INSTYTUT MATEMATYKI I KRYPTOLOGII WYDZIAŁ CYBERNETYKI WAT ZADANIA KONKURSOWE MATEMATYKA PRZYGOTOWALI

INSTYTUT MATEMATYKI I KRYPTOLOGII WYDZIAŁ CYBERNETYKI WAT ZADANIA KONKURSOWE MATEMATYKA PRZYGOTOWALI JERZY GAWINECKI, LUCJAN KOWALSKI, WOJCIECH MATUSZEWSKI WARSZAWA 00

Zadanie Przez środek boku trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt ostry α. Wyrazić stosunek pól figur na jakie ta prosta dzieli trójkąt ABC jako funkcję kąta α. Oznaczmy: a - długość boku trójkąta ABC, Pole trójkąta ABC: S ABC = a Pole trójkąta DBE: a S DBE = DB DE sin α = DE sinα () Z twierdzenia sinusów dla trójkąta DBE: DE sin 60 = O O O sin(80 DB 60 α ) Stąd O DB sin 60 a DE = = () O O sin(0 α) sin(0 α)

Wstawiając () do () otrzymamy Pole czworokąta ADEC: Zatem S S ADEC DBE a S = S DBE S DBE ADEC S a sin α 6sin(0 α) DBE = O = S ABC S DBE a = S DBE O O a 6sin(0 α) sin(0 α ) = = a sin α sin α O S ADEC sin(0 α) Odp. Szukany stosunek pól ma wartość =. S sin α DBE Zadanie W okręgu o promieniu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy AB i CD. Wykazać, że AC + BD =. Niech wtedy ABC = α, BCD = 90 o α Stosujemy twierdzenie sinusów AC = sinα o BD = sin(90 α) = cosα, zatem ( sin α ) + ( cosα ) = ( sin α + cos ) = AC + BD = α

Zadanie Cięciwa o długości równej promieniowi koła dzieli to koło na dwie części. Jaki jest stosunek pola większej części figury do mniejszej? r promień koła, P 6 = π r r (pole wycinka minus pole trójkąta równobocznego), P r P = π P πr P πr π k = = = =, P P πr r π 6 π Odp. Szukany stosunek pól ma wartość k =. π Zadanie Dany jest trójkąt ABC o polu równym. Z wierzchołka B opuszczamy prostopadły odcinek BM na dwusieczną kąta C. Oblicz pole trójkąta AMC.

Przez punkt B prowadzimy równoległą do prostej AC do przecięcia z dwusieczną kąta C, punkt przecięcia oznaczamy przez N. Zatem BNC = ACN = BCN Trójkąt BCN jest równoramienny, stąd MB jest środkową, zatem: P AMC = 0,5 P ANC = 0,5 P ABC = 0,5. II sposób P AMC = AC CM sin C lecz CM stąd C = cos P AMC = C C AC BC sin cos = AC BC sin C = P ABC = Odp. Pole trójkąta AMC jest równe 0,5. Zadanie 5 W trójkącie ABC punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Punkty M i N są odpowiednio środkami boków BC i AC. Wiadomo, że kąt AON jest prosty. Udowodnij, że kąt BOM też jest prosty. 5

MN AB BAO = OAN BAN + MNA = 80 o o BAN + MNA = 90 Z założenia o BAN + ONA = 90 = AON Stąd MNA = ONA czyli punkt O leży na dwusiecznej kąta MNA, zatem okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do MN. Z drugiej strony ABM + BMN = 80 stąd o ABM + BMN = 90 oraz OBM + BMO = ABM + stąd o BMN 6

OBM + BMO = 90 zatem o o BOM = 80 ( OBM + BMO ) = 90 o Zadanie 6 Wyznacz zbiór środków cięciw paraboli y = przechodzących przez punkt P = (0, ). Każda cięciwa paraboli przechodząca przez punkt P ma równanie y = a + gdzie a R Rozwiązując układ równań y = a + y = otrzymujemy punkty wspólne cięciwy z parabolą: a a + a a a + +, 6 6 Środek cięciwy ma więc współrzędne Ponieważ oraz a a +, 6 6 a + a = + = 6 a 6 6 6 więc szukanym zbiorem jest parabola o równaniu y = 6 + a + a + a + a a + +, 6 6 + Zadanie 7 Pierwiastek trójmianu a + a + b pomnożono przez pierwiastek trójmianu i otrzymano. Wyznaczyć te pierwiastki. a + b + b Niech y i z = będą tymi pierwiastkami, y y 0 z założenia. Wtedy a b ay + ay + b = 0 i + + b = 0 y y stąd ay + ay + b = 0 i by + by + a = 0 7

Dodając te równania stronami otrzymujemy ( a + b) y + ( a + b) y + a + b = 0 ( a + b)( y + y + ) = 0 Ponieważ drugi czynnik jest zawsze dodatni, to a + b = 0 czyli b = a Po podstawieniu do pierwszego równania mamy a ( y + y ) = 0 Stąd ± 5 y =, Odp. Szukane pierwiastki to ± 5 z = = y ± 5 y =, ± 5 z =. Zadanie 8 Rozwiąż równanie =. Podstawiając y =, otrzymamy równanie = czyli y y stąd = y y zatem y = = co oznacza, że = Odp. Szukane rozwiązanie to y y =. Zadanie 9 Rozwiąż równanie 6 6 6 6 ( + ) + ( + ) ( ) + ( + ) ( ) +... + ( ) = 0. Mnożymy obie strony przez ( + ) ( ) = Wtedy rozpatrywane równanie ma postać ( + ) 6 ( ) = 0 8

Co jest równoważne Zatem jedynym rozwiązaniem jest = 0. Odp. Szukane rozwiązanie to = 0. + = Zadanie 0 Rozwiąż nierówność log log 0,5 log0, 5 log + 0,5 + 0. Założenia > 0 log 0,5 > 0 log 0,5 Zatem czyli 0,, > 0 0 < < 0,5 Korzystając ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu mamy log i rozpatrywana nierówność ma postać Podstawiając czyli log 0,5 = log log 0,5 log,5 log 0,5 = log log log 0,5 = 0 log log 0,5 log log t otrzymamy ( t )( t + ) stąd t [,0 ) [, ) t Rozpatrujemy dwa przypadki lub log log 0,5 < 0 log log 0,5 log t + 0 t 0 0,5 0,5 + 0 9

czyli równoważnie 0,5;0,5 lub [ ) ; 0,5;0,5 ;. Uwzględniając założenia mamy ostatecznie [ ) Odp. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór [ 0,5;0,5 ) ;. Zadanie Rozwiąż układ równań + y y y = + 7 = 0. Uwzględniając drugie równanie mamy y = ( y) = y + y = + y + Zatem pierwsze równanie możemy zapisać jako równanie kwadratowe względem y : stąd y = lub y = Rozpatrując cztery przypadki y y + = 0 () () () () y = y = y = y = y = y = y = y = 0

Otrzymujemy cztery rozwiązania (układy () i () są sprzeczne): = = () () y = y = () = y = () = y = Odp. Równanie ma cztery rozwiązania (, -); (, -); (-,); (-,). Zadanie Rozwiąż układ równań y = 5 + y + + y = Równanie drugie zapisujemy w postaci + y + ( + y) y = Podstawiamy y = 5 i oznaczmy + y = a. Otrzymamy równanie: które ma dwa pierwiastki: a + a 7 = 0, a =, a 8. 9 = Zatem: y = 5 y = 5 lub + y = 9 + y = 8 Rozwiązując te układy równań otrzymamy cztery rozwiązania zadania: = ( 9 ) /, y = ( 9 + = ( 9 + ) /, y = ( 9 =, y = = 5, y = 5 ) / ) / Zadanie Podaj wszystkie pary liczb całkowitych (, y) spełniające układ nierówności y 0 y + Z pierwszej nierówności

zatem Z drugiej nierówności Są więc możliwości: Jeżeli y = 0, to y y 0. y. y = 0 lub y = lub y =. = 0, Równanie jest spełnione przez liczby całkowite: 0 i. Łatwo sprawdzić, że te liczby spełniają też nierówność. Jeżeli y =, to Druga nierówność jest spełniona przez trzy liczby całkowite: 0, i. Łatwo sprawdzić, że te liczby spełniają też pierwszą nierówność. Jeżeli y =, to = 0 Równanie jest spełnione przez liczbę. Łatwo sprawdzić, że ta liczba spełnia też nierówność. Zatem jest 6 par spełniających warunki zadania: (0,0), (0,), (,), (,), (,0) i (,). Zadanie Dana jest funkcja f ( ) = + Niech g() = f(f()). Wykonaj wykres funkcji g(). Jakie rozwiązania ma równanie g() = 0? 0 < 0 Zauważmy, że stąd Wykonując kolejno wykresy funkcji f ( ) = g( ) =

a) g ( ) = b) g ( ) = c) g ( ) = d) g ( ) = e) g ( ) = 5 f) g ( ) = 6 g) g ( ) = 7 otrzymamy wykres g() -8-8 Rozwiązaniem równania g() = 0 są miejsca zerowe tej funkcji, tzn. = ; = 0; 8. 8 = Zadanie 5 Dana jest taka funkcja kwadratowa rozwiązań rzeczywistych. Udowodnij, że równanie rzeczywistych. f ( ) = a + b + c, że równanie f ( ) = nie ma f ( f ( )) = też nie ma rozwiązań Jeśli równanie f ( ) = nie ma rozwiązań, to oznacza, że parabola będąca wykresem funkcji y = f() leży powyżej lub poniżej prostej y =.

Pokażemy, że wtedy również wykres funkcji y = f ( f ( )) leży powyżej lub poniżej prostej y = co oznacza, że równanie Niech dla każdego zachodzi f ( f ( )) = nie ma rozwiązań. f ( ) > (y = f() leży powyżej prostej y = ). Podstawiając do tej nierówności f () zamiast otrzymamy f ( f ( )) > f ( ) > Co z przechodniości relacji nierówności daje f ( f ( )) > i oznacza, że wykres funkcji y = f ( f ( )) leży powyżej prostej y =. Analogicznie można rozpatrzeć drugi przypadek. Zadanie 6 Dana jest funkcja f ( ) =, Dla jakich jest spełniona nierówność f ( f ( )) f ( ) f ( f ( )) = =, Trzeba więc rozwiązać nierówność równoważną nierówności 0 ( )( ) Stąd dostaniemy odpowiedź: 5 + 5 ; ; Zadanie 7 W ciągu geometrycznym suma wyrazów pierwszego i drugiego wynosi 08 a suma wyrazów drugiego i trzeciego 5. Wyznacz trzy początkowe wyrazy tego ciągu. q iloraz a pierwszy wyraz ciągu Musi być spełniony układ równań

czyli a + aq = 08 aq + aq = 5 ( + q) ( + q) a = 08 aq = 5 stąd q = 5 ; 8 a = oraz a = 60; a = 75 Odp. Trzy początkowe wyrazy ciągu to: 8, 60, 75. Zadanie 8 Dla jakich m liczby, y, z spełniające układ równań tworzą ciąg geometryczny? + y + z = m + y + z = m + + y z = m Obie strony równania pierwszego mnożymy przez i dodajemy otrzymane równanie do równania drugiego. Otrzymujemy: y =. Wstawiając y = do równań pierwszego i trzeciego otrzymamy: m + 5m + 9 =, z =. 6 6 Aby liczby, y, z tworzyły ciąg geometryczny musi być czyli z = y 5m + m + 7 = Stąd dostajemy odpowiedź: m = 7, 8 lub m =. Zadanie 9 Logarytmy dziesiętne trzech liczb tworzą ciąg arytmetyczny rosnący. Suma odwrotności tych liczb jest równa 9, a suma kwadratów ich odwrotności jest równa 89. Co to za liczby? Oznaczmy szukane liczby:, y, z. Z warunków zadania wynika układ równań: 5

Niech log y = (log + log z) / + + = 9 y z + + = 89 y z a =, b =, c =. Wtedy: y z b = ac a + b + c = 9 a + b + c = 89 Stąd a =, b = 9, c = 7 lub a = 7 b = 9, c = a w konsekwencji = /, y = / 9, z = / 7 lub = / 7, y = / 9, z = / Ciąg, y, z ma być rosnący, zatem odpowiedź: = / 7, y = / 9, z = / Zadanie 0 Wyznacz wszystkie liczby naturalne n dla których liczba n + jest potęgą liczby. Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną. Szukamy liczb naturalnych n spełniających równość k n + = dla pewnej liczby naturalnej k. lecz n + = ( n + )( n n + ) zatem r n + = ; n n + = s r, s N. Stąd n nie dzieli się przez (bo daje resztę ). Zauważmy, że r s n = ( n + ) ( n n + ) = stąd r s n = co jest możliwe tylko wtedy, gdy s = (bo n nie dzieli się przez ) zatem n n + = 6

czyli n n = 0 stąd n = ; n = Drugi pierwiastek odrzucamy, bo nie jest liczbą naturalną. Odp. Tylko liczba spełnia przedstawiony warunek. Zadanie Gdy w pewnej liczbie naturalnej zmieniono kolejność cyfr to otrzymano liczbę trzy razy mniejszą od danej liczby. Udowodnić, że tak otrzymana liczba dzieli się przez 7. a dana liczba, a liczba uzyskana po przestawieniu cyfr, Zatem (*) a = a czyli a jest podzielna przez, stąd suma jej cyfr jest podzielna przez. Ponieważ przestawianie cyfr nie zmienia ich sumy, to liczba a też jest podzielna przez, czyli można ją przedstawić w postaci a = n gdzie n jest pewną liczbą naturalną i po podstawieniu do (*) otrzymamy a = (n) = 9n co oznacza, że a jest podzielna przez 9. Zatem suma jej cyfr jest podzielna przez 9 i liczba a też jest podzielna przez 9, czyli można ją przedstawić w postaci a = 9m gdzie m jest pewną liczbą naturalną i po podstawieniu do (*) otrzymamy a = (9m) = 7m co oznacza, że a jest podzielna przez 7. Co należało wykazać. Zadanie Wyznacz takie liczby naturalne, y, że + + jest potęgą liczby y o wykładniku naturalnym, oraz y + y + jest potęgą liczby o wykładniku naturalnym. n ) Jeśli = y to + + = zatem prawa strona dzieli się przez więc i lewa strona powinna dzielić się przez. Jest to możliwe tylko dla =, lecz to prowadzi do sprzeczności =. 7

) Jeśli y to możemy założyć, że y <. Wtedy > y + y +, stąd może być tylko w pierwszej potędze, tzn. y + y + =, wtedy m ( y + y + ) + ( y + y + ) + = y stąd y + y + y + y + = m y Prawa strona dzieli się przez y więc i lewa strona powinna dzielić się przez y. Zatem y jest dzielnikiem liczby, lecz ani y =, ani y = nie spełnia tej równości. Odp. Żadna para liczb naturalnych nie spełnia warunków zadania. Zadanie Podaj wszystkie pary liczb całkowitych (, y) spełniające równanie ( + y )( y ) 5 = 0 Mamy: ( + y )( y ) = 5 Oba czynniki są liczbami całkowitymi, więc są możliwości: + y = + y = 5 + y = + y = 5 lub lub lub y = 5 y = y = 5 y = Rozwiązując powyższe układy równań otrzymamy odpowiedź. Szukane pary to (, ), (, ), (,0), (, ). Zadanie Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest równy 700, a ich największy wspólny dzielnik to 6. Co to za liczby? Oznaczmy szukane liczby: oraz y. Zapiszmy: = 6 m, y = 6n gdzie m, n N Zatem Stąd 6 m 6n = 700 m n = 75 Jest 6 możliwości: m =, n = 75 lub m =, n = 5 lub m = 5, n = 5 lub m = 5, n = 5 lub m = 5, n = lub m = 75, n = 8

Liczby m oraz n nie mogą mieć wspólnego dzielnika większego niż, gdyż wtedy liczby oraz y miałyby wspólny dzielnik większy niż 6. Zatem przypadki m = 5, n = 5 oraz m = 5, n = 5 odpadają. Z pozostałych przypadków wynika, że szukane liczby to 6 i 50 lub 8 i 50. Zadanie 5 Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 50, a największy wspólny dzielnik tych liczb to 6. Co to za liczby? Oznaczmy szukane liczby: oraz y. Zapiszmy: = 6 m, y = 6n gdzie m, n N Zatem Stąd 6 m + 6n = 50 m + n Liczby m oraz n nie mogą mieć wspólnego dzielnika większego niż, gdyż wtedy liczby oraz y miałyby wspólny dzielnik większy niż 6. Zatem możliwe przypadki to: m =, n = lub m =, n = lub m = 5, n = 9 lub = m = 9, n = 5 lub m =, n = lub m =, n = Stąd znajdujemy pary liczb spełniających warunki zadania: 6 i 68 lub 08 i 96 lub 80 i. Zadanie 6 Iloczyn trzech liczb pierwszych jest 5 razy większy od sumy tych liczb. Co to za liczby? Oznaczmy szukane liczby:, y oraz z. Zatem yz = 5( + y + z) Prawa strona równania jest podzielna przez 5, więc lewa też. Jest ona iloczynem liczb pierwszych, więc jedna z liczb, y, z jest równa 5. Załóżmy, że = 5. Wtedy: 5yz = 5(5 + y + z) Z tego równania wyznaczamy y: 6 z musi być liczbą pierwszą, zatem y = + 6 z z = lub z = lub z = 7 9

Jeżeli z =, to y = 7, jeżeli z =, to y = - to nie jest liczba pierwsza, a jeżeli z = 7, to y =. Odpowiedź: Te liczby to, 5 i 7. Zadanie 7 Okno ma kształt prostokąta na którego górnej podstawie dobudowano półkole. Obwód okna wynosi 5m. Jaka powinna być szerokość okna, by jego powierzchnia była największa? Oznaczmy: - szerokość okna, y - wysokość części prostokątnej. Zatem: + y + π / = 5 () Powierzchnia okna przy czym ( 0; 0 /( + π )). P = y + π /8 () Wyznaczając z () y i wstawiając do () dostaniemy: π 5 P = + 8 Największa wartość pola P jest przyjmowana dla = 0 /( + π ). Zadanie 8 Dysponujemy taką liczbą jednakowych monet, że można nimi wszystkimi wypełnić trójkąt równoboczny lub kwadrat. Liczba monet w boku kwadratu jest o mniejsza niż liczba monet w boku trójkąta. Iloma monetami dysponujemy? W trójkącie: w pierwszym rzędzie jest moneta w drugim rzędzie są monety... w ostatnim k-tym rzędzie jest k monet. Łączna liczba monet: k( k + ) + +... + k = Oznaczmy liczbę rzędów w kwadracie literą n. Liczba monet w kwadracie to Z warunków zadania mamy: n. 0

Ten układ ma rozwiązania: n = k k( k + ) n = k = 8, n = 6 lub k = 9, n = 5 Liczba monet nie może być ujemna, zatem k = 9, n = 5. Stąd obliczamy, że monet jest 5. Zadanie 9 Przejazd łódką 0 km w dół rzeki i z powrotem trwał 7 godzin. Równocześnie z łódką z tego samego miejsca wypłynęła tratwa, którą spotkano w drodze powrotnej w odległości km od miejsca wyruszenia. Oblicz prędkość wody. Oznaczmy: - prędkość wody w km/h, y - prędkość łódki względem płynącej wody. Wówczas: + y - prędkość łódki gdy płynie z prądem, y - prędkość łódki gdy płynie pod prąd. Czas płynięcia łódką w dół rzeki: Czas płynięcia łódką 0 km w górę rzeki: Czas płynięcia łódką 8 km w górę rzeki: 0. + y 0. y 8 y. Czas płynięcia km tratwą: Zatem: 0 + + y 0 + + y. 0 = 7 y 8 = y Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy: =, y = 7. Prędkość wody wynosi km/h.

Zadanie 0 Na drodze 6m przednie koło ciągnika wykonało o 6 obrotów więcej niż tylne. Gdyby obwód każdego koła zwiększyć o m, to na tej samej drodze przednie koło wykonałoby o obroty więcej niż koło tylne. Oblicz obwody kół. Oznaczmy: - obwód przedniego koła, y - obwód tylnego koła (y > ). Z warunków zadania mamy: 6 6 = + 6 y 6 6 = + + y + Stąd: y + 6 6y = 0 y + y + = 0 Odejmując od równania pierwszego równanie drugie otrzymamy: y =, + 0, Podstawiając wyznaczony y do równania pierwszego (w ostatnim układzie) dostajemy: 7 6 = 0 Jednym z pierwiastków tego równania jest / 7. Ten pierwiastek odrzucamy (obwód koła nie może być liczbą ujemną). Drugim pierwiastkiem jest =. Wtedy y =. Są to obwody kół w metrach.

ZADANIA Z KONKURSU 009-00 ETAP Przy każdym pytaniu są podane odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Ile wynosi odległość początku układu współrzędnych od prostej y = + 5? I II III 5 IV 8. Który z poniższych wzorów jest prawdziwy dla dowolnych zdarzeń losowych A i B? I P( A B) P( A) II P( A B) = P( A) + P( B) III P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) IV P( A B) = P( A) + P( B) P( A) P( B). W ciągu ( ) n a wyraz a n wynosi n +. Ile wynosi wyraz a n dla n >? n + I n n + II n n + III n n + IV n n +. Dane są równania dwóch okręgów + y = 9 ( ) + ( y ) = Jakie jest wzajemne położenie tych okręgów? I Okręgi są styczne zewnętrznie II Okręgi przecinają się w dwóch punktach III Okręgi nie mają punktów wspólnych IV Okręgi są styczne wewnętrznie 5. Kula o promieniu R ma tę samą objętość, co sześcian o przekątnej. Ile wynosi R? I π II π III π IV π

n 6. Dany jest ciąg geometryczny a n = n =,,,... I Ile wynosi suma n początkowych wyrazów tego ciągu? n II ( ) n III n n IV 0 5, 7. Który z poniższych rysunków przedstawia zbiór wszystkich rozwiązań równania y + y = 0? I II III IV

8. Cena towaru wynosiła p. Cenę tę podniesiono o 8%, a następnie nową cenę obniżono o 0%. Ile wynosi cena towaru po tych zmianach? I p II p 0, 0 III 0, 98 p IV 0, 97p 9. Jaką wartość ma wyrażenie log 7? I II 9 III 7 IV 8 0. Dany jest zbiór Z = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0, } Ile jest 6-elementowych podzbiorów tego zbioru, do których należą dokładnie dwie liczby nieparzyste? I 5 II 75 III 0 IV 6. Dla jakich ( 0; π ) jest spełniona nierówność sin >? I π ; π 6 II π 5π ; 6 6 III π ;π 6 IV 0; π 6. Wykres funkcji y = + 8 + 7 jest obrazem wykresu funkcji y = w przesunięciu o wektor w. Jakie współrzędne ma wektor w? I, II, III, IV,. Które z poniższych równań jest równaniem okręgu? I + y + = 0 II + y 6 + y + = 0 III + y + 6y + 5 = 0 IV + y = 0 5

. Pierwiastki równania kwadratowego oznaczamy: i. Ile wynosi +? + p q = 0, q 0 I p q + II p + q q III p q + IV pq 5. Zbiór A ma elementów, zbiór B ma 9 elementów, zbiór A B ma 7 elementów. Ile elementów należy do zbioru A B? I II 5 III IV 8 6. Krawędź sześcianu ma długość. Jaką długość ma odcinek łączący wierzchołek sześcianu ze środkiem ściany sześcianu, do której nie należy ten wierzchołek? I II III 6 IV 7. W trójkącie prostokątnym na poniższym rysunku mamy dane a =, b =. Ile wynosi p, q i h? I p =, 8, q =,, h =, II p =, 8, q =,, h =, 8 III p =, 6, q =,, h =, IV p =, 6, q =,, h =, 8 6

8. Zbiór A jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności + 0. Zbiór B jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ( )( + ) 0. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? I A = B II B A jest zbiorem jednoelementowym III A B jest zbiorem jednoelementowym IV A B = B 9. Które z poniższych równań ma dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste? I + 6 + 9 = 0 II = 0 III + = 0 IV + = 0 0. Która z poniższych figur ma dokładnie dwie osie symetrii? I Odcinek II Kwadrat III Punkt IV Dwie proste równoległe 7

ODPOWIEDZI Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem. Numer pytania Odpowiedź I II III IV 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 8

ETAP - FINAŁ Zadanie. Wyznacz iloraz malejącego ciągu geometrycznego, jeśli suma wyrazów pierwszego, drugiego i trzeciego wynosi -7 (minus siedem), a wyraz piąty jest o mniejszy od wyrazu drugiego. Zadanie. Pole trapezu ABCD o podstawach AD i BC (AD > BC) jest równe 8. Punkt O jest punktem przecięcia przekątnych trapezu. Pole trójkąta AOB jest równe 9. Wyznaczyć stosunek długości AD i BC podstaw trapezu. TEST Po każdym pytaniu są podane odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi I, II, III i IV. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Zakładamy, że zdarzenia A i B wnioskiem z tego założenia? wykluczają się. Które z poniższych zdań jest I P( A B) = P( A) P( B) II P( A B) = P( A) P( B) III P( A B) = P( A) IV P( A) P( B). Które z poniższych równań ma dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste? I 6 + 9 = 0 II = 0 III + = 0 IV + = 0 9

. Dana jest funkcja f ( ) = +, R Które z poniższych zdań jest prawdziwe? I Dla każdego, f ( ) > 0 II Istnieje taki, że f ( ) = III Dla każdego < 0, f ( ) > 0 IV Dla każdego > 0, f ( ) > 0. Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną? I ( 5 7) + ( 5 + 7) II 0,7555... III IV 0 5. Dana jest funkcja f ( ) =. Jakie własności ma ta funkcja? I Funkcja jest parzysta II Funkcja jest nieparzysta III Funkcja jest okresowa IV Funkcja jest ograniczona 6. Która z poniższych figur ma dokładnie dwie osie symetrii? I Odcinek II Kwadrat III Dwa różne punkty IV Dwie proste równoległe 7. Które z poniższych zdań są prawdziwe? I Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. II Punkt, w którym przecinają się środkowe trójkąta dzieli każdą ze środkowych w stosunku :. III W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe. IV Kąt wpisany w okrąg ma miarę dwa razy mniejszą, niż kąt środkowy oparty na tym samym łuku. 0

8. Dana jest nierówność + < 0. Która z poniższych nierówności jest równoważna danej nierówności? I < 0 II ( )( + ) < 0 III 0 IV ( )( + ) 0 9. Która z poniższych funkcji spełnia warunek f ( + y) f ( ) + f ( y) dla wszystkich, y R? I f ( ) = II f ( ) = + III f ( ) = IV f ( ) = 0. Zbiory A i B są dowolnymi podzbiorami niepustego zbioru Ω. Symbol A' oznacza uzupełnienie zbioru A do zbioru Ω, czyli A'= Ω A. Które z poniższych równości są prawdziwe? I ( A B)' = A' B II ( A B)' = A' B' III ( A' B ') ' = A B IV A B = A B'

ODPOWIEDZI Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź I II III IV X X X X X X X X X 5 X X 6 X X 7 X X X 8 X 9 X X 0 X X X