Harmonogramowanie robót budowlanych z zastosowaniem algorytmu Tabu Search z rozmytymi czasami wykonania zada

Transkrypt

1 Harmonogramowanie robót budowlanych z zastosowaniem algorytmu Tabu Search z rozmytymi czasami wyonania zada 76 Dr in. Magdalena Rogalsa, Politechnia Lubelsa, dr in. Wociech Bo eo, dr hab. in. Zdzis aw Heduci, Politechnia Wroc awsa, dr Mieczys aw Wodeci, Uniwersytet Wroc awsi 1. Wprowadzenie Praca ta stanowi ontynuac studiów autorów [1, 2, 3, 4, 21] nad zagadnieniami zwi zanymi z uwzgl dnieniem niepewno ci w harmonogramowaniu robót budowlanych. Jednym ze sposobów reprezentowania niepewno ci est zastosowanie elementów teorii zbiorów rozmytych, umo liwia cych oszacowanie czasów wyonania prac oraz cylu realizaci omplesu robót. Do rozwi zania zagadnienia szeregowania prac, w ramach esperymentu obliczeniowego, zastosowano metaheurysty przeszuiwania z zabronieniami (ang. tabu search, w srócie TS z modyþ ac uwzgl dnia c niepewne czasy robót ao liczby rozmyte w trzypuntowe reprezentaci. Zagadnienie obliczeniowe dotyczy problemu optymalizaci ombinatoryczne, o du e z o ono ci obliczeniowe, nale ce do lasy problemów NP-trudnych. Realizaca obietów budowlanych zwi zana est cz sto z poawia cymi si w tou robót przerwami technologicznymi, organizacynymi i innymi. Czynnii zewn trzne i za ócenia wewn trzne wyst pu ce w procesie budowy, przewidywalne i nieprzewidywalne, s przyczyn dezatualizaci harmonogramów i wyst powania odchyle od ustalonych w umowach terminów realizaci zaontratowanych robót. Dlatego poszuue si sposobów ore lania danych, niezb dnych w procesie decyzynym, do wyznaczania realnych terminów wyonania zada inwestycynych. Konsewenc b dów s w pratyce wysoie ary umowne (straty Þ nansowe przedsi biorstw i os abienie wiarygodno ci Þ rm budowlanych, a nawet wyluczenie z procesów przetargowych. W artyule przedstawiono problem harmonogramowania robót budowlanych z rozmytymi czasami wyonania prac z zastosowaniem algorytmu metaheurystycznego, opartego na metodzie przeszuiwania z zabronieniami, do rozwi zania zagadnienia szeregowania zada. Pod to prób oszacowania redniego b du wzgl dnego rozwi za wyznaczonych przez algorytm dla zaburzonych danych, w stosunu do nalepszych rozwi za, ao miary ryzya przedsi wzi cia budowlanego. Mo e on na przy ad s u y ao parametr umo liwia cy oszacowanie wielo ci ryzya i ontyngenci czasu realizaci przedsi wzi cia budowlanego, wielo ci buforów czasu (wg. metodyi CCS/BM, ao wspomaganie procesów decyzynych. Przed przyst pieniem do robót bardzo trudno est ore li ednoznacznie czasy wyonywania poszczególnych prac i wielo za óce mog cych poawi si w tracie wyonania zadania inwestycynego. Zawisa te mo na uwzgl dni np. stosu c liczby rozmyte. Pierwsze prace dotycz ce harmonogramowania z rozmytymi danymi dotyczy y metody PERT [17]. Autorzy prac [5, 12, 13, 17] ao edni z pierwszych uwzgl dnili rozmyte parametry w lasycznych modelach szeregowania zada edno- i wielomaszynowych. Dla rozwi zywania ogólnego problemu sieciowego z ograniczeniami zasobowymi, w pracach [9, 10] zaprezentowano heurystyi uwzgl dnia ce rozmyte parametry czasowe. Nale y równie zaznaczy szeroo stosowane pode cie do ore lania niepewnych parametrów za pomoc roz adów zmiennych losowych [16, 19], co wymaga zebrania danych statystycznych. 2. Podstawowe za o enia Prezentowane zagadnienie sprowadza si do lasycznego problemu szeregowania zada permutacynego problemu przep ywowego [7, 8, 15] z ryterium C odpowiednia typowego problemu harmonogramowania robót budowlanych. W literaturze est on oznaczany przez F C. W pracy przedstawiono ide algorytmu opartego na metodzie przeszuiwania z zabronieniami z rozmytymi czasami wyonywania robót, w trzypuntowe reprezentaci [16, 17]. Do modelowania robót budowlanych przy to potoow metod organizaci robót zapewnia c ci g o wyonywania prac. Warune ten spe nia metoda sprz e czasowych MSC I [11, 18]. Zaleca si sto-

2 sowa w przypadu, iedy podstawowym za o eniem est zapewnienie ci g o ci wyonywania procesów (P 1,P 2,...,P n na dzia ach roboczych. Zwyle wi e si to z zapewnieniem ci g o ci technologiczne lub organizacyne, np. przy realizaci robót ci g ych betonowaniu onstruci. Zdarza si, e nietóre Þ rmy wyonawcze, szczególnie wysoo wyspecalizowane, stawia ao warune ontratu zapewnienie ci g o ci ich prac. Dane do oblicze przymuemy wed ug opracowane strutury podzia u prac (WBS wyznaczane w sposób normatywny lub oszacowane ao czasy wyonania robót (T 1,1,T 1,2,...,T n,m na dzia ach roboczych (S 1,S 2,..., S n. Jao efet oblicze otrzymamy ca owity czas wyonania przedsi wzi cia TT. Za ada si warune ci g o ci polega cy na zastosowaniu zerowych sprz e czasowych eliminu cych przerwy czasowe (LT 1,1,LT 1,2,...,LT n,m pomi dzy procesami w tou a olenymi czyli zagwarantowana zostanie ci g o procesów (P 1,P 2,...,P n. Na rysunu 1 przedstawiono powi zania priorytetowe, dla tórych przerwy czasowe LT s równe zeru. Zagadnienie harmonogramowania rozpatrywanego przedsi wzi cia budowlanego mo na sprowadzi do standardowego problemu szeregowania zada permutacynego problemu przep ywowego (ß ow shop problem [8], w tórym zadania nale y oleno wyona na maszynach z pewnego zbioru. Adewatne po cia z teorii szeregowania zada przy to w metodyce harmonogramowania przedsi wzi budowlanych z wyorzystaniem algorytmów metaheurystycznych [20]. 3. Permutacyny problem przep ywowy WEJ CIE S 1...S n P P m LT 1,1.LT n.m = 0 P 2, S 1 P 2, S 2 P 2, S 3 T 1,1...T n,m P 1, S 1 P 1, S 2 P 1, S 3 P 3, S 1 P3, S 2 P 3, S 3 Rys. 1. Powi zania priorytetowe w metodzie sprz e czasowych MSC I, [11, 18] Korzysta c z oznacze przy tych w teorii szeregowania zada, optymalizaca harmonogramów budowlanych wymaga znalezienia w a ciwych modeli obliczeniowych uwzgl dnia cych przy te ograniczenia. S one podstaw opracowanych algorytmów i programów omputerowych. W problemie przep ywowym [8, 15], dany est zbiór n zada J={1,2,...,n}, tóre nale y wyona oleno, bez przerywania, na a de z m maszyn ze zbioru M={1,2,...,m}. Wyonywanie zadania na maszynie (dla =2,...,m mo e si rozpocz dopiero po zao czeniu wyonywania tego zadania na maszynie -1 oraz oleno wyonywania zada na wszystich maszynach musi by taa sama. Ka da maszyna w dowolne chwili mo e, co nawy e, wyonywa edno zadanie. Niech p i, b dzie czasem wyonywania zadania i na maszynie. Nale y wyznaczy oleno wyonywania zada (ta sam dla a de maszyny, tóra minimalizue C ={C i,m : i=1,2,...,n}, gdzie C i,m est czasem zao czenia wyonywania zadania i na ostatnie, m-te maszynie. Je eli liczba maszyn wynosi trzy lub wi ce, wówczas problem ten est silnie NP-trudny [6]. W ostatnich latach opubliowano wiele algorytmów metaheurystycznych rozwi zywania problemu przep ywowego. Nalepsze z nich s oparte na metodzie poszuiwania z zabronieniami [8, 15]. Wyznaczane przez nie rozwi zania, dla reprezentatywne grupy przy adów, tylo nieznacznie ró ni si od nalepszych znanych obecnie w literaturze. atwo zauwa y, e rozpatrywany problem przep ywowy sprowadza si do wyznaczenia permutaci optymalne (o minimalnym terminie zao czenia wyonywania zada w zbiorze wszystich permutaci zada J={1,2,...,n}. 4. Metoda przeszuiwania z tabu Zamieszczone w literaturze wynii porównawcze wsazu, e do wyznaczania bardzo dobrych rozwi za przybli onych, dla wi szo ci lasycznych NP-trudnych problemów szeregowania zada (np. ß ow shop, ob shop, nalepsze s algorytmy oparte na metodzie poszuiwa z zabronieniami. Generalnie, metoda ta polega na iteracynym polepszaniu bie cego rozwi zania poprzez loalne przeszuiwanie. Rozpoczyna si od pewnego rozwi zania pocz towego (startowego x 0. W a de iteraci, dla bie cego rozwi zania x i, wyznacza si ego otoczenie N(x i podzbiór zbioru rozwi za dopuszczalnych. Otoczenie est generowane przez ruchy, t. ustalone przeszta cenia rozwi zania x i. Nast pnie, z otoczenia est wyznaczany nalepszy element x i1, tóry przymue si za bie ce rozwi zanie w nast pne iteraci. Dopuszcza si przy tym mo liwo zwi szania warto ci funci celu (przy wyznaczaniu nowego bie cego rozwi zania, aby w ten sposób zwi szy szans na osi gni cie minimum globalnego. Taie ruchy w gór WYJ CIE nale y edna w pewien sposób ontrolowa, poniewa w przeciwnym razie, po osi gni ciu minimum TT TT min loalnego, nast pi by szybi do niego powrót. Aby zapobiec generowaniu, w nowych iteracach rozwi za niedawno rozpatrywanych (powstawaniu cyli, zapami tue si e (ich atrybuty na li cie rozwi za zaazanych, tzw. li cie tabu. 77

3 78 Niech π b dzie dowoln permutac startow, TL list tabu, a π nalepszym do te pory znalezionym rozwi zaniem (za rozwi zanie startowe oraz π mo na przy dowoln permutac, np. wyznaczon przez algorytm onstrucyny NEH [14]. Schemat algorytmu przeszuiwania z tabu (TSF repeat Wyznaczy otoczenie N(π permutaci π; Usun z N(π permutace zaazane przez list TL; Znale permutac δ N(π ta, e: F(δ = min {F(β : β N(π}; if F(δ < F(π then π δ; Umie atrybuty δ na li cie TL; π δ; until Warune_Zao czenia. Waruniem zao czenia est zazwycza ustalona liczba iteraci lub czas oblicze. Zasadnicze znaczenie w implementaci metody TS ma sposób generowania i przegl dania otoczenia oraz organizaca listy ruchów zaazanych. Ruch i otoczenie W a de iteraci algorytmu TS est wyznaczane otoczenie podzbiór zbioru rozwi za dopuszczalnych. Jest on generowany przez ruchy przeszta cenia ore lone na zbiorze wszystich permutaci. W wielu dobrych algorytmach rozwi zywania problemów szeregowania zda, otoczenie est generowane przez ruchy typu wstaw (ang. insert. Niech i l ( l b dzie par pozyci w permutaci: π = (π(1, π(2,..., π(-1, π(, π(1,..., π(l-1, π(l, π(l1,... π(n. Ruch typu wstaw (i-ruch i l, polega na przestawieniu zadania π( z pozyci na pozyc l. Generue on now permutac i l (π = π l. Je eli < l, to nowa permutaca π l = (π(1, π(2,..., π(-1, π(1,..., π(l-1, π(l, π(, π(l1,... π(n. Podobnie est, gdy > l. Przez R(π oznaczamy zbiór wszystich taich ruchów. Otoczeniem permutaci π, generowanym przez ruchy R(π, est zbiór: N(π = {i l (π : i l R(π}. Liczba elementów tego otoczenie est równa n(n-1. Lista ruchów zaazanych Aby zapobiec powstawaniu cyli (powrotowi do te same permutaci, po niewielie liczbie iteraci algorytmu, pewne atrybuty a dego ruchu zapami tue si na li cie ruchów zaazanych. Obs ugiwana est ona na zasadzie olei FIFO. Wyonu c ruch i r R(π (t. generu c z π permutac π r na list zapisuemy atrybuty tego ruchu, tró : (π(r,, F(π r. Za ó my, e rozpatruemy ruch i l R(β generu cy permutac β l. Je eli na li cie est tróa (r,, Ψ taa, e β( =r, l = oraz F(β Ψ to ruch tai eliminuemy (usuwamy l ze zbioru R(β.. Z o ono obliczeniowa algorytmu opartego na metodzie przeszuiwania z tabu zale y od sposobu realizaci ego elementów, t. metody wyznaczania otoczenia, organizaci oraz d ugo ci listy, sposobu wyliczania warto ci funci celu oraz warunu zao czenia. 4. Algorytm przeszuiwania z tabu (TSF z rozmytymi czasami wyonywania zada Niepewne czasy wyonywania zada na maszynach b d reprezentowane przez trzypuntowe liczby rozmyte gdzie p = ( p, p, p i, i, i, i, i, i, i, p p p dla i J, M. Funca przynale no ci taie liczby est przedstawiona na rysunu p i, min p i, med Wyniiem dzia a arytmetycznych na liczbach rozmytych est liczba rozmyta [3]. Je eli wi c czas wyonywania zadania π(i na maszynie est ore lony przez liczb rozmyt p = ( p, p, p, ( i, ( i, ( i, ( i, to wówczas termin ego zao czenia est liczb rozmyt postaci: C, C, C, ( ( i, ( i, ( i, ( i, min med gdzie C ( i,, C ( i, oraz C ( i, mo na wyznaczy z nast pu cych zale no ci reurencynych: C = { C, C } p, min min min min ( i, ( i 1, ( i, 1 ( i, C = { C, C } p, med med med med ( i, ( i 1, ( i, 1 ( i, p i, Rys. 2. Funca przynale no ci trzypuntowe liczby rozmyte p = i, (pmin, i, pmed, i, p i, C = { C, C } p, ( i, ( i 1, ( i, 1 ( i,

4 z warunami pocz towymi C (0, (0, (0, = 1,2,..., m oraz C (,0 (,0 (, i= 1, 2,..., n. i i i o Czas wyonywania wszystich zada (w oleno ci π est ta e liczb rozmyt C ( = ( C, C, C. ( n, m ( n, m ( n, m Dla porównywania rozmytych warto ci funci celu zosta a zastosowana s aba regu a porównania [10]. W przypadu trzypuntowe liczby rozmyte C (π funca defuzyþ acyna est wówczas postaci: 1 I( C C C C C 4 min med med ( = ( ( n, m ( n, m ( n, m ( n, m Uwzgl dnia c za o enia dotycz ce czasów wyonywania zada (liczby rozmyte w trzypuntowe reprezentaci, doonano odpowiednich modyþ aci, przedstawionego w poprzednim rozdziale, algorytmie TSF. T wers algorytmu b dziemy oznaczali przez TSF Roz. Przeprowadzono esperymenty obliczeniowe dotycz ce porównania dzia ania algorytmu deterministycznego TSF i z danymi rozmytymi TSF Roz. Oba algorytmy by y testowane na losowo generowanych przy adach. Dane zwane dale deterministycznymi generowano w nast pu cy sposób. Dla ustalone liczby zada n oraz maszyn m losowano z przedzia u [30, 100] (zgodnie z roz adem ednostanym czasy wyonywania zada na maszynach p i,, i=1,2,..., n, = 1, 2,..., m. Dla a dego n i m losowano w ten sposób 10 przy adów. Niepewne czasy wyonywania zada p i, =1,2,..., n, = 1, 2,..., m s reprezentowane przez trzypuntow liczb rozmyt gdzie p p ( p, p, p, i, i, i, med min i, = i,, pi = pi pi oraz,,, / 6 pi, = pi, pi, / 3. Je eli p i, = ( pi,, pi,, pi, (i=1,2,..., n, =1, 2,..., m est rozmytym czasem wyonywania zadania, to czas zaburzony generowano losowo zgodnie z roz adem min ednostanym na przedziale [ pi,, p i, ]. Dla a dego przy adu rozwi zanego przez algorytm A {TSF, TSF Roz } wyznaczono procentowy b d wzgl dny (wzgl dne odchylenie A * F F = 100%, * F gdzie F A est warto ci rozwi zania wyznaczonego przez algorytm A, a F * warto ci wyznaczon przez nalepszy obecnie algorytm zamieszczony w pracy [8]. rednie warto ci tych b dów δ aprd Roz oraz δ aprd. (z 10 przy adów danych zaburzonych, dla a dego rozmiaru zamieszczono w tabeli 1. Tabela 1. rednie b dy wzgl dne algorytmów (w % Liczba zada n Algorytm detrministyczny TSF ( redni b d wzgl dny δ aprd Na podstawie zamieszczonych wyniów mo emy stwierdzi, e rozwi zania (t. permutace, czyli oleno ci wyonywania zada wyznaczone przez algorytm rozmyty TSF Roz s znacznie bardzie stabilne. Niepewno szacunów czasów wyonywania zada, dla rozwi zania uzysanego przez algorytm rozmyty, ma znacznie mnieszy wp yw na ostateczny czas wyonania wszystich zada ni w przypadu rozwi zania wyznaczonego przez algorytm deterministyczny. rednie b dy wzgl dne wynosz odpowiednio 18,4% oraz 7,5%. Zatem, mo na przypuszcza, e gdy oleno zada est wyznaczona przez algorytm z rozmytymi parametrami, znacznie mnie zmienia si warto funci celu przy zaburzeniu czasów wyonywania zada. 6. Studium przypadu Algorytm rozmyty TSF Roz ( redni b d wzgl dny δ Roz aprd ,6 9,1 13,9 23,2 21,8 25,6 28,3 3,1 2,9 5,4 8,7 9,3 10,5 12,7 rednio 18,4 7,5 Na podstawie wst pnego esperymentu obliczeniowego z u yciem algorytmu tabu z rozmytymi czasami wyonania zada, przeprowadzono obliczenia optymalizacyne dla danych z pratyi budowlane. Zadanie inwestycyne dotyczy realizaci omplesu dwunastu budynów mieszalnych, tworz cych fragment nowego osiedla mieszaniowego. S one zbli one pod wzgl dem technologicznym. Podstaw szacowania czasów wyonania robót s przedmiary robót oraz np. KNR (Katalog Na adów Rzeczowych, na bazie tórych mo na ore li pracoch onno robót. Po ustaleniu i uzgodnieniu niezb dnych zasobów ludzich (grup roboczych, oblicza si mo liwy czas trwania robót, przeszta ca c na ady rzeczowe z liczby tzw. roboczogodzin [r-h], w dni robocze [dni-rob]. Ta ustalone dane tworz tzw. Strutur Podzia u Prac (SPP, ore la c porz de technologiczny robót. Dane liczbowe do oblicze optymalizacynych dotycz omplesu 12 obietów budowlanych, na tórych planue si realizac 9 procesów budowlanych. Przedsi wzi cie reprezentue macierz czasów trwania procesów budowlanych T 9x12, gdzie T i, est czasem wyonania roboty i na obiecie. Poni e przedstawiono przy adow macierz czasów trwania robót na obietach budowlanych. 79

5 T= Elementy macierzy czasów trwania robót opracowano na podstawie przedmiarów, z uwzgl dnieniem dost pnych zasobów, dla omplesu budynów mieszalnych. W a ciwe oszacowanie cylu realizaci inwestyci est niezb dne do sformu owania warunów ontratu na roboty budowlane dla Inwestora, Wyonawców oraz Podwyonawców. Do wyznaczenia cylu realizaci przedsi wzi cia budowlanego (TT, zastosowano metod sprz e czasowych MSC I [11, 18]. W wyniu przeprowadzonych oblicze wyznaczono cyl realizaci wynosz cy TT=250 ednoste, z uwzgl dnieniem warunu ci g o- ci procesów. Po przeprowadzeniu oblicze z zastosowaniem algorytmu TSF uzysano TT=233 ednosti. Do oblicze optymalizacynych przy to rozmyte czasy wyonania robót. Dla danych zaburzonych, redni b d wzgl dny wynosi zaledwie 4,2%. Mo e on s u y na przy ad ao parametr umo liwia cy oszacowanie wielo ci ryzya i ontyngenci czasu realizaci przedsi wzi cia budowlanego, wielo ci buforów czasu (np. wg. metodyi CCS/BM, ao wspomaganie procesów decyzynych. 7. Podsumowanie W artyule przedstawili my wynii esperymentów obliczeniowych dotycz cych harmonogramowania prac budowlanych z uwzgl dnieniem warunu ci g o ci robót (permutacyny problem przep ywowy. W pratyce bardzo trudno est ore li, przed przyst pieniem do robót, rzeczywiste czasy wyonywania poszczególnych robót. Modeluemy e wi c za pomoc liczb rozmytych. Do rozwi zywania zadania optymalizacynego zastosowano algorytm oparty na metodzie przeszuiwania z zabronieniami z rozmytymi danymi. Wyznaczone przez ten algorytm rozwi zania s stabilniesze (mnie wra liwe na zmiany parametrów rozpatrywanego zagadnienia od rozwi za algorytmu z parametrami ore lonymi przez liczby ca owite. Na podstawie przeprowadzone analizy w p. 4, stwierdzono, e zmiana czasów wyonywania zada, dla rozwi zania wyznaczonego przez algorytm rozmyty, ma znacznie mnieszy wp yw na ostateczny czas wyonania wszystich zada ni w przypadu rozwi zania wyznaczonego przez algorytm deterministyczny. rednie b dy wzgl dne wynosz odpowiednio 18,4% oraz 7,5%. Po zaburzeniu czasów wyonywania robót budowlanych, znacznie mnie zmienia si warto funci celu, gdy oleno ich wyonywania est wyznaczona przez algorytm z rozmytymi parametrami zada. Uzysane dane liczbowe mog zatem wspomaga oszacowanie wielo ci buforów czasu (np. wg metodyi CCS/BM. Niniesza praca stanowi ontynuac studiów autorów [1, 2, 3, 4, 11, 21] nad zastosowaniem algorytmów metaheurystycznych w harmonogramowaniu robót budowlanych (ze szczególnym uwzgl dnieniem liczb rozmytych w problemach optymalizaci dysretne. BIBLIOGRAFIA [1] Bo eo W., Wodeci M., Algorytmy tabu search z rozmytymi danymi, Komputerowo Zintegrowane Zarz dzanie, WNT, Warszawa, 2001, [2] Bo eo W., Wodeci M., Modelowanie niepewno ci w pewnym problemie szeregowania zada, Zeszyty Nauowe Politechnii l sie, AUTOMATYKA, t. 5, z. 1/2, 2001, [3] Bo eo W., Wodeci M., Stabilno metaheurysty dla wybranych problemów szeregowania zada, Komputerowo Zintegrowane Zarz dzanie, WNT, Warszawa, 2001, [4] Bo eo W., Heduci Z., Wodeci M., Harmonogramowanie omplesu robót budowlanych w warunach niepewno ci. Komputerowo Zintegrowane Zarz dzanie, PTZP Opole 2008, TI, [5] Dubois D., Prade H., Operations on fuzzy numbers, International Journal System Science, vol. 9, 1978, [6] Garey M. R., Johnson D. S., Seti R., The complexity of flowshop and obshop scheduling, Mathematics of Operations Research, 1, 1976, [7] Grabowsi J., Pempera J., New bloc properties for the permutation flow-shop problem with application in TS, Journal of Operational Research Society, 52, 2001, [8] Grabowsi J., Wodeci M., A new local search algorithm for the flow shop problem, Computers & Operations Research, 31, 2004, [9] Hape M., Programowanie sieciowe w warunach niepewno ci, Zeszyty Nauowe Politechnii l sie, AUTOMATYKA, z. 117, 1996, [10] Hape M., Jasziewicz A., S owi si R., Rozmyte pode cie do wieloryterialnego programowania w warunach niepewno ci, Zeszyty Nauowe Politechnii l sie, AUTOMATYKA, z. 123, 1998, [11] Heduci Z., Rogalsa M., Metody sprz e czasowych TCM, Przegl d Budowlany, 2, 2005, [12] Iscibuchi H., Yamamoto N., Misai S. and Tanaa H., Local Search Algorithms for Flow Shop Scheduling with Fuzzy Due-Dates, International Journal of Production Economics, 33, 1994, [13] Ishii H.: Fuzzy combinatorial optimization, Japanese Journal of Fuzzy Theory and Systems, Vol. 4, no. 1, 1992 [14] Navaz M., Enscore E.E., Ham I., A heuristic algorithm for the m-machine, n-ob flow-shop sequencing problem, OMEGA, 11/1, 1983, [15] Nowici E., Smutnici C., A fast tabu search algorithm for the permutation flow-shop problem, European Journal of Operational Research, 91, 1996, [16] Pinedo M., Scheduling: Theory, Algorithms, and Systems, Prentice Hall, 1995 [17] Prade H., Using fuzzy set theory in a scheduling problem, Fuzzy Sets and Systems, 2, 1979, [18] Mrozowicz J., Metody organizaci procesów budowlanych uwzgl dnia ce sprz enia czasowe DWE, Wroc aw 1997 [19] Righter R., Stochastic Scheduling, in Stochastic Orders, M. Shaed and Shandhumar (eds., Academic Press, San Diego, 1994 [20] Podolsi M., Analiza nowych zastosowa teorii szeregowania zada w organizaci robot budowlanych. Praca dotorsa. Wroc aw 2008 [21] Rogalsa M., Bo eo W., Heduci Z., Time/cost optimization using hybrid evolutionary algorithm in construction proect scheduling, Automation in Construction, Elsevier, 2008, V18/1, 24 31