MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 55, ISSN 1896-771X NIEPEWNOŚĆ WYZNACZANIA SZTYWNOŚCI STATYCZNEJ OBRABIAREK Z UŻYCIEM AKCELEROMETRÓW Paweł Majda 1a, Mirosław Pajor 1b 1 Instytut Technologii Mechanicznej, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie a Pawel.Majda@zut.edu.pl, b Miroslaw.Pajor@zut.edu.pl Streszczenie Artykuł zawiera analizę niepewności wyznaczania sztywności obrabiarek, gdzie do pomiaru siły użyto jednoosiowego siłomierza tensometrycznego, a przemieszczenia przeliczano ze wskazań przebiegów czasowych przyśpieszeń mierzonych sejsmicznymi czujnikami drgań (akcelerometrami). W budżetowaniu uwzględniono także składowe wnoszone przez wzmacniacze, karty akwizycji danych, histerezę siłomierza, dokładność pozycjonowania akcelerometrów i siłownika oraz współczynniki wzmocnień uzyskane z wzorcowania siłomierza i wzorcowania wskazań przemieszczeń estymowanych na podstawie wskazań przyśpieszeń. Słowa kluczowe: sztywność, niepewność pomiarów, obrabiarki UNCERTAINTY OF DETERMINING STIFFNESS MACHINE TOOL USING ACCELEROMETERS Summary The article contains an analysis of the uncertainty of determining the stiffness of machine which is used to measure the strength of uniaxial strain gauge dynamometer and displacement converted indication of acceleration time histories measured seismic vibration sensors (accelerometers). In budgeting uncertainty also includes components contributed by amplifiers, data acquisition cards, hysteresis dynamometer and reinforcement ratios derived from the calibration and the calibration of the gauge indications displacements estimated on the basis of the indications of acceleration. Keywords: stiffness, uncertainty, machine tool 1. WSTĘP Badania sztywności polegają na pomiarze siły i przemieszczeń wywołanych działaniem tej siły. Metodę wyznaczania sztywności statycznej obrabiarek z użyciem siłownika i czujników przyśpieszeń (akcelerometrów) szczegółowo opisano w literaturze [1,2,3]. Metoda ta zakłada, że jest możliwe obłożenie badanej maszyny akcelerometrami (nawet całej konstrukcji jednocześnie) i wyznaczenie w punktach pomiarowych przemieszczeń ze wskazań przyśpieszeń. Stwarza to bardzo komfortową sytuację, bo można mierzyć w ten sposób konstrukcje różnego typu bez konieczności budowania pomocniczego oprzyrządowania pomiarowego. Źródłem niepewności metody oraz istotną wadą takiego podejścia jest pośrednia metoda wyznaczania charakterystyk przemieszczeń. Dlatego w tej pracy prezentowane są wyniki analizy niepewności mające na celu ustalenie zakresu stosowalności przedmiotowej metody w badaniach obrabiarek średniej wielkości. Budżetowaniu podlegały składowe związane z pomiarem siły wymuszającej o częstotliwości 10Hz i przemieszczeń estymowanych na podstawie znajomości szeregów harmonicznych wyznaczonych dla mierzonych przebiegów czasowych przyśpieszeń. Uwzględniono także udział związany z dokładnością położenia akcelerometrów i siłownika na obrabiarce. 69
NIEPEWNOŚĆ WYZNACZANIA SZTYWNOŚCI STATYCZNEJ OBRABIAREK... 2. PRZELICZANIE SYGNAŁÓW POMIAROWYCH PRZYŚPIESZENIA NA PRZEMIESZCZENIA Z UŻYCIEM SZEREGÓW HARMONICZNYCH Aby przeliczyć sygnał pomiarowy przyśpieszenia na przemieszczenia, należy go dwukrotnie scałkować. Aby zrobić to poprawnie, konieczna jest znajomość charakterystyki przyśpieszenia zawierającej także jej składową stałą. W zależności od konstrukcji akcelerometrów mogą one posiadać możliwość pomiaru składowej stałej. Jednak znacznie popularniejsze i częściej wykorzystywane w praktyce metrologicznej obrabiarek są akcelerometry bez tej możliwości. Warunkiem koniecznym przeprowadzenia pomiaru z zamiarem wyliczenia przemieszczeń ze wskazań takiego akcelerometru jest zastosowanie periodycznej siły wymuszającej. Prezentowana tutaj analiza dotyczy właśnie takiego przypadku. Inspirując się metodą estymacji charakterystyk sztywności połączeń stykowych przedstawioną w pracy [4], proponuje się zastosować szeregi harmoniczne do opisu charakterystyk mierzonych przyśpieszeń. Takie ujęcie problemu likwiduje konieczność całkowania numerycznego mierzonych sygnałów, ułatwiając ich przeliczenie na sygnały przemieszczeń. Sygnał przyśpieszenia poddawany jest transformacji Fouriera, by wyznaczyć amplitudy i częstotliwości głównych harmonicznych (rys.1). Proponuje się użycie ich jako punktów startowych modelu dopasowania, tj. szeregu postaci: a = A sin2 i π f t + ω (1) gdzie: t - czas oraz poszukiwane parametry szeregu harmonicznego; Ai - amplituda, fi - częstotliwość, i - przesunięcie fazowe. Przedstawione podejście bardzo ułatwia i przyśpiesza metody obliczeniowe algorytmów dopasowania modelu do danych doświadczalnych. Mając wyznaczone parametry szeregu harmonicznego (1), poszukiwaną charakterystykę przemieszczenia wyznacza się (bez konieczności całkowania) z zależności (2): adt = (2) Na rys. 2 przedstawiono przykładowe charakterystyki przyspieszenia, jakie uzyskano w wyniku pomiaru sygnału z dominującą składową harmoniczną oraz dopasowania szeregu (1). Rys. 2. Przykładowy widok dopasowanego (estymowanego) modelu na tle sygnału z akcelerometru o częstotliwości głównej harmoniki 10Hz Opisaną procedurę poddano sprawdzeniu, mierząc czujnikiem pojemnościowym przemieszczenia (dokładność <13nm przy k=2), jakich doznawał akcelerometr umieszczony na wzbudniku elektromagnetycznym. Wyznaczono w ten sposób poprawki i niepewności rozszerzone dla różnych częstotliwości i amplitud mierzonych sygnałów periodycznych (sinus z dominującą główną harmoniką). Dla akcelerometru 352C33 firmy PCB (sensitivity 10,18 mv/m/s2) wykazano, że niepewność rozszerzona dla k=2 wyznaczonych przemieszczeń wg równania (2) jest mniejsza od 6% wartości estymowanej wielkości w zakresie amplitud od 5 do 200m i częstotliwości głównej harmoniki powyżej 10Hz. Zakresy te w zupełności pokrywają zapotrzebowanie na przeprowadzanie pomiarów dla obrabiarek średniej wielkości. Widok stanowiska do sprawdzania dokładności wyznaczania przemieszczeń ze wskazań akcelerometru przedstawiono na rys. 3. Rys. 1. Przykładowa charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa przyśpieszenia z dominującą składową harmoniczną mierzonego akcelerometrem Rys. 3. Widok stanowiska do porównywania wskazań akcelerometru i pojemnościowego czujnika przemieszczeń 70
Paweł Majda, Mirosław Pajor 3. NIEPEWNOŚĆ WYNIKAJĄCA Z WYZNACZANIA PRZEMIESZCZEŃ UOGÓLNIONYCH Należy podkreślić, że akcelerometry można rozmieścić na badanym obiekcie w punktach dowolnych. Jednak w prezentowanej metodzie zakłada się, że w najgorszym przypadku należy wyznaczyć minimalną liczbę punktów pomiarowych, z których będzie możliwe wyznaczenie współrzędnych uogólnionych badanej bryły, tj. trzy przemieszczenia translacyjne i trzy rotacyjne. Oczywiście czujników może być więcej niż sześć. Podejście takie pozwala transformować geometrycznie przemieszczenia punktów pomiarowych na współrzędne uogólnione do dowolnego punktu - np. do punktu przyłożenia siły. Dlatego przed rozmieszczeniem akcelerometrów proponuje się wykonać obliczenie optymalnego położenia czujników na bryle ze względu na minimalizację niepewności wyznaczenia współrzędnych uogólnionych w interesującym nas punkcie. Danymi wejściowymi do takiej optymalizacji są niepewności wyznaczanych przemieszczeń w punktach pomiarowych i obszary, w których można przykleić akcelerometr na obrabiarce (rys. 4). Niepewność wyznaczania sześciu współrzędnych uogólnionych jest zależna od niepewności wyznaczania przemieszczeń w punktach pomiarowych (czyli od wartości wielkości mierzonej) i odległości od środka układu współrzędnych, w którym będą wyznaczane. Czyli niepewność ta jest typowym składnikiem wynikającym z błędów metody pomiaru. Dodatkowo należy brać pod uwagę fakt, że fizyczne mocowanie czujników na obrabiarce można wykonać ze skończoną dokładnością. Dlatego na potrzeby analizy niepewności przyjęto, że można je mocować w przyjętym układzie współrzędnych z maksymalnym błędem granicznym ±2mm. Badając wpływ liczby czujników na dokładność wyznaczania przemieszczeń uogólnionych, można wykazać, że niepewność ich wyznaczania może być mniejsza od niepewności pomiaru przemieszczeń w punktach pomiarowych. Jest to efektem korzystnego uśredniania. Przykładowo dla sześciu czujników mierzących z niepewnością ±5m niepewność wyznaczenia współrzędnych uogólnionych na powierzchni badanej bryły w najgorszym przypadku wynosi dla przemieszczeń translacyjnych mniej od ±8m i rotacyjnych mniej od 15rad. Po zwiększeniu liczby czujników do dziewięciu niepewności te zmniejszają się odpowiednio do ±4m dla translacyjnych oraz do ±10rad dla przemieszczeń rotacyjnych. 4. ŹRÓDŁA NIEPEWNOŚCI POMIARU SIŁY Rys. 4. Widok powierzchni na obrabiarce, na których możliwym jest mocowanie akcelerometrów podczas pomiaru przemieszczeń wrzeciennika Siłownik pneumatyczny generujący periodyczną siłę z dominującą składową harmoniczną o regulowanej amplitudzie montowano za pośrednictwem przegubów kulistych do stołu obrabiarki z jednej oraz oprawki narzędziowej z drugiej strony. Taki sposób mocowania eliminuje powstawanie momentów gnących. Widoczny na rys. 6 sposób pozycjonowania siłownika umożliwia zrzutowanie siły wymuszającej na trzy kierunki osi obrabiarki. Umożliwia to z jednego zamocowania wykonanie pomiarów dla trzech kierunków. Jednak należy mieć świadomość, że takie mocowanie wprowadza do pomiaru sił na kierunkach osi obrabiarki źródło niepewności wyznaczania kosinusów kierunkowych. Do analizy niepewności, prezentowanej w dalszej części artykułu, przyjęto maksymalny błąd graniczny wysięgów siłownika na kierunkach osi posuwowych na poziomie ±2mm. Rys. 5. Widok akcelerometrów (trzech z sześciu) montowanych na wrzecienniku obrabiarki w punktach zapewniających minimalną niepewność wyznaczania przemieszczeń uogólnionych w punkcie przyłożenia siły Rys. 6. Widok siłownika i siłomierza oraz układ współrzędnych, w którym dokonano rzutowania siły na kierunki osi obrabiarki 71
NIEPEWNOŚĆ WYZNACZANIA SZTYWNOŚCI STATYCZNEJ OBRABIAREK... Kolejne składowe to tensometryczny jednoosiowy siłomierz o zakresie FS=±1000N, stałej mostka 1,49±2%, błędach liniowości ±0,108%FS, histerezy ±0,121%FS, zera ±0,6%FS i pełzaniu ±0,071%FS/10K. Siłomierz zasilano napięciem 5V z dokładnością ±0,1%, błędem zera ±5mV i pełzaniem ±0,01%/K. Wzmacniacz napięcia mierzonego na mostku tensometrycznym posiadał stałą wzmocnienia 400 z dokładnością ±0,2%, liniowością 0,2%FS i pełzaniem 300ppm/K. Do akwizycji sygnału napięciowego siłomierza użęto karty NI4499 o maksymalnym błędzie granicznym wzmocnienia ±0,5% i błędu zera ±500V. 5. NIEPEWNOŚĆ WYZNACZANIA SZTYWNOŚCI STATYCZNEJ OBRABIARKI ŚREDNIEJ WIELKOŚCI - PRZYKŁAD Dla zobrazowania przedmiotowej metody jako przykład przedstawiono wyniki pomiarów typowej obrabiarki średniej wielkości (zakres przesuwu najdłuższej osi mniej od 1m). Mierzono przyśpieszenia wrzeciennika i stołu obrabiarki wynikające z generowania periodycznie zmiennej siły (z dominującą od zerowo tętniącą harmoniką o częstotliwości 10Hz) siłownikiem pneumatycznym widocznym na rys. 5. Akcelerometry rozmieszczono na badanych bryłach zgodnie z procedurą przedstawioną uprzednio. Przebiegi zmierzonych przyśpieszeń estymowano szeregami harmonicznymi zgodnie z procedurą przedstawioną w p. 2. W wyniku przeprowadzenia pomiarów wyznaczono charakterystyki siła-przemieszczenie (rys. 7). Siłę rzutowano na kierunki osi posuwowych badanej maszyny i wyznaczono na tych kierunkach przemieszczenia uogólnione wywołane działaniem tej siły. Współczynnik sztywności statycznej obrabiarki na poszczególnych kierunkach rozumiany jest tutaj jako współczynnik kierunkowy prostej na charakterystyce siłaprzemieszczenie. Rys. 7. Przykład charakterystyki siła-przemieszczenie otrzymanej dla obrabiarki średniej wielkości Obliczenie niepewności wyznaczania wskaźników sztywności przeprowadzono metodą Monte Carlo [5]. W procesie randomizacji (10000 powtórzeń) wielkości wejściowych przyjęto założenie, że zakres zmienności wszystkich niezależnych źródeł niepewności można scharakteryzować rozkładem prostokątnym. Dla współczynnika rozszerzenia k=2 otrzymano wskaźniki sztywności wraz z ich niepewnościami: kx=19,0±2,2, ky=23,1±2,9, kz=30,1±5,9 N/m. Porównując otrzymane wartości,widać, że posiadają wspólne obszary w zakresie niepewności. Czyli nie można wykazać w tym przypadku istotnych różnic pomiędzy wartościami wskaźników sztywności wyznaczonymi dla różnych kierunków osi posuwowych. W celu sprawdzenia istotności wpływu poszczególnych źródeł niepewności na niepewność rozszerzoną wskaźników sztywności wyznaczono budżet niepewności [6] - Tabela 1. Tabela 1. Budżet niepewności wyznaczania współczynników sztywności statycznej obrabiarki średniej wielkości z użyciem akcelerometrów, siłomierza tensometrycznego i siłownika pneumatycznego (wartości w %) W przedstawionym przykładzie najsłabszym ogniwem, ze względu na udział wnoszony do niepewności wyznaczania wskaźników sztywności statycznej obrabiarek średniej wielkości jest składowa, której wartość wynika z metody przeliczania sygnałów przyśpieszenia na przemieszczenia (blisko 60% udziału w całkowitym budżecie niepewności). Udział ten łatwo jest zmniejszyć przez zastosowanie większej liczby akcelerometrów w pomiarach. Stosując ich dziewięć zamiast sześciu oraz rozmieszczając je z dokładnością do ±1 zamiast ±2mm, uzyskano zmniejszenie niepewności rozszerzonej odpowiednio o 32% dla kx, 45% dla ky oraz 25% dla kz. Udział niepewności pochodzący od dokładności pozycjonowania każdego akcelerometru na kierunku, w którym mierzy on przyśpieszenie, liniowości i histerezy siłomierza, stabilności zasilania oraz charakterystyk wzmacniacza siłomierza jest nieistotny, bo rozszerzona niepewność wskaźników sztywności wyznaczona z pominięciem tych składowych zmalałaby nie więcej od 2%. Dlatego w budżetowaniu można pominąć wymienione uprzednio składowe bez ryzyka istotnego niedoszacowania przedmiotowej niepewności. 72
Paweł Majda, Mirosław Pajor 6. PODSUMOWANIE Ze względu na niepewność wyznaczania sztywności obrabiarek średniej wielkości najsłabszym ogniwem przedstawionego systemu pomiarowego jest sposób wyznaczania przebiegów czasowych przemieszczeń ze wskazań akcelerometrów. Skutecznym i łatwym w praktycznej realizacji sposobem minimalizacji wpływu tej wady na niepewność jest zwiększanie liczby akcele- na badanej rometrów oraz sposobu ich rozmieszczenia bryle. Jako perspektywę rozwijania metody w celu poprawienia dokładności wyznaczanych wielkości godnym uwagi wydaje się sprawdzenie innych postaci szeregów harmopracy. nicznych niż rozpatrywany w tej W przedstawionym przykładzie niepewność rozsze- sztywności typowej rzona wyznaczania wskaźnikóww obrabiarki średniej wielkości osiągnęła wartości mniejsze niż 10% wartości rozpatrywanej wielkości. Wynik ten można uznać za zadowalający, bo pozwolił wykazać istotność różnic wartości wskaźników sztywności na rozpatrywanych kierunkach (tj. wzdłuż osi posuwowych obrabiarki). Prace realizowane były w ramach projektu INNOTECH-K3/IN3/13/226352/NCBR/14 finansowanego przez NCBiR; Uniwersalne, wysokowydajne 5 osiowe centrum obróbkowe ze stołem uchylno obrotowym Literatura 1. Kosmol J., Śliwka J., Kaźmierczak M.: Doświadczalne wyznaczanie sztywności obrabiarek metodą dynamiczną: obrabiarki sterowane numerycznie i programowanie operacji w technikach wytwarzania. Radom: Wyd. Pol. Ra- 3. Śliwka J.: Identyfikacja sztywności statycznej obrabiarek ciężkich w warunkach przemysłowych. Gliwice: Wyd. domskiej, 2009, s. 76-89. 2. Patent nr 193916 udz. 201.10.2006 pt. Sposób wyznaczania sztywności statycznej obrabiarek. Pol. Śl., 2013. 4. Skrodzewicz J.: Estimation of the nonlinear mathematical model of the contact joint based on experimental data. "WIT Transactions on Engineering Sciences" 1999, Vol. 24, DOI 10.2495/CON990511, p. 10. 5. Sadek J.: Dokładność pomiarów współrzędnościowych. Kraków: Wyd. Pol.Krak., 2011. 6. Jakubiec W., Zator S., Majda P.: Metrologia. Warszawa: PWE, 2014. 73