlenia w proponowanym modelu, nie pozwalaj wic na zweryfikowanie uzyskanych wyników. Wyniki te naleaoby podda walidacji, czyli sprawdzeniu w jakim stopniu model jest wiernym odwzorowaniem rzeczywistoci (Balcerak, 2003; Sargent, 2013). Zadanie to jest trudne do wykonania, w modelu odzwierciedlono jednak sytuacje blokowania opisane przez Parikha, Mellera (2009). Przedstawienie postaci analitycznej funkcji czasu blokowania magazynierów stanowi jeden z celów artykuu. Jest ona niezbdna do wyznaczenia optymalnej liczby czonych zlece, co stanowi gówny cel pracy. Do bada przyjto warto wspóczynnika pick:walk na poziomie 30:1. Zbadano jak na redni czas blokowania w jednej alejce wpywa liczba pracowników jednocze- nie w niej przebywajcych oraz liczba towarów pobieranych przez magazynierów. Symulacje zrealizowano dla liczby pracowników równej od 1 do 10 i liczby towarów od 1 do 15. Analizie poddane zostay dwie heurystyki suce do wyznaczania trasy magazyniera: s-shape i return. Dla kadego eksperymentu wykonano 20000 replikacji. De Koster i inni (1998) pokazali, e przy zaoeniu, e czasy kompletacji zamówie maj rozkad normalny liczba 10000 replikacji jest zadowalajca. W przeprowadzonych eksperymentach badano rozkady czasów blokowania i otrzymano maksymalne wartoci kurtozy (wszystkie s dodatnie): 1,16 dla heurystyki return i 1,83 dla s-shape oraz wspóczynnika skonoci (wszystkie rozkady s prawostronnie asymetryczne): odpowiednio 0,13 i 0,19. Przy zaoeniu normalnoci rozkadów, dla 99% poziomu ufnoci i maksymalnego bdu szacunku równego 1 sekundzie otrzymano minimalne liczby replikacji. Dla metody s-shape warto ta nie przekraczaa 15031, a dla
200 Grzegorz Tarczyski return 18053. Liczba replikacji na poziomie 20000 jest wic wystarczajca do uzyskania dokadnych wyników we wszystkich eksperymentach. Zaoenia dotyczce symulacji przedstawiono w tabeli 1. Zaoenia dotyczce symulacji komputerowej Tabela 1. Zmienna wynikowa Czas blokowania magazyniera Parametry Dziedzina Liczba symulowanych alejek 1 Wspóczynnik pick:walk 30:1 Liczba pracowników 1 10 Liczba towarów pobieranych w jednej alejce 1 15 Heurystyka wyznaczania trasy s-shape, return Liczba eksperymentów 10 x 15 x 2 = 300 Parametry wpywajce na jako uzyskanych wyników Zadana warto Poziom ufnoci 99% Maksymalny bd szacunku 1 sekunda Liczba replikacji dla kadego eksperymentu 20000 Z przeprowadzonych bada wynika, e redni czas blokowania magazyniera w alejce zaley liniowo od liczby przebywajcych w niej pracowników i nieliniowo od liczby pobieranych towarów. Po wizualnej analizie wykresów, do wyznaczania czasu blokowania w alejce zaproponowano posta analityczn funkcji:, (1) gdzie: parametry podlegajce estymacji. Z wykorzystaniem metody najmniejszych kwadratów oszacowano wartoci parametrów dla rónych metod wyznaczania trasy: s-shape:, R 2 = 0,993, return:, R 2 = 0,995. Przykadowe wykresy ilustrujce zaleno redniego czasu blokowania od liczby pracowników oraz liczby pobieranych towarów przedstawione s na rysunkach 3 6. Punkty przedstawiaj wartoci uzyskane za pomoc symulacji, natomiast krzywe uzyskano w wyniku zastosowania wzoru (1).
Model dla zadania kompletacji zlece czonych uwzgldniajcy problem blokowania si magazynierów 201 Rysunek 3. Zaleno czasu blokowania od liczby pracowników dla 4 towarów pobieranych w alejce Rysunek 4. Zaleno czasu blokowania od liczby pracowników dla 8 towarów pobieranych w alejce Rysunek 5. Zaleno czasu blokowania od liczby towarów dla 4 pracowników przebywajcych w alejce
202 Grzegorz Tarczyski Rysunek 6. Zaleno czasu blokowania od liczby towarów dla 8 pracowników przebywajcych w alejce 5. MODEL CZCY ZAMÓWIENIA MINIMALIZUJCY REDNI CZAS KOMPLETACJI ZAMÓWIE Na odlego pokonywan przez magazynierów podczas kompletacji wyrobów skada si dystans przemierzany w gównych korytarzach i bocznych alejkach. Odlego, któr pracownicy musz przeby w gównych korytarzach nie zaley od przyjtej heurystyki wyznaczania trasy i w przypadku cakowicie losowego rozmieszczenia towarów w alejkach moe by wyliczona zgodnie ze wzorem podanym np. w pracy Tarczyskiego (2015a). Propozycja ta wymaga drobnych korekt, uwzgldniajcych moliwo rozmieszczenia w magazynie towarów szybko rotujcych równie w sposób losowy, ale w osobnych alejkach (zgodnie z klasyfikacj ABC dla towarów z kadej klasy wyrónione s cae alejki). Wzór mona wyprowadzi korzystajc z wasnoci rozkadu dwumianowego. Zamówienia generowane s w sposób losowy. Popyt na poszczególne towary jest zrónicowany, w praktyce zazwyczaj towary uszeregowane malejco wzgldem popytu speniaj regu Pareto (za 80% skutków odpowiada 20% przyczyn) i popyt na nie moe by modelowany np. za pomoc rozkadu Pareto. Niech wartoci p j oznaczaj skumulowane wartoci prawdopodobiestwa dla wszystkich towarów przechowywanych w j-tej alejce. Wyraenie stanowi prawdopodobiestwo, e towar z zamówienia znajduje si w alejkach oznaczonych numerami mniejszymi od i. Na zamówieniu znajduje si n towarów (zakadamy, e z kadej alejce znajduje si tak duo towarów, e do tworzenia zamówie mona wykorzysta metod losowania z powtórzeniami). Prawdopodobiestwo, e wszystkie towary z zamówienia znajduj si w alejkach o numerach mniejszych od i wynosi. Magazynier dojdzie do i-tej alejki tylko wtedy, gdy bdzie mia do pobrania chocia jeden towar z alejek o numerach co najmniej i, a wic wszystkie towary nie mog znajdowa si w alejkach o numerach mniejszych od i: std prawdopodobiestwo dojcia do i-tej alejki wynosi
Model dla zadania kompletacji zlece czonych uwzgldniajcy problem blokowania si magazynierów 203. Sumujc prawdopodobiestwa dojcia do wszystkich alejek i mnoc wynik przez odlego pomidzy wejciami do dwóch ssiadujcych alejek otrzymujemy warto oczekiwan odlegoci pokonywanej przez magazyniera w gównych korytarzach (wynik naley jeszcze przemnoy przez 2, poniewa dystans w gównych korytarzach pokonywany jest dwukrotnie, a od sumy prawdopodobiestw odj 1, bo prawdopodobiestwo znalezienia si magazyniera w pierwszej alejce wynosi 1, a przyjmuje si, e odlego z punktu I/O, gdzie magazynier zaczyna i koczy prac do wejcia do pierwszej alejki jest nieistotna). rednia odlego pokonywana w gównych korytarzach wynosi wic:. (2) W przypadku bocznych alejek, dla heurystyki s-shape w celu obliczenia przyblionej wartoci przebytego dystansu naley wyznaczy warto oczekiwan liczby alejek, do których wejdzie magazynier ( ) i przemnoy j przez dugo alejek. Dla metody return trzeba wyznaczy warto oczekiwan liczby towarów pobieranych w i-tej alejce pod warunkiem, e magazynier wejdzie do tej alejki: ( ) i do wyznaczenia redniej pozycji najbardziej odlegego towaru, który naley pobra w tej alejce skorzysta ze znanego wzoru na warto oczekiwan maksimum podczas losowania n liczb z rozkadu jednostajnego (0,1):. Modyfikujc wzory podane przez Tarczyskiego (2015a, 2015b) na potrzeby klasyfikacji ABC otrzymujemy:, (3). (4) Model pozwalajcy na poszukiwanie optymalnej liczby zamówie x podlegajcych czeniu, przy którym redni czas kompletacji bdzie minimalny przybiera posta:, gdzie:.
204 Grzegorz Tarczyski redni czas kompletacji zamówie zaley od przyjtej polityki kompletacji zlece czonych. Stosujc metod sort-while-pick magazynierzy przemieszczaj si po magazynie z kilkoma pojemnikami, w których umieszczaj towary z poszczególnych zamówie. Przy metodzie pick-then-sort wszystkie towary wstpnie pobierane s do jednego pojemnika, a dopiero póniej s sortowane. Dla polityki pick-then-sort:. (5) Dla polityki sort-while-pick:. (6) We wzorze (5) w metodzie pick-then-sort do czasu kompletacji zamówie dodano czas sortowania wyrobów. W praktyce sortowanie wykonywane jest zazwyczaj w przez innych pracowników lub system automatycznego sortowania. Warto jest wic równa zero. Skadnik ten dodano do wzoru, aby podkreli konieczno przeprowadzenia czynnoci sortowania zamówie, co wpywa na koszty przeprowadzenia procesu kompletacji, a moe te implikowa potrzeb wydzielenia pracowników do sortowni (co przy zaoeniu staej liczby zatrudnionych magazynierów spowoduje, e mniej osób bdzie pobiera towary z lokalizacji). redni czas blokowania przypadajcy na kompletacj jednego zlecenia, na którym znajduje si n lokalizacji z towarami mona wyznaczy korzystajc z rozkadu dwumianowego. Magazynierzy wikszo czasu spdzaj w alejkach, z których pobieraj towary. Dla uproszczenia oblicze przyjto zaoenie, e prawdopodobiestwo znalezienia si magazyniera w okrelonej alejce jest proporcjonalne do przecitnej liczby towarów pobieranych z tej alejki. Zakada si równie, e rozkad prawdopodobiestwa wejcia do alejek jest dla kadego pracownika taki sam (wszyscy realizuj te zlecenia z tak sam liczb pozycji). Wówczas wzór na redni czas blokowania podczas kompletacji towarów z jednego zlecenia przyjmie posta:. (7) 6. PRZYKAD EMPIRYCZNY W badaniach empirycznych sprawdzono jaki wpyw na rednie czasy kompletacji zamówie maj: rozmieszczenie towarów szybko rotujcych w alejkach najbliszych punktowi I/O (zgodnie z polityk skadowania towarów within-aisle, towary w oparciu
Model dla zadania kompletacji zlece czonych uwzgldniajcy problem blokowania si magazynierów 205 o wspóczynniki rotacji dzieli si na bazie reguy Pareto zazwyczaj na 3 klasy i dla towarów najszybciej rotujcych przeznacza si alejki pooone najbliej punktu I/O), wielko zlece kompletacyjnych oraz liczba pracujcych równoczenie magazynierów. Analizie poddano zamówienia typowe dla firmy internetowej skadajce si zazwyczaj z niewielkiej liczby pozycji. Przyjto, e liczba towarów na jednym zamówieniu jest staa i wynosi 3. Zamówienia przed rozpoczciem procesu kompletacji czone byy w zlecenia na jedno zlecenie skadao si od 1 do 15 zamówie. W magazynie równoczenie mogo kompletowa zamówienia od 1 do 10 osób. Zbadano dwa magazyny: z 4 alejkami i z 10 alejkami, w których trasa kompletacyjna wyznaczana jest wg heurystyki s-shape lub return. redni czas kompletacji zamówie dla magazynów z 4 alejkami przedstawiony jest na rysunkach 7 i 9. W przypadku, gdy zlecenia skadaj si pojedynczych zamówie zastosowanie skadowania opartego na klasyfikacji ABC powoduje oszczdnoci czasowe od 28,7% do 29,5% w porównaniu ze skadowaniem cakowicie losowym. Zwikszajc liczb zamówie kompletowanych w jednym cyklu, korzyci z zastosowania klasyfikacji ABC malej. W pewnym momencie zbytnie nagromadzenie towarów szybko rotujcych na niewielkiej czci powierzchni magazynowej zaczyna skutkowa tak duymi zatorami, e taka koncepcja skadowania towarów przynosi pogorszenie wyników. Dla heurystyki s-shape dzieje si tak od 9 poczonych zamówie, za granic dla heurystyki return jest liczba 6 zamówie. Przy zleceniach kompletacyjnych zoonych z 10 zamówie skadowanie towarów zgodne z klasyfikacj ABC przynosi pogorszenie wyników o blisko 6% dla heurystyki s-shape i 22% dla metody return w porównaniu z wariantami, w których zastosowano skadowanie cakowicie losowe. Rysunek 7. redni czas kompletacji zamówie dla rónej liczby czonych zamówie i magazynu z 4 alejkami oraz heurystyki s-shape Na rysunkach 8 i 10 przedstawiono spadek efektywnoci kolejnych zatrudnianych w danych warunkach pracowników. Przy losowym skadowaniu towarów spadek wydajnoci pracy jest stosunkowo niewielki: wynosi on dla dziesitego pracownika okoo 15% dla heurystyki s-shape i 20% dla heurystyki return w porównaniu do
206 Grzegorz Tarczyski wydajnoci pierwszego magazyniera. W przypadku skadowania towarów zgodnego z klasyfikacj ABC degresja jest duo silniejsza dla dziesitej osoby wynosi ona 41% 63% dla heurystyki s-shape i 54% 79% dla heurystyki return. Rysunek 8. Efektywno pracy kolejnych pracowników w magazynie z 4 alejkami dla heurystyki s-shape Rysunek 9. redni czas kompletacji zamówie dla rónej liczby czonych zamówie i magazynu z 4 alejkami oraz heurystyki return Rysunek 10. Efektywno pracy kolejnych pracowników w magazynie z 4 alejkami dla heurystyki return
Model dla zadania kompletacji zlece czonych uwzgldniajcy problem blokowania si magazynierów 207 W przypadku magazynów z 10 alejkami, zarówno dla heurystyki s-shape, jak i return, skadowanie towarów zgodne z klasyfikacj ABC zawsze skutkuje redukcj czasu kompletacji zamówie niezalenie od liczby czonych zamówie (rysunki 11, 13). Dla metody s-shape korzy wynosi od 11,9% do 33,1%, natomiast dla return od 11,0% do 29,7%. Wydajno pracy kolejnych zatrudnionych osób w przypadku skadowania losowego spada bardzo nieznacznie dziesity pracownik pracuje mniej efektywnie od pierwszego o okoo 3% (s-shape) i 4% (return). W przypadku skadowania towarów szybko rotujcych w osobnych alejkach degresja wynosi 19% 24% dla heurystyki s-shape i 26% 34% dla heurystyki return. Rysunek 11. redni czas kompletacji zamówie dla rónej liczby czonych zamówie i magazynu z 10 alejkami oraz heurystyki s-shape Rysunek 12. Efektywno pracy kolejnych pracowników w magazynie z 10 alejkami dla heurystyki s-shape
208 Grzegorz Tarczyski Rysunek 13. redni czas kompletacji zamówie dla rónej liczby czonych zamówie i magazynu z 10 alejkami oraz heurystyki return Rysunek 14. Efektywno pracy kolejnych pracowników w magazynie z 10 alejkami dla heurystyki return 7. WNIOSKI Kompletacja zlece czonych powoduje zwikszone ryzyko powstawania w magazynie zatorów. Dla okrelonej metody wyznaczania trasy i wspóczynnika pick:walk moliwe jest zbudowanie modelu analitycznego wyraajcego czas blokowania magazyniera jako funkcj liczby towarów pobieranych w alejce i liczby przebywajcych w niej pracowników. Z wielu bada analizujcych wpyw rónych parametrów na czas kompletacji, ale pomijajcych problem zatorów wynika, e podstawowym sposobem na redukcj czasu kompletacji jest podzia towarów ze wzgldu na wspóczynnik rotacji na klasy ABC i skadowanie towarów z kadej klasy w specjalnie wyznaczonych rejonach. W artykule pokazano jednak, e w przypadku kompletacji zlece czonych i magazynów o nie-
Model dla zadania kompletacji zlece czonych uwzgldniajcy problem blokowania si magazynierów 209 wielkiej liczbie alejek takie rozwizanie moe nie tylko nie by skuteczne, ale wrcz implikowa wydueniem czasów kompletacji. Dzieje si tak, poniewa skoncentrowanie towarów szybko rotujcych na maej powierzchni grozi zwikszonym ryzykiem powstawania tam zatorów, które zaburzaj pynno procesu. Wydajno strefy kompletacji mona podnosi poprzez zwikszanie liczby pracujcych w niej magazynierów. Naley jednak pamita, e efektywno pracy kadego kolejnego zatrudnionego pracownika spada. Zjawisko to jest szczególnie widoczne w magazynach, w których stosuje si skadowanie towarów szybko rotujcych w oparciu o polityk within-aisle. Jak dotd w literaturze brakowao modeli analitycznych optymalizujcych liczb czonych zamówie, które jednoczenie uwzgldniayby problem blokowania si magazynierów. Badania dotyczce problemu zatorów koncentroway si na magazynach z wskimi alejkami z ruchem jednokierunkowym. Przedstawiony w artykule model pozwala na ustalenie liczby czonych zlece w magazynach o szerokich alejkach dla dwóch najczciej stosowanych w praktyce heurystyk wyznaczania trasy magazyniera: s-shape i return. W modelu uwzgldniono dwa typy kompletacji zlece czonych: pobierz i sortuj oraz sortuj podczas pobierania. Dalsze badania powinny dotyczy wyznaczania liczby, wielkoci i ksztatów stref, w których skadowane s towary o rónych wspóczynnikach rotacji. LITERATURA Balcerak A., (2003), Walidacja modeli symulacyjnych róda postaw badawczych, Prace Naukowe Instytutu Organizacji i Zarzdzania Politechniki Wrocawskiej, 74 (15), 27 44. Chen F., Wang H., Xie Y., Qi C., (2016), An ACO-Based Online Routing Method for Multiple Order Pickers with Congestion Consideration in Warehouse, Journal of Intelligent Manufacturing, 27 (2), 389 408. De Koster R., Van der Poort E., Roodbergen K. J., (1998), When to Apply Optimal or Heuristic Routing of Orderpickers, Advances in Distribution Logistics, Springer Berlin Heidelberg, 375 401. Dmytrów K., (2013), Procedura kompletacji zakadajca oczyszczanie lokalizacji, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczeciskiego, Studia i Prace Wydziau Nauk Ekonomicznych i Zarzdzania, tom 2 Metody Ilociowe w Ekonomii, 31, Szczecin, 22 36. Dmytrów K., (2015), Taksonomiczne wspomaganie wyboru lokalizacji w procesie kompletacji produktów, Studia Ekonomiczne, 248, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach, Katowice, 17 30. Dmytrów K., Doszy M., (2015), Taksonomiczna procedura wspomagania kompletacji produktów w magazynie, Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocawiu, Taksonomia, 25 Klasyfikacja i analiza danych teoria i zastosowania, Wrocaw, 72 80. Gue K. R., Meller R. D., Skufca J. D., (2006), The Effects of Pick Density on Order Picking Areas with Narrow Aisles, IIE Transactions, 38 (10), 859 868. Hong S., (2014), Two-worker Blocking Congestion Model with Walk Speed m in a No-passing Circular Passage System, European Journal of Operational Research, 235 (3), 687 696. Hong S., Johnson A. L., Peters B. A., (2010), Analysis of Picker Blocking in Narrow-Aisle Batch Picking, w: Ellis K., Gue K., Koster R., Meller R., Montreuil B., Oglep M., (red.), Proceedings of 2010 International Material Handling Research Colloquium (IMHRC), The Material Handling Institute, Charlotte, NC, USA. Hong S., Johnson A. L., Peters B. A., (2012a), Batch Picking in Narrow-aisle Order Picking Systems with Consideration for Picker Blocking, European Journal of Operational Research, 221 (3), 557 570.
210 Grzegorz Tarczyski Hong S., Johnson A. L., Peters B. A., (2012b), Large-scale Order Batching in Parallel-aisle Picking Systems, IIE Transactions, 44 (2), 88 106. Krawczyk S., (red.), (2011), Logistyka. Teoria i praktyka, Wydawnictwo Difin, Warszawa. Pan J. C. H., Shih P. H., Wu M. H., (2012), Storage Assignment Problem with Travel Distance and Blocking Considerations for a Picker-to-part Order Picking System, Computers & Industrial Engineering, 62 (2), 527 535. Parikh P. J., Meller R. D., (2008), Selecting Between Batch and Zone Order Picking Strategies in a Distribution Center, Transportation Research Part E: Logistics and Transportation Review, 44 (5), 696 719. Parikh P. J., Meller R. D., (2009), Estimating Picker Blocking in Wide-aisle Order Picking Systems, IIE Transactions, 41 (3), 232 246. Parikh P. J., Meller R. D., (2010), A Note on Worker Blocking in Narrow-aisle Order Picking Systems when Pick Time is Non-Deterministic, IIE Transactions, 42 (6), 392 404. Ratliff H. D., Rosenthal A. S., (1987), Order-picking in a Rectangular Warehouse: A Solvable Case of the Traveling Salesman Problem, Operation Research, 31 (3), 515 533. Sargent R. G., (2013), Verification and Validation of Simulation Models, Journal of Simulation, 7 (1), 12 24. Schlesinger S., Crosbie R. E., Gagné R. E., Innis G. S., Lalwani C. S., Loch J., Bartos D., (1979), Terminology for Model Credibility, Simulation, 32 (3), 103 104. Tarczyski G., (2013), Warehouse Real-Time Simulator How to Optimize Order Picking Time, Working Paper, Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=2354827. Tarczyski G., (2015a), Estimating Order-picking Times for Return Heuristic Equations and Simulations, LogForum 11. Tarczyski G., (2015b), rednie czasy kompletacji zamówie dla heurystyki s-shape wzory i symulacje, Studia Ekonomiczne 237/15. Informatyka i Ekonometria 2, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach, Katowice 2015, 104 116. Zhang M., Batta R., Nagi R., (2009), Modeling of Workflow Congestion and Optimization of Flow Routing in a Manufacturing/Warehouse Facility, Management Science, 55 (2), 267 280. MODEL DLA ZADANIA KOMPLETACJI ZLECE CZONYCH UWZGLDNIAJCY PROBLEM BLOKOWANIA SI MAGAZYNIERÓW Streszczenie W artykule zaprezentowano model pozwalajcy na ustalenie optymalnej liczby czonych zamówie pozwalajcej na skrócenie redniego czasu kompletacji. Omówione zostay dwa sposoby kompletacji zlece czonych: pobierz i sortuj oraz sortuj podczas pobierania. Analizie poddano magazyny jednoblokowe prostoktne, gdzie towary skadowano w sposób cakowicie losowy oraz losowo w oparciu o klasyfikacj ABC. Zbadane zostay dwie heurystyki wyznaczania trasy magazyniera: s-shape i return, dla których mona wyznaczy wzory na rednie czasy kompletacji korzystajc z wasnoci rozkadów prawdopodobiestwa: dwumianowego i jednostajnego. W badaniach uwzgldniono problem wystpowania zatorów w magazynie i na podstawie rezultatów symulacji zaproponowano posta analityczn funkcji czasu blokowania. Z przeprowadzonej analizy wynika, e korzyci czasowe z kadego kolejnego doczonego do listy kompletacyjnej zamówienia s coraz mniejsze. Wykorzystywanie klasyfikacji ABC do skadowania towarów szybko rotujcych moe w magazynach o niewielkiej liczbie alejek i przy duych zleceniach kompletacyjnych spowodowa wyduenie czasu kompletacji. Sowa kluczowe: kompletacja towarów, kompletacja zlece czonych, optymalizacja, zatory, blokowanie
Model dla zadania kompletacji zlece czonych uwzgldniajcy problem blokowania si magazynierów 211 MODEL FOR ORDER-BATCHING WITH CONGESTION CONSIDERATION Abstract The paper presents the model for optimal number of merged orders that will reduce the average order-picking time. Two order batching policies were described: pick-then-sort and sort-while-pick. One-block rectangular warehouses were considered. The author studied two routing heuristics: s-shape and return for which the equations for average order-picking time can be designated based on probability distributions: binomial distribution and uniform distribution. The research takes into account the possible congestion problem. Based on simulations the analytical form of blocking time for pickers was proposed. The study shows that the advantages of each additional merged order is getting smaller. Using ABC classification for storage location assignment in warehouses with low number of aisles and large pick lists can extend the average order-picking time. Keywords: order-pick ing, order-batching, optimization, congestion, blocking