WYKORZYSTANIE MODELI ARIMA W PROGNOZOWANIU CEN WIEPRZOWINY APPLICATION OF THE ARIMA MODELS TO THE PORK PRICES FORECASTING

Transkrypt

1 STOWARZYSZENIE Wykorzystanie EKONOMISTÓW modeli ARIMA ROLNICTWA w prognozowaniu I AGROBIZNESU cen wieprzowiny Roczniki Naukowe tom VIII zeszyt 5 43 Mariusz Hamulczuk Szko³a G³ówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie WYKORZYSTANIE MODELI ARIMA W PROGNOZOWANIU CEN WIEPRZOWINY APPLICATION OF THE ARIMA MODELS TO THE PORK PRICES FORECASTING S³owa kluczowe: prognozowanie cen, wieprzowina, modele ARIMA Key word: price forecasting, pork, ARIMA models Synopsis. Jedn¹ z metod szeregów czasowych, która znalaz³a praktyczne zastosowanie w prognozowaniu zjawisk ekonomicznych jest klasa modeli znanych pod nazw¹ modele autoregresji i œredniej ruchomej (autoregresion and mooving average models). Celem opracowania jest ocena mo liwoœci wykorzystania modeli ARIMA w krótkookresowym prognozowaniu cen wieprzowiny. Wstêp W dobie szybkiego przep³ywu informacji nale y dysponowaæ nie tylko danymi o bie ¹cym stanie otoczenia, ale równie o tym, w jakim kierunku nast¹pi jego rozwój. Tylko trafna prognoza przysz³oœci pozwala dobrze zaplanowaæ przysz³e dzia³ania i podj¹æ w³aœciwe decyzje. G³ówn¹ rol¹ prognoz jest zatem wspomaganie procesów decyzyjnych. Prognozowanie jest obiektywn¹ form¹ przewidywania przysz³oœci, poniewa ma charakter racjonalny i naukowy. W procesie prognozowania znacz¹c¹ rolê odgrywaj¹ metody iloœciowe o charakterze matematyczno-statystycznym. Umo liwiaj¹ one postawienie prognozy opartej na wzglêdnie obiektywnych przes³ankach. Metody takie stanowi¹ alternatywê lub te uzupe³nienie, dla sposobów prognozowania opartych na podejœciu zdroworozs¹dkowym i doœwiadczeniu prognosty. Iloœciowe metody prognozowania zjawisk ekonomicznych dziel¹ siê na takie, w których wykorzystuje siê informacje o stanie zjawiska w okresach przesz³ych (metody szeregów czasowych) oraz w których wykorzystuje siê informacje o powi¹zaniach zmiennej prognozowanej z innymi zmiennymi. Pierwsze podejœcie pozwala na wzglêdnie szybkie uzyskanie prognozy bez koniecznoœci zbierania obszernego zestawu danych statystycznych. Ma to o tyle istotne znaczenie w prognozowaniu na rynku wieprzowiny, poniewa informacje o stanie pog³owia trzody chlewnej stanowi¹ce podstawê metod o charakterze przyczynowym s¹ zbierane tylko trzy razy w roku. Metoda i materia³y Wœród ogó³u modeli zaliczanych do klasy ARIMA wyró niæ mo na trzy podstawowe ich rodzaje: modele autoregresji (AR), modele œredniej ruchomej (MA) i modele mieszane autoregresji i œredniej ruchomej (ARMA). Te ostatnie mo na zapisaæ: Y φ φ Y φ Y... φ Y + e t = t t p t p t -θ 1 et 1 θ 2et 2... θ qet q

2 44 M. Hamulczuk gdzie: Y t, Y t 1,...Y t p wartoœæ zmiennej prognozowanej w okresie t, t-1,..., t-p, e t, e t 1,... e t p b³êdy (reszty) modelu w okresach t, t-1,..., t-q, φ, φ, φ, θ,..θ parametry modelu, 0 1 p 1 q p, q wielkoœæ wykorzystywanych opóÿnieñ [Box, Jenkis 1983]. Z przedstawionego wy ej zapisu wynika, e wartoœæ zmiennej prognozowanej w okresie t zale eæ mo e od jej przesz³ych wartoœci (AR), ró nicy miêdzy przesz³ymi wartoœciami rzeczywistymi zmiennej prognozowanej, a jej wartoœciami uzyskanymi z modelu (b³êdów prognoz) (MA) lub od nich obydwu (ARMA). W modelu takim zak³ada siê stacjonarnoœæ szeregu zmiennej prognozowanej. W przypadku jej braku szereg poddaje siê przekszta³ceniom polegaj¹cym na d-krotnym ró nicowaniu szeregu czasowego. Modele takie okreœla siê zintegrowanymi modelami autoregresji i œredniej ruchomej ARIMA o zapisie (p, d, q), gdzie: p oznacza rz¹d autoregresji, d krotnoœæ ró nicowania, q wielkoœæ opóÿnienia œredniej ruchomej. W przypadku wystêpowania sezonowoœci w zjawisku notacja mo e byæ rozszerzona do postaci: ARIMA (p, d, q) (P, D, Q) S, gdzie: P, D, Q oznaczaj¹ rz¹d odpowiednio: autoregresji, ró nicowania i opóÿnienia œredniej ruchomej sezonowej czêœci modelu. Postêpowanie prognostyczne sk³ada siê z kilku etapów: identyfikacji modelu, estymacji jego parametrów, oceny modelu i prognozowania. Je eli w fazie oceny modelu oka e siê, e jest on nieodpowiedni, to wówczas nale y powróciæ do punktu pocz¹tkowego i na nowo okreœliæ parametry modelu [Box, Jenkins 1983]. Dobry model to taki, który posiada istotne parametry, jest stacjonarny i odwracalny oraz w którym brak jest sk³adnika systematycznego w resztach. W pracy do oceny sk³adnika losowego wykorzystano wykresy autokorelacji (ACF) i autokorelacji resztowej (PACF), test Boxa-Pierce [Makridakis i in. 1998] dla pierwszych 24 miesiêcy oraz test serii [Borkowski i in. 2003]. Ocenê przydatnoœci modeli ARIMA do prognozowania cen wieprzowiny w Polsce przeprowadzono na przyk³adzie notowañ cen pó³tusz wieprzowych w klasie E. Analizê oparto na cenach wyra onych w euro/100 kg z okresu od stycznia 1993 do grudnia 2005 roku. Prognozowanie cen wyra onych w euro umo liwia uwzglêdnienie dodatkowo wp³ywu wahañ kursowych i powinno byæ prowadzone równolegle z prognozowaniem cen wyra onych w walucie krajowej. Praktyczne wykorzystanie prognoz czêsto wi¹ e siê z wymiernymi korzyœciami lub stratami, dlatego nale y oceniæ, czy modele charakteryzuj¹ siê zdolnoœciami prognostycznymi i jaki obejmuj¹ horyzont czasowy. Mo e siê bowiem okazaæ, e model, który trafnie opisywa³ zjawisko wcale nie jest najlepszy w prognozowaniu przysz³oœci, szczególnie na d³u szy okres [Makridakis i in. 1998]. Ocena wiarygodnoœci metody zosta³a przeprowadzona w oparciu o dok³adnoœæ prognoz wygas³ych, obliczanych na podstawie danych skróconych o ostatnie 12, 24 i 36 miesiêcy. Miernikiem zastosowanym do oceny trafnoœci by³ œredni bezwzglêdny b³¹d prognozy w przedziale weryfikacji MAPE [Cieœlak 2004]. Dodatkowo porównano dok³adnoœæ prognoz obliczonych z modeli ARIMA z dok³adnoœci¹ prognoz wykonywanych w analogicznych okresach przez ekspertów Agencji Rynku Rolnego 1. Parametry oszacowano przy pomocy iteracyjnej metody najmniejszych kwadratów. Przy obliczeniach skorzystano z procedury prognozowania wstecz (backforecasting) pozwalaj¹cej na uzyskanie wartoœci pocz¹tkowych (inicjalnych). Dziêki temu mo liwa jest estymacja parametrów tych modeli na podstawie mniejszych prób 2. Obliczenia wykonano w pakiecie statystycznym Statgraphic Plus. Wyniki badañ Prognozowanie w oparciu o metody iloœciowe jest mo liwe wówczas, gdy spe³nione s¹ podstawowe za³o enia teorii predykcji [Zeliaœ 1997]. Szczególnie istotne jest za³o enie mówi¹ce o niezmiennoœci warunków ekonomicznych w czasie (w okresie, w którym by³ model szacowny i by³a budowana prognoza). Zatem nale y odpowiedzieæ na pytanie, czy wejœcie Polski do UE nie spowodowa³o znacz¹cych zmian warunków kszta³towania siê cen wieprzowiny. Przeprowadzone badania 1 W badaniach za wartoœæ prognozowan¹ przyjêto wartoœci œrodkowe prognoz przedzia³owych opracowanych przez ARR. 2 Box i Jenkins [1983] zalecaj¹, eby szereg czasowy zawiera³ co najmniej 50 obserwacji dla modeli niesezonowych, a dla sezonowych znacznie wiêcej. Obecnie, w dobie du ych mo liwoœci obliczeniowych, wymogi te s¹ mniej rygorystyczne [Milo 2002].

3 Wykorzystanie modeli ARIMA w prognozowaniu cen wieprzowiny 45 [Hamulczuk 2005] oraz dodatkowe obliczenia wskazuj¹, e od wielu lat mamy do czynienia z konwergencj¹ cen wieprzowiny w Polsce i krajach UE objawiaj¹c¹ siê wzrostem d³ugookresowych wspó³zale noœci (równoleg³oœæ cykli œwiñskich). Nale y podkreœliæ, e po integracji z Uni¹ Europejsk¹ mechanizm le ¹cy u podstaw kszta³towania siê cen wieprzowiny w Polsce nie uleg³ zmianie mimo wprowadzenia innych zasad interwencjonizmu i zniesienia barier towarzysz¹cych przep³ywowi towarów i us³ug z krajami UE. Analiza kszta³towania siê cen wieprzowiny wskazuje na niestacjonarnoœæ szeregu czasowego (rys. 1). Jest ona odzwierciedleniem wahañ cyklicznych i sezonowych jakie mo na zaobserwowaæ na prze³omie analizowanego okresu. Pierwsze s¹ efektem tzw. mechanizmu cyklu œwiñskiego, a zakres ich zmiennoœci jest znacznie wiêkszy od zmiennoœci wynikaj¹cej z wahañ sezonowych i przypadkowych. Oznacza to, e modele prognostyczne cen wieprzowiny powinny w g³ównym stopniu umo liwiaæ uchwycenie zmian wynikaj¹cych z wahañ cyklicznych i sezonowych. euro/100kg sty 93 Niestacjonarnoœæ szeregu czasowego cen wieprzowiny potwierdzaj¹ wykresy autokorelacji i autokorelacji cz¹stkowej (nie przedstawione w tej publikacji). Oznacza to, e szereg czasowy powinien zostaæ poddany ró nicowaniu. O krotnoœci zró nicowañ mo na wnioskowaæ na podstawie odchylenia standardowego powsta³ego w ich wyniku szeregu czasowego. Szereg pierwotny cen charakteryzuje siê odchyleniem standardowym na poziomie 22,18, ró nicowany z krokiem pierwszym 7,26, ró nicowany z krokiem dwunastym 31,46, zaœ z krokiem pierwszym i dwunastym 9,24. Nale y rozpatrywaæ szeregi czasowe o najmniejszym odchyleniu. Maj¹c na uwadze badawczy charakter pracy, oszacowano kilka modeli w oparciu o szereg czasowy ró nicowany tyko z krokiem pierwszym oraz szereg czasowy ró nicowany zarówno z krokiem pierwszym, jak i dwunastym. Dobór parametrów modeli opiera³ siê na analizie wspó³czyn- Tabela 1. Wyniki estymacji modeli ARIMA dla okres od stycznia 1993 do grudnia 2005 Model Parametr ( 0,1,0)(4,0,0)12 SAR1 SAR4 ( 0,1,0)(3,0,0)12 SAR1 ( 0,1,0)(3,0,1)12 SAR1 SMA1 ( 0,1,0)(2,1,1)12 SAR1 SMA1 Wartoœæ parametru 0,192-0,042 0,314 0,354 0,279-0,059 0,370 0,913-0,267 0,369 0,809-0,085-0,378 0,847 sty 94 sty 95 sty 96 sty 97 sty 98 sty 99 Rysunek 1. Kszta³towanie siê cen wieprzowiny (kl. E/100 kg) w Polsce w okresie od stycznia 1993 do grudnia 2005 ród³o: opracowanie w³asne na podstawie GUS. sty 00 sty 01 sty 02 sty 03 sty 04 cen wieprzowiny uzyskane na podstawie danych Statystyka t-studenta 2,56-0,56 3,97 4,38 3,72-0,72 4,64 9,98-2,62 4,39 10,92-1,04-4,44 22,41 Statystyki S e QBP (24) 6,99 17,90 (0,59) 7,14 22,18 (0,39) 6,83 18,28 (0,57) 6,96 21,56 (0,42) resztowe a Z sty 05 za 0,56 (0,57) 0,73 (0,46) 0,72 (0,47) 0,72 (0,47) a Se odchylenie standardowe; QBP (24) statystyka Boxa-Pierce; Z statystyka testuserii; w nawiasach poziom istotnoœci,

4 46 M. Hamulczuk ników autokorelacji (ACF) i autokorelacji cz¹stkowej (PACF) oraz logicznej analizie zjawiska i znajomoœci faktu, e przeciêtna d³ugoœæ cyklu œwiñskiego w badanym okresie wynosi³a 44 miesiêce. Wyniki estymacji modeli prognostycznych przedstawiono w tabeli 1. Du a liczba parametrów sezonowych pozwala uwzglêdniæ za ich pomoc¹ równie zmiany wynikaj¹ce z cyklicznoœci. Ujemne wartoœci sezonowych parametrów autoregresyjnych (SAR) wynikaj¹ z faktu, e po³owa d³ugoœci cyklu œwiñskiego niemal e pokrywa siê z krotnoœci¹ opóÿnienia sezonowego, co prowadzi do ich wzajemnej kompensacji 3. Efektem tego jest te nieistotnoœæ niektórych parametrów sezonowych. Otrzymane modele charakteryzuj¹ siê dobrym dopasowaniem do danych empirycznych. Odchylenia standardowe sk³adnika losowego zwieraj¹ siê w przedziale od 6,83 do 7,14 euro/100 kg. Odpowiada to wzglêdnemu odchyleniu sk³adnika losowego [Borkowski i in. 2003] na poziomie odpowiednio: 5,41-5,65%. Najgorszym modelem pod tym wzglêdem by³ model postaci: (0,1,0)(3,0,0) 12. Reszty wszystkich modeli charakteryzuj¹ siê rozk³adem losowym (statystyka Z). Statystyki testu Boxa-Pierce a (Q BP ) wskazuj¹ na w³aœciwoœci bia³oszumowe sk³adnika losowego dla opóÿnieñ z przedzia³u od 1 do 24 miesiêcy. Z kolei analiza pojedynczych wspó³czynników autokorelacji (ACF) i autokorelacji cz¹stkowej (PACF) wskazuje, e nie wszystkie zale noœci zosta³y uwzglêdnione. Najczêœciej istotny okazywa³ siê wspó³czynnik PACF dla opóÿnienia 11 miesiêcy. Jedynie model (0,1,0)(3,0,1) 12 nie posiada³ adnych istotnych pojedynczych wartoœci wspó³czynników ACF i PACF dla opóÿnieñ w pierwszych 24 miesi¹cach. W przypadku wszystkich modeli brak by³o podstaw do odrzucenia hipotezy o normalnoœci rozk³adu reszt (test Shapiro-Wilka). W oparciu o skonstruowane modele euro/100 kg (0,1,0)(4,0,0)12 (0,1,0)(3,0,0)12 (0,1,0)(3,0,1)12 (0,1,0)(2,1,1)12 mediana prognoz I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII prognozowania horyzont prognozowania Rysunek 2. Prognozy cen wieprzowiny na okres od stycznia do grudnia 2006 roku Tabela 2. Œrednie bezwzglêdne b³êdy procentowe (MAPE) prognoz wygas³ych cen wieprzowiny wykonanych na podstawie danych do grudnia: 2002, 2003 i 2004 roku Model (0,1,0)(4,0,0)12 (0,1,0)(3,0,0)12 (0,1,0)(3,0,1)12 (0,1,0)(2,1,1)12 Œrednio 1-3 7,81 7,08 7,25 7,04 7,25 B³êdy prognoz w przedziale ,64 14,84 15,62 13,49 15, ,78 12,23 12,69 10,57 11, ,83 18,05 19,81 17,33 19, ,26 13,05 13,84 12,11 13,10 obliczono prognozy na 12 miesiêcy naprzód (rys. 2). Mimo e charakteryzuj¹ siê one zgodnoœci¹ zmian kierunkowych, to ró nice miêdzy skrajnymi prognozami siêgaj¹ 35 euro/100 kg. Za prognozê ostateczn¹ mo - na przyj¹æ wartoœæ œrodkow¹ wykonanych prognoz (medianê). Odpowiada ona wartoœci œrodkowej prognoz obliczonych przy pomocy modeli charakteryzuj¹cych siê najlepszymi statystykami: (0,1,0)(3,0,1) 12 i (0,1,0)(2,1,1) 12 (tab. 1). O zaufaniu do wykonanych prognoz mo na wnioskowaæ na podstawie dok³adnoœci prognoz wygas³ych wykonanych przy pomocy modeli o takiej samej liczbie parametrów jak w tabeli 1, ale oszacowanych w oparciu o skrócone szeregi czasowe. Œredni¹ dok³adnoœæ prognoz otrzymanych z pomoc¹ poszczególnych modeli przedstawiono w tabeli 2. Najdok³adniejsze prognozy obliczono na okres do 3 miesiêcy naprzód, a ich b³êdy œrednie nie przekracza³y 8%. Nale y wyró - niæ tutaj prognozy na pierwszy i na drugi miesi¹c, których b³êdy œrednie by³y mniejsze od 5,7%. Przeciêtne b³êdy prognoz wygas³ych wykonanych na okres do 12 miesiêcy naprzód zawieraj¹ siê w przedziale od 12,11% model (0,1,0)(2,1,1) 12 do 14,26% model (0,1,0)(4,0,0) Powi¹zania wahañ cyklicznych i sezonowych, krótki szereg czasowy powoduj¹, e nie jest mo liwa precyzyjna ocena rzêdów autoregresji i œrednich ruchomych w oparciu o wykresy autokorelacji i autokorelacji cz¹stkowych.

5 Wykorzystanie modeli ARIMA w prognozowaniu cen wieprzowiny 47 Wysokoœæ przedstawionych b³êdów prognoz (oprócz pierwszych dwóch) wydaje siê byæ nie do zaakceptowania. W rzeczywistoœci wysoki ich poziom wynika z trudnoœci przewidywania cen wieprzowiny. Œwiadczy o tym porównanie dok³adnoœci prognoz wygas³ych pochodz¹cych z analizowanych modeli ARIMA z dok³adnoœci¹ prognoz cen ywca wieprzowego wykonanych przez ekspertów ARR. Œrednia wielkoœæ b³êdów prognoz na 3 miesi¹c naprzód pochodz¹cych z modeli ARIMA wynios³a 11,98%, zaœ prognoz opartych na opiniach ekspertów 10,29%. Z kolei, na szósty miesi¹c naprzód prognozy pochodz¹ce z modeli ARIMA okaza³y siê dok³adniejsze od prognoz ekspertów (b³êdy odpowiednio: 15,44 i 18,13%). Porównanie to wskazuje, e dok³adnoœæ otrzymywanych prognoz nie odbiega w znacz¹cy sposób od prognoz otrzymywanych za pomoc¹ metod o charakterze jakoœciowym. Z przeprowadzonej analizy wynika równie, e dok³adnoœæ prognoz w du ej mierze jest zdeterminowana momentem ich wykonywanie. Wskazuje na to nierównomierny wzrost œrednich b³êdów prognoz wygas³ych wraz z wyd³u eniem horyzontu prognozowania (tab. 2). Podsumowanie Bior¹c pod uwagê znaczny stopieñ zmiennoœci zjawiska, dok³adnoœæ uzyskanych prognoz wygas³ych oraz dok³adnoœæ prognoz ekspertów ARR, nale y uznaæ, e modele ARIMA mog¹ znaleÿæ praktycznie zastosowanie do prognozowania cen wieprzowiny. Prognozy takie mog¹ stanowiæ jeden z elementów oceny przysz³ej sytuacji rynkowej. Nale y mieæ na uwadze, e du ¹ wiarygodnoœci¹ charakteryzuj¹ siê tylko prognozy wykonywane na dwa miesi¹ce naprzód, zaœ przewidywanie na dalsze okresy wi¹ e siê z coraz wiêkszym ryzykiem. W zwi¹zku z czym, prognozy otrzymywane na podstawie modeli ARIMA powinny podlegaæ wszechstronnej ocenie merytorycznej pod k¹tem ich realnoœci, przy jednoczesnym porównaniu ich z prognozami otrzymanymi za pomoc¹ innych metod. Literatura Biuletyn Informacyjny ARR, lata ARR, Warszawa. Borkowski B., Dudek H., Szczesny W. 2003: Ekonometria. Wybrane zagadnienia. PWN, Warszawa, Box G.E.P., Jenkins G.M. 1983: Analiza szeregów czasowych. PWN, Warszawa. Cieœlak M. (red.) 2004: Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania. PWN, Warszawa, Hamulczuk M. 2005: Rynek wieprzowiny w Polsce po przyst¹pieniu do Unii Europejskiej. Problemy Rolnictwa Œwiatowego. T. XIII. Wyd. SGGW, Makridakis S., Wheelwright S.C., Hyndman R.J. 1998: Forecasting Methods and Applications, III Edition. Wiley & Sons, Hoboken, 1-70, Milo W. 2002: Prognozowanie i symulacja. U, ódÿ, Zeliaœ A. 1997: Teoria prognozy. PWE, Warszawa, Summary The aim of the research has been to examine the possibilities of application the ARIMA models in the pork prices forecasting in Poland. The main way of assessment of the suitability of these methods in predicting the future was the ex post analysis. According to the research the short-term forecast based on ARIMA models are not more accurate those based on the professionals opinion. Adres do korespondencji: dr Mariusz Hamulczuk Szko³a G³ówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Katedra Ekonomiki Rolnictwa i Miêdzynarodowych Stosunków Gospodarczych ul. Nowoursynowska Warszawa tel. (0 22) mariusz_hamulczuk@sggw.pl