Wciągu ostatniego roku szkolnego. dla. Trudna matematyka

Transkrypt

1 Trudna matematyka dla małych Rys. E. Karolczak Kółko matematyczne dla 9-latków to ciekawe i wdzięczne zadanie dla nauczyciela matematyki. Okazuje się, że można z nimi rozwiązywać takie same zadania jak z gimnazjalistami. n ZUZANNA SIMON Wciągu ostatniego roku szkolnego po raz kolejny prowadziłam kółko matematyczne dla klas trzecich szkoły podstawowej. To ciekawe i wdzięczne, choć niełatwe zadanie. Większość dziesięciolatków wciąż jeszcze lubi matematykę i nieźle z nią sobie radzi. Są ciekawi świata również tego całkiem abstrakcyjnego i odkrywanie go stanowi nie lada frajdę. Możliwość uczestniczenia w różnych konkursach i zajęciach prowadzonych przez prawdziwego matematyka jest z kolei nobilitująca. Mimo to, taką inicjatywę można spotkać dość rzadko, a powodów jest kilka. Zajęcia w III klasie prowadzi pani od wszystkiego, która niekoniecznie ma czas, ochotę i pomysł na kółko. Co gorsza, w wielu przypadkach matematyki trochę wyższej nie lubi i nie rozumie. Z kolei nauczycieli klas starszych praca z maluchami nie pociąga: dzieci łatwo zapominają i szybko się nudzą, zajęcia muszą więc być ciekawe nie tylko w treści, ale też i w formie. Tymczasem wiedza matematyczna trzecioklasistów ogranicza się do znajomości tabliczki mnożenia i nazw kilku figur geometrycznych. Na tej podstawie trudno jest wymyślić coś ciekawego, nie ulegając zdradliwej pokusie przerabiania materiału z następnej klasy. Gorąco zachęcam do eksperymentowania, a przy okazji podsuwam kilka pomysłów na poprowadzenie kółka z maluchami. Ponieważ część, lub nawet wszystkie zaproponowane tematy w małym stopniu zahaczają o program nauczania w szkole podstawowej, można również przerabiać je z uczniami klas starszych. Mierzenie i ważenie. Znakomitym tematem do pracy z trzecioklasistami jest mierzenie i ważenie. Zacznijmy od długości: w dzisiejszych czasach na prawie całym świecie ludzie posługują się systemem metrycznym, a więc długość mierzą w metrach (cm, km itd.) To wygodne, ale i nudne. Puśćmy wodze fantazji i zastanówmy się, jak mogli mierzyć długość ludzie pierwotni, nie posiadający żadnych miarek. Dajmy dzieciom do zmierzenia w ich własnych jednostkach kilka obiektów wysokość drzwi albo kolegi; długość parapetu lub korytarza szkolnego; obwód stolika lub klasy. 4/

2 Takie zadanie, wykonywane w grupach, wymaga współpracy, inwencji i... zdolności gimnastycznych jak bowiem zmierzyć w stopach wysokość drzwi, albo w łokciach długość korytarza? Daje też okazję do poruszenia ważnych kwestii doboru jednostek, dokładności i błędu pomiaru. Na kolejnych zajęciach możemy podyskutować o jednostkach używanych w dawnej Polsce i w innych częściach świata (konkretnie w USA). Kto z nas wie, co pierwotnie znaczyły pojęcia piędź, sążeń, staje czy wiorsta? Ile centymetrów miał łokieć osiemnastowiecznego Polaka, a ile mają nasze łokcie? Również w przypadku ważenia i mierzenia objętości możemy się zająć różnymi jednostkami i ich wzajemnym przeliczaniem. Żeby się jednak nie znudzić, proponuję wzbogacenie zajęć o zadania z fałszywymi monetami i z przelewaniem. Mimo że pochodzą one ze zbiorów zadań dla znacznie starszych dzieci, maluchy świetnie sobie z nimi radzą wystarczy wspólnie rozwiązać przykład na tablicy. Oczywiście, nie za pomocą równań diofantycznych ani też schematów proponowanych niekiedy przez autorów zbiorów zadań. Najlepiej będzie zrobić serię rysunków. Grafy. Tematem wdzięcznym, a zapomnianym przez program nauczania, jest teoria grafów. Proponuję zapoznanie dzieci z klasycznymi problemami mostów królewieckich i chińskiego pocztyliona, a także zajęcie się zadaniami, przy których rozwiązania graficzne nasuwają się same przez się. Nie zagłębiając się w skomplikowane twierdzenia, można też zagrać w grę Ramseya: rysujemy układ punktów wierzchołków grafu. Zadaniem jednej osoby jest zaznaczenie swoim kolorem kliki a więc połączenie kilku punktów krawędziami każdy z każdym a zadaniem drugiej osoby jest przeszkodzenie w tym, przez zaznaczanie krawędzi swoim kolorem. W najprostszej wersji rysujemy 6 wierzchołków i zadaniem gracza pierwszego jest narysowanie trójkąta. Gry. Dobre źródło zadań, jak i fantastyczną formę zajęć stanowią gry. Dzieci uwielbiają quizy, zgadywanki, czy drużynowe mecze matematyczne, zwłaszcza jeśli do zdobycia są chociażby symboliczne nagrody. Z drugiej strony, w oparciu o przynajmniej trzy gry skarby (czyli sapera), okręty i mastermind powstały klasyczne łamigłówki, które często można spotkać zarówno w kącikach szaradziarskich (np. w Wiedzy i Życiu ), jak i na poważnych, międzynarodowych zawodach. Ułatwione wersje takich łamigłówek proponowałam moim małym uczniom i bardzo im się podobały! Na następnych stronach zamieszczam przykładowe zadania. Czasem aż trudno uwierzyć, ale dzieci z niewielką pomocą rzeczywiście je rozwiązywały. Zadania o przelewaniu i studniach pochodzą z Miniatur matematycznych nr 4 wydawnictwa Aksjomat, Toruń Zadania o monetach z Wrocławskich konkursów matematycznych (red. Z. Słomian, wyd. Mat, Wrocław 1999) oraz książeczki Gardnera Moje najlepsze zagadki (wyd. Quadrivium, Wrocław 1998), master mind z Wiedzy i Życia z marca I DŁ UGOŚĆ Zadanie 1. Miary długości w dawnej Polsce. Uzupełnij wykropkowane miejsca. PIĘDŹ 1 STOPA około... cm 1 ŁOKIEĆ = 2 stopy około... cm 1 SĄŻEŃ = 3 łokcie około... cm 1 STAJE około 100 sążni, czyli... m 1 MILA POLSKA średnia około 7 km matematyka

3 Zadanie 2. Stopy i cale amerykańskie. Zaznacz w tabelce swój wzrost w centymetrach i odczytaj, ile to stóp i cali. 3 stopy 4 stopy 5 stóp 0 cali 90 cm 120 cm 150 cm 1 cal 92,5 cm 122,5 cm 152,5 cm 2 cale 95 cm 125 cm 155 cm 3 cale 97,5 cm 127,5 cm 157,5 cm 4 cale 100 cm 130 cm 160 cm 5 cali 102,5 cm 132,5 cm 162,5 cm 6 cali 105 cm 135 cm 165 cm 7 cali 107,5 cm 137,5 cm 167,5 cm 8 cali 110 cm 140 cm 170 cm 9 cali 112,5 cm 142,5 cm 172,5 cm 10 cali 115 cm 145 cm 175 cm 11 cali 117,5 cm 147,5 cm 177,5 cm II WAŻ ENIE I FAŁ SZYWE MONETY Zadanie 1. Jeden funt to około 45 dag. Pani waży 130 funtów. Ile to kilogramów? Zadanie 2. Z ośmiu monet jedna jest fałszywa (lżejsza). Jak, przy użyciu wagi szalkowej bez odważników, za pomocą dwóch ważeń znaleźć fałszywą monetę? Zadanie 3. Wśród 15 monet jedna jest fałszywa (różniąca się od pozostałych ciężarem). Jak za pomocą nie więcej niż dwóch ważeń, na wadze szalkowej bez odważników, ustalić czy jest ona cięższa, czy lżejsza od pozostałych? Zadanie 4. Masz 10 stosów monet, w każdym jest 10 dwuzłotówek. Cały jeden stos składa się z monet fałszywych, ale nie wiadomo, który. Znasz wagę monety prawdziwej i wiesz, że fałszywa waży o 1 g więcej. Możesz ważyć monety na wadze z podziałką. Jak za pomocą jednego ważenia stwierdzić, który stos zawiera fałszywe monety? III PRZELEWANIE TO NIE PRZELEWKI Zadanie 1. Jednostki objętości. Uzupełnij tabelkę: litr galon (USA) 1 l = 1 dm 3 1 galon ok. 4,5 l 1 galon =... uncji 1 l =... ml 1 galon = 4 kwarty 1 kwarta = ok.... l 1 l =... dl 1 kwarta = 32 uncje 1 uncja = ok.... ml Zadanie 2. W jaki sposób za pomocą dwóch naczyń o pojemności odpowiednio 5 litrów i 17 litrów odlać z cysterny dokładnie 12 litrów mleka? Zadanie 3. W butli jest 12 litrów wina. Połowę tej ilości należy przelać do pustego naczynia, posługując się dwoma naczyniami o pojemności 8 litrów i 5 litrów. Jak odmierzyć dokładnie połowę wina? Zadanie 4. Z rzeki trzeba zaczerpnąć dokładnie jeden litr wody, używając do tego celu dwóch naczyń o pojemności odpowiednio 3 litry i 5 litrów. Jak to zrobić? Zadanie 5. W wiadrze jest co najmniej 10 litrów mleka. Czy można odlać z niego 6 litrów, posługując się dwoma naczyniami o pojemności odpowiednio 9 i 5 litrów? A naczyniami o pojemności 5 i 10 litrów? IV GRAFY W ZADANIACH Zadanie 1. Czterej chłopcy, Tomek, Paweł, Mirek i Zbyszek, biorą udział w zajęciach prowadzonych przez jeden klub sportowy. Każdy z nich należy do jednej sekcji: piłkarskiej, lekkoatletycznej, koszykarskiej lub siatkarskiej, każdy do innej. Tomek, Mirek i siatkarz są uczniami tej samej klasy. Tomek i Paweł chodzą na treningi razem pieszo, zaś piłkarz 4/

4 dojeżdża autobusem. Lekkoatleta nie zna ani siatkarza, ani koszykarza. Do jakich sekcji należą poszczególni chłopcy? Zadanie 2. Na rysunku widzimy 5 domów (A, B, C, D, E) oraz 5 studzien (1, 2, 3, 4, 5), a także ścieżki prowadzące od poszczególnych domów do odpowiednich studzien. I tak np. mieszkańcy domu A mogą czerpać wodę ze studni 2 oraz ze studni 5. Do studni 2 mają też dostęp mieszkańcy domu D i domu B, itd. Zdarzyło się, że mieszkańcy owych domów skłócili się ze sobą i nie chcieli odtąd spotykać się przy tej samej studni. Czy można, nie wytyczając nowych ścieżek, każdemu z domów przydzielić dokładnie jedną studnię w taki sposób, aby nie dochodziło do kolizji? Zadanie 2. Skarby. W 20 polach diagramu ukryto skarby. Liczba w danym polu oznacza, w ilu sąsiednich kratkach stykających się z polem z liczbami bokiem lub rogiem znajdują się skarby. W kratkach z liczbami skarbów nie ma. Oznacz wszystkie pola ze skarbami. V GRY Zadanie 1. Bitwa morska. Na stupolowym akwenie rozmieszczona została (i natychmiast utajniona) flota złożona z dziesięciu okrętów: czteromasztowca, dwóch trójmasztowców, trzech dwumasztowców i czterech jednomasztowców. Okręty umieszczone są w rzędach i kolumnach żadne dwa nie zajmują stykających się, nawet rogami, pól. Liczby przy brzegach oznaczają, ile pól w danym rzędzie zajętych jest przez flotę. Zadanie polega na rozmieszczeniu wszystkich okrętów. Zadanie 3. Mastermind. Zadanie polega na rozszyfrowaniu układu z trzech różnych cyfr. Kluczem do rozwiązania są trzy podane układy trzycyfrowe i ocena ich zgodności z szukanym. Biała gwiazdka oznacza właściwą cyfrę, ale na niewłaściwym miejscu, czarna dobrą cyfrę na dobrej pozycji matematyka

5 Rozwiązania II. 2. Najpierw proponuję rozwiązać zadanie pomocnicze, w którym mamy wykryć jedną fałszywą monetę z trzech. Ponieważ nie ma sensu kłaść na jednej szalce wagi jednej, a na drugiej dwóch monet, jedną musimy odłożyć na bok i porównać dwie pozostałe. Gdy na tablicy narysujemy możliwe położenia szalek, od razu widać rozwiązanie. Teraz przechodzimy do sytuacji ośmiu monet i szybko pojawia się propozycja, aby dwie z nich odłożyć na bok i porównać dwie trójki. Jeśli ważą jednakowo, to kolejnym ważeniem wykrywamy lżejszą monetę z dwóch odłożonych, jeśli nie to szukamy tej w lżejszej trójce poznanym wcześniej sposobem. Warto też zauważyć, że trzy ważenia dają rozwiązanie bez kombinowania. II. 4. Zwróćmy uwagę, że tu nie ma porównywania waga jest z podziałką. Zastanówmy się najpierw jak to zrobić, mając trzy kupki po 3 monety. Jeśli zważymy dwie monety, wybrane z pierwszej i drugiej kupki, i waga będzie prawidłowa, to znaczy że cięższe monety są w trzeciej kupce. Ale jeśli dwie zważone dają wynik o 1 g za duży, to wiemy tylko, że to pierwszy lub drugi stosik zawiera monety fałszywe. Trzeba więc zważyć tak, aby wynik ważenia powiedział nam więcej. Możemy to osiągnąć kładąc na wadze jedną monetę z pierwszej kupki i dwie z drugiej. Wynik będzie o 1 lub o 2 g większy od prawidłowego, co oznacza że fałszywe monety są w pierwszym bądź odpowiednio drugim stosie. Uogólnienie jest już proste: mając 10 stosów, wybieramy jedna monetę z pierwszego, dwie z drugiego, trzy z trzeciego,..., 9 z dziewiątego i ważymy. Jeśli wynik jest prawidłowy, to fałszywe monety są w dziesiątym stosie. Jeśli nie, to patrzymy o ile gramów za dużo ważą nasze monety i ta liczba jest numerem poszukiwanego stosu fałszywych monet. II. 3. W tym zadaniu nie poszukujemy fałszywej monety, mamy tylko zbadać czy jest ona lżejsza, czy cięższa od prawdziwych. Wystarczy więc porównać dwie piątki monet, a następnie jedną z nich z piątką pozostałych. III. W tej serii zadań trzeba rysować, a może nawet przelewać wodę używając kubeczków o umownej pojemności. III. 2. Korzystamy z równości 12 = /

6 III. 3. Przydatne równości to: 3 = 8-5 i 6 = 2 3 V. 1. Okręty rozmieszczone są następująco 1 : III. 4. Tu pomaga równość: 1 = III. 5. Mamy: 1 = i 6 = Natomiast używając naczyń 5- i 10-litrowych możemy odmierzyć tylko liczbę litrów podzielną przez 5 to powinno być dla dzieci oczywiste. IV. 1. To zadanie zasługuje na uważne czytanie. Z podanych informacji od razu wynika, że Tomek nie jest siatkarzem ani piłkarzem. Nie jest też lekkoatletą, bo zna Pawła i Mirka. Tomek jest więc koszykarzem, a lekkoatletą jest Zbyszek. Paweł nie jest piłkarzem (bo chodzi pieszo), jest zatem siatkarzem, a piłkarzem jest Mirek. V. 2. Pola ze skarbami oznaczono V. 3. Prawidłowy wynik to 406. IV. 2. Oto propozycja przydziału studni mieszkańcom domów q ZUZANNA SIMON nauczycielka w Szkole Podstawowej OO. Pijarów w Warszawie. 1 Podobnym zagadkom poświęcone jest czasopismo Obrazki logiczne. ( matematyka