Sumy kolejnych bikwadratów Znane są następujące dwie równości Andrzej Nowicki 18 maja 2015, wersja bi-12 3 2 + 4 2 = 5 2 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3. Czy istnieją podobnego typu równości dla czwartych potęg? Czy suma co najmniej dwóch kolejnych bikwadratów może być bikwadratem? Innymi słowy, czy istnieje taka liczba naturalna n 2, że równanie ( ) x 4 + (x + 1) 4 + + (x + n 1) 4 = y 4 ma co najmniej jedno rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych? W niniejszym artykule próbujemy podać odpowiedzi na te pytania. Łatwo można wykazać, że równanie ( ) nie ma rozwiązań, gdy n = 2, 3, 4, 5 oraz 6. Dla n = 2 takich rozwiązań nie ma, gdyż dobrze wiadomo, że równanie x 4 +y 4 = z 4 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych. Resztą z dzielenia bikwadratu przez 4 może być tylko 0 lub 1. Bikwadrat liczby parzystej ma resztę równą 0, a bikwadrat liczby nieparzystej ma resztę 1. Wśród czterech kolejnych bikwadratów są zawsze dwie liczby parzyste oraz dwie liczby nieparzyste. Reszta z dzielenia przez 4 sumy cztrech kolejnych bikwadratów jest więc zawsze równa 2. Zatem suma czterech kolejnych bikwadratów nigdy nie jest bikwadratem. Równanie ( ) nie ma więc rozwiązań w przypadku, gdy n = 4. Badanie reszt z dzielenia przez 4 szybko przekonuje nas, że równanie ( ) nie ma rozwiązań dla n = 5 oraz n = 6. Badając w ten sam sposób reszty z dzielenia przez 3 z łatwością dochodzimy do wniosku, że równanie ( ) nie ma również rozwiązań w przypadku gdy n = 3. Oznaczmy przez Ω zbiór wszystkich takich liczb naturalnych n 2, dla których potrafimy udowodnić, że równanie ( ) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych. Z tego co przed chwilą stwierdziliśmy wynika, że liczby 2, 3, 4, 5, 6 należą do zbioru Ω. Hipoteza 0.1. Każda liczba naturalna większa od 1 należy do zbioru Ω. 1 Wzory, oznaczenia i początkowe własności Niech s k (n) = 1 k + 2 k + + n k. Mamy w szczególności s 1 (n) = 1 + 2 + + n = 1 n(n + 1), 2 s 2 (n) = 1 2 + 2 2 + + n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), 6 s 3 (n) = 1 3 + 2 3 + + n 3 = 1 4 n2 (n + 1) 2.
W szczególny sposób interesować nas będą liczby s 4 (n). Wiemy, że s 4 (n) = 1 4 + 2 4 + + n 4 = 1 30 n(n + 1)(2n + 1)(3n3 + 3n 1). Początkowe liczby s 4 (n): s 4 (1) = 1 = 1, s 4 (2) = 17 = 17, s 4 (3) = 98 = 2 7 2, s 4 (4) = 354 = 2 3 59, s 4 (5) = 979 = 11 89, s 4 (6) = 2275 = 5 2 7 13, s 4 (7) = 4676 = 2 2 7 167, s 4 (8) = 8772 = 2 2 3 17 43, s 4 (9) = 15333 = 3 19 269, s 4 (10) = 25333 = 7 2 11 47, s 4 (21) = 917147 = 7 11 43 277, s 4 (22) = 1151403 = 3 11 23 37 41, s 4 (23) = 1431244 = 2 2 23 47 331, s 4 (24) = 1763020 = 2 2 5 7 3 257, s 4 (25) = 2153645 = 5 13 17 1949, s 4 (26) = 2610621 = 3 2 13 53 421, s 4 (27) = 3142062 = 2 3 2 7 11 2267, s 4 (28) = 3756718 = 2 7 19 29 487, s 4 (29) = 4463999 = 29 59 2609, s 4 (30) = 5273999 = 31 61 2789, s 4 (11) = 39974 = 2 11 23 79, s 4 (12) = 60710 = 2 5 13 467, s 4 (13) = 89271 = 3 2 7 13 109, s 4 (14) = 127687 = 7 17 29 37, s 4 (15) = 178312 = 2 3 31 719, s 4 (16) = 243848 = 2 3 11 17 163, s 4 (17) = 327369 = 3 7 2 17 131, s 4 (18) = 432345 = 3 5 19 37 41, s 4 (19) = 562666 = 2 13 17 19 67, s 4 (20) = 722666 = 2 7 41 1259, s 4 (31) = 6197520 = 2 4 3 5 7 2 17 31, s 4 (32) = 7246096 = 2 4 11 13 3167, s 4 (33) = 8432017 = 11 17 67 673, s 4 (34) = 9768353 = 7 17 23 43 83, s 4 (35) = 11268978 = 2 3 7 71 3779, s 4 (36) = 12948594 = 2 3 17 37 47 73, s 4 (37) = 14822755 = 5 19 37 4217, s 4 (38) = 16907891 = 7 2 11 13 19 127, s 4 (39) = 19221332 = 2 2 13 79 4679, s 4 (40) = 21781332 = 2 2 3 3 41 4919, W [1] znajdziemy pewne tożsamości, w których te liczby występują. Mamy na przykład równości s 4 = 1s 5 2(6s 1 1) oraz s 4 (n) = ( ) ( ) ( ) ( ) n+1 5 + 11 n+2 5 + 11 n+3 5 + n+4 5. Oznaczmy przez f n (x) sumę n kolejnych bikwadratów począwszy od x 4 i kończywszy na (x + n 1) 4. Zapamiętajmy: f n (x) = x 4 + (x + 1) 4 + (x + 2) 4 + + (x + n 1) 4. Początkowe przykłady: f 1 (x) = x 4, f 2 (x) = 2x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1, f 3 (x) = 3x 4 + 12x 3 + 30x 2 + 36x + 17, f 4 (x) = 4x 4 + 24x 3 + 84x 2 + 144x + 98, f 5 (x) = 5x 4 + 40x 3 + 180x 2 + 400x + 354, f 6 (x) = 6x 4 + 60x 3 + 330x 2 + 900x + 979, f 7 (x) = 7x 4 + 84x 3 + 546x 2 + 1764x 1 + 2275, f 8 (x) = 8x 4 + 112x 3 + 840x 2 + 3136x 1 + 4676, f 9 (x) = 9x 4 + 144x 3 + 1224x 2 + 5184x 1 + 8772. 2
Stwierdzenie 1.1. Korzystając ze znanych wzorów, łatwo sprawdzić, że f n (x) = w 4 x 4 + w 3 x 3 + w 2 x 2 + w 1 x 1 + w 0, gdzie w 4 = n, w 3 = 2n(n 1) = 4s 1 (n 1), w 2 = n(n 1)(2n 1) = 6s 2 (n 1), w 1 = n 2 (n 1) 2 = 4s 3 (n 1), w 0 = 1 30 n(n 1)(2n 1)(3n2 3n 1) = s 4 (n 1). Dla każdej liczby naturalnej m 2 przez B m oznaczać będziemy zbiór wszystkich bikwadratów w pierścieniu Z m. Innymi słowy, B m jest zbiorem wszystkich takich liczb całkowitych x z przedziału [0, m 1], dla których istnieje liczba całkowita y taka, że x y 4 (mod m). Przykłady: B 2 = {0, 1}, B 3 = {0, 1}, B 7 := {0, 1, 2, 4}, B 13 = {0, 1, 3, 9}, B 17 = {0, 1, 4, 13, 16}, B 19 = {0, 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17}, B 25 = {0, 1, 6, 11, 16, 21}, B 49 = {0, 1, 2, 4, 8, 9, 11, 15, 16, 18, 22, 23, 25, 29, 30, 32, 36, 37, 39, 43, 44, 46}. Zbiory B 7 1, B 7 2,..., B 7 5 Tabela 1.2. Zbiory B m dla m = 11 s. mają odpowiednio 4, 22, 148, 1030, 7207 elementów. s bikwadraty lb 1 0, 1, 3, 4, 5, 9 6 2 0, 1, 3, 4, 5, 9, 12, 14, 15, 16, 20, 23, 25, 26, 27, 31, 34, 36, 37, 38, 42, 45, 47, 48, 49, 53, 56, 58, 59, 60, 64, 67, 69, 70, 71, 75, 78, 80, 81, 82, 86, 89, 91, 92, 93, 97, 100, 102, 103, 104, 108, 111, 113, 114, 115, 119 56 s lb 3 606 4 6656 2 Liczby a(m) i b(m) Załóżmy, że m 1 jest liczbą naturalną i oznaczmy przez r resztę z dzielenia przez m liczby s 4 (m) = 1 30 m(m + 1)(2m + 1)(3m2 + 3m 1). Wprowadźmy nowe oznaczenia a(m) = r, gdy r > 0, m, gdy r = 0. ( ) b(m) = nww m, a(m) a(m) m. Jest oczywiste, że jeśli nwd(m, 30) = 1, to a(m) = b(m) = m. W szczególności a(1) = b(1) = 1. 3
Tabela 2.1. Liczby a(m) oraz b(m) dla 2 m 100 i nwd(m, 30) > 1. m a b 2 1 4 3 2 9 4 2 8 5 4 25 6 1 36 8 4 16 m a b 9 6 27 10 3 100 12 2 72 14 7 38 15 7 25 16 8 32 m a b 18 3 108 20 6 200 21 14 63 22 11 44 24 4 144 25 20 125 m a b 26 13 52 27 18 81 28 14 56 30 29 900 32 16 64 33 22 99 m a b 34 17 68 35 28 175 36 6 216 38 19 76 39 26 117 40 12 400 Spójrzmy na wielomian f m (x). Wszystkie współczynniki w 1, w 2, w 3 oraz w 4 są podzielne przez m (patrz Stwierdzenie 1.1). Ponadto, w 0 = s 4 (m 1) = s 4 (m) m 4, a więc w 0 s 4 (m) r a(m) (mod m). Mamy zatem Stwierdzenie 2.2. Dla każdej liczby całkowitej x zachodzi kongruencja f m (x) a(m) (mod m). Innymi słowy, każda suma m kolejnych bikwadratów przystaje do a(m) modulo m. Stąd natychmiast wynika następne stwierdzenie. Stwierdzenie 2.3. Dla dowolnej liczby naturalnej k, każda suma km kolejnych bikwadratów przystaje do k a(m) modulo m. Mamy również Stwierdzenie 2.4. Każda suma b(m) kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Dowód. Przez [u, v] oznaczamy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb u, v. Niech w = [m, a(m)]. Wtedy w = q a(m) dla pewnej liczby naturalnej q. Wtedy b(m) = w m = qm. Dowolna suma b(m) kolejnych bikwadratów (na mocy Stwierdzenia 2.3) przystaje więc do q a(m) modulo m, czyli przystaje do w. Ale m w, więc a(m) rozważana suma jest podzielna przez m. Wykażemy teraz, że b(m) jest najmniejszą taką liczbą naturalną n, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. W tym celu udowodnimy najpierw kilka lematów. Lemat 2.5. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Wtedy każda liczba postaci 4x 3 n + 6x 2 n 2 + 4xn 3 + n 4, gdzie x jest dowolną liczbą naturalną, jest podzielna przez m. W szczególności n 4 jest podzielne przez m. 4
Dowód. Niech x będzie dowolną liczbą naturalną. Z założenia wynika, że liczby x 4 + (x + 1) 4 + + (x + n 1) 4 oraz (x + 1) 4 + (x + 2) 4 + + (x + n) 4 są podzielne przez m. Różnica tych liczb (od drugiej liczby odejmujemy pierwszą) jest więc również podzielna przez m. Różnicą tą jest 4x 3 n + 6x 2 n 2 + 4xn 3 + n 4. Lemat 2.6. Niech m = 2 s, gdzie s 1. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Wtedy n jest podzielne przez 2 s+1. Dowód. Wiemy (patrz Lemat 2.5), że m n 4. Liczba n jest więc parzysta. Niech n = 2 t n 0, gdzie t 1, 2 n 0. Z założenia wiemy również, że każda liczba postaci f n (x), gdzie x N, jest podzielna przez 2 s. W szczególności f n (2 s ) jest podzielne przez 2 s i to implikuje, że wyraz wolny w 0, wielomianu f n (x), jest podzielny przez 2 s. Ten wyraz wolny jest równy 2 t 1 v, gdzie v = 1 15 n 0(n 1)(2n 1)(3n 2 3n 1). Zauważmy, że v jest nieparzystą liczbą całkowitą. Zatem t 1 s, czyli t s + 1. Ale n = 2 t n 0, więc n jest podzielne przez 2 s+1. Lemat 2.7. Załóżmy, że m jest nieparzyste. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Wtedy n jest podzielne przez m. Dowód. Z Lematu 2.5 wiemy, że liczby n 4 oraz 4n + 6n 2 + 4n 3 są podzielne przez m. Przez m jest więc podzielna liczba n 2 (4n + 6n 2 + 4n 3 ) = 4n 3 + 6n 4 + 4n 5 i stąd wynika, że m n 3 (ponieważ m n 2 oraz nwd(4, m) = 1). Zatem m 4n + 6n 2, więc m 4n 2 + 6n 3 = n(4n + 6n 2 ), a zatem n n 2. To dalej implikuje, że m 4n i stąd wynika, że n jest podzielne przez m (ponieważ nwd(4, m) = 1). Z powyższych dwóch lematów wynika następny lemat. Lemat 2.8. Jeśli n jest taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. to n jest również podzielne przez m. Dowód. Niech m = 2 s m 0, gdzie s 0 oraz 2 m 0. Załóżmy, że n jest taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Jeśli s = 0, to teza wynika z Lematu 2.7. Załóżmy, że s 1. Wtedy n jest podzielne przez m 0 (na mocy Lematu 2.7) i jest podzielne przez 2 s (na mocy Lematu 2.6). Ale liczby 2 s i m 0 są względnie pierwsze, więc n jest podzielne przez 2 s m 0 = m. Teraz możemy udowodnić zapowiedzianą wcześniej własność liczby b(m). Stwierdzenie 2.9. Liczba b(m) jest najmniejszą taką liczbą naturalną n, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. 5
Dowód. Przypomnijmy najpierw (patrz Stwierdzenie 2.4), że każda suma b(m) kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m i przypuśćmy, że n < b(m). Wiemy (Lemat 2.8), że m n. Niech n = vm, gdzie v jest pewną liczbą naturalną, Niech w = [m, a(m)]. Niech w = q a(m), gdzie q N. Wtedy b(m) = w m = qm. a(m) Ale vm = n < b(m) = qm, więc v < q. Rozpatrzmy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb m oraz v a(m). Oznaczmy: u = [m, v a(m)]. Liczba v a(m) jest, na mocy założenia oraz Stwierdzenia 2.3, podzielna przez m. Zatem u = v a(m). Mamy więc: m u oraz a(m) u. Zatem w u, czyli q a(m) = w u = v a(m), a zatem q v. W szczególności q v, wbrew temu, że q > v. Przypuszczenie n < b(m) prowadzi więc do sprzeczności. 3 Liczby pierwsze typu alfa Załóżmy, że p jest liczbą pierwszą większą od 5 i załóżmy, że istnieje p kolejnych bikwadratów, których suma jest bikwadratem. Wtedy równanie f p (x) = y 4 ma rozwiązanie (x, y) w zbiorze liczb naturalnych. Niech f p (x) = w 4 x 4 + w 3 x 3 + w 2 x 2 + w 1 x 1 + w 0. Ponieważ nwd(30, p) = 1, więc ze Stwierdzenia 1.1 wynika, że wszystkie współczynniki w 0, w 1,..., w 4 są podzielne przez p. Liczba f p (x) jest więc podzielna przez p. Liczba y 4 jest zatem również podzielna przez p, a zatem f p (x) jest podzielne przez p 4. Modulo p 2 mamy: w 4 p, w 3 = 2p(p 1) 2p, w 2 = p(p 1)(2p 1) p(2p 1) p, w 1 = p 2 (p 1) p 0, w 0 = 1 p(p 1)(2p 30 1)(3p2 3p 1) t( p)(2p 1)(3p 2 3p 1) t( p)(2p 1)(3p 2 3p 1) tp(3p 2 3p 1) tp, gdzie t jest taką liczbą naturalną mniejszą od p 2, że 30t 1 (mod p 2 ). Ponieważ liczby 30 i p 2 są względnie pierwsze, więc jest jasne, że takie t istnieje. Niech f p (x) oznacza liczbę f p (x) modulo p 2. Oczywiście f p (x) = 0 (gdyż f p (x) jest podzielne przez p 4 ). Mamy zatem kongruencję p (x 4 2x 3 + x 2 t) 0 (mod p 2 ), z której otrzymujemy kongruencję x 4 2x 3 + x 2 t 0 (mod p). Zauważmy, że x 4 2x 3 + x 2 = x 2 (x 1) 2. Mamy więc kongruencję x 2 (x 1) 2 w (mod p), gdzie w jest resztą z dzielenia liczby t orzez p. Zauważmy, że w jest taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30w 1 (mod p). Wykazaliśmy zatem 6
Stwierdzenie 3.1. Niech p 7 będzie liczbą pierwszą i niech w będzie taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30w 1 (mod p). Niech x będzie liczbą naturalną. Jeśli suma p kolejnych bikwadratów x 4, (x + 1) 4,..., (x + p 1) 4 jest bikwadratem, to x 2 (x 1) 2 t (mod p). Niech p 7 będzie liczbą pierwszą i niech w będzie taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30w 1 (mod p). Mówić będziemy, że liczba pierwsza p jest typu alfa jeśli kongruencja x 2 (x 1) 2 w (mod p) nie ma rozwiązań. Udowodniliśmy zatem: Stwierdzenie 3.2. Każda liczba pierwsza typu alfa należy do zbioru Ω. Teraz udowodnimy Twierdzenie 3.3. Jeśli p jest liczbą pierwszą typu alfa, to każda liczba postaci należy do zbioru Ω. n 0 p i, gdzie i {1, 2, 3}, p n 0, Dowód. Niech n = n 0 p i, gdzie i {1, 2, 3} oraz n 0 jest liczbą naturalną niepodzielną przez p. Przypuśćmy, że para liczb naturalnych (x, y) jest rozwiązaniem równania f n (x) = y 4. Wtedy liczba f n (x) jest podzielna przez p 4, więc prawdziwa jest kongruencja f n (x) 0 (mod p i+1 ), która na mocy Stwierdzenia 1.1 jest postaci n 0 p i ( x 4 2x 3 + x 2 t ) 0 (mod p i+1 ), gdzie t = 1 30 nodulo pi+1, tzn. gdzie t jest taką liczbą naturalną mniejszą od p i+1, że 30t 1 (mod p i+1 ). Ale nwd(n 0, p i+1 ) = 1, więc mamy wtedy kongruencję x 2 (x 1) 2 w (mod p), w której w jest taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30t 1 (mod p). Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że p jest liczbą pierwszą typu alfa. Powyższe twierdzenie można jeszcze nieco uogólnić. Zapis v p (n) = k oznacza, że p k n oraz p k+1 n. Dla przykładu v 5 (50) = 2, v 7 (20) = 0. Twierdzenie 3.4. Niech p będzie liczbą pierwszą typu alfa i niech n będzie liczbą naturalną. Jeżeli liczba v p (n) nie jest podzielna przez 4, to n należy do zbioru Ω. Dowód. Niech s = v p (n) i załóżmy, że 4 s. Wtedy s 1 oraz n = n 0 p s, gdzie n 0 jest liczbą naturalną niepodzielną przez p. Przypuśćmy, że para liczb naturalnych (x, y) jest rozwiązaniem równania f n (x) = y 4. Wtedy liczba f n (x) jest podzielna przez p s, a zatem y 4 jest podzielne przez p s. Ale 4 s, więc y 4 jest podzielne przez p s+1 i mamy kongruencję f n (x) 0 (mod p s+1 ), która na mocy Stwierdzenia 1.1 jest postaci n 0 p s ( x 4 2x 3 + x 2 t ) 0 (mod p s+1 ), 7
gdzie t = 1 30 nodulo ps+1, tzn. gdzie t jest taką liczbą naturalną mniejszą od p s+1, że 30t 1 (mod p s+1 ). Ale nwd(n 0, p s+1 ) = 1, więc mamy wtedy kongruencję x 2 (x 1) 2 w (mod p), w której w jest taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30t 1 (mod p). Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że p jest liczbą pierwszą typu alfa. Z tego twierdzenia w szczególności wynika, że jeśli p jest liczbą pierwszą typu alfa, to każda liczba naturalna podzielna przez p i niepodzielna przez p 4 należy do zbioru Ω. To samo dotyczy liczb naturalnych podzielnych przez p 5 i niepodzielnych przez p 8. Spójrzmy na kilka przykładów. Przykład 3.5. Liczba pierwsza 7 nie jest typu α. Dowód. Mamy 4 30 1 (mod 7), a więc w tym przypadku w = 4. Kongruencja x 2 (x 1) 2 4 (mod 7) ma rozwiązanie; na przykład x = 2. Liczba pierwsza 7 nie jest więc typu alfa. Przykład 3.6. Liczba pierwsza 11 jest typu α. Dowód. Mamy 7 30 7 8 1 (mod 11), a więc w tym przypadku w = 7. Badamy kongruencję x 2 (x 1) 2 7 (mod 11). Niech g(x) = x 2 (x 1) 2. Modulo 11 mamy: g(0) 0, g(1) 0, g(2) 4, g(3) 1, g(4) 1, g(5) 4, g(6) 9, g(7) 4, g(8) 1, g(9) 3, g(10) 4. Badana kongruencja nie ma więc rozwiązań. Zatem 11 jest liczbą pierwszą typu alfa. Przykład 3.7. Wszystkie liczby pierwsze typu alfa mniejsze od 100 : Jest ich 14. 11, 23, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 89, 97. Przykład 3.8. Wszystkie liczby pierwsze typu alfa mniejsze od 1000 : 11, 23, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 89, 97, 103, 107, 109, 113, 131, 137, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 193, 197, 199, 211, 229, 233, 251, 263, 271, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 367, 383, 397, 401, 419, 421, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 479, 491, 503, 521, 523, 541, 547, 557, 569, 571, 577, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 709, 733, 743, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 829, 839, 853, 863, 881, 883, 887, 907, 919, 929, 937, 941, 971, 977, 983, 991, 997. Jest ich 104. 8
Liczb pierwszych typu alfa mniejszych od 10 4 jest 771. Przypomnijmy jeszcze raz, że liczba pierwsza p 7 jest typu alfa, jeśli kongruencja x 2 (x 1) 2 w (mod p) nie ma rozwiązań. Tutaj w jest taką liczbą naturalną, że w < p oraz 30w 1 (mod p). Z tej definicji wynika w szczególności, że jeśli symbol Legendrea ( ) w p jest równy 1, to p jest liczbą pierwszą typu alfa. Zauważmy, że 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 p = 30w p = 30 w p p, a zatem ( ) ( ) w p = 30 p. Wykazaliśmy więc Stwierdzenie 3.9. Niech p 7 będzie liczbą pierwszą. Jeśli ( ) 30 p = 1, to p jest liczbą pierwszą typu alfa. Implikacja w przeciwnym kierunku nie musi zachodzić. Istnieją liczby pierwsze p typu alfa z symbolem ( ) 30 p równym 1. Takich liczb pierwszych jest dużo. Najmniejszą z nich jest p = 103. Zanotujmy znane fakty, które mogą się w przyszłości okazać przydatne. Stwierdzenie 3.10. Zakładamy, że p jest liczbą pierwszą większą od 5. (1) ( ) 2 p = ( 1) (p 2 1)/8 i stąd wynika, że ( ) 2 p = 1 p = 8k ± 1. (2) ( ) 3 p = 1 p = 12k ± 1. (3) ( ) 5 p = 1 p = 10k ± 1. (4) ( ) 6 p = 1 p = 24k + r, gdzie r {1, 5, 19, 23}. 4 Zbiory E(m) Niech m 2 będzie liczbą naturalną. Przez E(m) oznaczać będziemy zbiór tych wszystkich liczb naturalnych n, dla których kongruencja (e) f n (x) y 4 (mod m) nie ma rozwiązań. Z tego co napisaliśmy w rozdziale wstępnym wynika, że liczby 4, 5, 6 należą do zbioru E(4), a liczba 3 należy do zbioru E(3). Wiemy, że jeśli n = b(m), to dla każdej liczby całkowitej x zachodzi kongruencja f n (x) 0 (mod m). Zatem liczba b(m) nie należy do zbioru E(m) Jeśli r należy do E(m), to każda liczba naturalna postaci k b(m) + r również należy do zbioru E(m). Założyliśmy, że m 2. To założenie nie jest potrzebne. Dla m = 1 mamy E(m) =. Przez E 0 (m) oznaczać będziemy zbiór tych wszystkich liczb naturalnych ze zbioru E(m), które są mniejsze od b(m). Mamy na przykład E 0 (2) =, E 0 (4) = {4, 5, 6}, E 0 (3) = {3}, E 0 (6) = {3, 12, 21, 30}. 9
E 0 (28) = {4, 5, 6, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 28, 29, 30, 36, 37, 38, 44, 45, 46, 52, 53, 54}. Później podamy liczne inne przykłady. Jest jasne, że jeśli E 0 (m) =, to E(m) =. Ponadto, { } E(m) = r + k b(m); k 0, r E 0 (m). W szczególności jeśli n 1 n 2 (mod b(m)), to n 1 E(m) n 2 E(m). Zanotujmy kilka podstawowych własności zbiorów postaci E(m). Stwierdzenie 4.1. Niech d, m N. Jeśli d m, to E(d) E(m). Stwierdzenie to jest oczywiste. Wynika natychmiast z definicji zbioru E(m). Stwierdzenie 4.2. Jeśli m 1, m 2 są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to E(m 1 m 2 ) = E(m 1 ) E(m 2 ). Dowód. Inkluzja wynika ze Stwierdzenia 4.1. Udowodnimy inkluzję w przeciwnym kierunku. Załóżmy, że n E(m 1 m 2 ) i przypuśćmy, że n E(m 1 ) E(m 2 ). Wtedy n E(m 1 ) oraz n E(m 2 ). Kongruencje f n (x) y 4 (mod m 1 ) oraz f n (x) y 4 (mod m 2 ) mają więc rozwiązania; odpowiednio (x 1, y 1 ) oraz (x 2, y 2 ). Niech x, y będą takimi liczbami całkowitymi, że { x x1 (mod m 1 ) x x 2 (mod m 2 ) oraz { y y1 (mod m 1 ) y y 2 (mod m 2 ). Takie liczby całkowite istnieją na mocy twierdzenia chińskiego o resztach. Mamy wtedy f n (x) f n (x 1 ) y 4 1 y 4 (mod m 1 ), f n (x) f n (x 2 ) y 4 2 y 4 (mod m 2 ), czyli m 1 f n (x) y 4 oraz m 2 f n (x) y 4. Ale nwd(m 1, m 2 ) = 1, więc m 1 m 2 f n (x) y 4 i mamy f n (x) y 4 (mod m 1 m 2 ) wbrew temu, że n E(m 1 m 2 ). Zanotujmy również następujące oczywiste stwierdzenie. Stwierdzenie 4.3. Niech n 2 będzie liczbą naturalną. Jeśli istnueje taka liczba naturalna m, że n E(m), to n należy do zbioru Ω. Czy dla każdej liczby naturalnej n 3 istnieje co najmniej jedna taka liczba naturalna m, że n należy do zbioru E(m)? Dzisiaj (17.02.2015) wiem, że wszystkie liczby naturalne mniejsze od 481 mają rozważaną własność. Nie potrafię tego wykazać dla n = 481. Czy liczba 481 należy do zbioru Ω? Następną liczbą tego typu jest n = 546. 10
5 Potęgi dwójki Tabela 5.1. Bikwadraty modulo m = 2 s. s bikwadraty lb 1 0, 1 2 2 0, 1 2 3 0, 1 2 4 0, 1 2 5 0, 1, 16, 17 4 6 0, 1, 16, 17, 33, 49 6 7 0, 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, 113 10 8 0, 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241 18 9 0, 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 256, 257, 272, 273, 289, 305, 321, 337, 353, 369, 385, 401, 417, 433, 449, 465, 481, 497 36 10 0, 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 256, 257, 272, 273, 289, 305, 321, 337, 353, 369, 385, 401, 417, 433, 449, 465, 481, 497, 513, 528, 529, 545, 561, 577, 593, 609, 625, 641, 657, 673, 689, 705, 721, 737, 753, 769, 784, 785, 801, 817, 833, 849, 865, 881, 897, 913, 929, 945, 961, 977, 993, 1009 70 s lb 11 138 12 274 13 548 14 1094 15 2186 16 4370 Tabela 5.2. Elementy zbiorów E 0 (2 s ). W drugiej kolumnie są liczby b(2 s ). s b elementy lb 1 4 0 2 8 4, 5, 6 3 3 16 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 11 4 32 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 27 5 64 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62 54 6 128 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 64, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126 111 Zbiory E 0 (2 7 ), E 0 (2 8 ), E 0 (2 9 ) oraz E 0 (2 10 ) mają odpowiednio 227, 457, 914 oraz 1831 elementów. Z tabeli tej dowiadujemy się na przykład, że każda liczba naturalna postaci 128k + 75 należy do zbioru Ω. Lemat 5.3. Dla każdej liczby naturalnej s, suma 2 s kolejnych bikwadratów przystaje do 2 s 1 modulo 2 s. 11
Dowód. Niech u = 0 4 + 1 4 + 2 4 + + (d 1) 4, gdzie d = 2 s. Jest oczywiste, że suma 2 s kolejnych bikwadratów przystaje zawsze do u modulo 2 s. Zauważmy, że u = 1 30 (d 1)d(2d 1)(3d2 3d 1) = 1 15 (2s 1) 2 s 1 ( 2 s+1 1 ) ( (3 2 2s 3 2 s 1 ), więc 15u ( 1)2 s 1 ( 1)( 1) = 2 s 1 2 s 1 (mod 2 s ). Niech c będzie liczbą całkowitą taką, że 15c 1 (mod 2 s ). Takie c istnieje gdzyċ liczby 15 i 2 s są względnie pierwsze. Oczywiście c jest nieparzyste; niech c = 2k + 1. Mamy więc i to kończy dowód. u c2 s 1 = (3k + 1)2 s 1 2 s 1 (mod 2 s ) Z tego lematu otrzymujemy natychmiast Stwierdzenie 5.4. Dla każdej liczby naturalnej s zachodzą równości a (2 s ) = 2 s 1, b (2 s ) = 2 s+1. Czy bikwadrat może przystawać do 2 s 1 modulo 2 s? Okazuje się, że tak się może zdarzyć. Dla s = 5 mamy 2 4 6 4 10 4 14 4 18 4 22 4 26 4 30 4 16 = 2 4 (mod 2 5 ). Dla s = 9 mamy podobnie: 4 4 12 4 20 4 508 4 256 = 2 8 (mod 2 9 ). Lemat 5.5. Jeśli s 1, to następujące dwa warunki są równoważne. (1) Liczba s jest postaci 4k + 1. (2) Istnieje liczba całkowita x taka, że x 4 2 s 1 (mod 2 s ). Dowód. (1) (2). Niech s = 4k + 1. Wtedy dla x = 2 k mamy x 4 2 4k = 2 s 1 (mod 2 s ). (2) (1). Załóżmy, że x 4 2 s 1 (mod 2 s ) dla pewnej liczby całkowitej x. Wtedy x 4 2 s 1 = 2 s a, gdzie a Z. Jeśli s = 1, to s jest postaci 4k + 1 i nie ma czego dowodzić. Niech więc s 2. Wtedy x jest parzyste; niech x = 2 k u, k 1, 2 u. Wtedy 2 4k u 4 2 s 1 = 2 s a i po podzieleniu przez 2 s 1 otrzymujemy równość 2 4k (s 1) u 4 1 = 2a. Ale u jest nieparzyste, więc 4k (s 1) = 0 i mamy s = 4k + 1. Z powyższych faktów otrzymujemy następujące dwa stwierdzenia. Stwierdzenie 5.6. Każda potęga dwójki postaci 2 s, gdzie s 1, s 1 (mod 4), należy do zbioru Ω. Stwierdzenie 5.7. Każda liczba postaci 2 s + k2 s+1, gdzie s 1, s 1 (mod 4) oraz k 0, należy do zbioru Ω. 12
Zauważmy, że 2 s + k2 s+1 = 2 s (2k + 1). Powyższe stwierdzenie można więc wysłowić w następujący sposób. Stwierdzenie 5.8. Niech n będzie liczbą naturalną i niech s = v 2 (n). Jeśli s 2 oraz s 1 (mod 4), to n należy do zbioru Ω. W szczególności każda liczba naturalna podzielna przez 4 i niepodzielna przez 32 należy do zbioru Ω. Każda liczba naturalna podzielna przez 64 i niepodzielna przez 512 należy do zbioru Ω. Czy liczby postaci 2 4k+1 również należą do zbioru Ω? Liczba 32 = 2 5 należy do Ω, gdyż każda liczba postaci 121k+32 należy do Ω. Liczba 512 = 2 9 należy do Ω, gdyż 512 = 81 6 + 26 i każda liczba postaci 81k + 26 należy do Ω. Liczba 8192 = 2 13 należy do Ω, gdyż 2 13 = 125 65 + 67 i każda liczba postaci 125k + 67 należy do Ω. W podobny sposób możemy, za pomocą Maple, wykazać, że pewne inne liczby postaci 2 4k+1 również należą do Ω. Otrzymane wyniki dla takich 2 s przedstawiają poniższe tabele. s bk + r 17 25k + 22 21 27k + 8 25 121k + 43 29 59 2 k + 3170 33 25k + 17 37 25k + 22 s bk + r 41 83 2 k + 4896 45 121k + 54 49 139k + 73 53 25k + 17 57 25k + 22 61 557k + 473 s bk + r 65 121k + 65 69 27k + 19 73 25k + 17 77 25k + 22 81 19 2 k + 284 85 121k + 76 s bk + r 89? 93 25k + 17 97 25k + 22 101? 6 Potęgi trójki Tabela 6.1. Bikwadraty modulo m = 3 s. s bikwadraty lb 1 0, 1 2 2 0, 1, 4, 7 4 3 0, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 10 4 0, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79 28 5 0, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 81, 82, 85, 88, 91, 94, 97, 100, 103, 106, 109, 112, 115, 118, 121, 124, 127, 130, 133, 136, 139, 142, 145, 148, 151, 154, 157, 160, 163, 166, 169, 172, 175, 178, 181, 184, 187, 190, 193, 196, 199, 202, 205, 208, 211, 214, 217, 220, 223, 226, 229, 232, 235, 238, 241 83 s lb 6 247 7 739 8 2215 9 6644 13
Tabela 6.2. Elementy zbiorów E 0 (3 s ). W drugiej kolumnie są liczby b(3 s ). s b elementy lb 1 9 3 1 2 27 3, 8, 9, 12, 17, 18, 21 7 3 81 3, 8, 9, 12, 17, 18, 21, 26, 27, 30, 35, 36, 39, 44, 45, 48, 53, 54, 57, 62, 63, 66, 71, 72, 75 25 4 243 3, 8, 9, 12, 17, 18, 21, 26, 27, 30, 35, 36, 39, 44, 45, 48, 53, 54, 57, 62, 63, 66, 71, 72, 75, 80, 81, 84, 89, 90, 93, 98, 99, 102, 107, 108, 111, 116, 117, 120, 125, 126, 129, 134, 135, 138, 143, 144, 147, 152, 153, 156, 161, 162, 165, 170, 171, 174, 179, 180, 183, 188, 189, 192, 197, 198, 201, 206, 207, 210, 215, 216, 219, 224, 225, 228, 233, 234, 237 79 Zbiory E 0 (3 5 ) oraz E 0 (3 6 ) mają odpowiednio 238 oraz 718 elementów. Z tabeli tej dowiadujemy się na przykład, że każda liczba naturalna postaci 81k + 57 należy do zbioru Ω. Lemat 6.3. Dla każdej liczby naturalnej s, suma 3 s kolejnych bikwadratów przystaje do 2 3 s 1 modulo 3 s. Dowód. Niech u = 0 4 + 1 4 + 2 4 + + (d 1) 4, gdzie d = 3 s. Jest oczywiste, że suma 3 s kolejnych bikwadratów przystaje zawsze do u modulo 3 s. Zauważmy, że u = 1 30 (d 1)d(2d 1)(3d2 3d 1) = 1 10 (3s 1) 3 s 1 (2 3 s 1) ( (3 2s+1 3 s+1 1 ), więc 10u ( 1)3 s 1 ( 1)( 1) = 3 s 1 2 3 s 1 (mod 3 s ) i stąd 5u 3 s 1 (mod 3 s ). Niech c będzie liczbą całkowitą taką, że 5c 1 (mod 3 s ). Oczywiście takie c istnieje, gdyż liczby 5 i 3 s są względnie pierwsze. Oczywiście 3 c. Zatem c jest postaci 3k + 1 lub 3k + 2. Jeśli c = 3k + 1, to 3 5(3k + 1) 1 i mamy sprzeczność: 3 4. Zatem c = 3k + 2. Mamy więc i to kończy dowód. u c3 s 1 = (3k + 2)3 s 1 2 3 s 1 (mod 3 s ) Z tego lematu otrzymujemy natychmiast Stwierdzenie 6.4. Dla każdej liczby naturalnej s zachodzą równości a (3 s ) = 2 3 s 1, b (3 s ) = 3 s+1. Lemat 6.5. Dla każdej liczby naturalnej s, bikwadrat liczby całkowitej nigdy nie przystaje do liczby 2 3 s 1 modulo 3 s. Dowód. Dla s = 1 jest to oczywiste. Założmy, że s 2 i przypuśćmy, że y 4 2 3 s 1 (mod 3 s ) dla pewnej liczby całkowitej y. Wtedy y 4 2 3 s 1 = v3 s, gdzie v Z. Liczba y jest więc podzielna przez 3. Niech y = 3 p c, gdzie c Z, 3 c. Wtedy 3 4p c 4 2 3 s 1 = v3 s i stąd 4p s 1 oraz 3 4p s+1 c 4 2 = 3v. Jeśli 4p s + 1 > 0, to mamy sprzeczność: 3 2. Zatem 4p s + 1 = 0 i znowu mamy sprzeczność, gdyż wtedy c 4 = 3v + 2, a bikwadrat nie przystaje do 2 modulo 3. Z powyższych dwóch lematów otrzymujemy natychmiast następujące dwa twierdzenia. 14
Twierdzenie 6.6. Każda potęga trójki należy do zbioru Ω. Innymi słowy, suma 3 s kolejnych bikwadratów (gdzie s 1) nigdy nie jest bikwadratem. Twierdzenie 6.7. Każda liczba postaci 3 s + k3 s+1, gdzie s 1 oraz k 0, należy do zbioru Ω. 7 Potęgi piątki Przykład 7.1. Bikwadraty modulo m = 5 s. s bikwadraty lb 1 0, 1 2 2 0, 1, 6, 11, 16, 21 6 3 0, 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121 26 4 0, 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161, 166, 171, 176, 181, 186, 191, 196, 201, 206, 211, 216, 221, 226, 231, 236, 241, 246, 251, 256, 261, 266, 271, 276, 281, 286, 291, 296, 301, 306, 311, 316, 321, 326, 331, 336, 341, 346, 351, 356, 361, 366, 371, 376, 381, 386, 391, 396, 401, 406, 411, 416, 421, 426, 431, 436, 441, 446, 451, 456, 461, 466, 471, 476, 481, 486, 491, 496, 501, 506, 511, 516, 521, 526, 531, 536, 541, 546, 551, 556, 561, 566, 571, 576, 581, 586, 591, 596, 601, 606, 611, 616, 621 126 s lb 5 627 6 3131 Tabela 7.2. Elementy zbiorów E 0 (5 s ). W drugiej kolumnie są liczby b(5 s ). s b elementy lb 1 25 3, 4, 5, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 22, 23 11 2 125 3, 4, 5, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 22, 23, 24, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 36, 40, 41, 42, 47, 48, 49, 50, 53, 54, 55, 59, 60, 61, 65, 66, 67, 72, 73, 74, 75, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 90, 91, 92, 97, 98, 99, 100, 103, 104, 105, 109, 110, 111, 115, 116, 117, 122, 123 63 Zbiory E 0 (5 3 ) oraz E 0 (5 4 ) mają odpowiednio 323 oraz 1623 elementów. Z tabeli tej dowiadujemy się na przykład, że każda liczba naturalna postaci 125k + 74 należy do zbioru Ω. Lemat 7.3. Dla każdej liczby naturalnej s, suma 5 s kolejnych bikwadratów przystaje do 4 5 s 1 modulo 5 s. Dowód. Niech u = 0 4 + 1 4 + 2 4 + + (d 1) 4, gdzie d = 5 s. Jest oczywiste, że suma 5 s kolejnych bikwadratów przystaje zawsze do u modulo 5 s. Zauważmy, że u = 1 30 (d 1)d(2d 1)(3d2 3d 1) = 1 6 (5s 1) 5 s 1 (2 5 s 1) ( (3 5 2s 3 5 s 1 ), 15
więc 6u ( 1)5 s 1 ( 1)( 1) = 5 s 1 4 5 s 1 (mod 3 s ) i stąd 3u 2 5 s 1 (mod 5 s ). Niech c będzie liczbą całkowitą taką, że 3c 1 (mod 5 s ). Takie c istnieje, gdyż liczby 3 i 5 s są względnie pierwsze. Oczywiście 5 c. Zatem c jest postaci 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 lub 5k + 4. Jeśli c = 5k + 1, to 5 3(5k + 1) 1 i mamy sprzeczność: 5 2. Jeśli c = 5k + 3, to 5 3(5k + 3) 1 i mamy sprzeczność: 5 8. Jeśli c = 5k + 4, to 5 3(5k + 4) 1 i mamy sprzeczność: 5 11. Zatem c = 5k + 2. Mamy więc i to kończy dowód. u 2c5 s 1 = 2(5k + 2)5 s 1 4 5 s 1 (mod 5 s ) Z tego lematu otrzymujemy natychmiast Stwierdzenie 7.4. Dla każdej liczby naturalnej s zachodzą równości a (5 s ) = 4 5 s 1, b (5 s ) = 5 s+1. Lemat 7.5. Dla każdej liczby naturalnej s, bikwadrat liczby całkowitej nigdy nie przystaje do liczby 4 5 s 1 modulo 5 s. Dowód. Dla s = 1 jest to oczywiste. Założmy, że s 2 i przypuśćmy, że y 4 4 5 s 1 (mod 5 s ) dla pewnej liczby całkowitej y. Wtedy y 4 4 5 s 1 = v5 s, gdzie v Z. Liczba y jest więc podzielna przez 5. Niech y = 5 p c, gdzie c Z, 5 c. Wtedy 5 4p c 4 4 5 s 1 = v5 s i stąd 4p s 1 oraz 5 4p s+1 c 4 4 = 5v. Jeśli 4p s + 1 > 0, to mamy sprzeczność: 5 4. Zatem 4p s + 1 = 0 i znowu mamy sprzeczność, gdyż wtedy c 4 = 5v + 4, a bikwadrat nie przystaje do 4 modulo 5. Z powyższych dwóch lematów otrzymujemy natychmiast następujące dwa twierdzenia. Twierdzenie 7.6. Każda potęga piątki należy do zbioru Ω. Innymi słowy, suma 5 s kolejnych bikwadratów (gdzie s 1) nigdy nie jest bikwadratem. Twierdzenie 7.7. Każda liczba postaci 5 s + k5 s+1, gdzie s 1 oraz k 0, należy do zbioru Ω. 8 Następne własności liczb a(m) i b(m) Rozpoczynamy ten rozdział od następującego stwierdzenia. Stwierdzenie 8.1. Jeśli m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30, to a(2m 1 ) = m 1 oraz b(2m 1 ) = 4m 1. Dowód. Niech m = 2m 1, w = s 4 (m) i niech t = 1 (mod m), tzn. t jest taką 15 liczbą naturalną mniejszą od m, że 15t 1 (mod m). Oczywiście t jest nieparzyste; niech t = 2k + 1. Mamy wtedy 15w m 1 m 1 (mod 2m 1 ) i stąd w tm 1 = (2k + 1)m 1 = mk + m 1 m 1 (mod m). Zatem a(m) = m 1 i b(m) = m [m, a(m)]/a(m) = m [2m 1, m 1 ]/m 1 = 2m = 4m 1. 16
W podobny sposób dowodzimy, że jeśli m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30 oraz m jest podaną wielokrotnością liczby m 1, to liczby a(m) i b(m) są takie jak w poniższej tabeli. Tabela 8.2. m a(m) b(m) 3m 1 2m 1 9m 1 5m 1 4m 1 25m 1 6m 1 m 1 36m 1 m a(m) b(m) 10m 1 3m 1 100m 1 15m 1 7m 1 225m 1 30m 1 29m 1 900m 1 Podane przykłady są szczególnymi przypadkami następującego stwierdzenia. Stwierdzenie 8.3. Niech u = 2 i 3 j 5 k, gdzie i 0, j 0, k 0 oraz niech m 1 będzie liczbą naturalną względnie pierwszą z 30. Wtedy ) ) a (um 1 = a(u)m 1, b (um 1 = b(u)m 1. Dowód. Niech d = nwd(u, 30), uαd, 30 = βd, α, β N. Wtedy liczby β, u są względnie pierwsze. Istotnie, przypuśćmy, że istnieje liczba pierwsza p taka, że p u oraz p β. Wtedy p 30 (gdyż β 30) oraz p u, a zatem p d = nwd(30, u) i stąd otrzymujemy sprzeczność: p 2 30. Istnieje więc r {1, 2,..., u 1} takie, że rβ 1 (mod u). Mamy zatem u = αd = 30 βd α 1 αr (mod u) i stąd otrzymujemy β a(u) s 4 (u) = u 30 (u + 1)(2u + 1)(3u2 + 3u 1) αr (mod u), a zatem αr = a(u) + vu, gdzie v Z. Z tego, że β 30 oraz nwd(30, m 1 ) = 1 wynika, że nwd(β, m 1 ) = 1. Ale nwd(β, u) = 1, więc nwd(β, um 1 ) = 1. Istnieje więc t {1, 2,..., um 1 1} takie, że tβ 1 (mod um 1 ). Wtedy tβ 1 (mod u), a więc t r (mod u). Mamy więc pewną równość postaci t = su + r, w której s jest jakąś liczbą całkowitą. Oznaczmy: m = um 1. Mamy teraz modulo m : ) a(m) = a (um 1 u m 30 1(m + 1)(2m + 1)(3m 2 + 3m 1) αalphatm 1 (m + 1)(2m + 1)(3m 2 + 3m 1) tm 1 ( ) = α(su + r)m 1 = αrm 1 sm αr m 1 ( ) = a(u) + vu m 1 = a(u)m 1 + vm a(u)m 1. Wykazaliśmy więc, że a(um 1 ) = a(u)m 1. Mamy teraz: b(um 1 ) = [um 1, a(um 1 )] a(um 1 ) um 1 = [um 1, a(u)m 1 ] um 1 = a(u)m 1 17 [u, a(u)] um 1 = b(u)m 1. a(u)
To kończy dowód. Niech m = um 1, gdzie u = 2 i 3 j 5 k, i 0, j 0, k 0 oraz m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30. Chcąc obliczyć liczby a(m) oraz b(m) wystarczy, na mocy Stwierdzenia 8.3, znać tylko liczby a(u) oraz b(u). Jeśli i = j = k = 0, to u = 1 i wtedy a(u) = b(u) = 1. Znamy liczby a(u) oraz b(u) w przypadku, gdy dokładnie jedna z liczb i, j, k jest większa od zera. Przypomnijmy (patrz Stwierdzenia 5.4, 6.4 oraz 7.4): : Stwierdzenie 8.4. Jeśli s 1, to ) ) (1) a (2 s = 2 s 1, b (2 s = 2 s+1 ; ) ) (2) a (3 s = 2 3 s 1, b (3 s = 3 s+1 ; ) ) (3) a (5 s = 4 5 s 1, b (5 s = 5 s+1. Teraz rozpatrzymy pozostałe cztery przypadki. Stwierdzenie 8.5. Jeśli u = 2 i 3 j 5 k, gdzie i 1, j 1, k 1, to a(u) = 29 u 30 oraz b(u) = 30u. Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 30 i modulo u mamy Stąd dalej otrzymujemy a(u) u 30 u u 30 = (30 1) u 30 = 29 u 30. b(u) = [a(u) u] a(u) u = [ 29 2 i 1 3 j 1 5 k 1, 2 i 3 j 5 k] 29 2 i 1 3 j 1 5 k 1 u = 29 2 i 3 j 5 k u = 30u 29 2 i 1 3 j 1 5k 1 i to kończy dowód. Stwierdzenie 8.6. Jeśli u = 2 i 3 j, gdzie i 1, j 1, to a(u) = 2 i 1 3 j 1 oraz b(u) = 6u. Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 6 i modulo u mamy 5a(u) u u u = 5 u, a więc a(u) = 6 6 6 2i 1 3 j 1 [a(u) u]. Stąd dalej otrzymujemy b(u) = u = a(u) [ 2 i 1 3 j 1, 2 i 3 j ] u = 2i 3 j u = 6u. 2 i 1 3 j 1 2 i 1 3 j 1 Stwierdzenie 8.7. Jeśli u = 2 i 5 k, gdzie i 1, k 1, to a(u) = 3 2 i 1 5 k 1 oraz b(u) = 10u. 18
Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 10 i modulo u mamy 3a(u) u u u = (10 1) u = 9 u, a więc a(u) = 3 10 10 10 10 2i 1 5 k 1. Stąd dalej otrzymujemy [a(u) u] b(u) = u = [3 2i 1 5 k 1, 2 i 5 k ] u = 3 2i 5 k u = 10u. a(u) 3 2 i 1 5 k 1 3 2 i 1 5 k 1 Stwierdzenie 8.8. Jeśli u = 3 j 5 k, gdzie i 1, k 1, to a(u) = 7 3 j 1 5 k 1 oraz b(u) = 15u. Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 15 i modulo u mamy 2a(u) u u u = (15 1) u = 14 u, a więc a(u) = 7 15 15 15 15 3j 1 5 k 1. Stąd dalej otrzymujemy [a(u) u] b(u) = u = [7 3j 1 5 k 1, 3 j 5 k ] u = 7 3j 5 k u = 15u. a(u) 7 3 j 1 5 k 1 7 3 j 1 5 k 1 Z powyższych stwierdzeń otrzymujemy: Stwierdzenie 8.9. Jeśli u = 2 i 3 j 5 k, i 0, j 0, k 0, to b(u) = du, gdzie d = nwd(u, 30). Stąd następnie wynika: Twierdzenie 8.10. Dla dowolnej liczby naturalnej m zachodzi równość b(m) = nwd(30, m) m. Dowód. Niech m = um 1, gdzie u = 2 i 3 j 5 k, i 0, j 0, k 0 oraz m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30. Ponieważ nwd(30, m 1 ) = 1, więc d = nwd(30, m) = nwd(30, um 1 ) = nwd(30, u) Mamy więc (na mocy poprzednich stwierdzeń) b(m) = b(um 1 ) = b(u)m 1 = dum 1 = dm. 19
9 Tablice zbiorów E(p) p cc lb 13 9 1 19 8 1 29 27 1 43 12 1 67 31 1 139 73 1 149 10, 139 2 163 50 1 173 17, 156 2 211 156 1 283 183 1 307 32 1 331 251 1 379 330 1 389 139, 250 2 461 188, 273 2 499 243 1 523 182 1 547 207 1 557 84, 473 2 571 251 1 619 421 1 643 157 1 653 33, 620 2 677 287, 390 2 691 48 1 739 464 1 787 434 1 797 279, 518 2 811 52 1 859 438 1 883 620 1 907 205 1 941 214, 727 2 1013 26, 987 2 1051 793 1 1061 189, 872 2 1109 43, 1066 2 1123 339 1 1171 134 1 1181 184, 997 2 1229 109, 1120 2 1291 328 1 1301 376, 925 2 1373 215, 1158 2 1459 550 1 1483 1167 1 1493 693, 800 2 1531 1120 1 1579 801 1 1627 1270 1 1699 909 1 1709 335, 1374 2 1723 257 1 1733 34, 1699 2 1747 1095 1 1867 946 1 1877 329, 1548 2 1901 178, 1723 2 1949 57, 1892 2 1987 1791 1 1997 771, 1226 2 2011 1133 1 2083 314 1 2131 759 1 2179 1076 1 2203 750 1 2213 641, 1572 2 2237 592, 1645 2 2251 1654 1 2347 1820 1 2371 739 1 2467 125 1 2539 92 1 2621 1040, 1581 2 2659 2308 1 2683 1875 1 2693 67, 2626 2 2707 1109 1 2731 1043 1 2741 649, 2092 2 Tabela 9.1. Zbiory E(p) z elementami mniejszymi lub równymi 1000. p cc 2803 952 2851 705 3019 988 3221 558 3389 181 3499 108 3547 439 3571 234 3739 690 4003 299 4133 83 4157 271 4339 583 p cc 4397 236 4421 356 5059 179 5227 132 5333 718 5347 539 5419 672 5477 648 5851 677 5981 968 6101 886 6221 332 6427 638 p cc 6571 148 6869 107 7109 1000 7541 365 7867 884 7901 675 8467 168 8573 378 8731 827 9029 832 9547 949 9749 794 9811 375 Zbadano pod tym względem wszystkie liczby pierwsze p mniejsze od 9839. 20
10 Tablice zbiorów E(p 2 ) p p 2 cc lb 7 49 6, 13, 20, 27, 34, 41 6 11 121 10, 11, 21, 22, 32, 33, 43, 44, 54, 55, 65, 66, 76, 77, 87, 88, 98, 99, 109, 110 20 13 169 9, 12, 22, 25, 35, 38, 48, 51, 61, 64, 74, 77, 87, 90, 100, 103, 113, 116, 126, 129, 139, 142, 152, 155, 165 25 19 361 8, 18, 27, 37, 46, 56, 65, 75, 84, 94, 103, 113, 122, 132, 141, 151, 160, 170, 179, 189, 198, 208, 217, 227, 236, 246, 255, 265, 274, 284, 293, 303, 312, 322, 331, 341, 350 37 23 529 19, 22, 23, 45, 46, 65, 68, 69, 88, 91, 92, 111, 114, 115, 134, 137, 138, 157, 160, 161, 180, 183, 184, 203, 206, 207, 226, 229, 230, 249, 252, 253, 272, 275, 276, 295, 298, 299, 318, 321, 322, 341, 344, 345, 364, 367, 368, 387, 390, 391, 410, 413, 414, 433, 436, 437, 456, 459, 460, 479, 482, 483, 502, 505, 506, 525 66 29 841 27, 28, 56, 57, 85, 86, 114, 115, 143, 144, 172, 173, 201, 202, 230, 231, 259, 260, 288, 289, 317, 318, 346, 347, 375, 376, 404, 405, 433, 434, 462, 463, 491, 492, 520, 521, 549, 550, 578, 579, 607, 608, 636, 637, 665, 666, 694, 695, 723, 724, 752, 753, 781, 782, 810, 811, 839 57 31 961 30, 31, 61, 62, 92, 93, 123, 124, 154, 155, 185, 186, 216, 217, 247, 248, 278, 279, 309, 310, 340, 341, 371, 372, 402, 403, 433, 434, 464, 465, 495, 496, 526, 527, 557, 558, 588, 589, 619, 620, 650, 651, 681, 682, 712, 713, 743, 744, 774, 775, 805, 806, 836, 837, 867, 868, 898, 899, 929, 930 60 37 1369 36, 73, 110, 147, 184, 221, 258, 295, 332, 369, 406, 443, 480, 517, 554, 591, 628, 665, 702, 739, 776, 813, 850, 887, 924, 961, 998, 1035, 1072, 1109, 1146, 1183, 1220, 1257, 1294, 1331 36 41 1681 41, 82, 123, 164, 205, 246, 287, 328, 369, 410, 451, 492, 533, 574, 615, 656, 697, 738, 779, 820, 861, 902, 943, 984, 1025, 1066, 1107, 1148, 1189, 1230, 1271, 1312, 1353, 1394, 1435, 1476, 1517, 1558, 1599, 1640 40 21
Zbiory E(p 2 ) z elementami mniejszymi lub równymi 1000. p p 2 cc lb 43 1849 12, 42, 43, 55, 85, 86, 98, 128, 129, 141, 171, 172, 184, 214, 215, 227, 257, 258, 270, 300, 301, 313, 343, 344, 356, 386, 387, 399, 429, 430, 442, 472, 473, 485, 515, 516, 528, 558, 559, 571, 601, 602, 614, 644, 645, 657, 687, 688, 700, 730, 731, 743, 773, 774, 786, 816, 817, 829, 859, 860, 872, 902, 903, 915, 945, 946, 958, 988, 989 47 2209 19, 46, 47, 66, 93, 94, 113, 140, 141, 160, 187, 188, 207, 234, 235, 254, 281, 282, 301, 328, 329, 348, 375, 376, 395, 422, 423, 442, 469, 470, 489, 516, 517, 536, 563, 564, 583, 610, 611, 630, 657, 658, 677, 704, 705, 724, 751, 752, 771, 798, 799, 818, 845, 846, 865, 892, 893, 912, 939, 940, 986, 987 53 2809 52, 53, 105, 106, 158, 159, 211, 212, 264, 265, 317, 318, 370, 371, 423, 424, 476, 477, 529, 530, 582, 583, 635, 636, 688, 689, 741, 742, 794, 795, 847, 848, 900, 901, 953, 954 59 3481 58, 59, 117, 118, 176, 177, 235, 236, 294, 295, 353, 354, 412, 413, 471, 472, 530, 531, 589, 590, 648, 649, 707, 708, 766, 767, 825, 826, 884, 885, 943, 944 61 3721 60, 61, 121, 122, 182, 183, 243, 244, 304, 305, 365, 366, 426, 427, 487, 488, 548, 549, 609, 610, 670, 671, 731, 732, 792, 793, 853, 854, 914, 915, 975, 976 67 4489 31, 66, 67, 98, 133, 134, 165, 200, 201, 232, 267, 268, 299, 334, 335, 366, 401, 402, 433, 468, 469, 500, 535, 536, 567, 602, 603, 634, 669, 670, 701, 736, 737, 768, 803, 804, 835, 870, 871, 902, 937, 938, 969 71 5041 70, 112, 141, 183, 212, 254, 283, 325, 354, 396, 425, 467, 496, 538, 567, 609, 638, 680, 709, 751, 780, 822, 851, 893, 922, 964, 993 73 5329 5, 68, 73, 78, 141, 146, 151, 214, 219, 224, 287, 292, 297, 360, 365, 370, 433, 438, 443, 506, 511, 516, 579, 584, 589, 652, 657, 662, 725, 730, 735, 798, 803, 808, 871, 876, 881, 944, 949, 954 79 6241 78, 79, 157, 158, 236, 237, 315, 316, 394, 395, 473, 474, 552, 553, 631, 632, 710, 711, 789, 790, 868, 869, 947, 948 83 6889 82, 165, 248, 331, 414, 497, 580, 663, 746, 829, 912, 995 12 89 7921 89, 178, 267, 356, 445, 534, 623, 712, 801, 890, 979 11 97 9409 97, 194, 291, 388, 485, 582, 679, 776, 873, 970 10 101 10201 100, 201, 302, 403, 504, 605, 706, 807, 908 9 103 10609 102, 103, 205, 206, 308, 309, 411, 412, 514, 515, 617, 618, 720, 721, 823, 824, 926, 927 18 107 11449 106, 107, 213, 214, 320, 321, 427, 428, 534, 535, 641, 642, 748, 749, 855, 856, 962, 963 18 109 11881 108, 109, 217, 218, 326, 327, 435, 436, 544, 545, 653, 654, 762, 763, 871, 872, 980, 981 18 113 12769 113, 226, 339, 452, 565, 678, 791, 904 8 22
11 Tablice zbiorów E(p 3 ) Zbiory E(p 3 ) z elementami mniejszymi lub równymi 1000. p p 3 cc lb 7 343 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97, 104, 111, 118, 125, 132, 139, 146, 153, 160, 167, 174, 181, 188, 195, 202, 209, 216, 223, 230, 237, 244, 251, 258, 265, 272, 279, 286, 293, 300, 307, 314, 321, 328, 335 48 11 1331 10, 11, 21, 22, 32, 33, 43, 44, 54, 55, 65, 66, 76, 77, 87, 88, 98, 99, 109, 110, 120, 121, 131, 132, 142, 143, 153, 154, 164, 165, 175, 176, 186, 187, 197, 198, 208, 209, 219, 220, 230, 231, 241, 242, 252, 253, 263, 264, 274, 275, 285, 286, 296, 297, 307, 308, 318, 319, 329, 330, 340, 341, 351, 352, 362, 363, 373, 374, 384, 385, 395, 396, 406, 407, 417, 418, 428, 429, 439, 440, 450, 451, 461, 462, 472, 473, 483, 484, 494, 495, 505, 506, 516, 517, 527, 528, 538, 539, 549, 550, 560, 561, 571, 572, 582, 583, 593, 594, 604, 605, 615, 616, 626, 627, 637, 638, 648, 649, 659, 660, 670, 671, 681, 682, 692, 693, 703, 704, 714, 715, 725, 726, 736, 737, 747, 748, 758, 759, 769, 770, 780, 781, 791, 792, 802, 803, 813, 814, 824, 825, 835, 836, 846, 847, 857, 858, 868, 869, 879, 880, 890, 891, 901, 902, 912, 913, 923, 924, 934, 935, 945, 946, 956, 957, 967, 968, 978, 979, 989, 990, 1000 181 13 2197 9, 12, 22, 25, 35, 38, 48, 51, 61, 64, 74, 77, 87, 90, 100, 103, 113, 116, 126, 129, 139, 142, 152, 155, 165, 168, 178, 181, 191, 194, 204, 207, 217, 220, 230, 233, 243, 246, 256, 259, 269, 272, 282, 285, 295, 298, 308, 311, 321, 324, 334, 337, 347, 350, 360, 363, 373, 376, 386, 389, 399, 402, 412, 415, 425, 428, 438, 441, 451, 454, 464, 467, 477, 480, 490, 493, 503, 506, 516, 519, 529, 532, 542, 545, 555, 558, 568, 571, 581, 584, 594, 597, 607, 610, 620, 623, 633, 636, 646, 649, 659, 662, 672, 675, 685, 688, 698, 701, 711, 714, 724, 727, 737, 740, 750, 753, 763, 766, 776, 779, 789, 792, 802, 805, 815, 818, 828, 831, 841, 844, 854, 857, 867, 870, 880, 883, 893, 896, 906, 909, 919, 922, 932, 935, 945, 948, 958, 961, 971, 974, 984, 987, 997, 1000 154 19 6859 8, 18, 27, 37, 46, 56, 65, 75, 84, 94, 103, 113, 122, 132, 141, 151, 160, 170, 179, 189, 198, 208, 217, 227, 236, 246, 255, 265, 274, 284, 293, 303, 312, 322, 331, 341, 350, 360, 369, 379, 388, 398, 407, 417, 426, 436, 445, 455, 464, 474, 483, 493, 502, 512, 521, 531, 540, 550, 559, 569, 578, 588, 597, 607, 616, 626, 635, 645, 654, 664, 673, 683, 692, 702, 711, 721, 730, 740, 749, 759, 768, 778, 787, 797, 806, 816, 825, 835, 844, 854, 863, 873, 882, 892, 901, 911, 920, 930, 939, 949, 958, 968, 977, 987, 996 105 23 12167 19, 22, 23, 42, 45, 46, 65, 68, 69, 88, 91, 92, 111, 114, 115, 134, 137, 138, 157, 160, 161, 180, 183, 184, 203, 206, 207, 226, 229, 230, 249, 252, 253, 272, 275, 276, 295, 298, 299, 318, 321, 322, 341, 344, 345, 364, 367, 368, 387, 390, 391, 410, 413, 414, 433, 436, 437, 456, 459, 460, 479, 482, 483, 502, 505, 506, 525, 528, 529, 548, 551, 552, 574, 575, 594, 597, 598, 617, 620, 621, 640, 643, 644, 663, 666, 667, 686, 689, 690, 709, 712, 713, 732, 735, 736, 755, 758, 759, 778, 781, 782, 801, 804, 805, 824, 827, 828, 847, 850, 851, 870, 873, 874, 893, 896, 897, 916, 919, 920, 939, 942, 943, 962, 965, 966, 985, 988, 989 128 23
Zbiory E(p 3 ) z elementami mniejszymi lub równymi 1000. p p 3 cc lb 29 24389 27, 28, 56, 57, 85, 86, 114, 115, 143, 144, 172, 173, 201, 202, 230, 231, 259, 260, 288, 289, 317, 318, 346, 347, 375, 376, 404, 405, 433, 434, 462, 463, 491, 492, 520, 521, 549, 550, 578, 579, 607, 608, 636, 637, 665, 666, 694, 695, 723, 724, 752, 753, 781, 782, 810, 811, 839, 840, 868, 869, 897, 898, 926, 927, 955, 956, 984, 985 68 31 2979 30, 31, 61, 62, 92, 93, 123, 124, 154, 155, 185, 186, 216, 217, 247, 248, 278, 279, 309, 310, 340, 341, 371, 372, 402, 403, 433, 434, 464, 465, 495, 496, 526, 527, 557, 558, 588, 589, 619, 620, 650, 651, 681, 682, 712, 713, 743, 744, 774, 775, 805, 806, 836, 837, 867, 868, 898, 899, 929, 930, 960, 961, 991, 992 64 37 50653 36, 73, 110, 147, 184, 221, 258, 295, 332, 369, 406, 443, 480, 517, 554, 591, 628, 665, 702, 739, 776, 813, 850, 887, 924, 961, 998 27 12 Eliminacje Rozpatrzmy wszystkie liczby naturalne z przedziału [2, 100]. Wykażemy, że każda z tych liczb należy do zbioru Ω. Oczywiście 2 Ω. Po odrzuceniu tych liczb naturalnych, które należą do odpowiednich zbiorów postaci E(2 s ), E(3 s ) oraz E(5 s ), zostaną trzy liczby: 31, 32, 33. Liczby 32, 33 należą do zbioru E(121), a liczba 31 należy do zbioru E(67). Każda więc liczba naturalna z przedziału [2, 100] należy do zbioru Ω. Rozpatrzmy teraz przedział [101, 480]. Wykażemy, że wszystkie liczby naturalne z tego przedziału również należą do zbioru Ω. Eliminujemy te liczby naturalnn, które należą do odpowiednich zbiorów postaci E(2 s ), E(3 s ) oraz E(5 s ). Pozostanie 14 liczb: 131, 163, 193, 194, 195, 226, 227, 257, 258, 289, 321, 418, 419, 451. Eliminujemy te liczby naturalne, o których mowa w Twierdzeniu 3.4. Zostały 4 liczby: 195, 227, 257 oraz 289. Za pomocą komputera stwierdzamy, że 195 E(7 3 ), 227 E(19 2 ), 257 E(43 2 ), 289 E(29 2 ). Każda zatem liczba naturalna z przedziału [2, 480] należy do zbioru Ω. Udowodniliśmy: Stwierdzenie 12.1. Jeśli 2 n 480, to suma n kolejnych bikwadratów nigdy nie jest bikwadratem. Rozpatrzmy teraz przedział [2, 1000]. Robiąc eliminacje podobne do poprzednich zostanie 7 liczb: 481, 514, 544, 546, 833, 931 oraz 994. Za pomocą komputera stwierdzamy, że 514 E(103 2 ), 544 E(109 2 ), 833 E(139 2 ), 931 E(263 2 ), 994 E(199 2 ). 24
Pozostały dwie liczby: 481 = 13 37 oraz 546 = 2 3 7 13. Nie potrafię rozstrzygnąć czy te dwie liczby należą do zbioru Ω. To samo dotyczy następujących liczb naturalnych mniejszych od 10 000: 1568 = 2 7 2, 1795 = 5 359, 2371 = 2371, 2657 = 2657, 3169 = 3169, 3458 = 2 7 13 19, 3683 = 29 127, 3939 = 3 13 101, 4801 = 4801, 4802 = 2 7 4, 5089 = 7 727, 5314 = 2 2657, 5506 = 2 2753, 5569 = 5569, 5987 = 5987, 6113 = 6113, 6207 = 3 2069, 6338 = 2 3169, 6594 = 2 3 7 157, 6818 = 2 7 487, 7202 = 2 13 277, 7395 = 3 5 17 29, 7427 = 7 1061, 7651 = 7 1093, 7714 = 2 7 19 29, 7907 = 7907, 7971 = 3 2657, 8258 = 2 4129, 8545 = 5 1709, 9121 = 7 1303, 9443 = 7 19 71, 9571 = 17 563. 13 Uwagi i komentarze Przeglądając tablice zbiorów postaci E(p 2 ) zauważmy, że często p 1 E(p 2 ). Tak jest na przykład dla p = 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 62, 67, 71, 79, 83. Tak nie jest dla p = 17, 41, 73, 89, 97 i w tych przypadkach mamy podzielność: 8 p 1. Sprawdziłem, że to zachodzi dla wszystkich liczby pierwszych większych od 5 i mniejszych od 263. Czy to ma jakieś uogólnienie? Nie potrafię tego udowodnić. Można również zauważyć, że jesli 8 p 1, to liczby 2p 1, 3p 1 i ogólniej liczby postaci kp 1, gdzie p k, należą do zbioru E(p 2 ). Nie potrafię tego udowodnić. Literatura [1] A. Nowicki, Liczby Mersenne a, Fermata i Inne Liczby, Podróże po Imperium Liczb, cz.8. Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie Drugie 2012. [2] A. Nowicki, Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi, Podróże po Imperium Liczb, cz.9. Wydanie Drugie, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 2012. [3] J. O Flynn, When is the sum of consecutive nth powers an nth power?, Mathematical Gazette 92(523)(2008) 71-76. Nicolaus Copernicus University, Faculty of Mathematics and Computer Science, 87-100 Toruń, Poland, (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl). 25