Laboratorium Nowoczesna Diagnostyka Materiałowa Spektroskopia impedancyjna: pomiar i analiza widm impedancyjnych materiałów i przyrządów I. Zagadnienia do przygotowania:. Znajomość pojęć: impedancja, admitancja, rezystancja, reaktancja, konduktancja, susceptancja.. Liczby zespolone: podstawowa algebra i sposoby zapisu. 3. Metody pomiaru widm impedancyjnych: - mostek samorównoważący się - analiza odpowiedzi częstotliwościowej - dopasowanie sinusów 4. Charakterystyki częstotliwościowe elementów RLC (diagramy Nyquista, Bodego): - pojedynczych elementów R, L, C - podstawowych układów równoległych i szeregowych 5. Elektryczne modele równoważne - zastosowanie w analizie widm impedancji II. Program ćwiczenia:. Pomiar widm impedancji. Analiza widm impedancyjnych metodą dopasowania elektrycznych modeli równoważnych III. Literatura:. Materiały z wykładu. Program Ziew Demo dostępny na stronie internetowej http://www.scribner.com 3. Instrukcja do programu ZView. 4. Nitsch K., Zastosowanie spektroskopii impedancyjnej w badaniach materiałów elektronicznych, Oficyna Wydawnicza PWr, 999 5. Bogusz W., Krok F., Elektrolity stałe, właściwości elektrycznej i sposoby ich pomiaru, WNT Warszawa, 995 W czasie wykonywania ćwiczeń przestrzegaj przepisów BHP! Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki
. Wstęp.. Wiadomości wstępne W spektroskopii impedancyjnej bada się odpowiedź elektryczną badanego obiektu na pobudzenie niewielkim sygnałem elektromagnetycznym w szerokim zakresie częstotliwości. Wynik takiego pomiaru nazywamy widmem impedancyjnym. Impedancja jest wielkością zespoloną i stosuje się typowe dla takich wielkości sposoby graficznej prezentacji wyników, czyli trajektoria na płaszczyźnie zespolonej oraz. Niekiedy do określenia interesujących nas wielkości wystarczy graficzna analiza widma wykreślonego we właściwym układzie współrzędnych. Jeśli jednak chcemy wynik pomiaru wyrazić za pomocą liczb, widmo takie należy sparametryzować stosując elektryczne modele równoważne... Pomiar impedancji W analizatorach impedancji używanych na laboratorium PDM jako pobudzenie stosuje się sygnał sinusoidalny o parametrach takich jak częstotliwość, amplituda i wartość średnia ustalanych w trakcie pomiaru. Przy pobudzeniu obiektu liniowego sygnałem sinusoidalnym o pulsacji, wartości chwilowe prądów i napięć na badanym obiekcie również zmieniają się sinusoidalnie I, U U I φ I φ U AU AI Czas w dziedzinie czasu: U t = A U sin t + φu () I t = A I sin t + φ () ( ) ( ) ( ) ( ) zapis w metodzie symbolicznej: jφu U = A U e (3) I A e jφi = I (4) Rysunek. Przebiegi wartości chwilowych napięcia i prądu przy pobudzeniu sinusoidalnym. Jak wiadomo, impedancję można wyrazić jako stosunek napięcia do prądu, wyrażonych w postaci liczb zespolonych: U A U j( φu φi ) Z = = e (5) I AI zatem: AU Z =, arg( Z ) = φu φi (6) AI Do wyznaczenia impedancji potrzebna jest więc znajomość amplitud i faz prądu i napięcia na badanym obiekcie. Pomiaru wartości chwilowych napięcia i prądu oraz wyznaczenia na ich podstawie amplitud i faz można dokonać na wiele sposobów. Napięcie można mierzyć wprost. Jako metoda pomiaru prądu omówiona zostanie metoda mostka samorównoważącego się, a jako metody wyznaczenia parametrów sygnału sinusoidalnego: analiza odpowiedzi częstotliwościowej oraz dopasowanie sinusów..3. Mostek samorównoważący się Mostek samorównoważący się jest rodzajem przetwornika prąd-napięcie. Jego najprostsza wersja jest zbudowana przy użyciu wzmacniacza operacyjnego. Uproszczony schemat takiego mostka w układzie pomiaru impedancji przedstawiono na rysunku. Wzmacniacz operacyjny w układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym, pod I
warunkiem pracy w reżimie liniowym, poprzez zmiany swojego napięcia wyjściowego dzięki istnieniu sprzężenia zwrotnego wymusza utrzymanie zerowej różnicy potencjałów pomiędzy swoimi wejściami. Ponieważ wejście + jest dołączone do masy układu, na wejściu - również będzie utrzymywany potencjał masy, tzw. masa pozorna. Utrzymywanie potencjału masy w tym węźle układu nazywane jest właśnie równoważeniem mostka. R I U V I Z - gen. pozorna masa + U I Rysunek. Schemat mostka samorównoważącego się. Jednocześnie przyjmuje się, że impedancja wejściowa wzmacniacza jest tak duża, że prądy wejściowe wzmacniacza można zaniedbać. Zatem całość prądu I, płynącego przez badany obiekt Z przepływa również przez rezystor o znanej wartości R I, wywołując na nim spadek napięcia proporcjonalny do I. Ponieważ jeden koniec rezystora jest na potencjale masy (pozorna masa!) to na wyjściu U I będzie utrzymywane napięcie równe -R I I. Pomiar tego napięcia pozwala zatem określić wartość chwilową prądu płynącego przez badany obiekt. Wartość chwilową napięcia na badanej próbce można zmierzyć bezpośrednio na wyjściu U I, znów z powodu istnienia pozornej masy w układzie. Zaletami mostka samorównoważącego opartego na wzmacniaczu operacyjnym są: prosta konstrukcja napięcia wyjściowe mostka odniesione są do potencjału masy przy stałej amplitudzie sygnału pobudzającego utrzymywana jest stała amplituda napięcia na badanym obiekcie (znów dzięki pozornej masie) Wady wynikają wyłącznie z ograniczeń częstotliwościowych wzmacniaczy operacyjnych. Typową granicą stosowalności mostka samorównoważącego w tej postaci jest częstotliwość około khz MHz..4. Metody wyznaczania parametrów sygnału sinusoidalnego Dla obliczenia impedancji konieczne jest określenie amplitud i faz napięcia i prądu na badanym obiekcie bazując na chwilowych wartościach tych wielkości. Opisane zostaną metoda analizatora odpowiedzi częstotliwościowej oraz metoda dopasowania sinusoid..4.. Analizator odpowiedzi częstotliwościowej Z układem służącym do pomiaru chwilowych wartości napięć i prądów może współpracować analizator odpowiedzi częstotliwościowej, który będzie odpowiedzialny za wyliczenie składowych rzeczywistej i urojonej prądu i napięcia. Niezależnie od tego, którą część odpowiedzi elektrycznej badanego obiektu analizujemy, zasada działania jest podobna. Przedstawiono ją na rysunku 4. Reżim liniowy oznacza, że nie są przekroczone maksymalne wartości napięcia wyjściowego wzmacniacza przez co napięcie wyjściowe jest wprost wyrażone prostą zależnością U wy =K(U + -U - ). 3
układy mnożące układy całkujące u(t)=a sin(t+φ) A G sin(t) Re(u(t)) A G cos(t) Rysunek 3. Analizator odpowiedzi częstotliwościowej. Sygnał sinusoidalny: u( t) = Asin( t + φ) (7) w zapisie symbolicznym jφ u = Ae = Acosφ + jasinφ (8) jest poddawany operacji mnożenia przez sygnał sinusoidalny i cosinusoidalny, pochodzący z generatora, o tej samej pulsacji co sygnał wejściowy i zerowych przesunięciach fazowych. Nazywamy je sygnałami odniesienia. Rozważmy tor, w którym sygnałem odniesienia jest sygnał sinusoidalny. Wartości chwilowe napięcia na wyjściu układu mnożącego można wyrazić funkcją: Asin ( t + φ) AG sin( t) (9) Korzystając z tożsamości trygonometrycznych można dokonać przekształcenia tego wyrażenia na: A A G [ cos ( φ ) cos ( t + φ) ] () A A Wyrażenie to zawiera składową stałą, niezależną od czasu G cos( φ) oraz A A składową cosinusoidalną G cos ( t φ), zmienną w czasie, o pulsacji dwukrotnie większej od pulsacji sygnałów pomiarowego i odniesienia. Taki sygnał dociera na wejście układu całkującego, który uśrednia go dokonując następującego przekształcenia: T u( t) = u( t) dt () T Dokonując operacji całkowania wyrażenia () w przedziale czasu równym czasowi trwania całkowitej liczby okresów przebiegu wejściowego uzyskujemy całkowite wyeliminowanie składowych zależnych od czasu. Przebieg, którego wartości chwilowe złożone są ze stałej i członu cosinusoidalnego, ma wartość średnią równą członowi stałemu. Całkowanie da się przeprowadzić o wiele prościej po podstawieniu x = t + φ i całkując w granicach [, πn], gdzie n to liczba okresów. Im(u(t)) 4
πn πn A AG = 4πn A A G G [ cos( φ) cos( x) ] dx = cos( φ) dx cos( x) [ cos( φ)( πn ) sin(πn) + sin() ] = Acos( φ) = Acos( φ) k W otrzymanym wyniku cos( φ) A A 4πn πn πn A G = dx = A odpowiada składowej rzeczywistej sygnału wejściowego. Wartość ta jest pomnożona przez stałą k, której wartość jest znana, wynika ona z amplitudy sygnału referencyjnego. Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla drugiego toru mnożącego i całkującego można udowodnić, że w torze tym otrzymujemy bezpośrednio wartość zależną od A sin( φ), co odpowiada składowej urojonej analizowanego sygnału. Tak przeprowadzona analiza sygnału z matematycznego punktu widzenia odpowiada wykonaniu dyskretnej transformaty Fouriera..4.. Metoda dopasowania sinusoid Mając określone wartości chwilowe napięć i prądów można, korzystając z cyfrowej obróbki danych pomiarowych, dopasować do nich opisane matematycznie krzywe. Parametry krzywych pozwolą określić wartość impedancji. Najprostszą pojęciowo jest metoda dopasowania sinusoid, wartości napięć i prądów mają przecież przebieg sinusoidalny. Analizę tego typu można przeprowadzać np. przy użyciu programu Origin. W programie tym, korzystając z narzędzia Nonlinear Curve Fit, wybierając dopasowanie typu Sine, można do zmierzonego przebiegu dopasować krzywą sinusoidalną opisaną równaniem: x xc y = y + Asin π w (3) A > Wartość y można zaniedbać, w prawidłowo zestawionym układzie wynika ona wyłącznie z niedokładności pomiaru. Amplituda sygnału określona jest parametrem A natomiast do wyznaczenia przesunięcia fazowego można to równanie przekształcić do postaci: x xc y = y + Asin π π (4) w w W tej postaci przesunięcie fazowe przebiegu równe jest: xc φ = π w.5. Modelowanie z wykorzystaniem układów równoważnych Modelowanie z wykorzystaniem układów równoważnych stosuje się w celu sparametryzowania widma impedancyjnego, będącego wynikiem pomiaru. Elektryczny układ równoważny to sieć odpowiednio połączonych elementów, takich jak np. rezystor, induktor, kondensator (ale nie tylko). Strukturę tego układu jak i wartości elementów dobiera się tak, aby układ ten był modelem zmierzonego obiektu a widmo impedancji modelu zgadzało się z widmem zmierzonym. Aby sprawnie posługiwać się tą metodą analizy widm należy mieć świadomość tego, jak wyglądają widma impedancji podstawowych elementów używanych w takiej analizie, oraz ich podstawowych połączeń. () 5
.5.. Podstawowe elementy składowe układów równoważnych W tym rozdziale przyjęto, że czytelnikowi znane są następujące pojęcia: z zakresu liczb zespolonych: liczba zespolona, postać algebraiczna oraz wykładnicza liczby zespolonej, moduł i argument liczby zespolonej, z zakresu elektrotechniki: pojęcie impedancji Z (oraz rezystancji R i reaktancji X), admitancji Y (oraz konduktancji B i susceptancji G). Przy analizie widm impedancyjnych oraz przy konstruowaniu modeli równoważnych niezbędna jest wiedza na temat widm impedancji i admitancji podstawowych elementów, z których modele równoważne się składają, czyli idealnego rezystora, kondensatora oraz induktora. Kształt widm bezpośrednio wynika z równań, które matematycznie opisują te wielkości: Tabela. Wartości impedancji i admitancji podstawowych elementów składowych elektrycznych modeli równoważnych, oraz ich moduły i argumenty w funkcji częstotliwości kołowej (pulsacji) = ππ. impedancja admitancja element R L C Z R jjj = e jπ j = π e j Z R arg (Z) π = 9 π = 9 Y R j = e jπ jjj = e jπ Y R L arg (Y) π = 9 π = 9 Wystarczy zapamiętać podstawowe wzory na impedancję, wytłuszczone w powyższej tabeli. Całą resztę można sobie obliczyć wiedząc co to jest moduł i argument oraz wiedząc, że admitancja jest odwrotnością impedancji. Przy modelowaniu z użyciem modeli równoważnych korzysta się z szeregowych lub równoległych połączeń podstawowych elementów. Impedancja szeregowego połączenia jest równa sumie impedancji połączonych elementów, natomiast admitancja elementów połączonych równolegle jest równa sumie ich admitancji. Skupmy się na połączeniu szeregowym rezystora R s i kondensatora C s. Na podstawie tabeli i powyższego stwierdzenia wiemy, że jego impedancja będzie równa Z Rs C s = R s j C s Wykresy obrazujące zależność tej wartości od częstotliwości kołowej da się prosto przedstawić na płaszczyźnie zespolonej oraz wykresie Bodego. Składowa rzeczywista, czyli wartość na poziomej osi płaszczyzny zespolonej, jest stała, zatem wykres na płaszczyźnie zespolonej będzie pionową linią. Składowa urojona impedancji jest zmienna, zależna od częstotliwości kołowej, ale zawsze ujemna, zatem na osi urojonej będą wyłącznie wartości ujemne. Widać to na odpowiednim wykresie (rys. ). Kształt przebiegu admitancji na płaszczyźnie zespolonej już nie jest tak oczywisty. Należy obliczyć odwrotność Z Rs C s a następnie wyodrębnić z niej część rzeczywistą i urojoną. Przeprowadź te obliczenia samodzielnie. Uzyska się parametryczne równanie 6
opisujące półokrąg, który również pokazano na rysunku 4. Na tym wykresie ważne są położenie końców półokręgu oraz mmm, dla której swoje ekstremum ma susceptancja. Rs Cs X (Ω) R (Ω) Rs B [S] max =/(RsCs) /Rs Rysunek 4. Widma impedancji i admitancji szeregowego połączenia rezystora i kondensatora na płaszczyźnie zespolonej i wykresie Bodego. Wykres Bodego impedancji szeregowego połączenia rezystora i kondensatora wynika wprost z wartości Z Rs C s. Na wykresie widać wyraźnie dwa zakresy częstotliwości. Dlaczego? Moduł na wykresie Bodego przedstawia się w logarytmicznym układzie współrzędnychlog Z = f(log ). Dla małych wartości w Z Rs C s dominuje składowa urojona C s, bo jest w mianowniku a dla dużych składowa rzeczywista. Logarytm modułu składowej urojonej jest równy: log C s = log + log C s = log log C s co przekłada się na wykresie logarytmicznym na zależność opadającą liniowo wraz z log, przesuniętą w pionie o stałą wynikającą z pojemności (patrz impedancji na rysunku ). W tym przedziale częstotliwości argument przyjmuje wartość 9, ponieważ dominująca składowa urojona jest w tym wypadku ujemna. Z kolei dla dużych dominuje niezależna od częstotliwości składowa rzeczywista impedancji Z Rs C s, stąd płaski przebieg i argument równy. Jak wykazano, łatwo jest przedstawić na wykresie Bodego impedancję szeregowego połączenia elementów. Wiemy, że admitancja jest odwrotnością impedancji. Do sporządzenia wykresu Bodego admitancji trzeba zatem wiedzieć ile wynosi moduł i argument liczby zespolonej będącą odwrotnością liczby danej. Do tych wniosków dojdź samodzielnie. Pomocna jest tu wiedza z zakresu liczb zespolonych oraz tego, jak wygląda logarytm odwrotności. W analogiczny sposób można sobie obliczyć przebiegi dla pozostałych połączeń elementów. Zawsze na wykresie Bodego będą przedziały częstotliwości, w których dominuje składowa rzeczywista lub urojona. Mówimy wtedy o tym, że impedancja w danym zakresie ma charakter rezystancyjny, reaktancyjny pojemnościowy lub reaktancyjny indukcyjny. Na widmach impedancji i admitancji będą przedziały stałej, rosnącej bądź malejącej wartości modułu, w zależności od charakteru impedancji czy admitancji. Da się je wywnioskować na podstawie wzorów z tabeli w podobny sposób, jak pokazany powyżej. Widma dla pozostałych połączeń elementów modelu przedstawiono na rysunku 5. log ( Z ) arg (Z) Rs 9-9 /(Cs) log () log () log ( Y ) arg (Y) /Rs 9-9 Cs log () log () 7
Rs Ls X [Ω] Rs R [Ω] B [S] /Rs max =Rs/Ls arg (Z) log ( Z ) Rs 9-9 log () log () Ls arg (Y) log ( Y ) /Rs 9-9 log () log () /(Ls) Cp X (Ω) R (Ω) max =/(Cp) B [S] / arg (Z) log ( Z ) 9-9 log () log () /(Cp) arg (Y) log ( Y ) / 9-9 log () log () Cp X [Ω] max =/Lp R [Ω] B [S] / Lp Rysunek 5. Widma impedancji i admitancji pozostałych podstawowych połączeń elementów składowych modeli równoważnych. Dla obwodów zawierających jednocześnie trzy elementy: rezystor, kondensator oraz induktor postępuje się zasadniczo podobnie. Obwody takie nazywamy szeregowym bądź równoległym obwodem rezonansowym. W nich jednak kształt przebiegu na płaszczyźnie zespolonej to prosta bądź pełny okrąg, a na wykresie Bodego kształt zależy od dobroci Q obwodu rezonansowego. Wykresy przedstawiono na rysunku 3. Dla nich charakterystyczną jest częstotliwość rezonansowa r, zaznaczona na płaszczyznach zespolonych. Na wykresach położenie ekstremum modułu zależy od wartości rezystora przy czym dla obwodów o dużych wartościach Q nie jest widoczny płaski odcinek, przy którym impedancja ma charakter rezystancyjny. Obwody rezonansowe o dużej dobroci gwałtownie zmieniają swoją impedancję z pojemnościowej na indukcyjną przy przekraczaniu częstotliwości rezonansowej. log ( Z ) arg (Z) 9-9 Lp log (f) log (f) log ( Y ) arg (Y) / 9-9 /(Lp) log () log () 8
Rs Ls Cs log ( Z ) Rs /(Cs) Ls log ( Y ) /Rs Cs /(Ls) X [Ω] Rs R [Ω] B [S] /Rs arg (Z) 9-9 log () log () Q>> Q= Q<< arg (Y) 9-9 log () log () Q>> Q= Q<< Lp Cp X [Ω] R [Ω] B [S] / Rysunek 6. Widma impedancji i admitancji szeregowego i równoległego obwodu rezonansowego na płaszczyźnie zespolonej oraz wykresie Bodego. log ( Z ) arg (Z) 9-9 Lp log () log () /(Cp) Q>> Q= Q<< log ( Y ) arg (Y) / 9-9 /(Lp) log () log () Cp Q>> Q= Q<<.5.. Przykład analizy widm impedancyjnych z użyciem modeli równoważnych a) b) 3 Z pomiar FitResult -3 - - częstotliwość (Hz) R C R arg (Z) 5-5 - Element Freedom Value R Free(+), C Free(+),49787 R Free(+),9-5 -3 - - częstotliwość (Hz) Rysunek 7. Przykład pomiaru i analizy widma impedancyjnego modułu Peltiera: a) widmo zmierzone (punkty) i widmo modelu (linia), b) elektryczny model równoważny i wartości elementów. Analizowanym obiektem był moduł termoelektryczny Peltiera. Mierzono jego 9
impedancję w zakresie częstotliwości od mhz do Hz. Wyniki pomiaru przedstawiono w postaci punktów na wykresie Bodego impedancji (rysunek 7). Tego rodzaju obiekt, poddany pobudzeniu przemiennym napięciem, oprócz zwykłego przewodzenia omowego, modelowanego rezystorem R, wykazuje też dodatkowe efekty związane ze zjawiskami termoelektrycznymi Peltiera i Seebecka. W modelu równoważnym odpowiada to elementom C i R. Ich wartości nie mają bezpośredniego przełożenia na jakąś elektryczną rezystancję ani pojemność. Są one elektrycznymi analogami zjawisk fizycznych. Na ich podstawie można wyliczyć pojemność i przewodność cieplną modułu Peltiera. Taki model nie dość, że przybliża widmo impedancyjne, a jeszcze pozwala zidentyfikować zjawiska fizyczne. Nazywamy go modelem fizycznym. Wartości elementów modelu wyznaczono dopasowując model do pomiaru metodą najmniejszych kwadratów. Wartości wyznaczone z modelowania oraz przebieg impedancji modelu również są widoczne na rysunku 7.. Program ćwiczenia W trakcie realizacji ćwiczenia realizuje się zadania podane przez prowadzącego. Obejmują one następujące zagadnienia:. Pomiary wybranych obiektów metodą spektroskopii impedancyjnej w funkcji temperatury.. Analiza elektrycznych modeli zastępczych elementów w funkcji częstotliwości a) określanie struktury modelu równoważnego, b) aproksymacja charakterystyk eksperymentalnych wybranych widm impedancyjnych modelem fizycznym, c) wyznaczenie zależności parametrów modelu od temperatury.