POLANICA ZDRÓJ, 16-18 rześnia 007 etody jakościoe i ilościoe na usługach yceny nieruchomości Anna Barańska Katedra Informacji o erenie Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środoiska Akademia Górniczo - Hutnicza Krakó
WPROWADZENIE Zaprezentoane rozażania dotyczą jednoczesnego ykorzystania metod jakościoych i ilościoych procesie dochodzenia do artości rynkoej nieruchomości. Sformułoano sposób określania bardziej iarygodnej prognozy rynkoej artości nieruchomości na podstaie starannie dobranego modelu yceny, odpoiedniego dla danego lokalnego rynku. W celu urealnienia ykonyanej predykcji, zaproponoano dodanie do artości modeloej czynnika losoego. Czynnik losoy jest yznaczany na podstaie odchyłek losoych nieruchomości najbardziej podobnych do ycenianej, spośród zgromadzonej bazy danych. Wybór nieruchomości najbardziej podobnych odbya się przy ykorzystaniu metod jakościoych.
Postać testoanych modeli yceny 1. odel linioy addytyny c cˆ = m i= 1 a i ( x i xˆ (1. odel nielinioy multiplikatyny gdzie: c jednostkoa cena nieruchomości, ĉ przeciętna cena nieruchomości bazie, x i artość atrybutu i, przeciętna artość atrybutu i bazie, xˆi parametry modelu. a i c x xˆ 1 x xˆ ˆ = a a c 1... a x m xˆ m m 1 (
Estymacja parametró modeli yceny 1. odel linioy addytyny gdzie: [ C] = [ X ] [ a] + [ δ ] [C] ektor różnic zmiennej losoej objaśnianej, ceny nieruchomości i jej średniej artości, [X] macierz zaierająca różnice zmiennych objaśniających (atrybutó i ich średnich artości, [a] ektor spółczynnikó linioej regresji ielorakiej, [δ] ektor odchyłek losoych modelu Zastosoanie metody najmniejszych kadrató iedzie do układu rónań normalnych, z którego yznaczamy estymator ektora spółczynnikó a :. â (3
Przez roziązanie zanie uogólnionego modelu linioego rozumie się: -określenie nieobciążonego estymatora ektora nieiadomych: aˆ = ( X X 1 -określenie nieobciążonego estymatora ariancji resztoej, określającej niedokładność estymacji parametró modelu: ˆ σ 0 = C - yznaczenie macierzy koariancji ektora nieiadomych (parametró modelu: Cov( aˆ - yznaczenie macierzy koariancji artości modeloych: Cov( W X C = C aˆ X n m X C = ˆ σ X + C 1 0 ( X = ˆ σ 0 X ( X X 1 X (4 (5 (6 (7
. odel nielinioy multiplikatyny Do estymacji artości spółczynnikó a i, funkcję ( trzeba doproadzić do postaci linioej. W tym celu logarytmujemy stronami rónanie (, przy ykorzystaniu logarytmu naturalnego, otrzymując: Układ rónań (8 zapisie macierzoym przyjmuje postać: gdzie: ln( c cˆ = ( x ˆ ˆ 1 x1 ln a1 + ( x x ln a +... + ( xm xm [ ln C] = [ X ] [ ln a] + [lnδ ] [ln C] ektor logarytmó naturalnych cen nieruchomości, [X] macierz zaierająca różnice zmiennych objaśniających (atrybutó i ich średnich artości, [ln a] ektor logarytmó spółczynnikó modelu, [ln δ] ektor logarytmó odchyłek losoych ˆ ln a m (8 (9
Po zastosoaniu NK, otrzymuje się następujące zory na estymoane parametry modelu nielinioego: ln aˆ = ( 1 X X X ln C acierz koariancji dla estymoanych parametró: σ 0 Cov ( ( ˆ a = σ X X 1 (10 (11 przy czym oznacza ariancję estymacji nielinioego modelu multiplikatynego, której estymator określa się edług zoru: δ δ ˆ σ = (1 0 n m gdzie: δ = C W n, m odpoiednio liczba nieruchomości i atrybutó = ˆ 0 C exp ( lnw (13
Weryfikacja modeli yceny Podstaoym miernikiem jakości dopasoania modelu do danych jest kadrat spółczynnika korelacji krzyolinioej, który dla modelu linioego odpoiada spółczynnikoi determinacji i określa udział ariancji yjaśnionej przez model stosunku do całkoitego rozproszenia zmiennej objaśnianej okół jej artości przeciętnej. W ramach statystycznej eryfikacji modeli badamy istotność układu uzyskanych parametró każdym z modeli oraz istotność każdego z parametró z osobna, na podstaie stosonych testó statystycznych.
Prognozoanie jednostkoych artości rynkoych ych nieruchomości ci Wyestymoany model yceny proadzi do yodrębnienia czynnika systematycznego modelu z jednostkoych cen nieruchomości. Są to artości prognoz cen nieruchomości uzyskane z modelu W. Różnice cen rynkoych, zebranych bazie danych C i artości modeloych W, to odchyłki losoe modelu. Charakterystykę niedokładności zbioru losoych modelu zaiera macierz koariancji: jako, że: Cov [ ] 1 X [ ] ( δ = I X X X σ 0 + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + δ = C X X C = I X X [ C] odchyłek (14 (15
Wybór r nieruchomości ci reprezentatynych Stosując analizę jakościoą, z zebranej bazy danych ybieramy grupę k nieruchomości, zaierającą nieruchomość ycenianą i najbardziej do niej podobne. Dokonując yboru postępujemy zgodnie z jedną z metod jakościoych: analiza porónania zględnego lub analiza szeregoania Analiza porónania zględnego nieruchomości opiera się na porónaniu jakościoym cech nieruchomości ycenianej z cechami nieruchomości podobnych taki sposób, że dla każdego atrybutu nieruchomości porónyanej ustala się znak -1 lub +1 popraki korygującej, zależności od tego czy artość danego atrybutu jest odpoiednio: iększa czy mniejsza od artości tego atrybutu dla nieruchomości ycenianej. Analiza szeregoania nieruchomości polega na nadaniu rang każdemu z atrybutó nieruchomości podobnych oraz nieruchomości ycenianej. Rangi nadaje się odniesieniu do najniższych lub najyższych artości poszczególnych atrybutó bazie.
Ostateczna prognoza artości rynkoej raz z analizą dokładno adności Z ektora składnika losoego yodrębniamy odpoiadające ybranym nieruchomościom, a z macierzy koariancji Cov[ δ ] podmacierz zaierającą elementy odpoiadające ybranym odchyłkom. Z modelu systematycznego szacujemy modeloą rynkoą artość nieruchomości ycenianej : [ X ][] a gdzie [X ] ektor atrybutó ycenianej nieruchomości = (16 Odchylenie standardoe artości modeloej liczymy następująco: V δ i ( = σ ( = [ X ] Cov[ aˆ ] [ X ] (17
Z modelu losoego szacujemy rynkoą artość czynnika losoego ycenianej nieruchomości: gdzie: 1 ektor złożony z jedynek, [ ] 1 P = Cov δ koariancji macierz ag to odrotność macierzy Odchylenie standardoe czynnika losoego: gdzie ariancja resztoa ybranych nieruchomości: L ˆ 0 σ = σ = ( [ ] 1 = 1 P 1 [ 1 P] [ δ ] ( [ ] = σ 1 P 1 1 δ L 0 σ 0 P δ jest określona dla grupy k L k 1 1 P δ (18 (19 (0
Ostateczna artość rynkoa ycenianej nieruchomości będzie obliczona następująco: = + + L (1 Pomiędzy ariancjami prognozy rynkoej artości nieruchomości, uzyskanej z modelu (systematyczna artość nieruchomości oraz prognozy popraionej o czynnik losoy, zachodzi następująca relacja: ( Zatem odchylenie standardoe ostatecznej artości rynkoej nieruchomości yliczymy następująco: σ ( V ( V ( V + = + L ( = σ ( σ ( + L L L L (3
[ ] Cov δ Wycena edług modelu addytynego macierz koariancji odchyłek dla ybranych nieruchomości 41533 4641-18 3446 1787 1391-981 -179 δ i -80 4641 39834 519-9664 -049-94 1874-18 10-18 519 45167 17-151 -316-4880 367-57 3446-9664 17 3903 130 608 13 188-318 1787-049 -151 130 4585-011 -1035-48 -348 1391-94 -316 608-011 4389 654-3766 7-981 1874-4880 13-1035 654 46177 907-136 -179-18 367 188-48 -3766 907 4491 34 1 = Cov [ δ macierz ag ] 0,000049-3,8E-06 9E-07-3,E-06-1,1E-06-6E-07 9E-07 1,E-06 1909,06-3,8E-06,75E-05-8E-07 7,3E-06 1,3E-06 -E-07-1,6E-06-4E-07 artość modeloa 0,0000009-8E-07,5E-05-1,4E-06 6E-07 E-07,5E-06-1E-07 σ ( -3,E-06 7,3E-06-1,4E-06 0,00008 E-07-1,6E-06-1,8E-06-1,1E-06 113,88-1,1E-06 1,3E-06 6E-07 E-07,3E-05 1,1E-06 5E-07 E-07 odchylenie standardoe -6E-07 -E-07 E-07-1,6E-06 1,1E-06,34E-05-3E-07 0,00000 artości modeloej 0,0000009-1,6E-06,5E-06-1,8E-06 5E-07-3E-07,1E-05-4E-07 L 0,000001-4E-07-1E-07-1,1E-06 E-07 0,00000-4E-07,9E-05-84,9 artość losoa σ ( + L + L σ ( L 85,3 184,17 75,5 odchylenie standardoe popraiona artość nieruchomości odchylenie standardoe ostatecznej prognozy (ostateczna prognoza artości losoej P
Wycena edług modelu multiplikatynego macierz koariancji odchyłek dla ybranych nieruchomości 3990 4459-1180 3311 1716 1336-943 -094 δ i -336 4459 3869 499-985 -1969-90 1801-18 1-1180 499 43394 1654-10 -303-4688 353-34 3311-985 1654 37490 15 505 040 137-96 1716-1969 -10 15 43507-193 -995-411 -318 1336-90 -303 505-193 41589 69-3618 81-943 1801-4688 040-995 69 44364 871-113 -094-18 353 137-411 -3618 871 455 36 1 = Cov [ δ ] macierz ag 0,00006-4E-06 9E-07-3,4E-06-1,E-06-6E-07 9E-07 1,3E-06 1915,33-0,000004,86E-05-9E-07 7,6E-06 1,4E-06 -E-07-1,6E-06-4E-07 artość modeloa 0,0000009-9E-07,34E-05-1,5E-06 6E-07 E-07,6E-06-1E-07 σ ( -3,4E-06 7,6E-06-1,5E-06,9E-05 E-07-1,7E-06-1,8E-06-1,1E-06 111,6-1,E-06 1,4E-06 6E-07 E-07,3E-05 1,1E-06 5E-07 E-07 odchylenie standardoe -6E-07 -E-07 E-07-1,7E-06 1,1E-06,44E-05-3E-07,1E-06 artości modeloej 0,0000009-1,6E-06,6E-06-1,8E-06 5E-07-3E-07 0,00003-4E-07 L 0,0000013-4E-07-1E-07-1,1E-06 E-07,1E-06-4E-07,38E-05-90,1 artość losoa σ ( + L + L σ ( L 83,4 185,3 74,18 odchylenie standardoe popraiona artość nieruchomości odchylenie standardoe ostatecznej prognozy (ostateczna prognoza artości losoej P [ ] Cov δ
WNIOSKI Zaprezentoany duetapoy model yceny nieruchomości ma na celu doprecyzoanie artości nieruchomości yznaczonej na podstaie dobrze dopasoanego do lokalnego rynku i statystycznie zeryfikoanego modelu yceny. Jego zaletą jest yróżnienie bazie nieruchomości podobnych, rozpatryanej podejściu porónaczym, grupy nieruchomości cechujących się najiększym podobieństem do ycenianego obiektu i ykorzystanie ich do popraienia modeloej artości nieruchomości.
Dziękuję za uagę