Rachunek prawdopodobieństwa Wykład 5.03.2014 Margareta Wiciak Instytut Matematyki WFMIS Politechnika Krakowska
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Andriej Nikołajewicz Kołmogorow rosyjski matematyk, twórca współczesnej teorii prawdopodobieństwa 1903-1987
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Kawalera de Mere Paradoks Kawalera de Mere Antoine Gombaud, Chevalier de Méré pisarz francuski 1607-1684 Rzucamy trzema kostkami do gry. Jaka jest szansa, że suma oczek wynosi 11? A jaka, że 12?
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Kawalera de Mere Przy rzucie trzema kostkami sumę oczek równą 11 można uzyskać na tyle samo sposobów, co 12: 11 = 6 + 4 + 1 = 6 + 3 + 2 = 5 + 5 + 1 = 5 + 4 + 2 = 5 + 3 + 3 = 4 + 4 + 3 12 = 6 + 5 + 1 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3 = 5 + 5 + 2 = 5 + 4 + 3 = 4 + 4 + 4 Wszystkich możliwości 6 + 2 ( ) 6 + 2 ( ) 6 = 56 3
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Kawalera de Mere Po uwzględnieniu kolejności Wszystkich możliwości: 6 3 = 216 11 : (6, 4, 1), (6, 1, 4), (4, 1, 6), (4, 6, 1), (1, 4, 6), (1, 6, 4), (6, 3, 2), (6, 2, 3), (3, 2, 6), (3, 6, 2), (2, 6, 3), (2, 3, 6), (5, 5, 1), (5, 1, 5), (1, 5, 5), (5, 4, 2), (5, 2, 4), (4, 2, 5), (4, 5, 2), (2, 4, 5), (2, 5, 4), (5, 3, 3), (3, 5, 3), (3, 3, 5), (4, 4, 3), (4, 3, 4), (3, 4, 4) 27 możliwości 12 : (6, 5, 1), (6, 1, 5), (5, 1, 6), (5, 6, 1), (1, 5, 6), (1, 6, 5), (6, 4, 2), (6, 2, 4), (4, 2, 6), (4, 6, 2), (2, 6, 4), (2, 4, 6), (6, 3, 3), (3, 6, 3), (3, 3, 6), (5, 5, 2), (5, 2, 5), (2, 5, 5), (5, 4, 3), (5, 3, 4), (4, 3, 5), (4, 5, 3), (3, 4, 5), (3, 5, 4), (4, 4, 4) 25 możliwości
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Kawalera de Mere Blaise Pascal francuski filozof, matematyk, pisarz i fizyk 1623-1662 Pierre de Fermat matematyk francuski, z wykształcenia prawnik 1601-1665
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda Przykład W przypadkowych momentach mogą nadejść do odbiornika dwa sygnały. Odbiornik zostaje uszkodzony, gdy różnica w czasie pomiędzy dwoma sygnałami jest mniejsza od τ (τ > 0). Obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzenia odbiornika w czasie T (T > τ).
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda Joseph Louis François Bertrand matematyk i ekonomista francuski 1822-1900 Na okręgu o promieniu 1 skonstruowano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że cięciwa będzie dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda I rozwiązanie Ω = [0, π] A = [ π 3, 2 3 π] P (A) = 1 3
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda II rozwiązanie Ω = [0, 1] A = [0, 1 2 ] P (A) = 1 2
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda III rozwiązanie Ω = K(0, 1) A = K(0, 1 2 ) P (A) = 1 4
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Paradoks Bertranda Ciekawe strony dotyczące paradoksu Bertranda: http://web.mit.edu/tee/www/bertrand/problem.html http://www.cut-the-knot.org/bertrand.shtml http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf
Prawdop. geometryczne Prawdop. warunkowe Dylemat więźnia Spośród trzech więźniów, Mateusza, Marka i Łukasza, dwóch ma być straconych. Mateusz nie wie jednak którzy to, zwraca się przeto do strażnika: Z pewnością zostanie stracony Marek lub Łukasz, tak więc jeżeli podasz mi imię jednego z nich, Marka lub Łukasza, który będzie stracony, to nic mi nie powiesz o mym losie. Po chwili namysłu strażnik odpowiedział: Marek będzie stracony. Wtedy Mateusz poczuł się bardziej spokojny, ponieważ prawdopodobieństwo jego stracenia wynosiło uprzednio 2/3, a teraz po odpowiedzi udzielonej przez strażnika, pozostawało już tylko dwóch więźniów, Łukasz i on sam, z których jeden nie będzie stracony, prawdopodobieństwo stracenia zmalało więc do 1/2. Czy słusznie Mateusz mógł się poczuć spokojniejszy?