Weryfikacja hipotez: Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji. o prawdziwości którego decyduje się na podstawie losowej próbki. Hipotezy, które dotyczą wyłącznie wartości parametru (parametrów) nieznanego rozkładu nazywamy parametrycznymi, wszystkie pozostałe, nieparametrycznymi. Jeżeli hipoteza parametryczna precyzuje dokładne wartości nieznanych parametrów, to nazywamy ją prostą, a w przeciwnym przypadku, złożoną. Test statystyczny jest to reguła postępowania, która każdej próbie losowej przyporządkowuje, z ustalonym prawdopodobieostwem, decyzję przyjęcia lub odrzucenia sprawdzanej hipotezy. Hipotezą zerową nazywamy hipotezę bezpośrednio sprawdzaną, a hipotezą alternatywną, hipotezę do niej konkurencyjną (tzn. taką, którą jesteśmy skłonni przyjąd, jeżeli hipotezę zerową należy odrzucid). Istota budowy testu statystycznego polega na uniknięciu błędu pierwszego rodzaju tzn. odrzuceniu hipotezy prawdziwej, jak i drugiego rodzaju, tzn. przyjęciu hipotezy fałszywej. Niech (X 1, X,, X n ) będzie próbą prostą z populacji generalnej. Mówimy, że statystyka Z(X 1, X,, X n ) jest statystyką testową dla hipotezy H 0, jeżeli jej rozkład jest znany przy założeniu prawdziwości H 0 i uwzględnia wszystkie wiadomości a priori dotyczące rozkładu badanej cechy. Przy pobieraniu różnych próbek statystyka testowa może przyjąd różne wartości, jedne sugerujące prawdziwośd testowanej hipotezy, a inne jej przeczące. Zbiór wszystkich obserwacji dzielimy więc na dwa rozłączne podzbiory Q i Q takie, że jeżeli Z(x 1, x,, x n ) Q hipotezę odrzucamy (Q nazywamy zbiorem krytycznym lub odrzuceo) jeżeli Z(x 1, x,, x n ) Q hipotezę przyjmujemy (Q nazywamy zbiorem przyjęd hipotezy)
Z przyjęciem lub odrzuceniem hipotezy wiąże się zawsze pewne ryzyko popełnienia błędu ponieważ na podstawie próbki nie mamy pełnej informacji o całej populacji. Oznaczmy przez P(Z(x 1, x,, x n ) Q H 0 ) = prawdopodobieostwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju P(Z(x 1, x,, x n ) Q H 0 ) = prawdopodobieostwo popełnienia błędu drugiego rodzaju Oczekujemy, aby obydwa prawdopodobieostwa błędów były jak najmniejsze, ale nie można przy ustalonej liczności próbki zmniejszad obydwu prawdopodobieostw jednocześnie. Ustalamy, więc z góry małą wartośd prawdopodobieostwa ( przyjmuje się = 0.01 lub = 0.05) i przy ustalonym, nazywanym poziomem istotności testu, dobieramy zbiór Q tak, aby zminimalizowad. Zauważmy, że = P(Z(x 1, x,, x n ) Q H 0 ) = P(Z(x 1, x,, x n ) Q H 1 ) = = 1 - P(Z(x 1, x,, x n ) Q H 1 ), gdzie H 1 jest hipotezą alternatywną do H 0 Test, który przy ustalonym poziomie istotności minimalizuje prawdopodobieostwo błędu drugiego rodzaju nazywamy testem najmocniejszym hipotezy H 0 względem hipotezy H 1. Aby skonstruowad test pozwalający zweryfikowad hipotezę H o należy: 1. wybrad statystykę testową stosowną dla hipotezy. ustalid poziom istotności testu 3. określid hipotezę alternatywną 4. wyznaczyd zbiór krytyczny tak, aby zminimalizowad prawdopodobieostwo błędu drugiego rodzaju Niech hipoteza parametryczna H 0 : θ = θ 0 dotyczy pewnego parametru w rozkładzie cechy X Zbiorem krytycznym dla H 0 będzie Q taki, że P(Z(x 1, x,, x n ) Q θ 0 ) =
Oznaczmy przez M(,Q) = P(Z(x 1, x,, x n ) Q θ). Funkcja ta traktowana jako funkcja parametru nazywana jest mocą testu, przy czym M(θ 0, Q) =. Jeżeli hipotezą alternatywną jest hipoteza prosta H 1 : θ = θ 1, to M(θ 1, Q) = 1 -, czyli moc w punkcie θ 1 powinna byd jak największa. Jeżeli hipotezą alternatywną jest hipoteza prosta H 1 : θ A, to zbiór Q powinien byd tak dobrany, aby moc w zbiorze A była jak największa. Zamiast mocy testu można rozważad charakterystykę testu tzn. funkcję określoną wzorem L(,Q) = P(Z(x 1, x,, x n ) Q θ). Oczywiście zachodzi związek L(,Q) = 1 - M(,Q) oraz L(θ 0,Q) = 1 - i L(θ 1,Q) = Np. Populacja ma rozkład normalny N(m, ) o znanej wariancji σ. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m = m 0 na podstawie 5 elementowej próby, przy wykorzystaniu statystyki testowej U= X;m 0 n = 5(X;m 0) o rozkładzie normalnym N(0,1). Wyznacz moc testu na poziomie σ σ = 0.05 w przypadku, gdy Q = [c, ) dla P(U c m 0 ) =, a następnie gdy Q 1 = ( -, - c 1 ] [c 1, ) dla P( U c 1 m 0 ) =. z tablic kwantyli rozkładu normalnego N(0,1) odczytujemy c = 1.64 ( 1 - (c) = 0.05) oraz c 1 = 1.96 ( 1 - (c 1 ) + (- c 1 ) = 0.05) czyli Q = [1.64, ), a Q 1 = ( -, - 1.96] [ 1.96, ) M(m,Q) = P(U 1.64 m) = P( 5(X;m o) σ gdzie = 5(m;m 0) σ M(m,Q 1 ) = P( U 1.96 m) = P( 5 X;m o σ 1.64 m) = P( 5(X;m) σ 1.96 m) = P( 5(X;m) σ 1.64 + 5(m;m 0) ) = 1- (1.64 + ), σ 1.96 + 5(m;m 0) ) = σ
= 1- (1.96 + ) + ( - 1.96). dla < 0 test ze zbiorem krytycznym Q ma moc większą, a dla > 0 mniejszą jeżeli hipotezą alternatywną jest H 1 m > m 0 ( < 0), to lepszy jest test ze zbiorem Q jeżeli jednak H 1 m m 0, to lepszy będzie test z Q 1 gdyż daje nieznacznie gorszy wynik dla m < m 0, a dużo lepszy dla m > m 0 M(m,Q) M(m,Q 1 ) Testem istotności nazywamy test, dla którego nie analizujemy prawdopodobieostwa błędu drugiego rodzaju, a prawdopodobieostwo błędu pierwszego rodzaju jest małe i równe ustalonemu z góry poziomowi istotności. Czyli, jeżeli wartośd statystyki testowej wpadnie do zbioru krytycznego, to można twierdzid, że zaszło zdarzenie o bardzo małym prawdopodobieostwie i weryfikowaną hipotezę możemy odrzucid, jeżeli jednak wartośd statystyki nie leży w zbiorze krytycznym, to możemy jedynie twierdzid, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy. W testach istotności stawiamy taką hipotezę, co do której podejrzewamy, że jest fałszywa.
Testy istotności dla wartości oczekiwanej: Model I. populacja ma rozkład normalny N(m, ) ze znanym. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m = m 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m = m 1 < m 0, H : m = m 1 > m 0, H 3 : m = m 1 m 0. wybieramy statystykę testową U = X;m 0 σ n, która przy założeniu m = m 0 ma rozkład normalny N(0,1) 1. najmocniejszym testem dla hipotezy alternatywnej H 1 jest tzw. test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, u α ], gdzie u α jest kwantylem rzędu rozkładu N(0,1). najmocniejszym testem dla hipotezy alternatywnej H jest tzw. test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = [u 1;α, ), gdzie u 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu N(0,1) 3. najmocniejszym testem dla hipotezy alternatywnej H 3 jest tzw. test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1; 1 α] [u 1; 1 α, ), gdzie u 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu N(0,1) Gdy obliczona z próby wartośd statystyki testowej U należy do zbioru krytycznego, hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy (co nie oznacza, że hipoteza jest prawdziwa). Np. z populacji, która ma rozkład normalny N(m,4) wylosowano 9 elementową próbkę i obliczono jej wartośd średnią x = 1.4. Na poziomie istotności 0.05 zweryfikuj hipotezę H 0 : m = przy hipotezie alternatywnej H 1 : m <
Wartośd statystyki testowej U x 1,, x 9 = 1.4; 4 9 = 0.45 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q =, u 0.05 ponieważ u α = u 1;α, z tablic kwantyli rozkładu N(0,1) odczytujemy u 0.95 = 1.64 Q =, 1.64 ponieważ U x 1,, x 9 Q, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 Model II. populacja ma rozkład normalny N(m, ), gdzie jest nieznane. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m = m 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m = m 1 < m 0, H : m = m 1 > m 0, H 3 : m = m 1 m 0. wybieramy statystykę testową t = X;m 0 t- Studenta o n-1 stopniach swobody S n 1, która przy założeniu m = m 0 ma rozkład 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, t 1;α ], gdzie t 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu t-studenta o n-1 stopniach swobody. dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = [t 1;α, ) 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, t 1 1; α] [t 1; 1 α, ), gdzie t 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu t-studenta o n-1 stopniach swobody Gdy obliczona z próby wartośd statystyki testowej t należy do zbioru krytycznego, hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
Np. Zakładając, że czas użytkowania ubrao ochronnych ma rozkład normalny, na poziomie istotności 0.01 zweryfikuj hipotezę H 0 : m = 150 przy H 1 : m < 150 na podstawie próbki o liczności 65 z wyliczoną wartością średnią x = 139 i odchyleniem standardowym s = 9.8 obliczając wartośd statystyki testowej t x 1,, x 65 = 139;150 9.8 65 1 = 8.98 wybieramy test jednostronny ze zbiorem krytycznym Q =, t 0.99 z tablic kwantyli dla rozkładu t-studenta o 64 stopniach swobody odczytujemy t 0.99 =.389 ponieważ t x 1,, x 65 Q, to hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej H 1 Model III. populacja ma rozkład dowolny o nieznanym odchyleniu standardowym <. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m = m 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m = m 1 < m 0, H : m = m 1 > m 0, H 3 : m = m 1 m 0, przy liczności próby n 100. weryfikację hipotezy w tym modelu przeprowadzamy tak jak w modelu I, przyjmując nieznane s, gdzie s jest wartością wyznaczoną z próbki. Np. Zmierzono długości 198 włókien bawełny, otrzymując szereg rozdzielczy. Na poziomie istotności 0.01 zweryfikuj hipotezę H 0 : m =4 przy H 1 : m 4 Nr klasy 1 3 4 5 6 7 x i 8 13 18 3 8 33 38 n i 4 9 18 70 75 19 3 x = 4.8, s = 8.5, U x 1,, x 198 = 4.8;4 198 =.17 8.5 wybieramy test obustronny ze zbiorem krytycznym Q =, u 0.995 [u 0.995, )
z tablic kwantyli rozkładu N(0,1) odczytujemy u 0.995 =.58 Q =,.58 [.58, ) ponieważ U x 1,, x 198 Q, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy Testy istotności dla wariancji: Model I. populacja ma rozkład normalny N(m, ) z nieznanymi m i a licznośd próby n < 50 Weryfikujemy hipotezę H 0 : σ = σ 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : σ = σ 1 < σ 0, H : σ = σ 1 > σ 0, H 3 : σ = σ 1 σ 0. wybieramy statystykę testową χ = ns σ, która przy założeniu σ = σ 0 ma rozkład chi-kwadrat 0 o n-1 stopniach swobody 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (0, α ], gdzie α jest kwantylem rzędu rozkładu chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody. dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = [ 1;α, ), gdzie 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (0, 1 α] [ 1; 1 α, ), gdzie 1 α, 1; 1 α są kwantylami rzędu 1 α i 1-1 rozkładu chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody Gdy obliczona z próby wartośd statystyki testowej χ należy do zbioru krytycznego, hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy.
Np. Zakładając, że dokładnośd pomiarów pewnym urządzeniem ma rozkład normalny, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę H 0 : σ = 0.06 wobec hipotezy H 1 : σ 0.06 na podstawie próby ośmiu pomiarów: 18.17, 18.1, 18.05, 18.14, 18.19, 18., 18.06, 18.08 obliczamy s = 0.0575 i stąd wartośd statystyki χ x 1,, x 8 = 8 0.0575 0.06 = 7.667 z tablic kwantyli rozkładu chi-kwadrat o 7 stopniach swobody odczytujemy 0.05 = 1.69, 0.975 = 16.013 czyli Q = (0,1.69] [16.013, ) ponieważ χ x 1,, x 8 Q nie ma podstawy do odrzucenia hipotezy Model II. populacja ma rozkład normalny N(m, ) z nieznanymi m i a licznośd próby n 50 Weryfikujemy hipotezę H 0 : σ = σ 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : σ = σ 1 < σ 0, H : σ = σ 1 > σ 0, H 3 : σ = σ 1 σ 0. wykorzystujemy fakt, że statystyka ns σ 0 ma rozkład asymptotycznie normalny N( n 3, 1) wybieramy statystykę testową U = ns σ n 3, która przy założeniu σ = σ 0 ma rozkład 0 asymptotycznie normalny N(0,1) 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1;α ], gdzie u 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu N(0,1). dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = u 1;α,
3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1 1; α] [u 1; 1 ) α, Np. Zakładając, że rozkład odległości trafieo do tarczy od jej środka jest normalny, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę H 0 : σ = 100 wobec H 1 : σ > 100 na podstawie próby 50 strzałów do tarczy z obliczoną wariancją s = 107.3 obliczamy U x 1,, x 50 = 50 107.3 97 = 0.51 100 z tablic kwantyli rozkładu normalnego odczytujemy u 0.95 = 1.64, czyli Q = [1.64, ) ponieważ U x 1,, x 50 Q nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Model II. populacja ma rozkład dowolny o wariancji σ <, a licznośd próby n 100 Weryfikujemy hipotezę H 0 : σ = σ 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : σ = σ 1 < σ 0, H : σ = σ 1 > σ 0, H 3 : σ = σ 1 σ 0. wybieramy statystykę testową U = S ;σ 0 Zbiory krytyczne określamy jak w modelu II. σ 0 n, która ma rozkład asymptotycznie normalny N(0,1). Np. Z populacji o nieznanym rozkładzie pobrano 450 elementową próbkę i obliczono s = 14.9. Na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę H 0 : σ = 16 wobec H 1 : σ < 16 obliczamy U x 1,, x 450 = 14.9;16 16 5 = 1.03
u 0.95 = 1.64 Q = ( -, - 1.64] ponieważ U x 1,, x 450 Q nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Testy istotności dla współczynnika struktury: Model: populacja ma rozkład dwupunktowy z nieznanym parametrem. Weryfikujemy hipotezę H 0 : θ = θ 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : θ < θ 0, H : θ > θ 0, H 3 : θ θ 0. test opieramy na statystyce θ = k, gdzie k jest liczbą elementów wyróżnionych w próbie n o liczności n Przypadek 1. licznośd próby n 100 wybieramy statystykę testową U = k;nθ 0 nθ 0 (1;θ 0 ), która przy założeniu słuszności hipotezy H 0 ma rozkład asymptotycznie normalny N(0,1) (przybliżenie jest wystarczająco dokładne dla nθ 0 50) Przypadek. licznośd próby n < 100 korzystamy z faktu, że dla k 0 i k n statystyka φ = arcsin k n przy założeniu prawdziwości H 0 ma rozkład bliski rozkładowi normalnemu N(arcsin θ 0, 1 n ) wybieramy statystkę U = (arcsin k n arcsin θ 0) n, która ma rozkład bliski N(0,1) w obydwu przypadkach zbiory krytyczne dobieramy tak samo
1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1;α ], gdzie u 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu N(0,1). dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = u 1;α, 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1 1; α] [u 1; 1 ) α, Np. 1. W pewnej miejscowości sprawdzono 300 mieszkao i w 54 z nich był telefon stacjonarny. Na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę dla frakcji mieszkao z telefonami H 0 : θ = 0.4 wobec H 1 : θ 0.4 ponieważ 300 0.4 = 10 50 stosujemy przypadek 1. 54 10 U x 1,, x 300 = 300 0.4 0.6 = 7.78 z tablic odczytujemy u 0.975 = 1.96 Q = ( -, -1.96] [1.96, ) ponieważ U x 1,, x 300 Q hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy H 1. Przy badaniu symetryczności monety (moneta jest symetryczna prawdopodobieostwa wyrzucenia orła i reszki są równe) wykonano 0 rzutów tą monetą i 1 razy wypadł orzeł. Na poziomie istotności = 0.01 dla parametru symetrii zweryfikuj hipotezę H 0 : θ = 0.5 wobec H 1 : θ 0.5 ponieważ n jest małe, stosujemy przypadek. U x 1,, x 0 = ( arcsin 0.6 arcsin 0.5) 0 = 0.901
z tablic odczytujemy u 0.995 =.58 Q = ( -, -.58] [.58, ) ponieważ U x 1,, x 0 Q, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 Test istotności dla wariancji w dwóch populacjach: Model. populacje mają rozkłady normalne N(m 1, σ 1 ) i N(m, σ ) z nieznanymi m 1, m, σ 1, σ. Weryfikujemy hipotezę H 0 : σ 1 = σ wobec hipotezy alternatywnej H 1 : σ 1 > σ, H : σ 1 < σ, H 3 : σ 1 σ. z obydwu populacji wybieramy dwie niezależne próbki o licznościach n 1 i n wybieramy statystykę testową F = S 1 S = n1 n1;1 S 1 n n;1 S = 1 n1;1 1 n;1 n1 i<1 n i<1 (X 1i ;X 1 ) (X i ;X ), która przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0 ma rozkład Snedecora o (n 1 1, n 1) stopniach swobody 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = f 1;α,, gdzie f 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu Snedecora o o (n 1 1, n 1) stopniach swobody. dla hipotezy alternatywnej H skorzystamy ze statystyki pomocniczej F = 1, która ma rozkład F Snedecora o (n 1, n 1 1) stopniach swobody wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = f 1;α,, gdzie f 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu Snedecora o o (n 1, n 1 1) stopniach swobody Uwaga: f 1;α = 1 f α 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 skorzystamy ze statystyki pomocniczej F = max (S 1,S ) min (S 1,S ), która ma rozkład Snedecora o (n l 1, n m 1) stopniach swobody, gdzie n l jest licznością próbki, której
wariancja występuje w liczniku, a n m licznością próbki z wariancją z mianownika wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = [f 1 1;, ), gdzie f α 1 1; jest α kwantylem rzędu 1-1 rozkładu Snedecora o o (n l 1, n m 1) stopniach swobody Np. Wykonano dwiema metodami pomiary średnicy włókien otrzymując 1 metodą: n 1 = 0, s 1 = 3.8 i metodą: n = 8, s = 4.1. Zakładając normalnośd rozkładów, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że obydwie metody są jednakowo dokładne ( H 0 : σ 1 = σ ) wobec hipotezy H 1 : σ 1 < σ wybieramy statystykę testową F = S S i zbiór krytyczny Q = *f 0.95, ) 1 z tablic kwantyli rozkładu Snedecora o (7,19) stopniach swobody odczytujemy f 0.95 =.63 czyli Q = [.63, ), a F y 1,, y 8, x 1,, x 0 = 4.1 = 1.08 Q i nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy Testy istotności dla wariancji w wielu populacjach: Model. populacje mają rozkłady normalne N(m i, σ i ), i=1,,k. Weryfikujemy hipotezę H 0 : σ 1 = = σ k wobec hipotezy alternatywnej H 1 : nie wszystkie wariancje są równe z wszystkich populacji wybieramy k niezależnych próbek o licznościach n 1,, n k 3.8
1. Test Barltletta oznaczamy przez x ij j-tą obserwację w i-tej próbie x i = 1 n i obliczamy n = n i x ij, s i = 1 x j<1 n i ;1 ij x i j<1 n i<1 n i, c = 1 + 1 k ( 1 1 3(k;1) i<1 n i ;1 n;k wybieramy statystykę testową χ =.303 [ n k log c n i k i<1, i = 1,..., k n i ;1 S i n;k k i<1 n i 1 logs i ], która przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0 ma rozkład asymptotyczny chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody zbiorem krytycznym dla tego testu jest Q = [ 1;α, ), gdzie 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu chi-kwadrat o k-1 stopniach swobody Uwaga: dla prób o jednakowych licznościach c = 1 + k:1 3(n;k) > 1 jeżeli wartośd statystyki nie należy do zbioru krytycznego dla c = 1, to tym bardziej nie należy do Q dla c > 1 (nie ma wtedy potrzeby obliczania c).. Test Hartleya jeżeli liczności wszystkich próbek są równe n 1 = = n k = n 5 wybieramy statystykę testową H = max (S i ) = max (S min (S i ), dla której zbiorem krytycznym jest *H i ) min (S i ) 1;α k, n, ), gdzie H 1;α k, n jest kwantylem rzędu 1 - statystyki Hartleya przy danych k i n wartości tych kwantyli sa stablicowane.
3. Test Cochrana jeżeli liczności wszystkich próbek są równe n 1 = = n k = n 5 wybieramy statystykę testową G = max (S i ) = max (S i ), dla której zbiorem krytycznym jest *G 1;α k, n, ), gdzie G 1;α k, n jest k S i<1 i k S i<1 i kwantylem rzędu 1 - statystyki Cochrana przy danych k i n wartości tych kwantyli są stablicowane Np. Zakładając, że rozkłady ocen z egzaminu są normalne, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę o równości wariancji ocen wszystkich studentów trzech wybranych wydziałów, jeżeli wybrano do testu po 30 studentów każdego wydziału i obliczono wariancje ocen na wydziałach: s 1 = 1.4, s = 0.9, s 3 = 1.1 Do testu Bartletta obliczamy s 1 = 30 1.4 = 1.448, s 30;1 = 30 0.9 = 0.931, s 30;1 3 = 30 1.1 = 1.138, 3 s 30;1 i<1 i = 3.517 logs 1 = 0.1608, logs = 0.0311, logs 3 = 0.0561, 3 i<1 logs i = 0.1858 χ (x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 ) =.303 7 3.517 87log 9 0.1858 = 1.46 c 87 c z tablic kwantyli rozkładu chi-kwadrat o stopniach swobody odczytujemy 0.95 = 5.991 Q = [5.991, ), a ponieważ χ (x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 ) Q dla c = 1, to tym bardziej dla c > 1 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Do testu Hartleya obliczamy H x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 = 1.4 0.9 = 1.556, z tablic kwantyli rozkładu Hartleya dla k=3, n=30 odczytujemy H 0.95 3,30 =.4 Q = [.4, ) i H x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 Q
Do testu Cochrana obliczamy G x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 = 1.4 1.4:0.9:1.1 = 0.41, z tablic kwantyli rozkładu Cochrana odczytujemy G 0.95 3,30 = 0.497 Q = [0.497, ) i G x 1,, x 30, y 1,, y 30, z 1,, z 30 Q w obydwu testach nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Testy istotności dla wartości oczekiwanych w dwóch populacjach: Model I. populacje mają rozkłady normalne N(m 1, σ 1 ) i N(m, σ ) ze znanymi σ 1, σ. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m 1 = m wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m 1 < m, H : m 1 > m, H 3 : m 1 m. z obydwu populacji wybieramy dwie niezależne próbki o licznościach n 1 i n wybieramy statystykę testową U = X 1;X, która przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0 ma σ 1 n1 :σ n rozkład normalny N(0,1) 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1;α ], gdzie u 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu N(0,1). dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = u 1;α, 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1 1; α] [u 1; 1 α, ), gdzie u 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu N(0,1) Gdy obliczona z próby wartośd statystyki testowej U należy do zbioru krytycznego, hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy. Np. Na dwóch różnych wagach zważono po 10 odcinków przędzy i uzyskano rezultaty na 1 wadze: 5.5, 5.98, 5.98, 5.58, 5.35, 5.59, 5.41, 5.81, 5.95, 5.7 i na wadze: 5.31, 5.13, 5.64, 5.89, 5.17, 5.18, 5.7, 5.73, 5.08, 5.4. Wiadomo, że wariancja mas na 1 wadze wynosi σ 1 = 0.06, a na drugiej σ = 0.07. Zakładając, że rozkład mas jest normalny, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę H 0 : m 1 = m wobec H 1 : m 1 m. obliczamy x 1 = 5.65, x = 5.36 oraz U x 1,, x 10, y 1,, y 10 = 5.65;5.36 0.06 10 :0.07 10 =.54 z tablic kwantyli rozkładu N(0,1) odczytujemy u 0.95 = 1.96 Q = ( -, - 1.96] [1.96, ) ponieważ U x 1,, x 10, y 1,, y 10 Q, to hipotezę odrzucamy Model II. populacje mają rozkłady normalne N(m 1, σ 1 ) i N(m, σ ) z nieznanymi, ale równymi σ 1 = σ. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m 1 = m wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m 1 < m, H : m 1 > m, H 3 : m 1 m. Jeżeli nie wiemy, czy wariancje są równe, to najpierw, na zadanym poziomie istotności, weryfikujemy hipotezę pomocniczą o równości wariancji σ 1 = σ i jeżeli nie będzie odrzucona, przechodzimy do weryfikacji hipotezy o równości wartości średnich. wybieramy statystykę testową t = X 1 ;X n1s 1 :n S n1:n; n 1:n n1 n ma rozkład t-studenta o n 1 + n stopniach swobody, która przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0
1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, t 1;α ], gdzie t 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu t-studenta o n 1 + n stopniach swobody. dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = t 1;α, 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, t 1 1; α] [t 1; 1 α, ), gdzie t 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu t-studenta o n 1 + n stopniach swobody Np. Zakładamy, że stopieo sprania tkaniny ma rozkład normalny. Zweryfikuj hipotezę, że stopieo sprania tkaniny płatkami mydlanymi jest wyższy od stopnia sprania tej tkaniny proszkiem na poziomie istotności = 0.05, jeżeli wykonano pomiary stopnia sprania 10 wycinków pranych płatkami: 74.8, 75.1, 73.0, 7.8, 76., 74.6, 76.0, 73.4, 7.9, 71.6 oraz 7 wycinków pranych proszkiem: 56.9, 57.8, 54.6, 59.0, 57.1, 58., 57.6 zweryfikujemy hipotezę H 0 : m 1 = m wobec H 1 : m 1 > m obliczamy x 1 = 74.0, s 1 =.08, n 1 = 10, x = 57.3, s = 1.65, n = 7 sprawdzamy hipotezę o równości wariancji K 0 : σ 1 = σ wobec K 1 : σ 1 σ stosujemy statystykę F x 1,, x 10, y 1,, y 7 = max S 1,S min S 1,S = 7 = 1. 1.65 6 z tablicy kwantyli rozkładu Snedecora o (9,6) stopniach swobody odczytujemy f 0.975 = 5.5 Q σ = [5.5, ) F x 1,, x 10, y 1,, y 7 Q σ, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji obliczamy wartośd statystyki t x 1,, x 10, y 1,, y 7 = 10 74;57.3 9.08 10.08:7 1.65 17 10:7; 70 = 3.07
z tablic kwantyli rozkładu t-studenta o 15 stopniach swobody odczytujemy t 0.95 = 1.75 Q m = [1.75, ) t x 1,, x 10, y 1,, y 7 Q m, więc hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy, że stopieo sprania tkaniny płatkami jest wyższy niż proszkiem Model III. populacje mają rozkłady normalne N(m 1, σ 1 ) i N(m, σ ) z nieznanymi σ 1, σ. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m 1 = m wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m 1 < m, H : m 1 > m, H 3 : m 1 m. wykorzystujemy statystykę testową Cochrana i Coxa C = X 1;X S 1 n1;1 : S n;1, której rozkład jest zależny od liczności próbek n 1 i n oraz nieznanego stosunku σ 1 σ jednakże dla danych n 1 i n można wyliczyd przybliżoną wartośd kwantyli rzędu statystyki Cochrana-Coxa za pomocą wzoru c α s 1 n1;1 t α(n 1 ;1): s s 1 n1;1 : s n;1 n;1 t α(n ;1), gdzie t α (n) jest kwantylem rzędu rozkładu t-studenta o n stopniach swobody 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, c 1;α ], gdzie c 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu Cochrana-Coxa dla n 1 i n. dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = c 1;α, 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, c 1; 1 α] [c 1; 1 α, ), gdzie c 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu Cochrana-Coxa dla n 1 i n
Np. Zakładając, że zużycie materiału przy produkcji wyrobu ma rozkład normalny, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że wartości średnie zużycia surowca w dwóch metodach produkcji są równe (H 0 : m 1 = m ), wobec hipotezy H 1 : m 1 m, na podstawie wyników prób da metody 1: 3.9, 3.7,.7,.9, 3.8 i dla metody : 3.9, 1.8, 5., 1.7 obliczamy x 1 = 3.4, s 1 = 0.48, n 1 = 5, x = 3.15, s =.17, n = 4 zbadajmy, czy nie da się zastosowad statystyki t-studenta stawiamy hipotezę o równości wariancji K 0 : σ 1 = σ wobec K 1 : σ 1 < σ 4 3.17 stosujemy statystykę F x 1,, x 5, y 1,, y 4 = S S = 5 = 9.34 1 0.48 4 z tablicy kwantyli rozkładu Snedecora o (3,4) stopniach swobody odczytujemy f 0.95 = 6.59 Q σ = [6.59, ) F x 1,, x 5, y 1,, y 4 Q σ, więc hipotezę o równości wariancji odrzucamy stosujemy statystykę Cochrana-Coxa C x 1,, x 5, y 1,, y 4 = 3.4;3.15 = 0.8 0.48 4 :.17 3 z tablic kwantyli rozkładu t-studenta odczytujemy t 0.975 4 =.776, t 0.975 3 = 3.18 obliczamy c 0.975 0.48 4.776:.17 3 3.18 0.48 4 :.17 3 = 3.15 Q = ( -, - 3.15] [3.15, ) ponieważ C x 1,, x 5, y 1,, y 4 Q nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Model IV. populacje mają rozkłady normalne N(m 1, σ 1 ) i N(m, σ ) z nieznanymi σ 1, σ, ale o dużych licznościach n 1, n 100. Weryfikujemy hipotezę H 0 : m 1 = m wobec hipotezy alternatywnej H 1 : m 1 < m, H : m 1 > m, H 3 : m 1 m.
test budujemy analogicznie jak w modelu I podstawiając za nieznane wartości wariancji σ 1, σ wartości s 1, s obliczone z próbek Np. Zakładając, że prędkości tramwajów w pewnym mieście mają rozkład normalny, na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że średnia prędkośd tramwajów w środę i niedzielę się nie różnią (H 0 : m 1 = m ) wobec hipotezy H 1 : m 1 < m, jeżeli na podstawie zmierzonych prędkości 00 tramwajów uzyskano wyniki w środę: x 1 = 15.1, s 1 = 6.8 i 10 tramwajów w niedzielę: x = 16.4, s = 4.3 obliczamy wartośd U x 1,, x 00, y 1,, y 00 = 15.1;16.4 6.8 00 : 4.3 10 = 4.9 z tablic kwantyli rozkładu N(0,1) odczytujemy u 0.95 = 1.64 Q = ( -, - 1.64] ponieważ U x 1,, x 00, y 1,, y 00 Q hipotezę odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej Model V. metoda zmiennych połączonych stosujemy ten model w przypadku, gdy obserwujemy wartości cechy X o rozkładzie normalnym przed wykonaniem pewnej operacji na elementach próby otrzymując (x 1,, x n ), a następnie po wykonaniu tej operacji (w tej samej kolejności elementów) otrzymując (y 1,, y n ). Oznaczmy cechę przed operacją przez X ze średnią m 1, a po operacji przez Y ze średnią m, oraz ich różnicę przez Z ze średnią m Z = m 1 m. Hipoteza H 0 : m 1 = m zastępujemy hipoteza równoważną H 0 : m Z = 0 (jest to hipoteza dla jednej wartości oczekiwanej) stosujemy statystykę testową t = Z S Z t-studenta o n-1 stopniach swobody n 1, która przy założeniu prawdziwości H 0 ma rozkład
Np. Zmierzono ciśnienie pewnej grupy chorych przed i po podaniu pewnego leku, otrzymując Pacjent 1 3 4 5 6 7 Przed podaniem leku 10 180 60 70 190 50 180 Po podaniu leku 180 160 0 60 00 30 180 Na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że stosowany lek nie powoduje spadku ciśnienia, wobec hipotezy alternatywnej, że wartośd średnia ciśnienia przed podaniem leku jest wyższa niż po podaniu. niech z i będzie różnicą ciśnienia u i-tego pacjenta przed i po podaniu leku: 30, 0, 40, 10, -10, 0, 0 obliczamy z = 15.7, s Z = 15.9 oraz t z 1,, z 7 = 15.7 6 =.4 z tablic rozkładu t-studenta o 6 stopniach swobody obliczamy t 0.95 = 1.94 Q = [1.94, ) ponieważ t z 1,, z 7 Q, to hipotezę odrzucamy na korzyśd hipotezy, że lek powoduje spadek ciśnienia 15.9 Test istotności dla wskaźników struktury dwóch populacji: Model: populacje mają rozkład dwupunktowy z parametrami θ 1 i θ Weryfikujemy hipotezę H 0 : θ 1 = θ wobec hipotezy alternatywnej H 1 : θ 1 < θ, H : θ 1 > θ, H 3 : θ 1 θ. Przypadek 1. liczności prób n 1, n 100
niech k 1, k będą liczbami elementów wyróżnionych w obydwu próbach oraz stosujemy statystykę U = θ 1;θ θ 1 = k 1 n 1, θ = k n, θ = k 1 + k n 1 + n, n = n 1n n 1 + n θ(1;θ) n, która ma, przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, rozkład asymptotycznie normalny N(0,1) 1. dla hipotezy alternatywnej H 1 wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1;α ], gdzie u 1;α jest kwantylem rzędu 1 - rozkładu N(0,1). dla hipotezy alternatywnej H wybieramy test jednostronny z przedziałem krytycznym Q = u 1;α, 3. dla hipotezy alternatywnej H 3 wybieramy test dwustronny z przedziałem krytycznym Q = (, u 1; 1 α] [u 1; 1 α, ), gdzie u 1; 1 α jest kwantylem rzędu 1-1 rozkładu N(0,1) Gdy obliczona z próby wartośd statystyki testowej U należy do zbioru krytycznego, hipotezę H 0 odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej, w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy. Przypadek. liczności prób n 1, n < 100 wykorzystujemy statystykę U = (arcsin k 1 arcsin k ) n 1 n prawdziwości H 0 ma rozkład asymptotycznie normalny N(0,1). zbiory krytyczne dobieramy tak jak w przypadku 1 n 1 n n 1 :n, która przy założeniu Np. 1. Na poziomie istotności = 0.01 zweryfikuj hipotezę, że procent wycofania opon z eksploatacji
z powodu zużycia bieżnika jest jednakowy dla dwóch producentów wobec hipotezy, że nie jest on jednakowy, jeżeli zbadano 158 opony pierwszego producenta i wycofanych było 150, a z 589 opon drugiego producenta wycofanych było 41. stosujemy przypadek 1 i obliczamy θ 1 = 150 = 0.79, θ 158 = 41 589 n = 158 589 = 49. U x 158:589 1,, x 158, y 1,, y 589 = 0.79;0.715 0.77 0.3 49. 150:41 = 0.715, θ = = 0.77, 158:589 = 3.69 z tablic kwantyli rozkładu normalnego odczytujemy u 0.995 =.58 Q = ( -, -.58] [.58, ) ponieważ U x 1,, x 158, y 1,, y 589 Q, to hipotezę o jednakowym zużyciu bieżnika odrzucamy na korzyśd hipotezy alternatywnej. Na poziomie istotności = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że procenty napraw gwarancyjnych telewizorów dwóch typów są jednakowe wobec hipotezy, że dla pierwszego typu procent ten jest wyższy, jeżeli spośród 50 telewizorów pierwszego typu naprawy wymagało 8, a z 35 telewizorów drugiego typu 5. stosujemy przypadek i obliczamy arcsin 8 50 = 0.83, arcsin 5 35 = 0.776 oraz 50 35 U x 1,, x 50, y 1,, y 35 = 0.83 0.776 = 0.13 50:35 z tablic kwantyli rozkładu N(0,1) odczytujemy u 0.95 1.64 Q = [1.64, ) ponieważ U x 1,, x 50, y 1,, y 35 Q, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości procentów telewizorów wadliwych obydwu typów