Podst trmłośi mteriłó Wdił Iżrii ej i Robotki IiR - ib - Wkłd Nr 11 Złożo st prężeń - tęże mteriłu st krt mteriłu, poję tężei, el stosoi ipote tężeio, pręże redukoe, pregląd ipote tężeio: ipote Glileus, ipote de Sit-Vet, ipote Coulomb (C--G), ipote Huber (H--H), gi e skręm prekrojó kołoosmetr, momet reduko, ruek bepeńst, prkłd oblioe Ktedr Wtrmłośi, Zmęei teriłó i Kostrukji Dr b iż oms i
111 Poję tężei 𝑷𝟏 𝑷𝒊 𝑻𝒚 𝑴𝐠𝐲 𝑴𝒊 𝑷𝒏 𝑴𝐠𝐱 𝑻𝒙 Wtęże stopń bliżei mteriłu do stu krtego C 𝑴 𝑵 𝐒 się 𝝈𝒚 𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒙𝒛 𝝉𝒚𝒛 𝑷𝒏 𝝉𝒙𝒛 𝑴𝒊 i 𝒒𝒊 𝑷 𝝉𝒚𝒛 𝑷𝟏 𝝉𝒙𝒚 𝝉 𝒛𝒚 𝝈𝒚 𝝈𝒛 St krt ogół mi st fim ił prodą do stąpi trł odkstłeń (Re - mt elsto-plste), lub utrt spójośi (Rm, R mt krue) Wtęże (W) jest fukją stu prężei mteriłu or jego odpodi o stł mteriło (C): 𝑾 = 𝒇(𝝈𝒙, 𝝈𝒚, 𝝈𝒛, 𝝉𝒙𝒚, 𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒛𝒙, 𝐂) Wtęże 𝑾 = 𝒇(𝝈𝟏, 𝝈, 𝝈𝟑, 𝐂)
11 Npręże redukoe i Ab określić stopń bliżei się mteriłu poddemu łożoemu stoi prężei do stu krtego, tęże dl tego stu poróuje się tężem dl prpdku jedoosioego roiągi t prężem redukom r: Złożo st prężei 𝑾 = 𝒇(𝝈𝟏, 𝝈, 𝝈𝟑, 𝐂) Hipote tężeio 𝝈 𝒇 𝝈𝟏, 𝝈, 𝝈𝟑, 𝐂 = 𝒇(𝝈𝒛𝒓, 𝐂) 𝝈𝟏 𝝈𝟏 𝝈 Jedoosioe roiąg: r 𝑾 = 𝒇(𝝈𝒛𝒓, 𝐂) r 1 𝝈𝒛𝒓 = 𝝋(𝝈𝟏, 𝝈, 𝝈𝟑, 𝑪) 𝒇, 𝝋 fukje leże od prjętej ipote tężeioej Npręże redukoe ( r) tk rtość prężei, o dl dego łożoego stu prężei pr użiu prjętej ipote tężeioej, któr pr jedoosiom roiągiu tego smego mteriłu, ołłb idete tężei jk m mjse roptrm st prężei Hipote tężeio łoże dotąe tego, jk lkość fi, ią e stem prężei i odkstłei, deduje o tężeiu mteriłu 3
11 Npręże redukoe i Złożo st prężei 𝑾 = 𝒇(𝝈𝟏, 𝝈, 𝝈𝟑, 𝐂) 𝝈 𝝈𝟏 𝝈𝟏 𝝈 Wtęże Jedoosioe roiąg: Hipote tężeio 𝒇 𝝈𝟏, 𝝈, 𝝈𝟑, 𝐂 = 𝒇(𝝈𝒛𝒓, 𝐂) Rkr 0 𝝈𝒓𝒆𝒅 r 𝑾 = 𝒇(𝝈𝒛𝒓, 𝐂) r 1 Wruek bepeńst: 𝝈𝒛𝒓 𝒌𝒓 𝒌𝒓 dopusle prężei roiągjąe Rkr prężei krte (Re, Rm, R) 4
113 Pregląd ipote tężeio 1131 Hipote Glileus (163) i Złoże: tężeiu deduje rtość mksml prężeń roiągją ( m) Jedoosioe roiąg: Złożo st prężei 𝑾 = 𝒇(𝝈𝒛𝒓, 𝐂) 𝑾 = 𝒇(𝝈𝟏, 𝝈, 𝝈𝟑, 𝐂) 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝝈𝟏 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝝈𝒛𝒓 𝝈𝒛𝒓 = 𝝈𝟏 𝒌𝒓 Ce: uględio pł prężeń i 3 tęże mteriłu, uględio możliość isei pod płem osioego śiski odfikj ipote Glileus: Clebs (186) i Rki (1856) Złoże: tężeiu deduje rtość ekstreml prężeń orml: m( 1, - 3) 𝝈𝒛𝒓 𝝈𝟑 = 𝒎𝒂𝒙 𝝈𝟏, 𝒛 𝒌𝒓 gd 𝒛= 𝒌𝒄 𝒌𝒓 - dopusle prężei śiskjąe - dopusle prężei roiągjąe li, żde prężeń orml może bć iękse od kr i mjse od k be ipote Glileus, et posti modfikoej jest stoso rdko i jed stosoiu do mteriłó kru 5
113 Pregląd ipote tężeio 1131 Hipote Glileus (163) i Hipote Glileus stoi mi teoretą podstę poljąą 𝒔𝒑𝒍 trmłośi roiąg bdiu rołup 𝒇𝒄𝒍 mteriłó kru (g idiret tesile stregt test) P l D P 𝟔𝑷 𝝈𝒚 = 𝛑𝑫𝒍 𝑷 𝝈𝒙 = 𝛑𝑫𝒍 i1timgom Poż prpdku mteriłó kru trmłość śisk (R) jest ięks iż trmłość roiąg (Rm), prjmuje się, że ise elemetu (rołup) pod płem sił Pm odpoidją dodt o rtośi prężei Stąd trmłość roiąg pr rołupiu obli jest jko: 𝒔𝒑𝒍 𝒇𝒄𝒍 𝑷𝒎𝒂𝒙 = 𝛑𝑫𝒍 6
113 Pregląd ipote tężeio 113 Hipote de Sit Vet (183) i Złoże: tężeiu deduje rtość jięksego odkstłei osioego ( 1) Jedoosioe roiąg: Złożo st prężei 𝜺𝒎𝒂𝒙 𝑾 = 𝒇(𝝈𝒛𝒓, 𝐂) 𝑾 = 𝒇(𝝈𝟏, 𝝈, 𝝈𝟑, 𝐂) 𝟏 = 𝜺𝟏 = 𝝈 𝝂 𝝈 + 𝝈𝟑 𝑬 𝟏 𝝈𝒛𝒓 = 𝝈𝟏 𝝂 𝝈 + 𝝈𝟑 𝒌𝒓 𝜺𝒎𝒂𝒙 = 𝝈𝒛𝒓 𝑬 (𝝈𝟏 𝝈 𝝈𝟑 ) Dopusl rtość prężeń śiskją śtle ipote de Sit Vet 𝝈 𝝈𝟏 = 𝟎 𝝈 = 𝟎 𝝈𝟑 = 𝝈 𝝈 𝝈𝒛𝒓 = 𝝈𝟏 𝝂 𝝈 + 𝝈𝟑 𝝈𝒛𝒓 = 𝝂𝝈 𝒌𝒓 tmsem idomo, że: 𝝈 𝒌𝒄 𝒌𝒓 𝒌𝒄 = 𝝂 jeżeli: =01 03 𝒌𝒄 = (𝟑 𝟏𝟎)𝒌𝒓 be ipote de Sit Vet b stoso do mteriłó kru 7
113 Pregląd ipote tężeio 1133 Hipote Coulomb resi Guest (ip C--G, ip m ) Złoże: tężeiu deduje rtość mksml prężeń st ( m ) τ = τ = σ 1 σ (σ 1 σ σ 3 ) τ m = τ 1 3 m = σ 1 σ 3 si α σ σ 1 σ 1 1 = σ 1 σ τ m i σ σ 1 σ 1 σ σ σ σ 1 σ 1 τ 1 3 m = σ 1 σ 3 σ τ 3 m = σ σ 3 8
9 113 Pregląd ipote tężeio 1133 Hipote Coulomb resi Guest (ip C--G, ip m ) Złoże: tężeiu deduje rtość mksml prężeń st ( m ) Złożo st prężei W = f(σ 1, σ, σ 3, C) τ m = σ 1 σ 3 σ r = σ 1 σ 3 k r Jedoosioe roiąg: W = f(σ r, C) τ m = σ r (σ 1 σ σ 3 ) Dośide potrd słusość ipote C--G prpdku mteriłó sprężstoplst, segól podd diłiu płskgo stu prężei ( st trójosio pomiięt ostje pł pośredgo o do rtośi prężei ) i
113 Pregląd ipote tężeio 1133 Hipote Coulomb resi Guest (ip C--G, ip m) i Złoże: tężeiu deduje rtość mksml prężeń st ( m) 𝝈𝒛𝒓 = 𝝈𝟏 𝝈𝟑 𝒌𝒓 Segól prpdek: dił prężeń orml i st: 𝝈𝒙 = 𝝈 3 1 𝝈𝒚 = 𝟎 𝝉𝒙𝒚 = 𝝉 𝝈𝟏,𝟑 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 𝟏 = ± 𝝈𝟏,𝟑 tmsem idomo, że: + 𝟒𝝉𝒙𝒚 𝝈 𝟏 = ± 𝝈 + 𝟒𝝉 𝝈𝒛𝒓 = 𝝈𝟏 𝝈𝟑 Cste śi: 𝝈𝒙 = 𝝈𝒚 = 𝟎, 𝝉𝒙𝒚 = 𝝉: 𝝈𝒙 𝝈𝒚 𝝈𝒛𝒓 = 𝝈 + 𝟒𝝉 𝝈𝒛𝒓 = 𝝉 𝒌𝒓 𝝉 𝒌𝒕 𝒌𝒕 = 𝟎 𝟓 𝒌𝒓 𝒌𝒕 - dopusle prężei ste 10
11 113 Pregląd ipote tężeio 1134 Hipote Huber ises Hek ego (ip H--H) Złoże: tężeiu deduje rtość eergii łśj odkstłei postioego ( P ) Por p 884 P σ 3 1 σ 3 σ 3 1 6E σ = + σ śr 1 3 σ śr σ śr σ śr 3 (σ σ śr ) 1 (σ 3 σ śr ) P (σ 3 σ śr ) 1 6E (σ σ śr ) 1 3 1 6E 1 Eergi łśi odkstłei objętośioego Eergi łśi odkstłei postioego i P 3 3 1 6E 1 6
113 Pregląd ipote tężeio 1134 Hipote Huber ises Hek ego (ip H--H) i Złoże: tężeiu deduje rtość eergii łśj odkstłei postioego ( P) 𝑾 = 𝒇(𝝈𝒛𝒓, 𝐂) 𝑾 = 𝒇(𝝈𝟏, 𝝈, 𝝈𝟑, 𝐂) 𝚽𝒑 = 𝟏+𝝂 𝝈𝟏 𝝈 𝟔𝑬 + 𝝈 𝝈𝟑 Prestre st prężei: Płski st prężei ( 3=0): Jedoosioe roiąg: Złożo st prężei 𝝈𝒛𝒓 = 𝝈𝒛𝒓 = + 𝝈𝟏 𝝈 𝟑 𝟏 𝝈 𝟏 𝝈 + 𝝈 𝝈 𝟑 𝚽𝒑 = 𝟏+𝝂 𝝈 𝟑𝑬 𝒛𝒓 + 𝝈𝟏 𝝈𝟑 𝒌𝒓 𝝈𝟏 + 𝝈 𝝈𝟏 𝝈 𝒌𝒓 Słusość ipote Huber ostł potrdo dl mteriłó sprężsto-plst, prpdku któr jduje o obe serok stoso 1
113 Pregląd ipote tężeio 1134 Hipote Huber1904 ises1913 Hek ego195 (ip H--H) i Złoże: tężeiu deduje rtość eergii łśj odkstłei postioego ( P) Płski st prężei ( 3=0): 𝝈𝒛𝒓 = 𝝈𝟏 + 𝝈 𝝈 𝟏 𝝈 𝒌𝒓 Dił prężeń orml i st: 𝝈𝒙 = 𝝈 𝝈𝒚 = 𝟎 1 𝝈𝟏, = 𝝉𝒙𝒚 = 𝝉 𝝈𝒛𝒓 = 𝝈 𝟏 ± 𝝈 + 𝟒𝝉 𝝈𝟏 + 𝝈 𝝈𝟏 𝝈 Cste śi: 𝝈𝒙 = 𝝈𝒚 = 𝟎, 𝝉𝒙𝒚 = 𝝉: tmsem idomo, że: 𝝈𝒛𝒓 = 𝝈 + 𝟑𝝉 𝝈𝒛𝒓 = 𝟑𝝉 𝒌𝒓 𝝉 𝒌𝒕 𝒌𝒕 = 𝒌𝒓 𝟑 𝟎 𝟓𝟗𝒌𝒓 13
114 Zgi e skręm bre problem iżrsk 𝑴𝐒 𝑴𝒈 𝑴𝒈 = 𝑷𝒃 𝑴𝒔 = 𝑷𝒂 b 𝑷 i 𝑷 b 𝑷 Włki prekłdi mei estomsetom 14
114 Zgi e skręm momet reduko i A 𝝈𝒈𝒎𝒂𝒙 𝑴𝐒 𝑴𝒈 𝝈𝒈𝒎𝒂𝒙 𝝈𝒈𝒎𝒂𝒙 𝝉𝒔𝒎𝒂𝒙 𝝉𝒔𝒎𝒂𝒙 Dl prekroju kołoego o średi d 𝝈𝒈𝒎𝒂𝒙 A 𝝅 𝒅𝟑 𝑾𝒈 = 𝟑 𝝈𝒈𝒎𝒂𝒙 = 𝑴𝒈 𝒌𝒈 𝑾𝒈 𝝉𝒔𝒎𝒂𝒙 = 𝑴𝑺 𝒌𝑺 𝑾𝑶 𝝅 𝒅𝟑 𝑾𝑶 = = 𝑾𝒈 𝟏𝟔 Zgod ipoteą C--G (ip m ): 𝝈𝒛𝒓,𝑨 = 𝝈𝒈𝒎𝒂𝒙 + 𝟒𝝉𝒔𝒎𝒂𝒙 = Zgod ipoteą H--H: 𝝈𝒛𝒓,𝑨 = 𝝈𝒈𝒎𝒂𝒙 + 𝟑𝝉𝒔𝒎𝒂𝒙 = 𝑴𝒛𝒓 - momet reduko 𝑴𝒈 𝑾𝒈 𝑴𝒈 𝑾𝒈 𝑴𝒔 +𝟒 𝑾𝒈 𝑴𝒔 +𝟑 𝑾𝒈 = 𝟏 𝑴𝒈 + 𝑴𝒔 𝑾𝒈 𝑴𝒛𝒓 𝟏 𝟑 = 𝑴𝒈 + 𝑴𝒔 𝑾𝒈 𝟒 𝑴𝒛𝒓 15
115 Zgi e skręm ruek bepeńst A 𝝈𝒈𝒎𝒂𝒙 𝑴𝐒 𝑴𝒈 𝝈𝒈𝒎𝒂𝒙 𝝈𝒈𝒎𝒂𝒙 i Wruek bepeńst 𝝈𝒛𝒓,𝒎𝒂𝒙 𝑴𝒛𝒓 = 𝒌𝒈 𝑾𝒈 𝒌𝒈 - dopusle prężei pr giiu 𝑾𝒈 - skźik trmłośi prekroju gi 𝝉𝒔𝒎𝒂𝒙 A 𝝉𝒔𝒎𝒂𝒙 𝝈𝒈𝒎𝒂𝒙 Dl prekroju kołoego : o średi d 𝑴𝒛𝒓 = 𝑴𝒛𝒓 = 𝝈𝒛𝒓,𝒎𝒂𝒙 𝑴𝒈 + 𝑴 𝒔 𝑴𝒈 𝟑 + 𝑴𝒔 𝟒 𝟑𝑴𝒛𝒓 = 𝒌𝒈 𝝅 𝒅𝟑 omet reduko g ipote C--G omet reduko g ipote H--H 𝒅 𝟑 𝟑𝑴𝒛𝒓 𝝅 𝒌𝒈 16
17 116 Zgi e skręm prkłd oblń S (Nm) g (Nm) A Prkłd 111: b B 1 P C Dl pręt j rsuku rsoć kres mometó: skręjąego ( s ), gąego ( g ) i redukoego ( r ), stęp oblić średię pręt (d) Poróć iki uske pr użiu ipote Huber or ipote Coulomb De: Suke: P= 1 kn, k g =100 P, s, g, r, d =50 m, b=1 m, (ip Huber or Coulomb) omet skręjąe: S(C B) = 0 omet gijąe: g(z1 ) = P 1 S(B A) = P = 500 Nm g(c) = g(1 =0) = 0 g(b1) = g(1 =) = P = 500 Nm i g(z ) = P g(b) = g( =0) = 0 g(a) = g( =b) = Pb = 1000 Nm
116 Zgi e skręm prkłd oblń De: P= 1 kn, kg=100 P, =50 m, b=1 m, Prkłd 111: A 1 𝑴𝑺 (𝑵𝒎) b B P 𝑴𝒈 (𝑵𝒎) omet redukoe: C 𝑴𝑯 𝒛𝒓(𝒊) = 𝑴𝒈(𝒊) i Suke: s, g, r, d (ip Huber or Coulomb) + 𝟎 𝟕𝟓 𝑴𝑺(𝒊) 𝑴𝑯 𝒛𝒓(𝑪) = 𝟎 𝑴𝑯 𝒛𝒓 (𝑵𝒎) 𝑴𝑯 𝒛𝒓(𝑩𝟏) = 𝟓𝟎𝟎 𝑴𝑯 𝒛𝒓(𝑩) = 𝟎 𝑴𝑯 𝒛𝒓(𝑨) = + 𝟎 𝟕𝟓 𝟎 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 + 𝟎 𝟕𝟓 𝟓𝟎𝟎 = 𝟒𝟑𝟑 𝑵𝒎 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟎 𝟕𝟓 𝟓𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟖𝟗 𝟕 𝑵𝒎 Średi: 𝒅𝑯 𝟑 𝟑𝑴𝑯 𝒛𝒓,𝒎𝒂𝒙 = 𝝅 𝒌𝒈 𝟑 𝟑 𝟏𝟎𝟖𝟗 𝟕 𝟏𝟎𝟑 = 𝟒𝟖 𝟎𝟔 𝒎𝒎 𝝅 𝟏𝟎𝟎 18
116 Zgi e skręm prkłd oblń De: P= 1 kn, kg=100 P, =50 m, b=1 m, Prkłd 111: A 1 𝑴𝑺 (𝑵𝒎) b B P 𝑴𝒈 (𝑵𝒎) 𝑴𝑪𝒛𝒓(𝒊) = 𝑴𝒈(𝒊) + 𝑴𝑺(𝒊) 𝑴𝑪𝒛𝒓(𝑪) = 𝟎 𝑴𝑯 𝒛𝒓 (𝑵𝒎) 𝑴𝑪𝒛𝒓 (𝑵𝒎) omet redukoe: C i Suke: s, g, r, d (ip Huber or Coulomb) 𝑴𝑪𝒛𝒓(𝑩𝟏) = 𝟓𝟎𝟎 𝑴𝑪𝒛𝒓(𝑩) = 𝟎 𝑴𝑪𝒛𝒓(𝑨) = + 𝟎 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 + 𝟓𝟎𝟎 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟓𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟖 𝑵𝒎 Średi: 𝒅𝑪 𝟑 𝟑𝑴𝑪𝒛𝒓,𝒎𝒂𝒙 = 𝝅 𝒌𝒈 𝟑 𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟑 𝝅 𝟏𝟎𝟎 = 𝟒𝟖 𝟒𝟕 𝒎𝒎 19