1 NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1. Cele kształcenia wymagania ogólne. NOWA ZAKRES PODSTAWOWY w postawie programowej obowiązującej począwszy od 01.09.2012 r. w klasach pierwszych szkół ponadgimnazjalnych Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych dobrze znanych obiektów matematycznych. Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. Uczeń stosuje strategię która jasno wynika z treści zadania. Uczeń prowadzi proste rozumowanie składające się z niewielkiej liczby kroków. STARA ZAKRES PODSTAWOWY (standardy maturalne) obowiązujące do 2014 r. w liceum i 2015 r. w technikum I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Używa prostych dobrze znanych obiektów matematycznych. III. Modelowanie matematyczne. Dobiera model matematyczny do prostej sytuacji. IV. Użycie i tworzenie strategii. Stosuje strategię która jasno wynika z treści zadania. V. Rozumowanie i argumentacja. Prowadzi proste rozumowanie składające się z niewielkiej liczby kroków. 2. Treści nauczania wymagania szczegółowe. (w nowej podstawie programowej treści nauczania są jednocześnie standardami maturalnymi) NOWA Od 01.09.2012 r. (w klasach pierwszych) 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego ułamka dziesiętnego okresowego z użyciem symboli pierwiastków potęg); ZAKRES PODSTAWOWY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: STARA (z aktualnie obowiązujących standardów maturalnych) a) planuje i wykonuje obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności oblicza pierwiastki w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych 2) oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych); 3) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami b) bada czy wynik obliczeń jest liczbą wymierną c) wyznacza rozwinięcia dziesiętne; znajduje
2 dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach; 4) oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych; 5) wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy np. fizyką chemią informatyką); 6) wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym; 7) oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia; 8) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego zaznacza przedziały na osi liczbowej; 9) wykonuje obliczenia procentowe oblicza podatki zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok). przybliżenia liczb; wykorzystuje pojecie błędu przybliżenia d) stosuje pojecie procentu i punktu procentowego w obliczeniach e) posługuje się pojęciem osi liczbowej i przedziału liczbowego; zaznacza przedziały na osi liczbowej f) wykorzystuje pojecie wartości bezwzględnej i jej interpretacja geometryczna zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i x a = b x a > b nierówności typu: x a < b g) oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych oraz stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych i rzeczywistych h) zna definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym 2. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń: 1) używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) 2 oraz a 2 b 2. a) posługuje się wzorami skróconego 2 3 mnożenia: ( a ± b) ( a ± b) 2 2 3 3 a b a ± b 1) sprawdza czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności; b) rozkłada wielomian na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia grupowanie wyrazów wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias c) dodaje odejmuje i mnoży wielomiany d) wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych za pomocą przekształceń opisanych w punkcie b) e) oblicza wartość liczbową wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej f) dodaje odejmuje mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; skraca i rozszerza wyrażenia wymierne 3. Równania i nierówności. Uczeń: a) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy przedziałów
3 2) wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi; 3) rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą; 4) rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą; 5) rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą; 6) korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x3 = 8; 7) korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x 7) = 0; 8) rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych np. x + 1 x +1 = 2 = 2 x x + 3 x. b) rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym) prowadzące do równań i nierówności kwadratowych c) rozwiązuje układy równań prowadzące do równań kwadratowych d) rozwiązuje równania wielomianowe metodą rozkładu na czynniki e) rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub x + 1 x + 2 = 2 = 2 x kwadratowych np. x + 3 x f) rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym) prowadzące do prostych równań wymiernych 1) określa funkcje za pomocą wzoru tabeli wykresu opisu słownego; 2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość; 3) odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę zbiór wartości miejsca zerowe maksymalne przedziały w których funkcja maleje rośnie ma stały znak; punkty w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą); 4) na podstawie wykresu funkcji y =ƒ(x) szkicuje wykresy funkcji y = ƒ(x + a) y = ƒ(x) + a y = ƒ(x) y =ƒ( x); 4. Funkcje. Uczeń: a) określa funkcję za pomocą wzoru tabeli wykresu opisu słownego b) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę i zbiór wartości miejsca zerowe maksymalne przedziały w których funkcja rośnie maleje ma stały znak c) sporządza wykres funkcji spełniającej podane warunki d) potrafi na podstawie wykresu funkcji y =ƒ(x) szkicuje wykresy funkcji y = ƒ(x + a) y = ƒ(x) + a y = ƒ(x) y =ƒ( x); e) sporządza wykresy funkcji liniowych f) wyznacza wzór funkcji liniowej g) wykorzystuje interpretację współczynników we wzorze funkcji liniowej 5) rysuje wykres funkcji liniowej korzystając z jej wzoru; 6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie; 7) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej; 8) szkicuje wykres funkcji kwadratowej korzystając z jej wzoru; h) sporządza wykresy funkcji kwadratowych i) wyznacza wzór funkcji kwadratowej j) wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej k) wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym l) rozwiązuje zadania (również umieszczone w
4 9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; 10) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje); 11) wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym; kontekście praktycznym) prowadzące do badania funkcji kwadratowej m) sporządza wykres odczytuje własności i rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym związane z proporcjonalnością odwrotną n) sporządza wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw i rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym 12) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym); 13) szkicuje wykres funkcji ƒ(x) = a/x dla danego a korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi; 14) szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw; 15) posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych chemicznych a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym. 1) wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym; 5. Ciągi. Uczeń: a) wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym 2) bada czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny; b) bada czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny 3) stosuje wzór na n ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; 4) stosuje wzór na n ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. c) stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego również umieszczone w kontekście praktycznym 1) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 180 ; 6. Trygonometria. Uczeń: a) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych 2) korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora); 3) oblicza miarę kąta ostrego dla której funkcja b) rozwiązuje równania typu sin x = a cos x = a tgx = a 0 0 dla 0 < x < 90 c) stosuje proste związki między funkcjami
5 trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo korzystając z tablic lub kalkulatora przybliżoną); 4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin2 α + cos2 α = 1 oraz sin(90 α) = cos α trygonometrycznymi kąta ostrego d) znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego. 5) znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego. 1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym; 2) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych; 3) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów; 4) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi. 1) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); 2) bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych; 3) wyznacza równanie prostej która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt; 4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych; 5) wyznacza współrzędne środka odcinka; 6) oblicza odległość dwóch punktów; 7) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu prostej odcinka okręgu trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu. 7. Planimetria. Uczeń: a) korzysta ze związków między kątem środkowym kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach w tym umieszczonych w kontekście praktycznym c) znajduje związki miarowe w figurach płaskich także z zastosowaniem trygonometrii również w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym d) określa wzajemne położenie prostej i okręgu 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń: a) wykorzystuje pojęcie układu współrzędnych na płaszczyźnie b) podaje równanie prostej w postaci Ax + By + C = 0 lub y = ax + b mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a w równaniu kierunkowym c) bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych d) interpretuje geometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi e) oblicza odległości punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej f) wyznacza współrzędne środka odcinka g) posługuje się równaniem okręgu 2 2 2 ( x a) + ( y b) = r
6 9. Stereometria. Uczeń: 1) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami krawędziami i przekątnymi itp.) oblicza miary tych kątów; a) wskazuje i oblicza kąty miedzy ścianami wielościanu między ścianami i odcinkami oraz między odcinkami takimi jak krawędzie przekątne wysokości 2) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami przekątnymi i ścianami) oblicza miary tych kątów; 3) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka kąt między tworzącą a podstawą) oblicza miary tych kątów; 4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami; 5) określa jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną; 6) stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków miar kątów pól powierzchni i objętości. b) wyznacza związki miarowe w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń: 1) oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych) interpretuje te parametry dla danych empirycznych; 2) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania; 3) oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. a) oblicza średnią arytmetyczną średnią ważoną medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych; stosuje zasadę mnożenia c) wykorzystuje sumę iloczyn i różnicę zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń! d) wykorzystuje własności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń treści które nie znalazły się w nowej podstawie programowej na poziomie podstawowym
7 NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA KOMENTARZ Podstawa programowa to zapis tego czego państwo polskie zobowiązuje się nauczyć przeciętnie uzdolnionego ucznia. Nowa podstawa określa to co uczeń powinien umieć. Podstawa nie opisuje tego co ma być przerabiane na lekcjach lecz to czego uczeń ma być nauczony a ściślej: czego będzie się od niego wymagać. W przypadku liceum nowa podstawa określa to czego będzie się wymagać na egzaminie na koniec tego etapu. Natomiast wiedzę jakiej od ucznia będzie mógł oczekiwać nauczyciel na początku liceum określa podstawa dla gimnazjum. W podstawie wyróżnia się: cele kształcenia (sformułowane jako wymagania ogólne) treści nauczania (sformułowane jako wymagania szczegółowe) Czytając treści nauczania należy pamiętać o dwóch zasadach które zostały przyjęte przy ich redagowaniu: Jeżeli jakieś wymaganie znajduje się w podstawie dla etapu n to automatycznie jest też wymagane na etapie n+1 (n = 1 2 3). Jeżeli jakieś wymaganie znajduje się w podstawie dla etapu n+1 to automatycznie wynika stąd że nie jest wymagane na etapie n. Powtórki są niezbędne ale nie ma to być przerabianie znów wszystkiego od początku na wyższym etapie. Ogólnym założeniem jest to że nauczyciel ma prawo uczyć więcej niż jest zapisane w podstawie ale nie kosztem tego czego się będzie wymagać. Przydział godzin dla matematyki: liceum klasa pierwsza 4 godziny tygodniowo liceum klasy II-III zakres podstawowy po 3 godziny tygodniowo (uczniowie wybierający ten zakres mają więc razem 4+3+3=10 godzin na całe liceum) liceum klasy II-III zakres rozszerzony po 6 godzin tygodniowo (uczniowie wybierający ten zakres mają więc razem 4+6+6=16 godzin na całe liceum). Należy pamiętać że nawet w zakresie rozszerzonym nie da się utrzymać poziomu dawnych liceów matematyczno-fizycznych. ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ z dnia..2012 r. w sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych i załącznika nr 8 http://www.men.gov.pl/images/stories/8_zal_rpn.pdf Komentarz do podstawy: wartość bezwzględna Nie ma jej w podstawie dla gimnazjum. Po pierwsze do niczego nie jest to potrzebne. Po drugie nie chcemy by w gimnazjum wprowadzano określenie wartości bezwzględnej w standardowy sposób (wzór z zapisem klamrowym). Do czego potrzebna jest wartość bezwzględna w szkole? Wartość bezwzględna potrzebna jest tak naprawdę jedynie do definicji granicy w której pojawia się nierówność: a n g < ε. To głównie po to spędza się w szkole wiele czasu na przekształcaniu nierówności typu x a < b. Po to aby móc wykazać zbieżność pewnych ciągów wprost na podstawie definicji granicy. Wymagania dotyczące wartości bezwzględnej pojawiają się w liceum ale jedynie w zakresie rozszerzonym.
8 Komentarz do podstawy: logika matematyczna Z podstawy usunięto elementy logiki matematycznej. Znajomość ogólnych pojęć i symboli rachunku zdań i kwantyfikatorów nie jest ani warunkiem koniecznym ani dostatecznym dla logicznego rozumowania w matematyce W podstawie dla liceum wśród wymagań ogólnych mamy: Rozumowanie i argumentacja (o zakresie wymagań sformułowanym osobno dla zakresu podstawowego i dla rozszerzonego). Szkoła ma uczyć rozumowania matematycznego i na maturze będą zadania to sprawdzające. Rozumowań należy uczyć w trakcie wszelkich wywodów matematycznych przez wiele lat. Komentarz do podstawy: teoria mnogości Samo pojęcie zbioru intuicyjnie rozumiane pojawia się w podstawie wielokrotnie (również w zakresie podstawowym). Nie ma natomiast symboli działań na zbiorach. Tu zadecydował m.in. bilans godzin. Ile czasu trzeba przeznaczyć na rzetelne opanowanie działań na zbiorach? Ile czasu zyska się przy realizacji innych działów dzięki wykorzystaniu pojęć teorii zbiorów? W 1967 wprowadzono do liceum spory zakres teorii zbiorów. Miało to być fundamentem całej matematyki licealnej a szczególnie geometrii. Niestety radykalna wersja tej koncepcji poniosła fiasko a szczególnie dramatycznie załamało się w szkole mnogościowe ujęcie geometrii. Komentarz do podstawy: trygonometria W liceum w zakresie podstawowym wprowadzono wymaganie: wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 180. Głównym argumentem było to że taki zakres kątów jest niezbędny dla interpretacji współczynnika a w równaniu kierunkowym prostej y = ax +b jako tangensa kąta nachylenia prostej. Nie ma jednak w profilu podstawowym funkcji trygonometrycznych ani kątów skierowanych ani miary łukowej kąta. Z podstaw zniknęła funkcja cotangens bowiem ctg α to to samo co 1/tg α bądź tg (90 α) i cała trygonometria bez trudu da się wyrazić za pomocą tych trzech funkcji: sinus cosinus tangens tych które są na kalkulatorze. Komentarz do podstawy: logarytm Pojęcie logarytmu wróciło do zakresu podstawowego w sformułowaniu: Wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym. To takie minimum. W zakresie rozszerzonym mamy ponadto logarytm potęgi o dowolnym wykładniku wzór na zamianę podstawy logarytmu oraz funkcję logarytmiczną. Komentarz do podstawy: rachunek różniczkowy oraz zasada indukcji matematycznej Rachunek różniczkowy jest tylko w zakresie rozszerzonym. Zasada indukcji matematycznej została usunięta z zakresu rozszerzonego. Jest specyficznie trudna. Stosowanie tej zasady stało się pewnym rytuałem którego sensu wielu uczniów nie pojmowało. Należy pamiętać że nawet w zakresie rozszerzonym nie da się utrzymać poziomu dawnych liceów matematyczno-fizycznych.
9 Powodów tego jest wiele a jednym z nich jest to że uczniowie będą zdawać maturę w wieku 18 lat a nie 19 lat jak teraz. Nauka szkolna od klasy I po maturę będzie trwała 12 lat a dotąd od klasy zerowej po maturę trwała 13 lat. 1. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki. Zdający potrafi: odczytać informację bezpośrednio wynikającą z treści zadania zastosować podany wzór lub podany przepis postępowania wykonać rutynową procedurę dla typowych danych przejrzyście zapisać przebieg i wynik obliczeń oraz uzyskaną odpowiedź. 2. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Używa prostych dobrze znanych obiektów matematycznych. Zdający potrafi: poprawnie wykonywać działania na liczbach i przedziałach liczbowych przekształcać wyrażenia algebraiczne rozwiązywać niezbyt złożone równania ich układy oraz nierówności odczytywać z wykresu własności funkcji sporządzać wykresy niektórych funkcji znajdować stosunki miarowe w figurach płaskich i przestrzennych (także z wykorzystaniem układu współrzędnych lub trygonometrii) zliczać obiekty i wyznaczać prawdopodobieństwo w prostych sytuacjach kombinatorycznych zastosować dobrze znaną definicję lub twierdzenie w typowym kontekście. 3. Modelowanie matematyczne. Dobiera model matematyczny do prostej sytuacji. Zdający potrafi także w sytuacjach praktycznych: podać wyrażenie algebraiczne funkcję równanie nierówność interpretację geometryczną przestrzeń zdarzeń elementarnych opisujące przedstawioną sytuację przetworzyć informację wyrażone w jednej postaci w inną ułatwiającą rozwiązanie problemu ocenić przydatność otrzymanych wyników z perspektywy sytuacji dla której zbudowano model. 4. Użycie i tworzenie strategii. Stosuje strategię która jasno wynika z treści zadania. Zdający potrafi: dobrać odpowiedni algorytm do wskazanej sytuacji problemowej ustalić zależności między podanymi informacjami zaplanować kolejność wykonywania czynności wprost wynikających z treści zadania lecz nie mieszczących się w ramach rutynowego algorytmu krytycznie ocenić otrzymane wyniki. 5. Rozumowanie i argumentacja. Prowadzi proste rozumowanie składające się z niewielkiej liczby kroków. Zdający potrafi: wyprowadzić wniosek z prostego układu przesłanek i go uzasadnić zastosować twierdzenie które nie występuje w treści zadania.