ITERACYJNA METODA LINIOWEGO PORZ DKOWANIA OBIEKTÓW WIELOCECHOWYCH 3

Transkrypt

1 PRZEGLD STATYSTYCZNY R. LXIV ZESZYT ANDRZEJ SOKOOWSKI 1, MAGORZATA MARKOWSKA 2 ITERACYJNA METODA LINIOWEGO PORZDKOWANIA OBIEKTÓW WIELOCECHOWYCH 3 1. WSTP Porzdkowanie obiektów wielocechowych jest wykorzystywane w rónych dyscyplinach naukowych, przy sporzdzaniu rankingów obiektów opisanych wieloma cechami oraz w zagadnieniach konstrukcji wskaników agregatowych. W literaturze polskiej tematyka ta bya poruszana i dyskutowana od do dawna, poczwszy od artykuu Hellwiga (1968). Jednym z najsawniejszych zastosowa miary agregatowej i rangowania obiektów wielocechowych jest Indeks Rozwoju Spoecznego (HDI). Histori powstania tej miary ciekawie opisuj ul Haq (2003) i Sen (2000). Metody konstrukcji wskaników agregatowych s róne. Niekiedy dzielono je na wzorcowe i bezwzorcowe, co jest o tyle niezrczne, e w tej metodologii zawsze wystpuje wzorzec (jawny lub ukryty). Pewn typow procedur postpowania zaproponowano w Handbook on Constructing Composite Indicators wydanym przez OECD w 2005 roku (z perspektywy polskiego dorobku w tym zakresie mona tu uy sowa dopiero ). Celem pracy jest przedstawienie propozycji prostej, iteracyjnej metody liniowego porzdkowania obiektów wielocechowych. 2. PORZDKOWANIE LINIOWE PROCEDURA TWORZENIA WSKANIKA AGREGATOWEGO Najpopularniejsza w polskiej literaturze procedura tworzenia wskanika agregatowego obejmuje etapy wymienione i krótko opisane poniej. Ustalenie kryterium ogólnego jest ono niemoliwe do wyraenia przy pomocy jednej zmiennej. Przykadami takich kryteriów mog by: poziom rozwoju gospodarczego, jako ycia, ocena zawodnika w grach zespoowych, uciliwo wydobycia w kopalni, jako wyszej uczelni. 1 Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, Wydzia Zarzdzania, Katedra Statystyki, ul. Rakowicka 27, Kraków, Polska. 2 Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocawiu, Wydzia Ekonomii, Zarzadzania i Turystyki, Katedra Gospodarki Regionalnej, ul. Nowowiejska 3, Jelenia Góra, Polska, autor prowadzcy korespondencj malgorzata.markowska@ue.wroc.pl. 3 Praca wykonana w ramach grantu Narodowego Centrum Nauki: 2015/17/B/HS4/01021.

2 154 Andrzej Sokoowski, Magorzata Markowska Okrelenie kryteriów pomocniczych (ewentualne) jest to pewnego rodzaju rozebranie kryterium ogólnego na sfery (czci). Ustalenie wstpnej listy zmiennych diagnostycznych na podstawie wiedzy i dowiadczenia badawczego, opinii ekspertów i przegldu literatury, z uwzgldnieniem dostpnoci danych. Ustalenie ostatecznej listy zmiennych diagnostycznych na tym etapie zazwyczaj zmienne grupuje si w podzbiory zmiennych skorelowanych i z kadej grupy wybiera zmienn reprezentantk. Niestety wielu badaczy w tym etapie, niesusznie eliminuje zmienne o wspóczynniku zmiennoci mniejszym od zadanej wartoci (patrz Sokoowski, Sobolewski, 2016). Okrelenie charakteru zmiennych stymulanty, destymulanty, nominanty. Wikszo zmiennych ma charakter oczywisty ich okrelenie jest intuicyjne, za w przypadkach wtpliwych warto zastosowa procedur Grabiskiego (1985) wykorzystujc fakt, e stymulanty powinny by dodatnio skorelowane ze stymulantami (podobnie jest dla destymulant) za ujemnie z destymulantami. Ustalenie wag jest to decyzja majca kluczowe znaczenie dla ostatecznego porzdku obiektów. Wydaje si, e najlepszym sposobem jest ustalenie wag na podstawie merytorycznej oceny cech dokonanej przez ekspertów. Najczciej, w praktyce, stosuje si wagi równe, co jest wyjciem w miar rozsdnym w myl lekarskiej zasady primo non nocere (po pierwsze nie szkodzi). Nietrafnym posuniciem jest wyliczanie wag z wartoci cech diagnostycznych, a szczególnie jako proporcjonalnych do wspóczynnika zmiennoci. Niewielu badaczy zdaje sobie spraw z tego, e moe wystpowa tzw. waenie mimowolne. Jeeli na przykad przy ustalaniu agregatowego wskanika poziomu ycia wemiemy cztery cechy charakteryzujce opiek zdrowotn, a tylko jedn charakteryzujc dochody (rednia paca) to si rzeczy ta pierwsza sfera ma wikszy wpyw na warto wskanika agregatowego. Innemu aspektowi waenia mimowolnego powicona jest niniejsza praca. Doprowadzenie cech do porównywalnoci moliwe jest zastosowanie trzech podej: normalizacji do przedziau [0;1], standaryzacji oraz przeksztace ilorazowych. Na etapie tym nastpuje zazwyczaj ujednolicenie charakteru cech, czyli przeksztacenie na stymulanty. Najpopularniejsza metoda przewiduje wykorzystanie nastpujcych wzorów:, dla stymulant, (1), dla destymulant. (2) Agregacja zmiennych doprowadzonych do porównywalnoci jest to z reguy wzór addytywny majcy posta waonej redniej arytmetycznej:, (3)

3 Iteracyjna metoda liniowego porzdkowania obiektów wielocechowych 155 gdzie: i numer obiektu, W i warto wskanika agregatowego dla i-tego obiektu, j numer cechy, m liczba cech, a j waga j-tej cechy, warto zmiennej X j obserwowanej na i-tym obiekcie (doprowadzonej do porównywalnoci), s wspóczynnik skali (zazwyczaj przyjmowany jako 1 lub 100). Efektem zastosowania zaprezentowanej procedury s wartoci wskanika agregatowego, które mona porangowa oraz przedstawi na wykresie. Jak wspomniano, najpopularniejsza procedura sprowadzania cech do porównywalnoci to wykorzystanie wzorów (1) i (2). W tych przeksztaceniach wykorzystuje si zaobserwowane najmniejsze i najwiksze wartoci zmiennych. Jeeli wystpuj wartoci odstajce lub rozkad zmiennej jest bardzo asymetryczny, to w efekcie mamy do czynienia ze sztucznym waeniem tej zmiennej. Przy asymetrii prawostronnej zmienna sztucznie zyskuje na zaznaczeniu, a przy lewostronnej traci. Dla ilustracji omawianego efektu w tabeli 1 przedstawiono wartoci dwóch cech wykorzystywanych w rankingu uczelni opublikowanym przez Perspektywy w 2015 r. Cechy te s ju doprowadzone do porównywalnoci poprzez przeksztacenie ilorazowe polegajce na dzieleniu wartoci dla danej uczelni przez warto dla uczelni najlepszej (tu mamy do czynienia ze stymulantami) i pomnoeniu wyniku przez 100. Wikszo zaprezentowanych w tabeli wartoci Preferencji pracodawców jest wiksza od 50, podczas gdy Uznanie midzynarodowe jest zdominowane przez dwie uczelnie, a wiele z nich ma wrcz wartoci mniejsze ni 10. Wartoci dwóch cech dla czoowych uczelni w 2015 r. Uczelnia Preferencje pracodawców Tabela 1. Uznanie midzynarodowe Uniwersytet Jagielloski 92,62 69,43 Uniwersytet Warszawski 98,24 100,00 Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 80,82 11,57 Politechnika Warszawska 100,00 24,82 Politechnika Wrocawska 92,53 10,89 Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisawa Staszica w Krakowie 93,40 13,75 Uniwersytet Wrocawski 83,70 22,53 Warszawski Uniwersytet Medyczny 78,74 1,90 Uniwersytet Mikoaja Kopernika w Toruniu 72,20 22,53 Gdaski Uniwersytet Medyczny 55,22 1,57 Politechnika ódzka 69,25 2,93

4 156 Andrzej Sokoowski, Magorzata Markowska Uczelnia Preferencje pracodawców Tabela 1. (cd.) Uznanie midzynarodowe Szkoa Gówna Handlowa w Warszawie 85,15 24,41 Uniwersytet Medyczny im. Karola Marcinkowskiego w Poznaniu 44,92 1,69 Politechnika Poznaska 81,38 2,91 Uniwersytet Medyczny im. Piastów lskich we Wrocawiu 61,61 0,88 Uniwersytet ódzki 65,61 16,48 Politechnika Gdaska 57,73 0,89 Uniwersytet Gdaski 66,74 2,68 Uniwersytet Medyczny w odzi 62,52 1,18 Uniwersytet lski w Katowicach 65,12 4,95 Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 81,27 1,61 Politechnika lska w Gliwicach 84,22 4,37 Uniwersytet Medyczny w Biaymstoku 46,84 1,22 Akademia Leona Komiskiego w Warszawie 50,61 43,17 Uniwersytet Medyczny w Lublinie 26,14 1,30 ródo: na podstawie Ranking szkó wyszych Perspektywy (data dostpu 20 padziernika 2016 r.). Na rysunku 1 wida bardzo wyran asymetri drugiej cechy i zdominowanie wikszoci uczelni przez kilka najlepszych. Rysunek 1. Rozkady dwóch cech dla 100 najlepszych uczelni w rankingu Perspektyw z 2015 r. ródo: obliczenia wasne.

5 Iteracyjna metoda liniowego porzdkowania obiektów wielocechowych PROPOZYCJA ITERACYJNEJ METODY LINIOWEGO PORZDKOWANIA OBIEKTÓW WIELOCECHOWYCH Proponujemy now, iteracyjn metod porzdkowania obiektów wielocechowych, która pozwala na ominicie omówionej niedogodnoci metody klasycznej. Kolejne pozycje w rankingu wyznacza si stopniowo, po jednej w kadej iteracji, a nastpnie przyporzdkowany obiekt jest eliminowany ze zbioru, w którym poszukujemy obiektu nastpnego w kolejnoci. Procedur t mona zapisa w nastpujcych krokach: 1. Wyznaczenie minimalnych i maksymalnych wartoci cech w aktualnym zbiorze (podzbiorze) obiektów. 2. Znalezienie najlepszego obiektu wedug procedury klasycznej (opisanej powyej). 3. Przyporzdkowanie temu obiektowi kolejnej rangi. 4. Usunicie tego obiektu z przetwarzanego aktualnie zbioru. 5. Powrót do punktu 1. Ten algorytm powtarzany jest a do momentu, gdy w podzbiorze pozostan trzy najgorsze obiekty. Im przyporzdkowywane s ostatnie rangi. Taka procedura wymaga równie zaproponowania nowego sposobu wyznaczania wskanika agregatowego. Przy wyznaczaniu i-tej rangi wyliczamy:, (4) gdzie: D (i+1) wspóczynnik zmniejszania si wskanika agregatowego, (i) i-ta ranga, lokalny wskanik agregatowy wyliczony przy wyznaczaniu rangi i. Ostateczna warto wskanika agregatowego wyznaczana jest wedug wzoru (5):. (5) 4. PRZYKAD ZASTOSOWANIA PROPONOWANEJ PROCEDURY Do ilustracji zaproponowanej procedury wykorzystano dane Eurostatu dotyczce 27 krajów UE, w roku Przyjto sze nastpujcych cech statystycznych: dochód narodowy na mieszkaca w cenach rynkowych, w euro, wskanik inflacji rocznej (w procentach), przecitne dalsze trwanie ycia mczyzn w momencie urodzin, w latach, wspóczynnik zgonów niemowlt (na 1000 urodze ywych), stopa bezrobocia (w procentach), procent mczyzn zagroonych ubóstwem.

6 158 Andrzej Sokoowski, Magorzata Markowska Dochód narodowy i przecitne dalsze trwanie ycia to stymulanty, za pozostae cechy to destymulanty. W procedurze cechy normalizowane s wedug wzorów (1) i (2), ale punkty odniesienia mog si zmienia, gdy obiekty rangowane s po jednym, od najlepszego do najgorszego, usuwajc ze zbioru te wartoci, dla, których rangi zostay ju wyznaczone. Na rysunku 2 pokazano jak zmieniaj si punkty odniesienia dla dwóch cech dochodu narodowego oraz stopy bezrobocia, za na rysunku 3 stosunek maksimum do minimum, dla wszystkich cech, w kolejnych krokach procedury GDP min GDP max Bezrobocie min Bezrobocie max krok procedury krok procedury Rysunek 2. Punkty odniesienia w normalizacji zmiennych ródo: obliczenia wasne. Najbardziej wyranym zmianom ulega stosunek najwikszego dochodu do najmniejszego, a na zmian punktów odniesienia najwikszy wpyw miao wyodrbnienie (a nastpnie usunicie) Luksemburga jako kraju o najwyszej randze. Na rysunku 4 widzimy, e przy porównaniu metody klasycznej z proponowan, najwiksze zmiany w porzdku nastpiy w rodkowej strefie uporzdkowania. Ogólnie rzecz biorc, dla 16 krajów z 27 analizowanych odnotowano zmiany miejsca w uporzdkowaniu, w tym: popraw o cztery pozycje dla Republiki Czeskiej oraz Sowenii, o dwie dla Cypru, a dla czterech innych krajów o jedn lokat. Spadek o najwicej pozycji w nowym uporzdkowaniu zanotowano dla Belgii i Niemiec o trzy, a o dwie dla Irlandii. Dla szeciu innych krajów (w tym dla Polski) wystpia zmiana o jedno miejsce (por. tabela 2).

7 Iteracyjna metoda liniowego porzdkowania obiektów wielocechowych GDP Inflacja Dalsze trwanie ycia mczyzn miertelno niemowlt Bezrobocie Ubóstwo krok procedury / ranga Rysunek 3. Stosunek maksimum do minimum w kolejnych krokach procedury ródo: obliczenia wasne. Ranga uzyskana metod proponowan otwa Rumunia Bugaria Litwa Estonia Wgry Pol ska Sowacja Malta Hiszpania Portugalia Grecja Republika Czeska Wochy Wielka Brytania Cypr Sowenia Belgia Niemcy Francja Finlandia Irlandia Szwecja Austria Dania Holandia Luksemburg Ranga uzyskana metod klasyczn Ry sunek 4. Porównanie rang uzyskanych metod klasyczn i proponowan metod ródo: obliczenia wasne.

8 160 Andrzej Sokoowski, Magorzata Markowska Porównanie wyników metod klasycznej i proponowanej Tabela 2. Pastwo Klasyczny wskanik agregatowy Proponowany wskanik agregatowy Rangi wedug wskanika klasycznego Rangi wedug wskanika proponowanego Rónica rang Belgia 67,5 64, Bugaria 28,5 20, Czechy 69,1 58, Dania 79,4 77, Niemcy 68,9 64, Estonia 40,4 34, Irlandia 71,9 70, Grecja 57,3 52, Hiszpania 52,9 47, Francja 69,5 65, Wochy 64,0 59, Cypr 69,2 62, otwa 23,1 18, Litwa 36,1 27, Luksemburg 86,3 86, Wgry 48,4 35, Malta 53,9 44, Holandia 84,5 80, Austria 79,1 75, Polska 47,1 36, Portugalia 60,3 51, Rumunia 26,3 18, Sowenia 72,3 63, Sowacja 51,2 37, Finlandia 72,4 68, Szwecja 78,6 74, Wielka Brytania 64,7 61, ródo: obliczenia wasne.

9 Iteracyjna metoda liniowego porzdkowania obiektów wielocechowych PODSUMOWANIE Zaproponowana metoda pozwala na zredukowanie efektu tzw. waenia mimowolnego. Procedura ustalania porzdku obiektów wielocechowych ma charakter iteracyjny i pozwala na ustalenie kolejnego obiektu najlepszego sporód tych, którym jeszcze nie nadano rangi. Kady obiekt porównywany jest tylko do tych, którym jeszcze nie zostay przyporzdkowane wysze pozycje w klasyfikacji obiektów wielowymiarowych. Poniewa punkty odniesienia (które mona traktowa jako wspórzdne wzorca) zmieniaj si w trakcie ustalania hierarchii obiektu, zatem zaproponowano nowy sposób ustalania wartoci wskanika agregatowego. LITERATURA Grabiski T., (1985), Metody okrelania charakteru zmiennych w wielowymiarowej analizie porównawczej, Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, 213, Hellwig Z., (1968), Zastosowanie metody taksonomicznej do typologicznego podziau krajów ze wzgldu na poziom ich rozwoju oraz zasoby i struktur wykwalifikowanych kadr, Przegld Statystyczny, 15 (4), Nardo M., Saisana M., Saltelli A., Tarantola S., Hoffman A., Giovannini E., (2005), Handbook on Constructing Composite Indicators, OECD Statistics Working Papers, 2005/03. Ranking szkó wyszych Perspektywy 2015, Sen A., (2000), A Decade of Human Development, Journal of Human Development, 1 (1), Sokoowski A., Sobolewski M., (2016), O niewaciwym wykorzystaniu wspóczynnika zmiennoci, XXXV Konferencja Naukowa Multivariate Statistical Analysis (MSA 2016), ksika streszcze. ul Haq M., (2003), The Birth of the Human Development Index, w: Fukuda-Parr S., Shiva Kuma A. K., (red.), Readings in Human Development, Oxford University Press, Oxford, ITERACYJNA METODA LINIOWEGO PORZDKOWANIA OBIEKTÓW WIELOCECHOWYCH Streszczenie W porzdkowaniu liniowym obiektów wielocechowych najpopularniejsz metod doprowadzania danych do porównywalnoci jest transformacja zmiennych do przedziau [0;1] z jednoczesn zamian destymulant na stymulanty. W tym przeksztaceniu wykorzystuje si zaobserwowane najmniejsze i najwiksze wartoci zmiennych. Jeeli wystpuj wartoci odstajce, lub rozkad zmiennej jest bardzo asymetryczny to w efekcie mamy do czynienia ze sztucznym waeniem tej zmiennej. Przy asymetrii prawostronnej zmienna sztucznie zyskuje na zaznaczeniu, a przy lewostronnej traci. W pracy zaproponowano now, iteracyjn metod porzdkowania obiektów wielocechowych, która pozwala na ominicie omówionej niedogodnoci metody klasycznej. Dalsze pozycje w rankingu wyznacza si kolejno, po jednej w kadej iteracji, a przyporzdkowany obiekt jest eliminowany ze zbioru, w którym poszukujemy obiektu nastpnego w kolejnoci. Taka procedura wymagaa równie zaproponowania nowego sposobu wyznaczania wskanika agregatowego. Sowa kluczowe: porzdkowanie liniowe, wskaniki agregatowe

10 162 Andrzej Sokoowski, Magorzata Markowska ITERATIVE METHOD FOR LINEAR ORDERING OF MULTIDIMENTIONAL OBJECTS Abstract Transformation into [0;1] interval combined with changing destimulants into stimulants is the most popular method for standardizing variables used in linear ordering of multidimentional objects. Minimum and maximum values are used as reference points. Outliers and very skewed distributions result in artificial weighing of variables, imposing higher relative importance of the variable with positive skewness and lower with negative skewness. A new linear ordering procedure is proposed to overcome this problem. Ranking positions are identified one at a time, and assigned object is then eliminated from the lot. Such iterative procedure needs a new method for obtaining composite indicators, and it is also proposed in the paper. Keywords: linear ordering, composite indicators