Matematyka a sztuki plastyczne. Wrocław, 2 czerwca 2010

Transkrypt

1 ztuki plastyczne Wrocław, 2 czerwca 2010

2 Martin Gardner 11 dni temu, 22 maja 2010, w wieku 96 lat, zmarł człowiek, który mimo braku wykształcenia matematycznego zrobił dla popularyzacji tej nauki więcej, niz jakikolwiek zawodowy matematyk. Nazywał się Martin Gardner.

3 Nicolas Bourbaki W 1935 roku grupa francuskich matematyków założyła przy Ecole Normale Superiere Stowarzyszenie Nicolasa Bourbakiego i zaczęli publikować książki pod tym pseudonimem. Początkowo byli to: Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt i André Weil. W późniejszym okresie dołączyli do nich Laurent Schwartz, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck, Samuel Eilenberg, Serge Lang i Roger Godement.

4 Nicolas Bourbaki Opublikowali osiem tomów Elements de mathematique. Wszystko od aksjomatów i w największej możliwej ogólności. Ponieważ wielu z nich to naprawdę wielcy matematycy, udało im się wywrzeć wielki wpływ na podejście do matematyki. Jednakże jedyna ich książka, którą da się czytać ze zrozumieniem, to Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. W roku 1970 na kolejnym ICM w Nicei Jean Dieudonne rzucił w trakcie swego referatu hasło Precz z Euklidesem! Ich wpływ na szkolnictwo to czyste szkodnictwo (porównaj artykuł W.I. Arnolda w Wiadomościach matematycznych 37 (2001)).

5 Człowiek, który ocalił geometrię Żył w latach Studiował w Cambridge, potem większość życia spędził na Toronto (Kanada). Był jednym z wielkich geometrów XX wieku. Robert Moody, proponując nadanie temu geometrze doktoratu honoris causa przez York University w Toronto, powiedział: Modern science is often driven by fads and fashions, and mathematics is no exception. His style, I would say, is singularly unfashionable. He is guided, I think, almost completely by a profound sense of what is beautiful.

6 Człowiek, który ocalił geometrię Tym geometrą był Harold Scott MacDonald Coxeter. Właściwie MacDonald Scott Coxeter.

7 HSM Coxeter Coxeter zajmował się wielościanami, teorią grup dyskretnych, kombinatoryką i geometrią nieeuklidesową. Napisał 12 książek, na polski przetłumaczono Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Gorąco zachęcam do czytania (lub choćby przeglądania) w dowolnym miejscu, w którym się ta książka otworzy. Do Coxetera jeszcze wrócimy.

8 Scientific American Z Wikipedii: Najstarszy amerykański miesięcznik popularnonaukowy wydawany od 28 sierpnia 1845 roku. Jego celem jest propagowanie najnowszych osiągnięć technicznych i naukowych poza wąskie środowisko naukowców i popularyzacja nauki wśród szerokiej publiczności. Szczególną popularność wśród czytelników zyskała rubryka Mathematical Games prowadzona przez Martina Gardnera.

9 Martin Gardner Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanie Oklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma. Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się w matematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką, literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią i religią. W latach był autorem działu Mathematical Games w miesięczniku Scientific American. Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in. Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya

10 Martin Gardner Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanie Oklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma. Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się w matematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką, literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią i religią. W latach był autorem działu Mathematical Games w miesięczniku Scientific American. Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in. Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya tangram

11 Martin Gardner Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanie Oklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma. Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się w matematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką, literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią i religią. W latach był autorem działu Mathematical Games w miesięczniku Scientific American. Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in. Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya tangram parkietaż Rogera Penrose a

12 Martin Gardner Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanie Oklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma. Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się w matematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką, literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią i religią. W latach był autorem działu Mathematical Games w miesięczniku Scientific American. Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in. Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya tangram parkietaż Rogera Penrose a kryptografia z kluczem publicznych (RSA)

13 Martin Gardner Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanie Oklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma. Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się w matematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką, literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią i religią. W latach był autorem działu Mathematical Games w miesięczniku Scientific American. Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in. Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya tangram parkietaż Rogera Penrose a kryptografia z kluczem publicznych (RSA) fraktale

14 Martin Gardner Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanie Oklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma. Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się w matematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką, literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią i religią. W latach był autorem działu Mathematical Games w miesięczniku Scientific American. Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in. Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya tangram parkietaż Rogera Penrose a kryptografia z kluczem publicznych (RSA) fraktale polyomino

15 Martin Gardner Martin Gardner urodził się 21 października 1914, w Tulsie w stanie Oklahoma, zmarł 22 maja 2010 w Norman w stanie Oklahoma. Był dziennikarzem i popularyzatorem nauki. Specjalizował się w matematyce rekreacyjnej, ale interesował się również pseudonauką, literaturą (szczególnie twórczością Lewisa Carrolla), filozofią i religią. W latach był autorem działu Mathematical Games w miesięczniku Scientific American. Wśród tematów poruszonych w tym dziale były m.in. Gra Życie, wymyślona przez Johna Conwaya tangram parkietaż Rogera Penrose a kryptografia z kluczem publicznych (RSA) fraktale polyomino hex

16 Kontynuacje działu Mathematical Games i wyszukiwarka: hofst, plik djvu Po Gardnerze rubrykę, jako Metamagical Themas przejął Douglas Hofstadter (autor książki Gödel, Escher, Bach). MATHEMATICAL GAMES METAMAGICAL THEMAS

17 Kontynuacje działu Mathematical Games Po nim rubrykę Mathematical Recreations, zakończoną w 2001 roku, prowadził Ian Stewart. W numerze z września 1999 Ian Stewart pisze o Sztuce eleganckiego układania kafelków. I tym się teraz zajmiemy.

18 Ile jest rodzajów tapet? Odpowiedzi: dowolnie dużo

19 Ile jest rodzajów tapet? Odpowiedzi: dowolnie dużo potencjalnie nieskończenie wiele

20 Ile jest rodzajów tapet? Odpowiedzi: dowolnie dużo potencjalnie nieskończenie wiele itp.

21 Ile jest rodzajów tapet? Odpowiedzi: dowolnie dużo potencjalnie nieskończenie wiele itp. nie zadowalają matematyka

22 Ile jest rodzajów tapet? Odpowiedzi: dowolnie dużo potencjalnie nieskończenie wiele itp. nie zadowalają matematyka Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć:

23 Ile jest rodzajów tapet? Odpowiedzi: dowolnie dużo potencjalnie nieskończenie wiele itp. nie zadowalają matematyka Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć: Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych?

24 Ile jest rodzajów tapet? Odpowiedzi: dowolnie dużo potencjalnie nieskończenie wiele itp. nie zadowalają matematyka Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć: Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych? Istotnie to znaczy różnych, gdy pominiemy kolor, strukturę i naturę elementów.

25 Ile jest rodzajów tapet? Odpowiedzi: dowolnie dużo potencjalnie nieskończenie wiele itp. nie zadowalają matematyka Precyzyjnie postawione pytanie powinno brzmieć: Ile rodzajów tapet jest istotnie różnych? Istotnie to znaczy różnych, gdy pominiemy kolor, strukturę i naturę elementów. Przykład: Gdy abstrahujemy od wszystkiego, co dotyczy poszczególnych elementów zbiorów, tym, co różni zbiory jest ich moc.

26 Krata W gruncie rzeczy każda tapeta (lub wzorzysty materiał) jest oparta na pewnej kracie. Wynika to ze sposobu produkcji (wałki drukują wzory na beli tapety lub materiału). Taka krata to w zasadzie płaski kryształ.

27 Krata na ścianie łazienki Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica. Jak ona powstaje?

28 Krata na ścianie łazienki Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica. Jak ona powstaje? Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience).

29 Krata na ścianie łazienki Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica. Jak ona powstaje? Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience). Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe?

30 Krata na ścianie łazienki Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica. Jak ona powstaje? Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience). Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe? Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitą wielokrotność boku (translacja pionowa).

31 Krata na ścianie łazienki Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica. Jak ona powstaje? Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience). Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe? Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitą wielokrotność boku (translacja pionowa). Jeden kwadrat przesuwamy w prawo lub w lewo o całkowitą wielokrotność boku (translacja pozioma).

32 Krata na ścianie łazienki Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica. Jak ona powstaje? Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience). Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe? Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitą wielokrotność boku (translacja pionowa). Jeden kwadrat przesuwamy w prawo lub w lewo o całkowitą wielokrotność boku (translacja pozioma). Jakie symetrie ma taka krata?

33 Krata na ścianie łazienki Najprostszym wzorem kratowym jest nieskończona szachownica. Jak ona powstaje? Załóżmy, że wszystkie kwadraty są białe (ściana w łazience). Jak z jednego z nich otrzymać wszystkie pozostałe? Jeden kwadrat przesuwamy w górę lub w dół o całkowitą wielokrotność boku (translacja pionowa). Jeden kwadrat przesuwamy w prawo lub w lewo o całkowitą wielokrotność boku (translacja pozioma). Jakie symetrie ma taka krata? Co by się stało, gdyby zacząć konstrukcję od translacji, ale w dwóch kierunkach nieprostopadłych?

34 Symetrie kraty łazienkowej W gruncie rzeczy taki wzór kafelkowy jest jednoznacznie określony przez a) kształt kafelka

35 Symetrie kraty łazienkowej W gruncie rzeczy taki wzór kafelkowy jest jednoznacznie określony przez a) kształt kafelka b) środek kafelka (jeśli środek istnieje)

36 Symetrie kraty łazienkowej W gruncie rzeczy taki wzór kafelkowy jest jednoznacznie określony przez a) kształt kafelka b) środek kafelka (jeśli środek istnieje) c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków.

37 Symetrie kraty łazienkowej W gruncie rzeczy taki wzór kafelkowy jest jednoznacznie określony przez a) kształt kafelka b) środek kafelka (jeśli środek istnieje) c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków. Dla kraty łazienkowej tymi punktami są...

38 Symetrie kraty łazienkowej W gruncie rzeczy taki wzór kafelkowy jest jednoznacznie określony przez a) kształt kafelka b) środek kafelka (jeśli środek istnieje) c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków. Dla kraty łazienkowej tymi punktami są... Gdy zaczniemy konstrukcję od translacji jednego punktu, ale w dwóch kierunkach nieprostopadłych, to otrzymamy...

39 Symetrie kraty łazienkowej W gruncie rzeczy taki wzór kafelkowy jest jednoznacznie określony przez a) kształt kafelka b) środek kafelka (jeśli środek istnieje) c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków. Dla kraty łazienkowej tymi punktami są... Gdy zaczniemy konstrukcję od translacji jednego punktu, ale w dwóch kierunkach nieprostopadłych, to otrzymamy... Złożenie translacji jest translacją, a przekształcenie odwrotne do translacji też jest translacją.

40 Symetrie kraty łazienkowej W gruncie rzeczy taki wzór kafelkowy jest jednoznacznie określony przez a) kształt kafelka b) środek kafelka (jeśli środek istnieje) c) punkty na płaszczyźnie, oznaczające środki kafelków. Dla kraty łazienkowej tymi punktami są... Gdy zaczniemy konstrukcję od translacji jednego punktu, ale w dwóch kierunkach nieprostopadłych, to otrzymamy... Złożenie translacji jest translacją, a przekształcenie odwrotne do translacji też jest translacją. Mamy zatem grupę symetrii (najprostszą wśród krat), oznacza się ją p1. Składa się ona z elementów X m Y n, m, n Z.

41 Sieć Weźmy np. cyfrę 6, ułóżmy na płaszczyźnie i zastosujmy do niej wspomnianą grupę przekształceń, generowaną przez translacje: przesunięcie w prawo o odległość d i w górę pod kątem 45 o odległość d 2 2. Otrzymamy poniższy wzorek:

42 Obszar fundamentalny Połączmy sąsiednie punkty sieci odcinkami. Otrzymamy równoległobok o wierzchołkach (w oznaczeniach grupy) 1, X, Y, XY. Jest to obszar fundamentalny, bo istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy płytkami tego parkietażu i przekształceniami grupy o tej własności, że każde przekształcenia przeprowadza dowolny punkt takiej płytki na punkt tak samo usytuowany w nowej płytce.

43 Inne obszary fundamentalne Sąsiednie punkty sieci można łączyć nie tylko odcinkami, tzn. obszar fundamentalny nie musi być równoległobokiem. Musi mieć jednak takie samo pole, jak równoległobok fundamentalny (dlaczego?).

44 Czy tylko figury szkolne? Elementami tworzącymi wzór mogą być bardzo różne figury. Najciekawsze są takie figury, które (podobnie jak kwadraty) pokrywają całą płaszczyznę, przy czym nie zachodzą na siebie. Takie pokrycie płaszczyzny wielokątami nazwiemy parkietażem. Ale to nie muszą być wielokąty! I tu wkracza sztuka.

45 Parkietaże foremne Parkietaż jest foremny, gdy wszystkie tworzące go wielokąty są przystającymi wielokątami foremnymi. Istnieją tylko 3 takie parkietaże:

46 Dowód Każdy parkietaż ma swój symbol Schlafliego {p, q}: w wierzchołu schodzi się p wielokątów o q bokach. Kąt wewnętrzny p-kąta foremnego ma miarę(1 2 p )π, jesli q takich kątów schodzi sie w wierzchołku a wielokąty mają wypełniać całą płaszczyznę, to ( 1 2 ) π = 2π p q, skąd 1 p + 1 q = 1 czyli (p 2)(q 2) = 4. 2 To równanie ma tylko 3 rozwiązania w liczbach naturalnych: 4 1, 2 2, oraz 1 4, a one dają opisane parkietaże.

47 Grupy symetrii dwuwymiarowej Istnieje 17 grup symetrii krystalografii dwuwymiarowej.

48 Grupy symetrii dwuwymiarowej Istnieje 17 grup symetrii krystalografii dwuwymiarowej.

49 Grupy symetrii dwuwymiarowej

50 Grupy symetrii dwuwymiarowej Opisał je wszystkie rosyjski krystalograf J. S. Fiedorow w 1891 roku, a potem G. Polya i P. Niggli w Podobno w egipskich świątyniach użyto 16, a w pałacu Alhambra można znaleźć wszystkie 17 (wg mahometan II przykazanie zabrania przedstawień nawet ludzi, stąd wzory abstrakcyjne).

51 Alhambra

52 Alhambra

53 Alhambra

54 ICM 1954 W roku 1954 ICM odbył się w Amsterdamie. Z tej okazji zorganizowano wystawę prac holenderskiego grafika Mauritsa Cornelisa Eschera. Poniżej praca Dzień i noc.

55 M. C. Escher Wykonał 448 prac (litografie, drzeworyty itp.)

56 M. C. Escher

57 M. C. Escher Dwie przecinające się płaszczyzny (1952)

58 Escher i Coxeter W roku 1957 ukazał się artykuł Coxetera Crystal Symmetry and Its Generalizations (Trans. Royal Soc. Canada 51(1), 1957). Coxeter posłał Escherowi książeczkę A Symposium on Symmetry, gdzie zamieszczono dwie prace Eschera. Jednak to nie ich opublikowanie wstrząsnęło Escherem, a jeden z rysunków we wspomnianej pracy Coxetera.

59 Escher i Coxeter W roku 1958 Escher napisał w liście do Coxetera: Mimo że tekst Pańskiej pracy okazał się o wiele za trudny dla prostego samouka, który tylko nauczył się pokrywać płaszczynę wzorami, kilka ilustracji, a zwłaszcza jedna, wstrząsnęły mną. Od kilku lat interesują mnie wzory z malejącymi motywami, których rozmiary ciągle maleją wraz ze zbliżaniem się motywów do granicy. To zadanie jest łatwe, gdy granicą jest punkt w centrum wzoru. Nieobca jest mi również granica, która jest linią prostą, ale nigdy nie byłem w stanie wykonać wzoru, w którym malałyby wraz ze zbliżaniem się do okręgu, tak, jak to jest na Pańskim rysunku. Próbowałem zrozumieć, jak skonstruowany jest Pana wzór, ale zdołałem tylko znaleźć środki i promienie największych okręgów. [...] Czy istnieją inne sposoby zbliżania się do granicznego okręgu? [...] Mimo mej niewiedzy, użyłem Pańskiego modelu w dużym drzeworycie (wykonawszy tylko wycinek 120, odbiłem go trzykrotnie). Przesyłam Panu kopię.

60 Circle limit I

61 Escher i Coxeter stąd jedynymi trzema sposobami są: (3, 3, 3), (4, 4, 2) oraz (6, 3, 2). Odpowiadając na list Eschera, Coxeter napisał, że płaszczyznę euklidesową można pokryć białymi i czarnymi trójkątami na trzy tylko sposoby: jeśli kąty każdego trójkąta z danego parkietażu płaszczyzny mają miary π p, π q, π r i w jednym wierzchołku spotyka się p białych i p czarnych trójkatów, w innym q białych i q czarnych, a w trzecim r i r, to grupę symetrii takiego parkietażu oznacza się symbolem (p, q, r), bo generowana jest ona przez obroty o okresach p, q oraz r. A ponieważ suma miar kątów trójkąta jest równa π, więc 1 p + 1 q + 1 r = 1,

62 Escher i Coxeter Jeśli rozważamy geometrię na sferze, to rolę prostych odgrywają koła wielkie (przecięcia sfery płaszczyznami, przechodzącymi przez jej środek). Wtedy suma kątów trójkąta (tzn. takiej figury na sferze, której bokami są spójne fragmenty kół wielkich) musi być większa od π, więc wszystkie grupy symetrii określa nierówność 1 p + 1 q + 1 r > 1, której rozwiązaniami są trójki liczb (p, 2, 2), (3, 3, 2), (4, 3, 2) oraz (5, 3, 2).

63 Escher i Coxeter Natomiast w geometrii hiperbolicznej suma kątów trójkąta jest zawsze mniejsza od π, więc możliwości jest nieskończenie wiele, albowiem nierówność 1 p + 1 q + 1 r < 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych większych niż 2. W liście do syna Escher napisał: nie zrozumiałem z tego ani słowa....

64 Model Poincarego H. Poincare zaproponował następujący model płaszczyny hiperbolicznej: Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bez brzegu.

65 Model Poincarego H. Poincare zaproponował następujący model płaszczyny hiperbolicznej: Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bez brzegu. Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu D.

66 Model Poincarego H. Poincare zaproponował następujący model płaszczyny hiperbolicznej: Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bez brzegu. Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu D. Uwaga: okręgi są ortogonalne promienie w punktach przecięcia okręgów tworzą kąt prosty.

67 Model Poincarego H. Poincare zaproponował następujący model płaszczyny hiperbolicznej: Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bez brzegu. Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu D. Uwaga: okręgi są ortogonalne promienie w punktach przecięcia okręgów tworzą kąt prosty. Izometriami są:

68 Model Poincarego H. Poincare zaproponował następujący model płaszczyny hiperbolicznej: Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bez brzegu. Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu D. Uwaga: okręgi są ortogonalne promienie w punktach przecięcia okręgów tworzą kąt prosty. Izometriami są: symetrie względem średnic,

69 Model Poincarego H. Poincare zaproponował następujący model płaszczyny hiperbolicznej: Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bez brzegu. Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu D. Uwaga: okręgi są ortogonalne promienie w punktach przecięcia okręgów tworzą kąt prosty. Izometriami są: symetrie względem średnic, obroty względem środka D,

70 Model Poincarego H. Poincare zaproponował następujący model płaszczyny hiperbolicznej: Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bez brzegu. Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu D. Uwaga: okręgi są ortogonalne promienie w punktach przecięcia okręgów tworzą kąt prosty. Izometriami są: symetrie względem średnic, obroty względem środka D, inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D,

71 Model Poincarego H. Poincare zaproponował następujący model płaszczyny hiperbolicznej: Uniwersum to jednostkowe koło D na płaszczyźnie, bez brzegu. Prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu D. Uwaga: okręgi są ortogonalne promienie w punktach przecięcia okręgów tworzą kąt prosty. Izometriami są: symetrie względem średnic, obroty względem środka D, inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu D, złożenia powyższych przekształceń.

72 Model Poincarego Model Poincarego jest konforemny, tzn. odległości euklidesowe są zniekształcone, ale kąty euklidesowe są zachowane. Przykład nieeuklidesowości: przez dany punkt przechodzi wiele prostych nieprzecinających danej (czyli równoległych do danej). Co to jest ekwidystanta danej prostej na płaszczyźnie euklidesowej, a co na hiperbolicznej?

73 Trójkąty i czworokąty w modelu Poincarego Trójkąt to figura, której trzema bokami są fragmenty prostych (łuków okręgów ortogonalnych lub średnic). Trójkąt asymptotyczny ma sumę kątów wewnętrznych równą zero! Ma też skończone pole, mimo że jego boki są nieskończonej długości! W to twierdzenie nie potrafił uwierzyć Charles Dodgson i twierdził, że geometria hiperboliczna jest absurdem. A jak wygląda czworokąt?

74 Rysunek Coxetera

75 Niedoskonałości Circle limit I Escher pisze w liście do Coxetera: Będąc pierwszą próbą, Circle Limit I zawiera wiele niedoskonałości: nie dość, że kształty ryb, będąc wielokątnymi abstrakcjami, pozostawiają wiele do życzenia, to na dodatek ich ustawienie jest złe. Nie ma ani ciągłości przepływu, ani jednorodności koloru w każdym rzędzie.

76 Circle limit III Od tych niedoskonałości wolny jest Circle limit III z roku 1959.

77 Circle limit III W Hadze w roku 1968 odbyła się retrospektywa twórczości Eschera. Do katalogu tej wystawy esej opisujący matematyczne aspekty w twórczości Eschera napisał oczywiscie H.S.M. Coxeter. Znalazło się w nim zdanie: Moim zdaniem, drzeworyt byłby jeszcze piękniejszy bez tych białych łuków, które w sposób sztuczny dzielą każdą rybę na dwie nierówne części i nie mają matematycznego znaczenia. Kiedy po trzech latach esej wszedł w skład książki The World of M.C. Escher, Coxeter usunął ostatnie 5 słów.

78 Circle limit III: doskonałość artysty Escher nie dożył niestety czasu, w którym ukazały się dwie matematyczne prace Coxetera poświęcone dziełu Circle limit III. W jednej z nich Coxeter, stosując rachunki za pomocą trygonometrii hiperbolicznej dochodzi do wniosku, że te białe linie to nie proste, ale ich ekwidystanty i dochodza do brzegu dysku pod kątem niemal równym 80. Po zmierzeniu kątów na rysunku okazało się, że tak jest w rzeczywistości, mimo że Escher myślał, iż są prostopadłe. W drugiej pracy, z roku 1964, Coxeter opisał tessellations (parkietaże) płaszczyzny hiperbolicznej i okazało się, że Escher 6 lat przed nim odkrył i umieścił w Circle limit III parkietaż typu (3, 8), [6(8, 8)], (8, 3).