Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy A. B. C. D. Zad.3. (1p) Dany jest trójkąt o bokach Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość A. B. C. D. Zad.4. (1p) Wartość wyrażenia, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną dodatnią A. jest zawsze liczbą nieparzystą B. jest zawsze liczbą parzystą C. jest zawsze liczbą podzielną przez 5 D. nigdy nie jest liczbą podzielną przez 3 Zad.5. (1p) sin15 0 jest równy A. B. C. D. Zad.6. (2p) Funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 3 i przecina oś OY w punkcie. Oblicz wartość tej funkcji dla argumentu 3. Zakoduj otrzymany wynik. Zad.7. (2p) Stożek S 2 jest podobny do stożka S 1 w skali. Wysokość stożka S 1 jest równa 8, a objętość stożka S 2 jest równa. Oblicz długość promienia podstawy stożka S 1. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Zad.8. (2p) Oblicz granicę ciągu. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Zad.9. (3p) Wyznacz maksimum lokalne funkcji. Zakoduj wartość tego maksimum. Zad.10. (3p) Okrąg o równaniu jest opisany na pewnym kwadracie. Oblicz pole tego kwadratu. Zad.11. (3p) Wykaż, że dla dowolnej liczby spełniona jest nierówność:. Zad.12. (3p) Rozwiąż równanie +. Zad.13. (3p) Pięć liczb tworzy ciąg arytmetyczny a liczby pierwsza, trzecia i piąta tworzą ciąg geometryczny. Wykaż, że wszystkie liczby tworzące ciąg arytmetyczny muszą być równe. Zad.14. (4p) Napisz wzór wielomianu trzeciego stopnia jeżeli wiadomo, że: a) jednym z miejsc zerowych jest 1, b) przyjmuje wartości ujemne dokładnie w przedziale, c) przecina oś rzędnych w punkcie 6.
Zestaw nr 2 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Wielomian W(x)= + 24 posiada A. dokładnie trzy pierwiastki dodatnie, B. dokładnie dwa pierwiastki dodatnie, C. dokładnie jeden pierwiastek dodatni, C. nie posiada pierwiastków dodatnich. Zad.2. (1p) Ciąg dany jest wzorem rekurencyjnym: Wyraz czwarty tego ciągu jest równy Zad.3. (1p) Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równe długość Zad.4. (1p) Wyrażenie gdzie można zapisać jako Zad.5. (1p) Funkcja liniowa OY powyżej punktu wtedy i tylko wtedy, gdy Bok tego trójkąta ma jest malejąca i jej wykres przecina oś Zad.6. (2p) Rozwiąż nierówność wszystkich liczb całkowitych spełniających powyższą nierówność. Zakoduj liczbę trzycyfrową wyrażającą ilość Zad.7. (2p) Oblicz wartość pochodnej funkcji dla argumentu. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Zad.8. (2p) Oblicz sinus najmniejszego kąta w trójkącie o bokach 4, 5, 6. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Zad.9. (2p) W pewnym ciągu arytmetycznym suma dziesięciu początkowych wyrazów jest równa 165 a suma ośmiu początkowych wyrazów jest równa 108. Zakoduj liczbę trzycyfrową będącą wartością setnego wyrazu tego ciągu. Zad.10. (5p) Napisz wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że suma miejsc zerowych tej funkcji jest równa 2, iloczyn miejsc zerowych jest równy 120 i do wykresu funkcji należy punkt (5,170). Wyznacz wartość największą tej funkcji w przedziale Zad.11. (4p) Dana jest funkcja. Wiedząc, że do wykresu należą punkty (1, 1) oraz (2,5) wyznacz wartości a i b oraz narysuj wykres tej funkcji. Zad.12. (4p) Dany jest prostokąt ABCD o bokach 4 i 8. Punkt E jest środkiem boku AB, a punkt F punktem przecięcia odcinków BD i EC. Oblicz pole trójkąta BEF. Zad.13. (5p) Prosta dzieli koło o nierówności na dwie części. Wyznacz nieujemną różnicę pól tych części koła.
Zestaw nr 3 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1pkt) Wskaż liczbę największą spośród czterech podanych Zad.2. (1pkt) Ilość ekstremów funkcji jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 3. Zad.3. (1pkt) Dane są punkty. Wtedy. Wiadomo, że Zad.4. (1pkt) Równanie A. nie ma rozwiązań, B. ma dokładnie jedno rozwiązanie, C. ma dokładnie dwa rozwiązania, D. ma dokładnie trzy rozwiązania. Zad.5. (1pkt) Liczba jest równa Zad.6. (2pkt) Do liczby 100 dodajemy liczbę trzy razy mniejszą, do otrzymanej sumy znów liczbę trzy razy mniejszą od uzyskanej poprzednio itd. Zakoduj wartość otrzymanej sumy. Zad.7.(3pkt) Suma miejsc zerowych, funkcji kwadratowej jest równa 2, a iloczyn ( 80). Zakoduj liczbę trzycyfrową równą sumie sześcianów miejsc zerowych funkcji Zad.8. (2pkt) Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych nie jest podzielna przez 3. Zad.9. (4pkt) Rozwiąż nierówność. Zad.10. (3pkt) Trzy różne liczby o sumie 3 tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli zamienimy miejscami drugą i trzecią liczbę, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby. Zad.11. (5pkt) Wielomian czwartego stopnia jest iloczynem dwóch wielomianów drugiego stopnia i takich, że: pierwiastkami są liczby 2 i 4, a do wykresu należy punkt, zaś wszystkie współczynniki są równe. Wyznacz wiedząc, że wyraz wolny tego wielomianu jest równy 8. Zad.12. (4pkt) Oblicz długość boku rombu wiedząc, że wysokość i przekątna poprowadzone z tego samego wierzchołka mają długości odpowiednio 4 i 6. Zad.13. (5pkt) Wierzchołki prostokąta mają współrzędne. Wyznacz współrzędne wierzchołka oraz równanie okręgu opisanego na tym prostokącie.
Zestaw nr 5 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1pkt) Ile dodatnich rozwiązań ma równanie A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Zad.2. (1pkt) Dla każdego, wartość wyrażenia jest równa: A. B. 1 C. 2 D. 0 Zad.3. (1pkt) Ile wynosi? A. B. C. 1 D. 5 Zad.4. (1pkt) Wartość wyrażenia, dla jest równa: A. 3 B. 1,5 C. 1 D. 0,75 Zad.5. (1pkt) W jednokładności o środku w punkcie M i skali k = -4 obrazem punktu A=(4,5) jest punkt A =(-11,-25). Środkiem tej jednokładności jest punkt A. M=(-8,-19) B. M=(1,-1) C. M=(-2,0) D. M=(9,15) Zad.6. (3pkt) Niech. Wykaż, że. Zad.7. (4pkt) W okrąg wpisano kwadrat, który jest podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wszystkie krawędzie są tej samej długości. Wiedząc, że objętość ostrosłupa jest równa 144 wyznacz długość promienia tego okręgu. Zad.8. (5pkt) W pojemniku jest 10 kul białych. Funkcję f(n), n = 0, 1, 2, określamy następująco: dla danego n dokładamy n kul czerwonych do pojemnika i losujemy jedną kulę, f(n) jest prawdopodobieństwem wylosowania kuli czerwonej. Wyznacz f(5) i f(10) oraz wzór funkcji f(n). Wykaż, że funkcja f(n) jest rosnąca, a następnie wyznacz o ile istnieją- wartości najmniejszą i największą. Zad.9. (3pkt) Udowodnij, że nie istnieje taka liczba rzeczywista x, aby ciąg (sinx, cosx, ctgx) był geometryczny. Zad.10. (2pkt) Dany jest ciąg określony rekurencyjnie. Zakoduj sumę czterech początkowych wyrazów tego ciągu. Zad.11. (5pkt) Dany jest ciąg,. a) Zbadaj monotoniczność tego ciągu. b) Oblicz granicę tego ciągu. c) Podaj największą liczbę a i najmniejszą liczbę b, takie że dla każdego n spełniony jest warunek. Zad.12. (4p) Ciąg zdefiniowano rekurencyjnie:. a) Dla k=2 wyznacz sześć początkowych wyrazów tego ciągu. b) Wyznacz wszystkie wartości k, dla których
Zestaw nr 5 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1pkt) Ile dodatnich rozwiązań ma równanie A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Zad.2. (1pkt) Dla każdego, wartość wyrażenia jest równa: A. B. 1 C. 2 D. 0 Zad.3. (1pkt) Ile wynosi? A. B. C. 1 D. 5 Zad.4. (1pkt) Wartość wyrażenia, dla jest równa: A. 3 B. 1,5 C. 1 D. 0,75 Zad.5. (1pkt) W jednokładności o środku w punkcie M i skali k = -4 obrazem punktu A=(4,5) jest punkt A =(-11,-25). Środkiem tej jednokładności jest punkt A. M=(-8,-19) B. M=(1,-1) C. M=(-2,0) D. M=(9,15) Zad.6. (3pkt) Niech. Wykaż, że. Zad.7. (4pkt) W okrąg wpisano kwadrat, który jest podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wszystkie krawędzie są tej samej długości. Wiedząc, że objętość ostrosłupa jest równa 144 wyznacz długość promienia tego okręgu. Zad.8. (5pkt) W pojemniku jest 10 kul białych. Funkcję f(n), n = 0, 1, 2, określamy następująco: dla danego n dokładamy n kul czerwonych do pojemnika i losujemy jedną kulę, f(n) jest prawdopodobieństwem wylosowania kuli czerwonej. Wyznacz f(5) i f(10) oraz wzór funkcji f(n). Wykaż, że funkcja f(n) jest rosnąca, a następnie wyznacz o ile istnieją- wartości najmniejszą i największą. Zad.9. (3pkt) Udowodnij, że nie istnieje taka liczba rzeczywista x, aby ciąg (sinx, cosx, ctgx) był geometryczny. Zad.10. (2pkt) Dany jest ciąg określony rekurencyjnie. Zakoduj sumę czterech początkowych wyrazów tego ciągu. Zad.11. (5pkt) Dany jest ciąg,. a) Zbadaj monotoniczność tego ciągu. b) Oblicz granicę tego ciągu. c) Podaj największą liczbę a i najmniejszą liczbę b, takie że dla każdego n spełniony jest warunek. Zad.12. (4p) Ciąg zdefiniowano rekurencyjnie:. a) Dla k=2 wyznacz sześć początkowych wyrazów tego ciągu. b) Wyznacz wszystkie wartości k, dla których
Zestaw nr 6 Poziom Rozszerzony Zad.1. (6p) Narysuj wykres funkcji równanie a) nie ma rozwiązań, b) ma dwa rozwiązania różnych znaków.. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których Zad.2. (5p) Rozwiąż równanie dla. Zad.3. (5p) Rozwiąż nierówność Zad.4. (1p) Ile rozwiązań ma równanie Zad.5. (2p) W nieskończonym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy, a czwarty wyraz jest równy. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanej liczby. Zad.6. (2p) Wyznacz największą liczbę będącą rozwiązaniem równania, należącą do przedziału. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanej liczby. Do obliczeń przyjmij Zad.7. (4p) Dana jest funkcja Wyznacz zbiór wartości tej funkcji. dla każdej liczby rzeczywistej Zad.8. (2p) Rozwiąż równanie w przedziale. Zad.9. (4p) Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb. Zad.10. (4p) Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach i oraz jest styczny do prostej l w punkcie, gdzie. Wyznacz równanie prostej l.